直线与平面的位置关系与相交性质

第２２卷第６期　２　０　０　７年１　２月　宿州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶＯＩ．２２，ＮＯ．６　Ｄｅｃ．２　０　０　７　

空间中平面与平面、直线与直线及直线　

与平面间位置关系研究　

费绍金　

（宿迁学院教师教育系，江苏宿迁２２３８００）　

摘要：利用线性方程组解的理论讨论空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面间位置关系，给出用矩阵的秩判　定以上关系的方法及结论。　关键词：平面；直线；直线与平面；位置关系；矩阵的秩　中图分类号：Ｏ１８７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２００６（２００７）０６－－００９５—０３　

１引言　Ｂｉｙ＋ＣＩ　＋Ｄ＿一Ｏ（ｉ　２＇３），记Ａ　ＢＳ：ｌ　则　判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与　、Ａ　Ｂ　Ｃ　平面位置关系，是代数知识在空间解析几何上的应　用，体现了几何与代数的完美结合，因此也是历年考　研常考题型。在文献［１　中作者给出了两条判定定理，　在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用矩阵　的秩对这三个关系作了系统研究，给出一些有用结　论。　

２主要命题及证明　

引理非齐次线性方程组：　』ａｌｌｘ１＋ａｌｚ　２＋Ａ＋　ｌａｘ　＝ｂｌ　Ｊ　ａｚｌｘ１＋ａ２２ｘ２＋Ａ＋ａ２　ｘ　＝ｂ２　ｌ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　Ａ　’ａｍｌｘ１＋ａ扣２ｘ２＋＋ａ…ｘ　ｊｂｍ　有解的充要条件是：系数矩阵Ａ与增广矩阵Ｂ的秩　Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ），且Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一ｎ时有唯一解。　２．１平面与平面的位置关系　２．１．１两平面间位置关系　命题１　设平面７ｃ　、７ｃ　的方程分别为Ａ　ｘ＋Ｂ　Ｙ　＋Ｃｌｚ＋Ｄｌ一０，Ａｚｘ＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ｚ＋Ｄ２＝＝：０，记Ａ一　

［　：　］，则（１）当Ｒ（Ａ）＝＝＝２时，平面丌－与丌ｚ相交　

于一条直线；（２）当Ｒ（Ｂ）＝１时，平面７ｃ　与７ｃ　重合；　（３）当Ｒ（Ａ）＝＝＝１，Ｒ（Ｂ）＝＝：２时，平面７ｃ　与７ｃ　平行。　证明由引理易证。　２．１．２三个平面间位置关系　命题２设平面丌　、丌　、丌。的方程分别为Ａ　ｘ＋　

直线与平面的位置关系

几何学中，直线与平面的位置关系是一个基础且重要的概念。直线和平面是空间中最基本的几何元素，它们之间的位置关系不仅仅涉及到它们的交点、平行与垂直等简单的关系，还包括它们的夹角、距离以及相交情况等更加复杂的问题。在本文中，我们将探讨直线与平面的不同位置关系及其几何性质。

1. 直线与平面的交点

当一条直线与一个平面相交时，它们会在空间中有一个唯一的交点。这个交点是直线与平面上所有点的共同点，也是平面上与直线最近或最远的点。直线和平面的交点常常用坐标的形式来表示，比如(x, y, z)。交点的坐标可以通过解直线和平面的方程组来求得，一般来说，代入直线的参数方程或者平面的一般方程，可以方便地计算出坐标值。

2. 直线与平面的平行关系

当一条直线与一个平面平行时，它们永远不会相交。这种关系可以用向量的角度来描述。具体而言，如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则可以判定直线与平面平行。在空间解析几何中，通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来确定它们的平行关系。若点积为零，则表明直线与平面平行。

3. 直线与平面的垂直关系

当一条直线与一个平面垂直时，它们之间的夹角为90度。垂直关系也与向量的角度有关，当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，可以认定直线与平面垂直。同样地，在解析几何中，可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判定它们的垂直关系。若点积的结果为零，则两者垂直。

4. 直线与平面的夹角

直线和平面的夹角是指直线上的一条边与平面上的一条边之间的夹角。夹角可以分为锐角、直角和钝角三种情况。当夹角为锐角时，说明直线与平面的位置关系比较近；当夹角为直角时，直线与平面垂直；当夹角为钝角时，直线和平面的位置关系相对远离。在计算夹角时，可以利用向量的点积公式来求得两者之间的夹角大小。

总结起来，直线与平面的位置关系涉及到交点、平行、垂直和夹角等几个重要概念。根据具体的问题，我们可以使用不同的几何方法来确定它们之间的关系。同时，在计算中要注意碰到特殊情况时的处理方法，例如直线与平面平行或垂直时的特殊计算方式。准确理解并掌握直线与平面的位置关系，对于解决几何学中的问题至关重要。

第 1 页 共 2 页 //abab//a//ab直线与平面、平面与平面的位置关系

【知识梳理】

【直线与平面平行的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点．

（2）判定定理：

（3）其他方法：//a

2．性质定理：//aab

【平面与平面平行的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）定义法：两平面无公共点．

（2）判定定理：////abababP //

（3）其他方法：aa //； ////a //

2．性质定理：//ab

//a//ab第 2 页 共 2 页 【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】

1．判定方法

（1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．

（2）判定定理：abacbcAbc

a

（3）推论：//aab b

（3）性质① ab ab ② ab

【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理 aa 

（3）性质：①性质定理 laal 

② lPPAA垂足为 Al ③ lPPA PA

【转化思想】

面面平行 线面平行 线线平行

面面垂直 线面垂直 线线垂直 //ab

1

课题：空间直线与平面的位置关系(一轮复习)

——动态问题中再探空间点线面的位置关系

湖北省黄冈中学（胡小琴）

一、教学设计

1.教学内容的确立

内容：本节高三复习课，安排在一轮系统复习完空间点线面的位置关系之后，是由静态环境到动态变化环境下对空间线面位置关系的一个再深入探究，重点探讨垂直关系及应用.

背景：从近几年的高考试卷来看，立体几何试题除了固定不变的线线、线面、面面的位置关系外，还渗透了某些点线面的位置不确定的可变性问题．这类题型立意新颖，是考查学生分析能力与创新能力的好素材，图形的动态翻折就是其中一个热点.

立意：由于翻折问题是在图形动态变化的过程中，探究静态的空间位置关系和数量关系．因此，动态问题中线面位置关系的研究，不仅能较好的集中体现空间几何与平面几何的转化关系，更能拓宽了学生空间想象的范围，提升逻辑思维能力，在变与不变中得到思维的升华.

学情：高三学生思维活跃，正值身心发展的鼎盛时期．从认知上来看，学生的立体几何是在三维空间背景下，遵循着“直观感知—操作确认—思辨论证—初步应用”四个层次的认识过程展开的．从能力上来看，通过一轮复习，学生已经熟练掌握了空间点线面位置关系转化的各种判定定理和性质定理，能进行常规线面关系的论证，并且会用多种方法进行空间量的计算．但翻折问题使得立体几何由静态到动态，提升了思维的难度，拓宽了空间想象的范围，而且由于新课标教材对于立体几何是分两个阶段学习的，学生对于知识的内在知识网络还有待进一步清晰简洁化．这些都有可能成为这节课学习的思维障碍．

2.教学标准的设置

从以上分析来看，这节课的重点是空间点线面位置关系的转化与论证，难点就是如何实现动态与静态的转化，空间与平面的转化以及如何在动态问题中找到变与不变量的标准与特征．于是我从四个方面确定了以下教学目标：

（1）构建空间点线面位置关系的知识网络，并形成一般转化规律的认知结构；

（2）渗透转化与化归的数学思想．从运动上理解动态与静态的转化；从位置关系上理解空间与平面的转化，从数量关系上理解变与不变的转化；