多维背包问题的改进算法

第３５卷第４期　２０１６年ｌ２月　中南民族大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３５　Ｎｏ．４　Ｄｅｃ．２０１６　

背包问题的动态规划改进算法　

蓝雯飞，吴子莹，杨　波　

（中南民族大学计算机科学学院，武汉４３００７４）　摘要在动态规划算法的基础上提出了改进算法，对于０－１背包问题，改进了动态规划算法的状态表示以减少需　要计算的状态个数来求解该问题；对于完全背包问题，简化了动态规划算法状态的决策依赖关系来求解该问题．实　验结果表明：所提出的改进算法在时空效率上具有一定的有效性和优越性．　关键词背包问题；动态规划；状态表示；决策依赖　中图分类号ＴＰ３０１　文献标识码Ａ文章编号１６７２－４３２１（２０１６）０４－０１０１－０５　

Ｉｍｐｒｏｖｅｄ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｋｎａｐｓａｃｋ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　

Ｌａｎ耽　，Ｗｕ　Ｚｉｙｉｎｇ，　Ｂ。　（ＣｏＨｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｏｕｔｈ－Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｗｕｈａｎ　４３００７４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　０－１　ｋｎａｐｓａｃｋ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｕｓ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｏ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｓｔａｔｅｓ　ｎｅｅｄｅｄ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｋｎａｐｓａｃｋ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｅ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ｔｈｅ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｙ　ｓｔａｔｕｓ　ｏｆ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｈａｖｅ　ｓｏｍｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ａｎｄ　ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ　ｉｎ　ｓｐａｃｅ　ａｎｄ　ｔｉｍｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｋｎａｐｓａｃｋ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｓｔａｔｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｙ　

0/1背包问题改进算法

改进算法的求解步骤： ① 初始[1]{(0,0)}pn；

② [1][1](,)iiqipiwv；

③ [][1][1]pipiqi ——其中的受控点；

④ 重复②③，直到计算出[1]p；

⑤ 由[1]p的最后一个跳跃点即为所求问题的最优值(1,)mc。

capacity value next p[1]

p[2]

p[3]

p[4]

p[5]

p[6]

int knapsack( int n, int c, int v[], int w[],pointer p[], int x[] )

{ p[1]=(pointer)malloc(sizeof(struct node));

p[1]capacity=-1;

p[1]value=-1;

p[1]next=null;

for( i=2; i<=n+1; i+= )

{ p[i]=(pointer)malloc(sizeof(struct node));

p[i]capacity=-1;

p[i]value=-1;

p[i]next=null; -1

-1

-1

-1

-1

-1 4 6  0 0

q[i]=(pointer)malloc(sizeof(struct node));

q[i]capacity=-1;

q[i]value=-1;

q[i]next=null;

}

s=(pointer)malloc(sizeof(struct node));

scapacity=0;

svalue=0;

snext=null;

p[n+1]next=s; //初始化p[n+1]={（0,0）}

//输出p[n+1]的信息 cout<

rp=p[n+1] next;

while( rp!=null ) { cout<<”(”<

rp=rpnext;

}

for( i=n; i>=1; i-- )

多维背包问题的解决方法

1. 引言

1.1 多维背包问题简介

多维背包问题是背包问题的一个变种，与传统的背包问题不同的是，多维背包问题中每种物品不仅有一定的重量和价值，还有一定的数量限制。在多维背包问题中，背包的容量依然是有限的，但是每种物品可以选择不同的数量放入背包中。

多维背包问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在资源分配、装载问题、生产计划等方面都可以看到多维背包问题的身影。由于多维背包问题的复杂性，需要采用一定的算法来解决。

在接下来的正文部分中，我将介绍动态规划解法、状态转移方程、代码实现、优化方法和应用领域等内容，以帮助读者更好地理解和应用多维背包问题。

2. 正文

2.1 动态规划解法

多维背包问题是一个经典的组合优化问题，其考虑的是在限定容量的背包中如何选择物品使得总价值最大化。与普通背包问题不同的是，多维背包问题在选择物品时需要考虑多个约束条件，如重量、体积和数量等。在解决多维背包问题时，常用的方法之一就是动态规划。

动态规划解法通常分为三个步骤：状态定义、状态转移和边界条件。我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在限定容量为j的情况下前i个物品能够达到的最大价值。然后，根据物品的重量、体积和数量等约束条件，我们尝试更新dp数组中的每一个状态。根据更新后的dp数组，我们可以得到选择物品使得总价值最大化的最优方案。

在实际代码实现中，我们可以使用两层循环来更新dp数组。外层循环遍历物品，内层循环遍历背包容量，根据约束条件更新dp数组中的每一个状态。这样我们就可以在O(N*V)的时间复杂度内解决多维背包问题。

虽然动态规划解法已经可以有效解决多维背包问题，但是在实际应用中仍然存在一些优化方法。可以根据物品的重量、体积和数量等特点进行状态压缩，减少状态转移的时间复杂度；可以采用一些贪心策略来进一步优化解法效率。

动态规划是解决多维背包问题的一种常用方法，通过合理定义状态和状态转移方程，我们可以高效地求解这类组合优化问题。在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的优化方法，从而更快地获得最优解。

１２　２００８．４４（３２）　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎ￣ｎｅｅＨｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　

求解背包问题的改进差异演化算法　

邓长寿　２，梁昌勇　

ＤＥＮＧ　Ｃｈａｎｇ－ｓｈｏｕ　一，ＬＩＡＮＧ　Ｃｈａｎｇ－ｙｏｎｇ　

１．合肥工业大学计算机网络系统研究所，合肥２３０００９　

２．九江学院信息科学与技术学院，江西九江３３２００５　

１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｎｅｔｗｏｒｋ　Ｓｙｓｔｅｍ，Ｈｅｆｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。Ｈｅｆｅｉ　２３０００９，Ｃｈｉｎａ　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｕｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ￣ｉａｎｇ，Ｊｉａｎｇｘｉ　３３２００５，Ｃｈｉｎａ　

Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｅｎｇｔｊｕ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ　

ＤＥＮＧ　Ｃｈａｎｇ－ｓｈｏｕ．ＬＩＡＮＧ　Ｃｈａｎｇ－ｙｏｎｇ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｋｎａｐｓａｃｋ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　

Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ。２００８。４４（３２）：１２－１４．　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｋｎａｐｓａｃｋ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａ－　

ｔｉｏｎ　ｉｎ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｘｒｏｌｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ａｄａｐｔｅｄ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｕｓｉｎｇ　ａ　ｎｅｗ　ｒａｎｇｅ　ｅｎｃｏｄｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ．ｔｈｅ　ｄｉｆ＿　

ｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｄｉｆｆｅｒ－