安徽省青阳县第一中学2018-2019学年高二数学10月月考试题

2018—2019学年第一学期高二10月份月考

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）

A. 17π

B. 18π

C. 20π

D. 28π

2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）

A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α

3.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A. B.

C. D.

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

5.已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）

- 2 - A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α B. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β

C. 若m∥α，α∩β=n，则m∥n D. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

6.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

A. B. C. D.

7.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为( )

A. 相交

B. 平行

C. 异面而且垂直

D. 异面但不垂直

8.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

9.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A. B. C. 65π D.

10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π

11.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）

（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β （2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α

（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n （4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α - 3 - A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

12.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是______．

14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

其中正确的命题有______； （填写所有正确命题的编号）

15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1-MBC1的体积为______ ．

- 4 - 16.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. （本小题满分10分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC1D1；

（2）AA1=2，求异面直线EF与BC所成的角的大小．

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

- 5 -

19. （本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．

（1）求证：BN∥平面A1MC；

（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C

20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．

（1）求证：MN∥平面AA1C1C；

（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．

21.（本小题满分12分）

- 6 - 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．

22.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

高二月考试卷

【答案】

1. A 2. B 3. A 4. C 5. C 6. A 7. D

8. B 9. B 10. C 11. B 12. A

13. 2 14. ①③ 15. 4 16.

17. 证明：（1）连结BD1，

在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，

∴EF是△DD1B的中位线，

∴EF∥D1B， - 7 - ∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，

∴EF∥平面ABC1D1．

解：（2）∵AA1=2，AB=2，EF∥BD1，

∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CDD1C1，

∴BC⊥CD1．

在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2，D1C⊥BC，

∴tan∠D1BC=，

∴∠D1BC=60°，

∴异面直线EF与BC所成的角的大小为60°．

18. 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

19. 证明：（1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，

又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．

所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．

又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；

（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，

所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．

又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．

- 8 - 则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，

CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．

又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．

又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，

所以AB1⊥平面A1MC．

又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．

20. （1）证明：连接BC1，

∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点，

∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点，

∴MN∥A1C1，

又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，

∴MN∥平面AA1C1C．

（2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1A1，

∴V=S•BC==2，

又A1B==，∴S==．

设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，

∵V=V，∴2=，∴h=．

∴点B1到面A1BC的距离为．

21. 解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，

AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，

可得PA⊥平面ABC，

由BD⊂平面ABC，

可得PA⊥BD；

（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，

可得BD⊥AC，