年考研数学真题及答案
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年考研数学真题及答案
【篇一：2010年考研数学一试题及答案】
=txt>一、选择题
??x2
lim（1）、极限??x??
?(x?a)(x?b)?
a、1b、e c、e【详解】
a?b
x
?（ c）
d、e
b?a
??xlim?e??limx??x??
?(x?a)(x?b)??lime
x??
??a?b?x?ab?x??(x?a)(x?b)????
2
x
??x2
ln?
?(x?a)(x?b)????
x
?lime
x??
??x2
x??1??(x?a)(x?b)???
?a?b?x2?abx
?lime
x??
(x?a)(x?b)
?ea?b
（2）、设函数z?z(x,y)，由方程f(,)?0确定，其中f为可微函数，且f2??0，则x
（ b）
a、xb、z c、?xd?z
yzxx?z?z?y??u?y ??????【详解】 等式两边求全微分得：(fu1x?f2vx)dx?(fu1y?f2vy)dy?(fu1z?f2vz)dz?0，
所以有，
??f?vxf?u?f2?z?z1uy?f2vy
，， ????1x
?????xf?yf1uz?f2vz1uz?f2vz
1yz1u?v??v?，，，，，，代入即可。 u?0v?0yxzzy
xx2x2x
其中，ux??
（3）、设m,n
是正整数，则反常积分
?
10
的收敛性( d )
(a)仅与m的取值有关 (b)仅与n有关
(c)与m,n都有关(d)都无关 【详解】：显然x?0,x?1是两个瑕点，有
?
?
?
120
?
?
1122m
1n
2m
21?mn
对于
120
的瑕点x?0，当x?
0?ln(1?x)x等价于(?1)x
?
，
而
?
x
21?mn
21 dx收敛收敛；
（因m,n是正整数????1），
故对于mn(?1,?)(0的瑕点x?1，当x?1
2121211mnmnm??)?
而11(?)x?2ln(1?x)?2(1?x)，
22
显然收敛，故
收敛。所以选择d.
n
n
（4）、lim
n
n??
??22?( d ) i?1j?1(n?i)(n?j)
a、
?1
1
dx?
x
1
(1?x)(1?y2)
b、
?
1
dx?
x
(1?x)(1?y)
c、
?
1
1
1
?
1
1
dx?
(1?x)(1?y)
d、
? 1
dx0
(1?x)(1?y2
)
【详解】：
n
n
lim1
x????nn
?i)(n2?j2?limi?1j?1(n)n???11i?1
(1?i)n?n11
?j?1(1?(j)2)n
?
1
dx?
1
(1?x)(1?y2
)
nn
（5）设a为m?n型矩阵，b为n?m型矩阵，e为m阶单位矩阵，若ab=e，则（ a） a、秩r(a)=m, 秩r(b)=m b、秩r(a)=m, 秩r(b)=n c、秩r(a)=n, 秩r(b)=md、秩r(a)=n, 秩r(b)=n 【详解】
?ab?e?r(ab)?m
又r(ab)?m?min(r(a),r(b)),即r(a)?m,r(b)?m 而r(a)?m,r(b)?m?r(a)?m,r(b)?m
(6) 设a为4阶实对称矩阵，且a2
?a?0，若a的秩为3，则a相似于（d）
??1??1?
??1?
a．?? b. ?1?
?1????0?
???1? ?0?
?
??1?
?
???1?
c. ??1??d. ??1?
??1????0?
? ??1??0?
?
【详解】设a的特征值为r，因为a2?a?0为所以?2???0
即?(??1)?0???0或???1
又?r(a)?3 ，a必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.
????1是三重特征根
??1???
?1??a~???1???所以正确答案为（d）
0??
?0
x?0
x?(7) 设随机变量的分布函数f(x)??
?
10?x?1?2
，则 {x=1}= （c）
??1?e
?xx?1
a．0Ｂ.12 c. 12
?e?1d. 1?e?1
【详解】p{x?1}?f(1)?f(1?0)?1?e?1
?1?1?e?1
22
.所以选c
(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[?1,3]上的均匀分布的概率密度，f(x)???af1
(x)
x?0?bf2(x)
x?0
(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足：（a ）
a、2a?3b?4 b、3a?2b?4c、a?b?1 d、a?b?2 【详解】由概率密度的性质
?
??
??
f(x)dx?1，有
a?0
??
f1(x)dx?b? 3
f2(x)dx?1
?
13
2a?4
b?1
?2a?3b?4
所以选a。 二、填空题 t
2（9）、设x?e?t
,y??ln(1?2
dy
0u)du,求d2
x
?
【详解】
若
ln?1?t2y??t?dy
??dxx?t?e?t
?
d2yd?dy?d?dy?dt
??????
dx2dx?dx?dt?dx?dx?ln?1?t2???1
???
??x?t?e?t ??
2t
e?t?ln?1?t2?e?t21
???2?t?t?e?e?2t2?e2t(?ln(1?t))2
1?t
d2y2
故dx
（10）
、
?0
?2
?
??4?
【详解】
?
?2 ??4?
?t,原式为
2?t2costdt?2t2sint|???2tsintdt??4?tsintdt?4tcost|?00??0costdt??4? 000
?
?
?
?
?
?
?
?
,点是(1,0),则曲线积分（11）、已知曲线l的方程为y?1?x,x?[?1,1],起点是(?1,0)终
?
l
xydx?x2dy?【详解】令
?x?t?x?t
l1:??1?t?0 l2:?0?t?1
?y?1?t?y?1?t
?
l
xydx?x2dy
??
??
l10
xydx?x2dy?
?
l2
xydx?x2dy
10
?1
t?1?t??t2dt?
?1
?
t?1?t??t2dt
10
?23t2???t?? 32???0
?t223?????t?
3?2?
22
（12）、设??{(x,y,z)x?y?z?1},则?的形心坐标z?
2
3
【详解】
?
???zdxdydz
?
???dxdydz
?
d?rdr??
?d??rdr?
r
2
1
2?11
2
2??1
3
dzr2
2
?zdz
?
（13）设?1?(1,2,?1,0)t,?2?(1,1,0,2)t,?3?(2,1,1,?)t,若由形成的向量空间维数是2，则?
【详解】由题意知向量组?1,?2,?3线性相关，而其中两个向量线性无关，所以r(?1,?2,?3）?2，即
?112??1???
r?2r
?211?21?0??101?r??03?r1????02???0??????6?0???6
2?2??11???r?r?1?3?32?0?1?3????r134?2r2000? ??????2???00??6?
c
,k?0,1,2,?，则ex2?k!
1
