九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教案新版沪科版
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- 1 - 23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形
教学目标
【知识与技能】
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度价值观】
在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心.
教学重难点
【教学重点】
直角三角形的解法。
【教学难点】
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
课前准备
课件、教具等。
教学过程
一、情境导入
在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．
尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形
李1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝23，a＝3，解这个直角三角形．
解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
解：在Rt△ABC中，b＝c2－a2＝12－9＝3.
∵sinA＝ac＝323＝32，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
- 2 - 【类型二】已知两直角边解这个直角三角形
例2 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3－1，b＝3－3，解直角三角形．
解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．
解：由tanB＝ba，得tanB＝3－33－1＝3.
∴∠B＝60°，则∠A＝30°.
由sinA＝ac，得c＝asinA＝3－112＝23－2.
【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形
例3 在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．
解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．
解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.
由tanB＝ba，知b＝a·tanB＝4·tan60°＝43.(或b＝c2－a2＝82－42＝43)
方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．
探究点二：解直角三角形的简单应用
【类型一】利用直角三角形求面积
例4 在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．
解：作AB上的高CD，在Rt△ACD中，
∵CD＝AC·sinA＝b·sinA.
∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc·sinA.
∵∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，
∴S△ABC＝12bc·sinA＝12×20×30·sin55°
＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm2)．
- 3 - 方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．
【类型二】构造直角三角形解决问题
例5 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．
解析：由题意可知A点和C点关于直线EF对称，连接AC，则AC⊥EF，且OA＝OC，于是构造了Rt△AOE，利用解直角三角形的知识求出OE即可．
解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝DCAD＝68＝34.在Rt△AOE中，tan∠EAO＝OEAO，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×34＝154.在△AOE和△COF中，∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×154＝152.
方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．
三、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容?
学生回答.
师:你还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．
