最小二乘法的原理及在建模中的应用分析

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可编辑修改 最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用

最小平方法，又称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和等于零，用表达式表示即0)(xx；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小值，用表达式表示为最小值2)(xx。这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测中来。回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。

最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。据此来拟合回归方程或趋势方程。

1、利用最小平方法拟合直线回归方程

拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数a和b之值，而用最小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。

假设直线回归方程为：bxayc，其中a是直线的截距，b是直线的斜率，称回归系数。a和b都是待定参数。将给定的自变量x之值代入上述方程中，可求出估计的因变量y之值。这个估计值不是一个确定的数值，而是y许多可能取值的平均数，所以用cy表示。当x取某一个值时，y有多个可能值。因此，将给定的x值代入方程后得出的cy值，只能看作是一种平均数或期望值。配合直线方程的具体方法如下：

最小值2)(cyyQ (1)

用直线方程bxayc代入式(1)得：

最小值2)(bxayQ (2)

分别求Q关于a和Q关于b的偏导，并令它们等于0：

0))((20)1)((2xbxaybQbxayaQ 整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组：

最小二乘法在化学实验数据分析中的应用

摘要:介绍了一种线性模型参数回归分析方法—最小二乘法，并以化学实验测试数据为例，讨论了最小二乘法在化学实验数据分析中的应用。并对正交最小二乘法和经典最小二乘法的结果进行了简略比较。

化学实验中，经常需要根据实验测得一系列数据，例如，n对数据(x1, y1) (i=1, 2, … , n)，去寻找自变量x和因变量y之间的关系，此关系应该最能反映出给定数据的一般趋势。这就是用某种曲线拟合的方法来回答这个问题一这些变量之间的最佳关系是什么。如果从图形上看，这个问题就是按给定理平面上n个点(x1，y1)进行曲线拟合问题。要找出不同变量之间的关系。在传统的处理方法中，通过手绘、目测的方法来达到目的。但是，在有些情况下，因为误差的引进，使得到的结果并不是最佳的近似，甚至得出令人费解的结论。而最小二乘法是一种有效的方法，用它反映给定的函数的一般趋势，可以不受实验随机误差的影响而出现随机波动。随着计算机科学的发展，最小二乘法越来越被人们所采用。

经典的最小二乘法(classical least square, CLS)在化学领域的数据处理中获得广泛应用。值得指出的是，此方法的应用有一重要前提，即假设自变量的值是完全准确的，或其测量误差与因变量的测量误差相比可以忽略不计。例如，以分析化学中的标准曲线为例，自变量元素浓度与因变量物理测量值相比，其测量误差可以忽略不计。然而在许多情况下，这一假定往往难以满足。如果某一实验数据中自变量和因变量同时存在测量误差，此时经典的最小二乘法难以满足数据处理的需要。

正交最小二乘法(orthogonal least squares,OLS)也是一种线性模型参数回归分析方法。当

自变量和因变量同时存在均值为零，相同方差的随机误差时，此方法能给出在统计意义上最好的参数拟合结果。正交最小二乘法在许多科学领域，如医学、地质学、工程数学、信号处理等均获得应用。有关此方法的研究和应用是当前国际数理统计学领域的一个前沿课题。

偏最小二乘法回归在水利工程安全监测中的应用分析

摘要：介绍了偏最小乘法回归基本原理和建模思路，采用最小二乘法进行回归建模分析，将偏最小二乘法回归应用于水利工程安全监测数据分析，通过将模型拟合与非模型式的数据内涵分析有机结合确保了模型分析的精度。在选取的绕坝渗流地下水位实测数据建模案例中，采用偏最小二乘回归法具备对实测结果更合理的成因解释能力，且该模型同时保证了较高的精度，能够很好地应用于水利安全监测及数据统计分析当中。

关键词：偏最小二乘；建模；水利工程；安全监测

Abstract: the article introduces the partial least square principle and modeling

regression ideas, the least square method regression analysis model, the partial least

squares regression used in water conservancy project safety monitoring data analysis,

the model fitting with the model of data analysis of the connotation of organic

combination ensures that the model analysis precision. The dam seepage in the

underground water level measured data modeling case, the partial least-squares

regression of measured results have more reasonable cause explain ability, and the

model and assure the high precision, and can be used in water conservancy safety

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最小二乘法的原理及其在测量工程中的应用

作者：曹白金 王兵 张健

来源：《城市建设理论研究》2013年第24期

摘要:在测量工程中，只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数学模型。本文主要介绍了最小二乘法的原理及其用来进行间接平差的一般方法和其在测量工程中的应用。

关键词：最小二乘原理、测量平差、间接平差

中图分类号：O353.5文献标识码： A 文章编号：

Abstract: In the surveying engineering,adjustment problems will only be generated in the case

which have redundant observations. Measuring adjustment and least squares method are the two

important mathematical models in the surveying engineering.This paper has mainly introduced the

least squares method and its general approach used for the indirect adjustment and the surveying

engineering.

Key words:least squares method、measuring adjustment、indirect adjustment

1 最小二乘法的原理

在测量工程中，若只对几何模型中的必要元素进行测定，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，模型中的其他各量可唯一确定，也不存在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。