最小二乘法在数学建模中的应用

第５ｌ卷第４期　２　０　１　５年４月　林　业　科　学　ＳＣＩＥＮＴＩＡ　ＳＩＬＶＡＥ　ＳＩＮＩＣＡＥ　Ｖｏ１．５１．Ｎｏ．４　Ａｐｒ．，２　０　１　５　ｄｏｉ：１０．１１７０７／ｊ．１００１—７４８８．２０１５０４２１　基于最小二乘法的落叶松木粉粒径数学建模与分析　任洪娥　沈雯雯。　白杰云　官　俊　（１．东北林业大学信息与计算机工程学院哈尔滨１５００４０；２．黑龙江省林业智能装备工程研究中心哈尔滨１５００４０；　３．哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院　哈尔滨１５０００１）　摘　要：　【目的】建立落叶松木粉粒径与长宽比的数学模型，通过分析数学模型和其二阶导数，揭示木粉长宽比随　粒径减小的变化趋势及变化的根本原因，获得最大长宽比对应的粒径，为建立长宽比与力学性能之间的定量关系提　供参考。【方法】利用光学显微镜拍摄获得木粉的显微图像，测算获得目标木粉成熟管胞的平均长度、平均宽度以及　木粉粒径的大小。通过数字图像处理技术提取单木粉颗粒的矩形度、长宽比：将原始木粉显微图像由ＲＧＢ颜色空间　转到Ｌａｂ颜色空间，提取其ｂ分量；对ｂ分量图像用３×３模板进行中值滤波；用Ｋ—ｍｅａｎｓ算法将去噪后图像聚类为２　类，得木粉的二值图像；对二值图像用５×５的结构元素进行先开启后闭合的数学形态学运算；用八连通区域法标记　图像中的单木粉颗粒；对标记后图像用目标区域像素点个数统计法计算获得单木粉颗粒的几何面积，用主轴法获得　单木粉颗粒的最小外接矩形的长、宽、面积；计算获得单木粉颗粒的长宽比、矩形度数据。采用最小二乘法对木粉粒　径与长宽比进行数据拟合，通过分析评判多项式、高斯和傅里叶３种拟合函数后选用高斯方程表达得木粉粒径与木　粉长宽比的数学模型，再根据其拟合曲线方程计算得其二阶导数，结合模型的二阶导数和测算得的木粉管胞数据对　高斯模型进行分析与讨论。【结果】矩形度不随木粉粒径的减小而变化，均值在ｏ．６～ｏ．８之间。长宽比随粒径减小　出现先增大后减小的趋势：木粉粒径在ｌ　１００～５７６　ｍ时，长宽比数值从接近于ｌ开始逐渐增大；木粉粒径为５７６　ｍ时（与本文目标木粉成熟管胞的平均长度５６３．８２　Ｉｘｍ接近），长宽比达到最大数值４．６；木粉粒径在５７６～３０　ｍ　时，长宽比逐渐减小；而粒径小于５０　Ｉｘｍ时（与目标木粉成熟管胞的平均宽度４６．４９８　ｍ接近），长宽比数值再次趋　近于１。【结论】长宽比的变化与管胞破裂密切相关：木粉粒径大于管胞长度时，木粉主要通过纵向断裂使粒径减小；　粒径与管胞长度接近时，长宽比较大；粒径小于等于管胞宽度范围内，木粉主要是横向断裂，而长宽比基本不再发生　变化且趋近于１。长宽比和冲击强度随粒径减小的变化趋势是一致的，长宽比是影响材料力学性能本质因素之一。　关键词：　木粉；粒径；长宽比；最小二乘法；数学建模　中图分类号：￥７８１．８２；ＴＰ３９１．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—７４８８（２０１５）Ｏ４—０１６４—０７　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｓ　ａｎｄ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｉｚｅ　ｏｆ　Ｃｏｎｉｆｅｒｏｕｓ　Ｗｏｏｄ　Ｆｌｏｕｒ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｌｅａｓｔ　Ｓｑｕａｒｅｓ　Ｍｅｔｈｏｄ　Ｒｅｎ　Ｈｏｎｇ’ｅ１　ｒ　Ｓｈｅｎ　ＷｅｎＷｅｎ　Ｂａｉ　Ｊｉｅｙｕｎ　Ｇｕａｎ　Ｊｕｎ　（１．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ　Ｆｏｒｅｓｔｒｙ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｈａｒｂｉｎ　１　５００４０；　２．Ｆｏｒｅｓｔｒｙ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ　Ｈａｒｂｉｎ　１　５００４０；　３．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　【Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ】Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ａ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｌａｒｃｈ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｏｒ，ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ　ｔｈａｔ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ａｓｐｅｃｔ　ｒａｔｉｏ　ｏｆ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ　ａｎｄ　ｒｅｖｅａｌｅｄ　ｔｈｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｒｅｎｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｓｐｅｃｔ　ｒａｔｉｏ　ａｓ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ　ｄｅｃｒｅａｓｅｓ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｒｅａｓｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｉｓ　ｔｒｅｎｄ　ｂｙ　ａｎａｌｙｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．【Ｍｅｔｈｏｄ】Ｗｅ　ｔａｋｅ　ｔｈｅ　ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｏｒ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅ，ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ａｖｅｒａｇｅ　ｌｅｎｇｔｈ　ａｎｄ　ａｖｅｒａｇｅ　ｗｉｄｔｈ　ｏｆ　ｍａｔｕｒｅ　ｔｒａｃｈｅｉｄｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｔａｒｇｅｔ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｏｒ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｉｍａｇｅ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｗｅ　ｅｘｔｒａｃｔ　ｔｈｅ　ｌｅｎｇｔｈ，　ｗｉｄｔｈ　ａｎｄ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｓｉｎｇｌｅ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ：ｗｅ　ｃｏｎｖｅ￣ｔｈｅ　ｃｏｌｏｒ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ　ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｉｍａｇｅ　ｆｒｏｍ　ＲＧＢ　ｔｏ　Ｌａｂ　ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｅｘｔｒａｃｔ　ｔｈｅ　ｂ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ：Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｂ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｉｓ　ｆｉｌｔｅｒｅｄ　ｂｙ　３×３　ｔｅｍｐｌａｔｅ　ｍｅｄｉａｎ　ｆｉｌｔｅｒ．Ｔｏ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ｂｉｎａｒｙ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ，ｗｅ　ｃｌｕｓｔｅｒ　ｔｈｅ　ｄｅｎｏｉｓｅｄ　ｉｍａｇｅ　ｉｎｔｏ　２　ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　Ｋ—ｍｅａｎｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ　ｂｉｎａｒｙ　ｉｍａｇｅｓ　ａｒｅ　ｅｘｅｃｕｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｏｐｅｎｉｎｇ　ａｆｔｅｒ　ｃｌｏｓｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙ　ｗｉｔｈ　５×５　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｍａｒｋ　ｅａｃｈ　ｓｉｎｇｌｅ　ｗｏｏｄ　ｆｌｏｕｒ　ｂｙ　ｅｉｇｈｔ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｒｅｇｉｏｎ　ｌａｂｅｌｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａｆｔｅｒ　ｔｈａｔ，ｗｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ａｒｅａ　ｏｆ　收稿１３期：２０１４—０４—３０；修回１３期：２０１４—１２—２６。　基金项目：哈尔滨市科技创新人才研究专项资金项目（优秀学科带头人）“木材超细粉碎气流分选建模与计算机目数识别”　（２０１２ＲＦＸＸＧ０１０）。

数学建模教案－最小二乘法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1

n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是

Mathematical Modeling

最 小 二 乘 法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1

n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是

２０１５年第２３期　信■与电脑　Ｃｈｉｎａ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　算法语言　最Ｐｂ－＂乘法在张正友标定法中的应用　李涛涛何宇　（萍乡学院，江西萍乡　３３７０００）　摘要：张正友标定法是目前机器视觉领域被广泛认可和应用的摄像机标定算法，具有较强的鲁棒性和较高　的标定精度。最小二乘法作为一种最优化的计算方法是张正友标定法获得高标定精度的理论基础。最小二乘法被　多次应用于张正友标定法的摄像机内、外参数的计算和优化过程中，其中包括单应性矩阵计算、摄像机参数优化等。　关键词：摄像机标定；最小二乘法；单应性矩阵；参数优化　中图分类号：０２４１．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３－９７６７（２０１５）２３＂０９９－０３　摄相机标定是所有计算机视觉系统的重要环节，是进　行计算机三维重建、２Ｄ／３Ｄ测量等工作的基础。现有的摄　像机标定方法主要分为三类：传统的摄像机标定方法、基　于主动视觉的摄像机标定方法和摄像头自标定方法，不同　的标定方法在标定精度、成本、适应场合等方面有各自特　点。摄像机标定目的是为了获取摄相机的内、外参数，这　两类参数将作为计算机视觉系统后续工作的基础参数被用　于随后的运算；因此摄像机参数标定的精度决定整个视觉　系统的精度。张正友标定法是一种介于传统标定法和自标　定法之间的一种方法，被广泛应用于桌面视觉系统的摄像　机标定，具有较强的鲁棒性和标定精度。为了提高标定精　度，张正友标定法在摄像机内、外参数的计算过程中运用　了多种优化算法，其中最小二乘法被多次应用于单应性矩　阵的求解和摄像机参数的优化中。　１张正友标定法介绍　１．１摄像机模型　摄像机位姿参数和物体坐标值都是相对于某种几何　成像模型而言，为此选用针孔模型作为几何成像模型，　见图１。其中Ｏｗ—ＸｗＹｗＺｗ为世界坐标系，Ｏ。　Ｘ。Ｙ　Ｚ。为　摄像机坐标系，ｏ．ｘｙｚ为图像物理坐标系，ｏ．ｕｖ为图　像像素坐标系；在世界坐标系中　【　，　，　】，齐次坐　标为Ｐ＝ｆＸ，『’Ｚ，ｌｌ，在成像平面上Ｐ点对应的像点为　Ｐ＝【　，ｖＪ，齐次坐标为　＝『“，ｖ，１｛。　图１几何成像模型　由线性针孔模型原理可以知Ｐ点到像点Ｐ的投影转　换如下：ｓｐ＝ＡＭＰ　ｌ　０｝　ｒ　１　其中，　ｌ　０　￣Ｓｓ０　ｏ　ｌ　Ｍ＝｝　】　ｌ０　０　１　ｏｊ　Ｓ为缩放因子，Ａ为摄像机内部参数矩阵，包含Ｕ、　Ｖ轴上的尺寸因子Ｏｔ、Ｂ，主轴与成像平面中心点坐标　（　，　），图像在Ｕ、Ｖ轴方向上的倾斜度　。Ｍ为摄　像机外部参数，其中包括世界坐标系变换到摄像机坐标　系所需要的旋转矩阵Ｒ和平移矩阵ｔ。　１．２张正友标定模型　张正友标定法是一种基于平面标定模板的标定方　法。首先待标定摄像机对处于不同位姿下的平面标定模　板进行拍摄，之后从标定板图像中提取标定板上特征点　的像点坐标，再计算出每个特征点的物点坐标和像点坐　标的几何关系，最后利用获得的几何关系反算出摄像机　的内、外参数。在张正友标定法中，世界坐标系置于平　面标定板上（Ｚ＝０），则有：　作者简介：李涛涛（１９８８一），男，江西萍乡人，硕士，助教。研究方向：机器视觉、计算机三维测量。

最小二乘法在系统辨识中的应用

王文进

控制科学与控制工程学院 控制理论与控制工程专业 2009010211

摘要：在实际的工程中，经常要对一个系统建立数学模型。很多时候，要面对一个未知的系统，对于这些未知系统，我们所知道的仅仅是它们的一些输入输出数据，我们要根据这些测量的输入输出数据，建立系统的数学模型。由此诞生了系统辨识这门科学，系统辨识就是研究怎样利用对未知系统的输入输出数据建立描述系统的数学模型的科学。系统辨识在工程中的应用非常广泛，系统辨识的方法有很多种，最小二乘法是一种应用及其广泛的系统辨识方法。本文主要讲述了最小二乘估计在系统辨识中的应用。

首先，为了便于介绍，用一个最基本的单输入单输出模型来引入系统辨识中的最小二乘估计。

例如：y = ax +  （1）

其中：y、x 可测，为不可测的干扰项，a未知参数。通过 N 次实验，得到测量数据 yk和xk ，其中k=1、2、3、„，我们所需要做的就是通过这N次实验得到的数据，来确定未知参数a 。在忽略不可测干扰项的前提下，基本的思想就是要使观测点yk和由式（1）确定的估计点y的差的平方和达到最小。用公式表达出来就是要使J最小：

确定未知参数a的具体方法就是令： J   a = 0 , 导出 a

通过上面最基本的单输入单输出模型，我们对系统辨识中的最小二乘法有了初步的了解，但在实际的工程中，系统一般为多输入系统，下面就用一个实际的例子来分析。在接下来的表述中，为了便于区分，向量均用带下划线的字母表示。

水泥在凝固过程中，由于发生了一系列的化学反应，会释放出一定的热量。若水泥成分及其组成比例不同，释放的热量也会不同。

水泥凝固放热量与水泥成分的关系模型如下：

y = a0+ a1x1+„+ anx n + 

其中，y为水泥凝固时的放热量（卡/克）；x1~x2为水泥的几种成分。