真空中的静电场习题详解

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第1页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

1 习题一

一、选择题

1．如图所示，半径为R的圆环开有一小空隙而形成一圆弧，弧长为L，电荷Q均匀分布其上。空隙长为()LLR，则圆弧中心O点的电场强度和电势分别为 [ ]

（Ａ）200,44QLQiRLR；（Ｂ）2200,84QLQiRLR；

（Ｃ）200,44QLQiRLR；（Ｄ）200,44QLQLiRLRL。

答案：A

解：闭合圆环中心场强为0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0。由于空隙 l非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为/QLL，产生的场强为204QLiRL，所以圆弧产生的场强为204OQLEiRL；又根据电势叠加原理可得04OQUR

2．有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示。设通过S1和S2的电场强度通量分别为1和2，通过整个球面的电场强度通量为S，则［］

（A）120, /Sq；（B）120, 2/Sq；

（C）120, /Sq；（D）120, /Sq。

答案：D

解：由高斯定理知0Φ=Sq。由于面积S1和S2相等且很小，场强可视为均匀。根据场强叠加原理，120,0EE，所以12Φ0,Φ0。

3．半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为 [ ]

答案：B xO

O r (A) E∝1/r2

R E

O r (B) E∝1/r2

∝2∝E

O r (C) E∝1/r2

R r R r R

O r (D) E∝1/r2

R E∝1/r S1 S2

O q q

2a x 第2页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

2 解：由高斯定理知均匀带电球体的场强分布为302041 ()4qrrRREqrRr，所以选（B）。

4．如图所示，一半径为a的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为。在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接。设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为 [ ]

（A）00,ln2aEUr；（B）00, ln22bEUrr；

（C）00,ln2bEUa；（D）00, ln2π2bEUra。

答案：C

解：由高斯定理知内圆柱面里面各点E＝0，两圆柱面之间02πEr，则P点的电势为

00d0ddln2π2babrrabUErrrra

5．在边长为a的正方体中心处放置一点电荷Q，设无穷远处为电势零点，则在正方体顶角处的电势为

（A）043Qa；（B）023Qa；（C）06Qa；（D）012Qa。

答案：B

解：正方体中心到顶角处的距离32ra，由点电荷的电势公式得

004π23QQUra

二、填空题

1．真空中两平行的无限长均匀带电直线，电荷线密度分别为和，点P1和P2与两带电线共面，位置如图，取向右为坐标正方向，则P1和P2两点的场强分别

为和。

答案：10Eid；203Eid。 x1P2Pdd2d

b r P

第3页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

3 解：无限长均匀带电直线，在空间某点产生的场强02Ea（记住），方向垂直于带电直线沿径向向外（0）。式中a为该点到带电直线的距离。

由场强叠加原理，P1，P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和。在P1点，两场强方向相同，均沿x轴正向；在P2点，两场强方向相反，所以

100022Eiiiddd； 20002323Eiiiddd

2．一半径为R，长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带有。在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为()rrR，则P点的电场强度的大小：当rL时，E_____________；当rL时，E_____________。

答案：02r；204Lr。

解：当rL时，带电体可视为无限长均匀带电圆柱面；当rL时，带电体可视为点电荷。(不是无限长的面，场强分布就不具有同一个方向性……当r>>L时，就不能看成无限长均匀带电的圆柱面与书P23 11 对照)

3．如图，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心，以l为半径的半圆路径。 A、B两处各放有一点电荷，电量分别为＋q和－q。若把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，则电场力所做的功为______________；把单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远，电场力所做的功为_______________。

答案：lq06；lq06。

解：电场力做功与路径无关。

（1）0004346DqqqUlll，

00044OqqUll，

00()1066ODqqAQUUll

（2）00()1066DqqAQUUll

4．如图所示，两同心带电球面，内球面半径为15cmr，带电荷

q1 q2

r2 qqABCODl2l第4页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

4 ORoEddldxydqQQ81310Cq；外球面半径为220cmr，带电荷82610Cq。设无穷远处电势为零，则在两球面间另一电势为零的球面半径r__________。

答案：10cm

解：半径为R的均匀带电球面的电势分布为00 4 4pqrRrUqrRR。所以，当12rrr时，1200244rqqUrr。令0rU，得cm10r。

5．已知某静电场的电势分布为2281220Uxxyy，则场强分布

E_______________________________________。

答案：28241240Exyixyj

解：电场强度与电势梯度的关系为kzUjyUixUE。由此可求得

28241240Exyixyj

三、计算题

1．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端为d的P点的电场强度。

答案：04qdLd

解：带电直杆的电荷线密度为/qL。设坐标原点O在杆的左端，在x处取一电荷元/dqdxqdxL，它在P点的场强为

2200ddd44qqxELdxLLdx

总场强 2000d4()4LqxqELLdxdLd－

方向沿x轴，即杆的延长线方向。

2．如图所示，一半径为R的半圆环，右半部均匀带电Q，左半部均匀带电Q。问半圆环中心O点的电场强度大小为多少？方向如何？ P

L d dq x (L+d-x) dE

x O 第5页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

5 答案：220QR，方向水平向左。

解：本题运用点电荷公式对电荷连续分布的带电体在空间产生的电场进行计算。

如图所示，取电荷元2ddQqRR，则电荷元在中心O点产生的场强为

022002d1d1d44QqERR

由对称性可知0dOyE。所以

2/20022222200000ddcos2cosdsin2OxQQQEEERRR

方向沿x方向，即水平向左。

3．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点，求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势。

答案：

（1）110 ()ErR，33121220() ()3rRERrRr，33213220() ()3RRErRr；

（2）222102URR。

解：（1）根据电场分布的球对称性，可以选以O为球心、半径为r的球面作高斯面，根据高斯定理即可求出：2int04/Erq。

在空腔内（1rR）：int0q，所以10E

在带电球层内（12RrR）：33int14()3qrR，331220()3rREr

在带电球层外（2rR）：33int214()3qRR，3321320()3RREr

（2）空腔内任一点的电势为

12123333221212122000()()d0ddd332RRrrRRrRRRUErrrrRRrr

还可用电势叠加法求空腔内任一点的电势。在球层内取半径为rrdr的薄球层，其电量为 2d4dqrr

O R1

R2 第6页共7页 1 真空中的静电场习题详解习题册-下-1

6 dq在球心处产生的电势为

00ddd4qrrUr

整个带电球层在球心处产生的电势为

2122002100dd2RRUUrrRR

因为空腔内为等势区（0E），所以空腔内任一点的电势U为

2202102UURR

4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为10.03 mR和20.10 mR。已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷。

答案：-92.1410 C

解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

204rQE (12RrR)

两球的电势差 2211122001211d44RRRRQdrQUErrRR

所以 -9012122142.1410CRRUQRR

5．一平面圆环，内外半径分别为R1，R2，均匀带电且电荷面密度为。（1）求圆环轴线上离环心O为x处的P点的电势；（2）再应用场强和电势梯度的关系求P点的场强；（3）若令2R，则P点的场强又为多少？

真空中的静电场总结,

普通物理学

程守洙第六版

静止电荷电场总结

真空中的静电场

教学目的要求

1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理；

2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用；

3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能；

4. 掌握电势和电势叠加原理；

5. 了解电场强度和电势梯度的关系.

本章内容提要

⒈两个基本定律

① 电荷守恒定律在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一.

② 真空中的库仑定律真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量ql和q2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即

1212121222012120124π4πrqqqqrrrrFe

⒉两个重要物理量

① 电场强度单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即

0qFE

② 电势电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则

0dpppWVqEl

电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为

dppVEl

微分关系是

gradV=VE

⒊两个重要定理 ① 高斯定理在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ 0倍.即

01diSSqÑ内ES

② 静电场的环路定理在静电场中，电场强度E的环流恒为零.即

0dlE

高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场.

⒋三个叠加原理

① 静电力叠加原理作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即

真空中的静电场

·13· 静电场基本概念和规律

1、库仑定律

在真空中，两点电荷之间的作用力满足：12312021124rrqqF式中12r是从q1看出，点电荷q1的位置矢量，12F表示q1作用于q2的力。

同理21321012214rrqqF

应该指出：

1）库仑定律只有在真空中，对于两个点电荷成立。亦即只有q1、q2的本身线度与它们之间的距离相比很小时，库仑定律成立。

2）注意库仑定律的矢量性。

当q1、q2为同号电荷，即q1 q2 >0时，表示12F与12r，21F与21r同向，即同号电荷相斥；当q1 q2 <0时，表示12F与12r，21F与21r反向，即异号电荷相吸。

3）静电力的迭加原理

如果有q0、q1、q2 ……qn个电荷组成的点电荷系，从q0看，各点电荷的矢径分别等于nrrr21,，则点电荷q0受到的静电力为

inirqqrFii14300

上式称为静电力的迭加原理，即在点电荷系中，任意一点电荷所受的静电力应等于每个点电荷单独存在时对该点电荷所作用静电力的矢量和。

带电体（体积为V）作用于点电荷q0的静电力

rFrdqqV3004

4）库仑定律仅适用于求相对于观察者静止的两点电荷之间的相互作用力，或者放宽一点，亦适用于求相对于观察者静止的点电荷作用于运动的点电荷力的情形。其理由是电磁现象不满足伽利略相对性原理，而只满足狭义相对性原理。

5）库仑定律是静电场理论的基础。正是由库仑定律和静电力迭加原理而导出了描述静电场性质的两条定理（高斯定理和环路定理）。因此库仑定律是静电学的最基本的定律。

2、描述静电场特性的物理量

1）电场强度

电场强度的定义：0qFE

即单位试验正电荷在电场中某点所受的力定义为该点的电场强度。

应该指出：

a、试验电荷必须满足两个条件：一是试验电荷的电量q0必须充分小，使其q0的的引入而改变原来的电场分布；二是试验电荷的线度必须充分小，由此才可以精确地检验出空间各点的电场强度。至于试验电荷的正负完全是人为的，习惯上规定试验电荷为正 ·14· 电荷。

真空中的静电场(电势)

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E ● a

●

● b

图1-1 班号：：

学号：成绩：

2．真空中的静电场2（电场与电势）

一、选择题

1. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说确的是：[ ]

A. 电势值的正负取决于置于该点的试探电荷的正负；

B. 电势值的正负取决于电场力对试探电荷做功的正负；

C. 电势值的正负取决于电势零点的选取；

D. 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。

2．在下列关于静电场的表述中，正确的是：[ ]

A．初速度为零的点电荷置于静电场中，将一定沿一条电场线运动；

B．带负电的点电荷，在电场中从a点移到b点，若电场力作正功，则a、b两点的电势关系为Ua＞Ub ；

C．由点电荷电势公式rqU0π4可知，当r→0时，则U→∞；

D．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势越低；

E．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小。

3. 如图1-1所示，图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，a、b、c为电场中的三个点，由图可以看出：[ ]

A．cbaEEE，cbaUUU；

B．cbaEEE，cbaUUU；

C．cbaEEE，cbaUUU；

D．cbaEEE，cbaUUU。

4. 在静电场中，若电场线为均匀分布的平行直线，则在该电场区域电场线方向上任意两点的电场强度E和电势U相比较：[ ]

A. E相同，U不同； B. E不同，U相同；

第九章-真空中的静电场习题汇总

第九章真空中的静电场

9–1 如图9-1所示，电量为+q的三个点电荷，分别放在边长为a的等边三角形ABC的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷Q，则Q的电量为。

解：由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。C处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷Q对它的引力F与A，B两个顶点处电荷的对它的斥力F1，F2三力平衡，如图9-2所示，即

)21(FFF

因此

12cos30FF

即

222002cos3034π4π()3Qqqaa

解得

qQ33

92 真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+ 和，点P1和P2与两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x正向，则1PE= ，2PE= 。

解：（1）P1点场强为无限长均匀带电直线，在该点产生的场强的矢量和，即

EEE1P

其大小为

iiiEdddP000ππ2π21

方向沿x轴正方向。

（2）同理可得

iiiEdddP000π3π2)3(π22

方向沿x轴负方向。 q

q B

30Q

F1 F 30o F2

图9–2

图9-3 P1 P2

x d d

2d   q

q Q

图9–1

93 一个点电荷+q位于一边长为L的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为

。如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是

。

解：（1）点电荷+q位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理01dinSqES，其中S为立方体的各面所形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为0d6SqES。

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