101金帆坑班逻辑推理

【数学故事:江泽涵】丰硕的研究成果，形成有影响的中国学派江泽涵是我国代数拓扑学的开拓者。

他在代数拓扑学发展的早期就开始从事研究。

那时，虽然莫尔斯理论等重要结果已经出现，但许多重要而有趣的问题还有待研究，拓扑学在分析学中的应用也有待深入。

江泽涵研究了代数拓扑学的许多重要课题，在莫尔斯临界点理论、复迭空间、纤维丛以及不动点理论等方面都作出了贡献。

江泽涵最早开展的是临界点理论的研究。

在做博士论文及以后的研究工作中，他把莫尔斯的临界点理论直接应用到分析学中，得到调和函数的许多饶有兴味的结果。

如他证明在没有退化临界点的情况下，３维空间中总质量不为零的ｓ个质点的牛顿位势函数至少有ｓ—１个临界点；他在总质量为正、负和零的各种情况下，系统地研究了各种分布类型的牛顿函数的临界点的组成与定义区域的拓扑特征之间的关系。

古典分析学中有这样一个定理：若Ｒ是平面上单连通的带边区域，则Ｒ上的格林函数在Ｒ内部没有临界点。

江泽涵用莫尔斯理论研究了多连通的情形和３维的情形。

他对于一个同胚于球体的区域，证明该区域上以一个内点为极点的格林函数在它的内部存在临界点。

对于平面上有光滑边界的ｍ重连通区域Ｒ，他证明Ｒ上以任一内点为极点的格林函数在Ｒ内部的临界点的重数之和等于ｍ－１。

在抗战时期到５０年代，江泽涵的主要工作是在复迭空间和纤维丛方面。

他研究了不可定向流形的可定向二叶复迭空间，证明了该复迭空间存在一个没有不动点且周期为２的反定向自同胚等结果。

他计算了ｎ维球面的有向与无向线素流形的同调群；又和学生们一起计算了上同调，以及球面上其它纤维丛的同调群。

江泽涵最重要的工作是在不动点理论方面的研究。

不动点理论是２０世纪数学发展中的重大课题之一。

早在３０年代初他就跟着莱夫谢茨研究这个课题。

那时，莱夫谢茨已发表他的著名结果，给出了一个用空间和映射的拓扑性质判别不动点存在性的方法。

不久，Ｊ．尼尔森（Ｎｉｅｌｓｅｎ）又提出了不动点类的概念，并用它估算亏格大于１的可定向闭曲面上的自同胚的不动点个数。

尼尔森的工作比莱夫谢茨进了一步，但他用了双曲几何的特殊工具，因此他的方法不能用到一般的多面体上。

江泽涵用复迭空间来替代双曲几何，并取得成功，为尼尔森理论的推广打下了基础。

６０年代初，江泽涵再次在国内倡导开展不动点理论的研究。

那时，尼尔森理论虽然已被推广到紧致多面体上，自同胚也已推广为任何自映射，但由于尼尔森计算的困难等障碍，国际上对它的研究已多年处于停滞不前的局面。

江泽涵和他的学生姜伯驹、石根华在多方面开展研究。

他先和姜伯驹一起提出自映射的伦型概念，证明尼尔森数具有伦型不变性。

在他的指导下，姜伯驹和石根华在尼尔森数的计算和尼尔森数的实现问题上取得了重大突破。

他们的工作打破了５０年来国际上这个课题研究工作长期停滞的状态，从而在国际上得到很高的评价，被称为“目前国际上关于不动点理论的最新成果”。

同行称他们为拓扑学界的一个新的“中国学派”。

美国数学家Ｒ．布朗（Ｂｒｏｗｎ）在他的一本专著《莱夫谢茨不动点定理》中专门用两章的篇幅介绍了他们的结果。

１９７８年，江泽涵和姜伯驹、石根华一起，以他们在不动点理论方面的出色工作获得了全国科学大会奖。

７０年代初，江泽涵受到布朗的专著的激励，决心要实现自己多年的宿愿：用自己的观点和方法来总结我国数学家自己的工作。

在“文化大革命”后期的艰难环境里，他经过数年努力，写出了专著《不动点类理论》，并于１９７９年出版。

该书着重几何直观，从特例出发引出一般理论，由浅入深地展现出不动点类理论的核心问题。

它成功地实现了江泽涵的初衷：为初具拓扑基础的青年读者铺平了学习不动点理论的道路，从而推动了我国不动点理论的研究。

以后，江泽涵又亲自把这本专著译成英文，并于１９８９年由科学出版社与德国施普林格出版社联合出版。

很快它在国际上得到很高的评价。

这本书不仅向全世界介绍了中国数学家的成果，也使世界了解中国数学家坚韧不拔的精神。

我国不动点理论的研究出现了蓬勃发展的局面，并在许多方面处于国际上领先的地位，江泽涵的功绩是不可磨灭的。

(未完待续)第十一讲逻辑推理【核心观点】【常用的方法】排除法、假设法、反证法。

【解题思路】1)选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2)根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3)对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；4)遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。

【典型问题】【问题1】从前一个国家里住着两种居民,一个叫宝宝族,他们永远说真话；另一个叫毛毛族,他们永远说假话.一个外地人来到这个国家,碰见三位居民,他问第一个人：“请问,你是哪个民族的人？”“匹兹乌图”.那个人回答.外地人听不懂,就问其他两个人：“他说的是什么意思？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的.”第三个人回答：“他说他是毛毛族的.”那么,第一个人是什么族,第二个人是什么族,第三个人是什么族？【解析】【问题2】有四个人各说了一句话.第一个人说：“我是说实话的人.”第二个人说：“我们四个人都是说谎话的人.”第三个人说：“我们四个人只有一个人是说谎话的人.”第四个人说：“我们四个人只有两个人是说谎话的人.”请你确定第一个人说什么话,第二个人说什么话,第三个人说什么话,第四个人说什么话.【解析】【问题3】某地质学院的三名学生对一种矿石进行分析.甲判断:不是铁,不是铜.乙判断:不是铁,而是锡.丙判断:不是锡,而是铁.经化验证明,有一个人判断完全正确,有一人只说对了一半,而另一人则完全说误了.那么,三人中谁是对的,谁是错的, 谁只对了一半.【解析】【问题4】甲、乙、丙、丁四人参加一次数学竞赛.赛后,他们四个人预测名次的谈话如下:甲:“丙第一名，我第三名.”乙：“我第一名，丁第四名.”丙：“丁第二名，我第三名.”丁没说话.最后公布结果时,发现他们预测都只对了一半.请你说出这次竞赛的甲、乙、丙、丁四人的名次.甲是第几名,乙是第几名,丙是第几名,丁是第几名？【解析】【问题5】王春、陈则、殷华当中有一人做了件坏事，李老师在了解情况中,他们三人分别说了下面几句话：陈：“我没做这件事.殷华也没做这件事.”王：“我没做这件事.陈刚也没做这件事.”殷：“我没做这件事.也不知道谁做了这件事.”当老师追问时,得知他们都讲了一句真话,一句假话,则做坏事的人是谁？【解析】【问题6】三个班的代表队进行N(N 2)次篮班比赛,每次第一名得a分,第二名得b分,第三名得c分(a、b、c为整数，且a>b>c>0).现已知这N次比赛中一班共得20分，二班共得10分，三班共得9分，且最后一次二班得了a分，那么第一次得了b分的是几班？【解析】【问题7】A、B、C、D四个队举行足球循环赛(即每两个队都要赛一场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.已知:(1)比赛结束后四个队的得分都是奇数；(2)A队总分第一；(3)B队恰有两场平局,并且其中一场是与C队平局.那么,D队得多少分？【解析】【问题8】六个足球队进行单循环比赛,每两队都要赛一场.如果踢平,每队各得1分,否则胜队得3分,负队得0分.现在比赛已进行了四轮(每队都已与4个队比赛过),各队4场得分之和互不相同.已知总得分居第三位的队最少得7分,并且有4场球赛踢成平局,那么总得分居第五位的队最多可得分,最少可得分.【解析】由此可推知,甲与丁的比分为,丙与丁的比分为.【解析】【问题10】某俱乐部有11个成员,他们的名字分别是A~K.这些人分为两派,一派人总说实话,另一派人总说谎话.某日,老师问:“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天,J和K休息,余下的9个人这样回答：A说：“有10个人.”B说：“有7个人.”C说：“有11个人.”D说：“有3个人.”E说：“有6个人.”F说：“有10个人.”G说：“有5个人.”H说：“有6个人.”I 说：“有4个人.”那么,这个俱乐部的11个成员中,总说谎话的有个人.【解析】【问题11】甲、乙、丙三人,一个姓张,一个姓李和一个姓王,他们一个是银行职员,一个是计算机程序员,一个是秘书.又知甲既不是银行职员也不是秘书；丙不是秘书；张不是银行职员；王不是乙,也不是丙.问:甲、乙、丙三人分别姓什么?【解析】【问题12】世界杯足球小组赛,每组四个队进行单循环比赛.每场比赛胜队得3分,败队记0分.平局时两队各记1分.小组全赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同,还要按小分排序.问(1)一个队至少要积几分才能保证本队必然出线?简述理由.(2)在上述世界杯足球小组赛中,若有一个队只积3分,问:这个队有可能出线吗?为什么?【解析】【问题13】某校学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过,问:能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?说明判断过程.【解析】【问题14】公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。

请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？【解析】【问题15】李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。

第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

【解析】【问题16】“迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。

【解析】【问题17】数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌.王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得___牌，小华得___牌，小强得___牌。

【解析】【问题18】有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码；乙盒装了两个2克的砝码；丙盒装了一个1克、一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗？【解析】【试试看】【1】四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样有；四种花色的张数互不相同.红桃和方块共5张；红桃与黑桃共6张；有两张将牌（主牌）.试问这副牌以什么花色的牌为主？【解】【2】S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知道自己获得的是哪一门奖学金.他们相互猜测：S：“R得逻辑学奖”；B：“J得英语奖”；J：“S得不到数学奖”；R：“B得语文奖”。