初中几何全等三角形经典题型

全等三角形常见辅助线做法

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全等三角形常见辅助线作法

【例1】．已知：如图6，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BEAD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．

【例2】、如图，已知BC > AB，AD=DC。BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°.

一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法

【例. 3】如图，已知在△ABC中，90C，30B，AD平分BAC，交BC于点D.

求证：2BDCD

证明：

第3题 DCBADCBA DCBEA全等三角形常见辅助线做法

2

【例4.】 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。

【变式练习】、 如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

【变式练习】：如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。 求证：AE=EF。

EDCBA全等三角形常见辅助线做法

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OEDCBA2、运用角平分线构造全等

【例5】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

【例6】．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

【小结】解题后的思考：

1）对于角平分线的问题，常用两种辅助线；

2）见中点即联想到中位线。

3、 旋转

【例7】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

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I 全等三角形与角平分线

一、知识概述

1、角的平分线的作法

（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.

（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.

（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）

指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.

（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.

2、角平分线的性质

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.

（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.

（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.

3、角平分线的判定

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.

（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么百度文库

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II 过角的顶点和该点的射线必平分这个角.

4、三角形的角平分线的性质

三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.

指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.

（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.

二、典型例题剖析

例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.

例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.

例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（ ） 百度文库

1．（扬州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．

3.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．C

BAED

图1NM

ABCDEM

N图2AC

BEDNM

图34、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

初中几何全等三角形证明题练习

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=1/2AB.

3、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2.

4、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC。

5、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

7、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

8、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=1/2AB

9、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

10 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

11、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

13、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

14、已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C