计算行列式的方法

行列式计算方法小结行列式是线性代数中的一个重要概念，它为矩阵提供了一种重要的性质。

在计算行列式时，有几种常见的方法可以使用，包括拉普拉斯展开、三角形展开和直接计算等。

本文将对这几种方法进行详细介绍和比较。

一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。

它利用行列式的定义，将行列式按照其中一行或一列展开，转化为更小的行列式的求解问题。

具体步骤如下：1.选择一个行或列，记为第i行（列）；2.将第i行（列）展开为n个代数余子式的乘积，并计算每个代数余子式的数值；3.将每个代数余子式乘以对应的元素，并根据正负法则进行求和。

例如，对于一个3阶的行列式A=abdegh通过拉普拉斯展开法，我们可以选择第一行展开：det(A) = aM11 - bM12 + cM13其中，M11，M12和M13分别表示代数余子式，具体计算方法为：M11=eM22-fM23M12=dM21-fM23M13=dM21-eM22代数余子式计算完成后，再将它们代入到展开式中计算即可。

拉普拉斯展开法的优点是思路清晰，易于理解和操作，适用于2阶及以上的行列式。

但当阶数较高时，计算量较大，效率较低。

二、三角形展开法三角形展开法是另一种常用的行列式计算方法。

它通过将行列式中的元素进行重新排列，使得计算过程更加规整，从而简化计算。

具体步骤如下：1.首先确定一个元素，例如第一行第一列的元素a；2.从第一行第一列开始，按照三角形的形状依次向右下方展开，依次得到包围a的三个三角形；3.将三个三角形的元素进行乘积运算，并根据正负法则求和；4.将得到的结果乘以a。

例如，对于3阶行列式A=abdegh我们可以选择第一行第一列的元素a进行三角形展开：det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)通过三角形展开法，我们将行列式按照三角形的形状展开并进行计算，最后得到结果。

三角形展开法的优点是计算规整，清晰明了，可以简化计算过程。

行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。

它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。

这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。

另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。

此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。

多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。

行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。

最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。

它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。

以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。

此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。

总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。

本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。

计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。

计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。

3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。

它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。

具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。

行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。

计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。

1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。

对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。

（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。

A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。

2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。

（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。

A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。

3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。

对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。

如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。

具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

计算行列式的方法
计算行列式的方法有以下几种：
1. 代数余子式展开法：根据行列式的定义，可以将行列式转化为一系列元素相乘的和的形式。

通过选择一行或一列，在该行或该列的元素上除去所在行和所在列的元素，得到的余子式再乘以该元素的代数余子式，最后将所有元素相乘再求和，即可得到行列式的值。

2. 初等行变换法：通过对行（列）进行初等行变换，将行列式转化为上三角形矩阵或者对角矩阵，再计算对角元素的乘积即可得到行列式的值。

3. 克莱姆法则：对于n阶方阵，如果其中一个行（列）向量是常数向量，那么行列式的值为零。

如果矩阵的秩(rank)小于n，则行列式的值也为零。

如果秩等于n，则行列式的值等于解向
量的唯一性解的行列式的乘积。

4. 拓展拉普拉斯定理：对于n阶方阵，如果其中一行（列）全是零元素，那么行列式的值为零。

对于非零元素的行列式，可以选择行、列中的一个固定不变，然后计算每个代数余子式的值再与该行（列）元素相乘，最后相加得到行列式的值。

行列式的值计算方法一、求行列式的值的方法：就是右斜的乘积之和减去左斜乘积之和其结果就是要求的结果。

也可以利用行列式定义直接计算，利用行列式的七大性质计算，化为三角形行列式：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

二、行列式运算法则：三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。

计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角形或下三角形。

交换行列式中的两行（列），行列式变号。

行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。

若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。

三、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程，令系数行列式为D，Di为将等式右侧的值替换到行列式的第i列，则行列式的i个解为：四、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。

当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。

五、行列式的基本性质：性质1：单位矩阵的行列式为1，与之对应的是单位立方体的体积是1。

性质2：当两行进行交换的时候行列式改变符号。

由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来。

性质3：当矩阵中有两行一样的话，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。

性质5：用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。

在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同。

性质6：当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。

性质7：如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。

行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。

以下是行列式计算方法和技巧的大总结。

1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。

2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。

3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。

行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。

当进行行变换时，行列式的值保持不变。

4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。

5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。

展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。

6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。

这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。

7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。

克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。

具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。

8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。

具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。

计算行列式的常见方法行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的可逆性。

计算行列式的常见方法有代数余子式展开法、性质法和初等变换法。

下面将分别介绍这三种方法。

一、代数余子式展开法代数余子式展开法也叫拉普拉斯展开法，是计算行列式常用的方法之一、其基本思想是将行列式的计算转化为较小规模行列式的计算。

具体步骤如下：1.选择行列式的一行或一列。

一般来说，选择行或列的元素个数较少的那一行或列，可以简化计算。

2.对选定的行列进行代数余子式的计算。

代数余子式是指将选定的行列删除后剩余元素构成的子行列式。

3.计算所得的代数余子式与对应元素相乘，生成代数余子式矩阵。

4.将代数余子式矩阵中的元素按照正负号相间的规则求和，得到最终结果即为原行列式的值。

二、性质法性质法是一种更加抽象的方法，通过行列式的性质进行计算。

根据性质法，行列式的值具有以下几个性质：1.互换行列式的两行（列），行列式变号。

2.行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个常数，行列式的值变为原来的常数倍。

3.行列式的两行（列）相等，行列式的值为0。

利用这些性质，我们可以通过不断进行行列式的简化运算，将行列式计算转化为一个简单的形式进行求解。

具体步骤如下：1.通过性质1，将行列式转化为上（或下）三角行列式，这样可以使计算更加方便。

2.通过性质2，将行列式中的公因子提取出来。

3.利用性质3，判断行列式是否为零。

三、初等变换法初等变换法是一种通过初等行（列）变换来简化行列式的计算方法。

初等行（列）变换包括以下几种操作：1.交换行（列）的位置。

2.以一个非零实数乘以其中一行（列）的所有元素。

3.第二行（列）的倍数加到第一行（列）上。

利用这些变换，可以将行列式变化成一个更为简化的形式，便于计算。

具体步骤如下：1.利用初等行（列）变换，将行列式变换为上（或下）三角行列式。

2.上（或下）三角行列式的值就是对角线上所有元素的乘积。

除了以上的方法，还有一些特殊类型的行列式可以通过直接计算来求解，如对角行列式、三角行列式和Vandermonde行列式等。

行列式计算方法法则
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。

2、利用行列式的性质计算。

3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

1行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

2行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

⑤把行列式A 的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式的计算方法-计算行列式的格式行列式的计算方法计算行列式的格式行列式是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

计算行列式是解决线性方程组、求矩阵的逆等问题的基础。

要准确计算行列式，掌握正确的格式和方法至关重要。

首先，我们来了解一下什么是行列式。

行列式是一个数值，它是由一个方阵的元素按照一定的规则计算得到的。

对于一个\（n\）阶方阵\（A ＝（a_{ij}）＼），其行列式记为\（＼vert A ＼vert\）。

常见的计算行列式的方法有以下几种：一、二阶和三阶行列式的直接计算二阶行列式\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼ a_{21} ＆a_{22}＼end{vmatrix}＼）的计算方法为：＼（a_{11}a_{22}a_{12}a_{21}＼）三阶行列式\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix}＼）的计算方法为：＼＼begin{align}＆a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼＼＼end{align}＼在计算二阶和三阶行列式时，要严格按照上述公式的格式进行计算，注意符号的正负。

二、按行（列）展开法对于\（n\）阶行列式，我们可以将其按某一行（列）展开来进行计算。

设\（A\）为\（n\）阶方阵，＼（a_{ij}＼）为其元素，＼（A_{ij}＼）为\（a_{ij}＼）的代数余子式，则行列式\（＼vert A ＼vert\）等于\（a_{i1}A_{i1} ＋ a_{i2}A_{i2} ＋＼cdots ＋ a_{in}A_{in}＼）（按第\（i\）行展开）或\（a_{1j}A_{1j} ＋ a_{2j}A_{2j} ＋＼cdots ＋a_{nj}A_{nj}＼）（按第\（j\）列展开）。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. 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行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数值，用于描述一个给定矩阵的一些性质。

行列式的计算可以使用一般的方法，如按行或按列展开，也可以使用一些特殊的性质和定理来简化计算过程。

一般方法：考虑一个n阶方阵A，我们可以使用展开法计算其行列式。

展开法的基本思想是按矩阵的一行或一列展开求和，每一项由矩阵元素与其对应的代数余子式的乘积得到。

设矩阵A的第i行（或第j列）为(a1i, a2i, ..., ani)（或(ai1, ai2, ..., ain)），则按第一行（或第一列）展开的行列式可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1ndet(A) = a21C21 + a22C22 + ... + a2nC2n其中，Cij为元素aij的代数余子式。

代数余子式可以通过去除第i行和第j列所得到的（n-1）阶子阵的行列式来计算。

如果我们对每一个Cij都计算其对应的余子式，那么行列式的计算将会变得非常复杂和繁琐。

为了简化计算，可以使用拉普拉斯展开定理或斯拉夫特定理。

拉普拉斯展开定理：设A为n阶方阵，对于A的任意一列j，我们有：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * aij * det(Mij)其中，Mij为去除第i行和第j列后所得到的（n-1）阶子阵。

可以通过将行列式的计算转化为子阵的行列式的计算来简化计算过程。

斯拉夫特定理：斯拉夫特定理可以通过将矩阵的行列式转化为矩阵的积的形式来计算，从而简化计算过程。

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵（即A的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵）det(A) = A * A* = ，A， * I其中，A，表示A的行列式。

这样计算行列式的优势在于，A*的计算比直接按照展开法计算的Cij要简单（只需要计算n次行列式），并且可以使用矩阵的乘法简化计算过程。

总结：行列式的计算可以使用一般的展开法，按照行或列进行展开，逐项计算每个元素与其对应的代数余子式的乘积。

行列式的计算方法总结行列式的计算方法总结行列式的计算方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。

推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。

推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。

性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。

性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。

行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。

行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。

定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。

(二)几种特殊行列式的值为便于考生综合复习及掌握概念间的.联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。

对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。

三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。

在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。

特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。

对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。

计算行列式常用的7种方法行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用计算方法。

1.代数余子式展开法代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。

选择一行展开时，可以使用代数余子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。

例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h &i\end{bmatrix}\)选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} +cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。

类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。

2.初等变换法初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。

通过一系列的行变换或列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。

对于三角形矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积。

初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化行列式的计算过程。

3.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。

选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。

每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。

拉普拉斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。

4.三对角矩阵法三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。

计算三对角矩阵的行列式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。

这种方法可以加速计算过程，特别适用于较大阶数的行列式。

5.特殊行列式法对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可以利用其特殊性质进行计算。

行列式计算方法首先，我们来介绍行列式的定义。

行列式是一个数学对象，它是一个关于矩阵的函数，可以用来判断矩阵是否可逆、求解方程组的解等。

对于一个n阶矩阵A，其行列式记作|A|或det(A)，定义为一个数，它是由矩阵A的元素所确定的。

行列式的计算方法可以分为多种，包括拉普拉斯展开法、三角形法、性质法等。

下面我们将逐一介绍这些方法。

首先是拉普拉斯展开法。

对于一个n阶矩阵A，其行列式的计算可以通过对任意一行（或一列）的元素进行展开来实现。

具体来说，我们可以选择其中一行（或一列）的元素，以该行（或列）的元素为基础，按照"+ +"的规律，将矩阵A中除去该行（或列）的元素构成的n-1阶矩阵的行列式与该行（或列）的元素相乘，然后将所有这些乘积相加，即可得到矩阵A的行列式的值。

这种方法在计算过程中需要多次进行n-1阶矩阵的行列式计算，比较繁琐，但在理论上是可行的。

其次是三角形法。

对于一个n阶矩阵A，我们可以通过初等变换将其化为上（下）三角矩阵，然后利用上（下）三角矩阵的行列式的性质来计算整个矩阵A的行列式的值。

这种方法的优点在于可以通过初等变换将矩阵化简为三角形矩阵，从而简化计算过程，但在实际操作中需要注意初等变换的过程，以及上（下）三角矩阵的行列式的计算。

最后是性质法。

行列式有一系列重要的性质，例如行列式与其转置矩阵的关系、两行（列）互换行列式变号等。

利用这些性质，我们可以将矩阵A化简为对角矩阵，然后直接计算对角矩阵的行列式，从而得到整个矩阵A的行列式的值。

这种方法在实际操作中比较灵活，可以根据具体矩阵的性质进行化简，但需要熟练掌握行列式的性质。

总的来说，行列式的计算方法有多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的矩阵和计算要求选择合适的方法进行计算，以便更高效地求得行列式的值。

希望本文介绍的行列式计算方法能够对读者有所帮助，让大家更好地理解和运用行列式的相关知识。

行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。

目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。

1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。

2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。

行列式计算方法及技巧：
利用行列式的线性性质。

如果将每一行或者每一列都乘以一个数c，则行列式的值也会乘以c。

利用行列式的交换行列性质。

如果交换行列式的两行或者两列，则行列式的值的正负会反转。

利用行列式的行加行或列加列的性质。

如果将行列式的某一行或者某一列加上另外一行或者一列的线性组合，则行列式的值不变。

利用行列式的代数余子式的性质。

如果将行列式的某一行或者某一列替换为其他行或者列的线性组合，则行列式的值不变。

利用行列式的代数余子式的性质。

如果将行列式的某一行或者某一列删除，则行列式的值等于行列式对应余子式的值。

利用行列式的代数余子式的性质。

如果将行列式的某一行或者某一列替换为其他行或者列的线性组合，则行列式的值等于行列式对应余子式的值的线性组合。

各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。

一、定义法。

这就像是最基础的招式啦。

按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。

不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。

比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。

但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。

二、三角形行列式法。

这个方法可就比较巧妙啦。

我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。

为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。

就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。

比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。

三、按行（列）展开法。

这个方法就像是拆积木一样。

你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。

比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。

代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。

这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。

四、行列式的性质法。

行列式有好多有趣的性质呢。

比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。

我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。

就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。

宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。

加油哦！。