吉林省2022年中考数学真题试题(含解析)

2022年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是( )A.B.C.D.2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为( )A. 18×105B. 1.8×106C. 1.8×107D. 0.18×1073.不等式x+2>3的解集是( )A. .x<1B. .x<5C. x>1D. .x>54.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A. a>0B. a<bC. b−1<0D. ab>05.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )A. sinα=ABBC B. sinα=BCABC. sinα=ABACD. sinα=ACAB6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为( )A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )A. AF=BFB. AE=12ACC. ∠DBF+∠DFB=90°D. ∠BAF=∠EBC8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为( )A. √32B. √3C. 2√3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：m2+3m=______．10.若关于x的方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为______．11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为______．12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA=5厘米，则AB⏜的长度为______厘米．(结果保留π)13.跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB=27厘米，则这个正六边形的周长为______厘米．14.已知二次函数y=−x2−2x+3，当a≤x≤1时，函数值y的最小值为1，则a的值2为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a+1)，其中a=√2−4．16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图(或列表)的方法，求两次分数之和不大于3的概率．17.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中△ABC的形状是______；(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF=DE，连结AE、AF、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BEEC =14，则tan∠BCF的值为______．20.党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是______年；(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是______；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了______件，专利授权量年增长率提高了______个百分点；(注：1%为1个百分点)(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．______②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上×100%，所以只要升．这是因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．______③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．______21.已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)m=______，n=______；(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22.【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=√2AB.他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．由折叠可知，∠BAF=12∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=√2AB=AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】(1)∠DAG的度数为______度，FG的值为______；AFAB，点Q在线段AG上，连结FQ、(2)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12PQ，如图②.设AB=a，则FQ+PQ的最小值为______.(用含a的代数式表示) 23.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A 关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒，(1)点D到边AB的距离为______；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx(b是常数)经过点(2,0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且PQ⊥x轴．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC.当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为3时，直接4写出m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，故选：A．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2.【答案】B【解析】解：1800000=1.8×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：x+2>3，x>3−2，x>1．故选：C．利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据图形可以得到：−2<a<0<1<b<3；所以：A，C，D都是错误的；故选：B．利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，sinα=sin∠ABC=AC，AB故选：D．根据直角三角形的边角关系进行判断即可．本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．6.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°−121°=59°，∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，故选：C．根据圆的内接四边形对角互补得到∠A=180°−121°=59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD=2∠A的度数．本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF=BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF=90°，∴∠DBF+∠DFB=90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠EBC，∵AF=BF，∴∠ABF=∠BAF，∴∠BAF=∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE=12AC，故B选项符合题意．故选：B．由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：作MN⊥x轴于N，∵P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，∴P(k2,2)，∴PQ=2，∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．∴QM=QP=2，∠POM=60°，∴∠MQN=90°−60°=30°，∴MN=12QM=1，∴QN=√22−12=√3，∴M(k2+√3,1)，∵点M也在该反比例函数的图象上，∴k=k2+√3，解得k=2√3，故选：C．作MN⊥x轴于N，根据题意P(k2,2)，PQ=2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM=QP=2，∠POM=60°，即可得出∠MQN=30°，即可得出MN=1 2QM=1，QN=√22−12=√3，得到M(k2+√3,1)，代入反比例函数解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．9.【答案】m(m+3)【解析】解：m2+3m=m(m+3)，故答案为：m(m+3)．利用提公因式法，进行分解即可解答．本题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解−提公因式法是解题的关键．10.【答案】14【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=12−4c=0，．解得c=14．故答案为：14若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac=0，建立关于c的方程，求出c的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．11.【答案】8【解析】解：依题意得：7x+7=9(x−1)，解得：x=8，故答案为：8．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程组求得．本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．12.【答案】5π2【解析】解：AB ⏜=nπR 180 =90π⋅5180 =5π2．故答案为：5π2．弧长的计算(1)圆周长公式：C =2πR ．(2)弧长公式：l =nπR180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)．本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．13.【答案】54【解析】解：由图象的对称性可得，AM =MN =BN =13AB =9(厘米)，∴正六边形的周长为9×6=54(厘米)，故答案为：54．根据对称性和周长公式进行解答即可．本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．14.【答案】−1−√3【解析】解：∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为(−1,4)，根据题意，当a ≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，当y =1时，−(x +1)2+4=1，∴x =−1±√3，∵−1+√3>12，∴−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，∴a =−1−√3．故答案为：−1−√3． 函数配方后得y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，当y =1时，−(x +1)2+4=1，可得x =−1±√3，因为−1+√3>12，所以−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，进而可以解决问题．本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．15.【答案】解：(2+a)(2−a)+a(a +1)=4−a 2+a 2+a=4+a ，当a =√2−4时，原式=4+√2−4=√2．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16.【答案】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，∴两次分数之和不大于3的概率为34．【解析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，再由概率公式求解即可．本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】解：设乙班平均每小时挖x 千克土豆，根据题意，得1500x+100=1200x ，解得x =400，经检验，x =400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【解析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．18.【答案】直角三角形【解析】解：(1)∵AC=√22+12=√5，AB=√22+42=2√5，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；(2)如图①中，点D，点D′即为所求；(3)如图②中，点E即为所求；(4)如图，点P，点Q即为所求．(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；(4)作出AB，BC的中点P，Q即可．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】√15【解析】(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∵DF=DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；(2)解：∵BEEC =14，∴CE=4BE，设BE=a，则CE=4a，由(1)可知，四边形AECF是菱形，∴AE=CE=4a，AE//CF，∴∠BEA=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴AB=√AE2−BE2=√(4a)2−a2=√15a，∴tan∠BCF=tan∠BEA=ABBE =√15aa=√15，故答案为：√15．(1)先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；(2)设BE=a，则CE=4a，由菱形的性质得AE=CE=4a，AE//CF，则∠BEA=∠BCF，再由勾股定理得AB=√15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】202018.1%547930.2×√√【解析】解：(1)根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，故答案为：2020；(2)把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中间的是18.1%，∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，故答案为：18.1%；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373−11894=5479件；专利授权量年增长率提高了46.0%−15.8%=30.2%，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，故答案为：5479，30.2；(4)①因为2017年的专利授权量的增长量为8190−7062=1128件，2019年的专利授权量的增长量11894−10268=1626件，所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误， 故答案为：×；②因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确， 故答案为：√；根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，故答案为：√．(1)观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；(2)先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；(3)分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；(4)①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量−上一年专利授权量x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．21.【答案】2 6【解析】解：(1)由题意知：m =200÷100=2，n =m +4=2+4=6，故答案为：2，6；(2)设y =kx +b ，将(2,200)，(6,440)代入得：{2k +b =2006k +b =440， 解得{k =60b =80， ∴y =60x +80，(2≤x ≤6)；(3)乙车的速度为(440−200)÷2=120(千米/小时)，∴乙车到达A 地所需时间为440÷120=113(小时)，当x=113时，y=60×113+80=300，∴甲车距A地的路程为300千米．(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m=2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n=6；(2)用待定系数法可得y=60x+80，(2≤x≤6)；(3)求出乙的速度，即可得乙到A地所有时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22.【答案】22.5√2−1√52a【解析】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°，∴AF=√2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°，∴∠AFG=∠D=90°，又AD=AF，AG=AG，∴△ADG≌△AFG(HL)．【结论应用】(1)由折叠得，∠BAF=∠EAF，又∠BAF+∠EAF=90°，∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°，∠AFG=∠ADG=90°，又∠AFB=45°，∴∠GFC=45°．∴∠FGC=45°．∴GC=FC．设AB=x，则BF=x，AF=√2x=AD=BC，∴FC=BC−BF=√2x−x=(√2−1)x，∴GF=√2FC=(2−√2)x．∴GFAF =(2−√2)x√2x=√2−1．故答案为：22.5；√2−1．(2)如图，连接FD，∵DG=FG，∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°，∴∠APR=45°，∴AR=PR，又AR2+PR2=AP2=(a2)2=a24，∴AR=PR=√24a，∴DR=AD−AR=√2a−√24a=34√2a.在Rt△DPR中，AR2+PR2=DP2，∴DP=√52a.∴PQ+FQ的最小值为√52a.故答案为：√52a.【问题解决】根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；【结论应用】(1)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°；证明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(2)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=√24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．23.【答案】3【解析】解：(1)连接DM ，∵DA =DB ，点M 是AB 的中点，∴DM ⊥AB ，AM =2，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，DM =√AD 2−AM 2=√13−4=3，故答案为：3．(2)当点P 在AD 上时，即0≤t <1时，PD =AD −AP =√13−√13t ，当点P 在BD 上时，即1≤t ≤2时，PD =√13t −√13，∴PD ={√13−√13t(0≤t <1)√13t −√13(1≤t ≤2)； (3)∵A′M =2，DM =3，∴A′D ≥1，∴当点D 、A′、M 共线时，DA′最短，∴∠AMP =∠DMP ，∴AP PD =AM DM =23，∴S △APM =22+3×S △ADM =25×12×2×3=65，∴S △PDA ′=S △ADM −2S △AMP =3−2×65=35；(4)当点A′在CM 上时，如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于H ，作MQ 平分∠CMH ，交CH 于Q ，作QG ⊥MC 于G ，∵AD=BC，∠DAM=∠CBH，∠DMA=∠CHB，∴△AMD≌△BHC(AAS)，∴BH=AM=2，CH=DM=3，∵MQ平分∠CMB，∴∠GMQ=∠QMH，∵∠QGM=∠QHM，MQ=MQ，∴△MQG≌△MQH(AAS)，∴MG=AH=4，QH=QG，∴CG=1，∴tan∠MCH=QGCG =MHCH，∴QG1=43，∴QG=43，∴QHMH =13，∵AP=√13t，∴AN=2t，PN=3t，∵∠AMP=∠A′MP，∠CMQ=∠QMH，∴∠PMQ=90°，∴∠QMH=∠MPN，∴MN=t，∴2t+t=2，∴t=23；当A′在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，由题意知BP=2√13−√13t，同理得，PT=6−3t，BT=4−2t，MT=18−9t，∴18−9t+4−2t=2，∴t=2011，综上：t=23或2011．(1)连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM=2，再利用勾股定理可得DM的长；(2)分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；(3)由A′M=2，DM=3，则A′D≥1，当点D、A′、M共线时，DA′最短，利用角平分线的定理得APPD =AMDM=23，求出S△APM的面积，从而得出答案；(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出QMMH =13，从而表示出MN的长，点点A′在CM的延长线上时，同理解决问题．本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH=13是解题的关键．24.【答案】解：(1)把(2,0)代入y=x2−bx，得到b=2，∴该抛物线的解析式为y=x2−2x；(2)如图1中，∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线的顶点为(1,−1)，对称轴为直线x=1，∵BC//x，∴B，C故对称轴x=1对称，BC=4，∴点B的横坐标为−1，∴B(−1,3)；(3)如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ=2|m|，m>0，∴PQ=PQM=MN=2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由{y =x y =x 2−2x， 解得{x =0y =0或{x =3y =3， ∴A(3,3)，观察图象可知，当m ≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大． 如图3中，当PQ 落在抛物线的对称轴上时，m =12，观察图象可知，当0<m ≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．综上所述，满足条件的m 的值为0<m ≤12或m ≥3；(4)如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，此时直线NQ 的解析式为y =−x +34，由{y =x 2−2x y =−x +34，解得，{x =32y =−34或{x =−12y =14， ∵点A 在第四象限，∴A(32,−34)， ∴m =32． 如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，此时直线NQ 是解析式为y =−x −14，由{y =−x −14y =x 2−2x ，解得{x =12y =−34， ∴A(12,−34)，∴m =12． 如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，此时m =−38，综上所述，满足条件的m 的值为32或12或−38．【解析】(1)把(2,0)代入y =x 2−bx ，得到b =2，可得结论；(2)判断出点B 的横坐标为−1，可得结论；(3)分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．利用图象法解决问题即可；(4)分三种情形：如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，分别求出点A 的坐标，可得结论．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

吉林省2022年中考数学真题试题(含解析) 2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每题2分，共12分）1.计算（-1）的正确结果是（）。

A。

1B。

2C。

-1D。

-2答案】A解析】考点：有理数的乘方。

2.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）。

A。

B。

C。

D。

答案】B解析】试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形。

应选B。

考点：简单几何体的三视图。

3.以下计算正确的选项是（）。

A。

a+a=aB。

a×a=aC。

[a]=aD。

[ab]=ab答案】C解析】试题解析：A。

a与a不是同类项，故A错误；B。

原式=a，故B错误；D。

原式=ab，故D错误。

应选C。

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。

4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的选项是（）。

A。

B。

C。

D。

答案】A解析】考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。

5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD。

假设∠B=40°，∠C=36°，那么∠DAC的度数是（）。

A。

70°B。

44°C。

34°D。

24°答案】C解析】试题解析：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°。

应选C。

考点：三角形内角和定理。

6.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C。

假设AB=12，OA=5，那么BC的长为（）。

A。

5B。

6C。

7D。

8答案】D解析】考点：切线的性质。

二、填空题（每题3分，共24分）7.2022年我国资助各类家庭困难学生超过84,000,000人次。

将84,000,000这个数用科学记数法表示为（）。

答案】8.4×10^7解析】试题解析：84,000,000=8.4×10^7.考点：科学记数法——表示较大的数。

2022年吉林省中考数学历年真题汇总 卷（Ⅲ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t 表示小球滚动的时间，v 表示小球的速度．下列能表示小球在斜坡上滚下时v 与t 的函数关系的图象大致是（ ） A ． B ．·线○封○密○外C ．D ．2、若分式1x x-有意义，则x 的值为（ ） A ．1x =B ．1x ≠C ．0x =D ．0x ≠ 3、有理数 m 、n 在数轴上的位置如图，则（m +n ）（m +2n ）（m ﹣n ）的结果的为（ ）A ．大于 0B ．小于 0C ．等于 0D ．不确定4、如图，平行四边形ABCD 的边BC 上有一动点E ，连接DE ，以DE 为边作矩形DEGF 且边FG 过点A ．在点E 从点B 移动到点C 的过程中，矩形DEGF 的面积（ ）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变5、已知ab ＝a ，b 的关系是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式6、整式mx n -的值随x 取值的变化而变化，下表是当x 取不同值时对应的整式的值：）10m-中，得到．将轴翻折得到．将个单位得到．将翻折得到．将翻折得到5∠年10、如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数y＝kx（k≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A（32，4），且经过小正方形的顶点B．求图中阴影部分的面积为 _____．2、下列各数①－2.5，②0，③π3，④227，⑤()24-，⑥－0.52522252225…，是无理数的序号是______．3、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF AD⊥，垂足为点F．若3AF=，5EC=，则正方形ABCD的面积为______．4、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB 的值为______． 5、班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选中的概率是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，b ，且6100a b ++-=，记AB a b ． (1)求AB 的值； (2)如图，点P ，Q 分别从点A ，B ；两点同时出发，都沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒4个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，点C 从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为t 秒．①请用含t 的式子分别写出点P 、点Q 、点C 所表示的数； ②当t 的值是多少时，点C 到点P ，Q 的距离相等？ 2、第24届冬季奥林匹克运动会即将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．随着冬奥会的日益临近，北京市民对体验冰雪活动也展现出·线○封○密○外了极高的热情．下图是随机对北京市民冰雪项目体验情况进行的一份网络调查统计图，请根据调查统计图表提供的信息，回答下列问题：(1)都没参加过的人所占调查人数的百分比比参加过冰壶的人所占百分比低了4个百分点，那么都没参加过人的占调查总人数的___________%，并在图中将统计图补面完整；(2)此次网络调查中体验过冰壶运动的有120人，则参加过滑雪的有___________人；(3)此次网络调查中体验过滑雪的人比体验过滑冰的人多百分之几?3、已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F ．求点E 的坐标；(2)△AOB 与△FOD 是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G 与点B 关于x 轴对称，点P 在直线GC 上，若△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标． 4、某商品每天可售出300件，每件获利2元．为了尽快减少库存，店主决定降价销售．根据经验可知，如果每件降价0.1元，平均每天可多售出20件，店主要想平均每天获利500元，每件商品应降价多少元？ 5、定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1,在∆ABC 中，若AB 2+AC 2-AB ⋅AC =BC 2，则∆ABC 是“和谐三角形”．(1)等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）． (2)若Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且b >a ，若∆ABC 是“和谐三角形”，求a ：b ：c ． -参考答案- 一、单选题 1、C【解析】【分析】静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同即可判断．【详解】 ·线○封○密·○外解：由题意得，小球从静止开始，设速度每秒增加的值相同为a ．00v v at a t ∴=+=+⨯，即v at =．故是正比例函数图象的一部分．故选：C ．【点睛】本题考查了函数关系式，这是一个跨学科的题目，实际上是利用“即时速度=初始速度+加速度⨯时间”，解题的关键是列出函数关系式．2、D【解析】【分析】根据分式有意义，分母不为0列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得：0x ≠故答案为：D【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为零．3、A【解析】【分析】从数轴上看出0n m <<，判断出()()()0200m n m n m n +<+-，，，进而判断()()()2m n m n m n ++-的正负．【详解】解：由题意知：0n m << ∴()()()0200m n m n m n +<+-，， ∴()()()20m n m n m n ++-> 故选A ． 【点睛】 本题考查了有理数加减的代数式正负的判断．解题的关键在于正确判断各代数式的正负． 4、D 【解析】 【分析】 连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】 解：连接AE ， ∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形， ∴ABCD DEGF S S=矩形， 故选：D ．． 【点睛】·线○封○密○外此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．5、A【解析】【分析】求出a 与b 的值即可求出答案．【详解】解：∵a=，b ＝∴a ＝b ，故选：A ．【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．6、A【解析】【分析】根据等式的性质把8mx n -+=变形为8mx n -=-；再根据表格中的数据求解即可．【详解】解：关于x 的方程8mx n -+=变形为8mx n -=-，由表格中的数据可知，当8mx n -=-时，1x =-；故选：A ．【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．7、C【解析】【分析】根据科学记数法的特点即可求解．【详解】 解：91nm 0.000000001=110m -=⨯． 故选：C 【点睛】 本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，绝对值小于1的数用科学记数法可以写为10n a -⨯的形式，其中1≤|a |<10，n 为正整数，n 的值为从第一个不为0的数向左数所有0的个数，熟知科学记数法的形式并准确确定a 、n 的值是解题关键． 8、C 【解析】 【分析】 根据坐标系中平移、轴对称的作法，依次判断四个选项即可得． 【详解】 解：A 、根据图象可得：将ABC 沿x 轴翻折得到DEF ，作图正确； B 、作图过程如图所示，作图正确； ·线○封○密·○外C、如下图所示为作图过程，作图错误；D、如图所示为作图过程，作图正确；故选：C ． 【点睛】 题目主要考查坐标系中图形的平移和轴对称，熟练掌握平移和轴对称的作法是解题关键．9、A【解析】【分析】 根据平行线的判定逐个判断即可． 【详解】 解：A 、∵∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠5=180°， ∴∠3=∠5， 因为”同旁内角互补，两直线平行“， 所以本选项不能判断AB ∥CD ； B 、∵∠3=∠4， ·线○封○密·○外∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；∠+∠=︒，C、∵35180∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；D、∵∠1=∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．10、A【解析】【分析】根据几何体的三视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，对每个选项分别判断、解答．【详解】解：B是俯视图，C是左视图，D是主视图，故四个平面图形中A不是这个几何体的三视图．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形是解题的关键．二、填空题1、40【解析】【分析】根据待定系数法求出k 即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数k 的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可求出结果． 【详解】 解：反比例函数k y x =的图象经过点3(,4)2A ， 4623k ∴=⨯=， ∴反比例函数的解析式为6y x =； 小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B 点的坐标为(,)m m ， 反比例函数6y x =的图象经过B 点， 6m m∴=， 26m ∴=， ∴小正方形的面积为2424m =， 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，且3(,4)2A ， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(4,4)， ∴大正方形的面积为24464⨯=， ·线○封○密○外∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积642440=-=．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k 的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义是解决问题的关键．2、③【解析】【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【详解】解：－2.5，227是分数；－0.52522252225…是无限循环小数，是有理数；0，()24-是整数；无理数有π3，故答案为：③．【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数，无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．3、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==， 在Rt EMC中，4CM =， ∴347BC BM CM =+=+=， ∴22749ABCD S BC ===正方形． 故答案为：49． 【点睛】 本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 4【解析】【分析】 如图，过点B 向AO 作垂线交点为C ，勾股定理求出OB ，OA 的值，1122AOB S AB h AO BC =⨯=⨯求出BC 的长，sin BC AOB OB∠=求出值即可． 【详解】 ·线○封○密·○外解：如图，过点B 向AO 作垂线交点为C ，O 到AB 的距离为h∵2AB =，2h =，222425OA ，OB ==1122AOB S AB h AO BC =⨯=⨯BC ∴=∴sinBC AOB OB ∠===【点睛】 本题考查了锐角三角函数值，勾股定理．解题的关键是表示出所需线段长．5、14或0.25【解析】【分析】由题意得出从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果，根据概率公式可得．【详解】解：从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果， ∴恰好选中乙同学的概率为14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n ． 三、解答题 1、 (1)AA =16 (2)①点P 所表示的数为−6+4A ，点Q 所表示的数为10+A ，点C 所表示的数为3A ；②A =163或A =4 【解析】【分析】（1）先根据绝对值的非负性求出A ,A 的值，再代入计算即可得；（2）①根据“路程=速度×时间”、结合数轴的性质即可得；②根据|AA |=|AA |建立方程，解方程即可得． (1) 解：∵|A +6|+|A −10|=0， ∴A +6=0,A −10=0， 解得A =−6,A =10， ∴AA =|−6−10|=16； (2) ·线○封○密○外解：①由题意，点P所表示的数为−6+4A，点Q所表示的数为10+A，点C所表示的数为3A；②|AA|=|−6+4A−3A|=|−6+A|，|AA|=|10+A−3A|=|10−2A|，由|AA|=|AA|得：|−6+A|=|10−2A|，即−6+A=10−2A或−6+A=−10+2A，解得A=16或A=4，3或A=4时，点C到点A,A的距离相等．故当A=163【点睛】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键．2、 (1)12%．补图见解析(2)270(3)12.5%【解析】【分析】（1）用冰壶的人所占百分比减去4个百分点即可求出百分比，按照百分比补全统计图即可；（2）用120人除以体验过冰壶运动的百分比求出总人数，再乘以滑雪的百分比即可；（3）求出体验过滑雪的人比体验过滑冰的人多多少人，再求出百分比即可．(1)解：都没参加过的人所占调查人数的百分比比参加过冰壶的人所占百分比低了4个百分点，那么都没参加过人的占调查总人数的百分比为：16%-4%=12%，不全统计图如图：故答案为：12%．(2)解：调查的总人数为：120÷24%=500（人），参加过滑雪的人数为：500×54%=270（人），故答案为：270(3)解：体验过滑冰的人数为：500×48%=240（人），（270-240）÷240=12.5%，体验过滑雪的人比体验过滑冰的人多12.5%．【点睛】本题考查了条形统计图，解题关键是准确从条形统计图中获取信息，正确进行计算求解．3、 (1)E（32，32）(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（132，72）.·线○封○密○外【解析】【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP 时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.(1)解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），当x=0时，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，∴D （-3，0），∵点E 到两坐标轴的距离相等，∴EG =EH ，∵EH ⊥OC ，EG ⊥OC ，∴OE 平分∠BOC ，∵OB =OC =3， ∴CE =BE ， ∴E 为BC 的中点， ∴E （32，32）； (2) 解: △AOB ≌△FOD ，设直线DE 表达式为y =kx +b ， 则{−3A +A =032A +A =32， 解得：{A =13A =1， ∴y =13x +1， ∵F 是直线DE 与y 轴的交点， ∴F （0，1）， ∴OF =OA =1， ∵OB =OD =3，∠AOB =∠FOD =90°， ∴△AOB ≌△FOD ； (3)·线·○封○密○外解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），∴点G（0，-3），∵C（3，0），设直线GC的解析式为：y=ax+c，{A=−33A+A=0，解得：{A=1A=−3，∴y=x-3，AB=√32+12=√10，设P（m，m-3），①当AB=AP时，√(A−1)2+(A−3)2=√10整理得：m2-4m=0，解得：m1=0，m2=4，∴P（0，-3）或（4，1），②当AB=BP时，√10=√A2+(A−3−3)2m2-6m+13=0,△＜0故不存在，③当AP=BP时，√(A−1)2+(A−3)2=√A2+(A−3−3)2，解得：m =132， ∴P （132，72 ）， 综上所述P （0，-3）或（4，1）或（132，72）， 【点睛】 此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理. 4、每件商品应降价1元． 【解析】 【分析】 设每件商品应降价x 元，得出降价后的销量及每件的盈利，然后可列出方程，解出即可． 【详解】 解：设每件商品应降价x 元，则每天可售出300+20×A 0.1=300+200x 件， 由题意得：（2-x ）（300+200x ）=500， 解得：x =−12(舍去)或x =1． 每件商品应降价1元．【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解． 5、 (1)真； (2)12 【解析】 【分析】 ·线○封○密○外（1）根据等边三角形的性质“三边都相等”，结合“和谐三角形”的定义即可判断；（2）由勾股定理可知222+=a b c ，根据ABC 是“和谐三角形”，可分类讨论：①当222b c b c a +-⋅=时；②当222a b a b c +-⋅=时；③当222a c a c b +-⋅=时，再结合b a >，计算出符合题意的比即可．(1)根据等边三角形的性质可知：AB BC AC ==，∴22222AB AC AB AC BC BC BC BC BC +-⋅=+-⋅=．故等边ABC 是“和谐三角形”．所以等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题．故答案为：真．(2)∵ABC 是直角三角形，且90C ∠=︒，∴222+=a b c ，由ABC 是“和谐三角形”，可分类讨论，①当222b c b c a +-⋅=时．故有2222b c b c c b +-⋅=-，整理得：2c b =，∴222(2)a b b +=，整理得：3a b ．∴::::22a b c b b =．此时a b >，不符合题意（舍）．②当222a b a b c +-⋅=时．故有22c a b c -⋅=，整理得：0ab -=，故此情况不存在（舍）．③当222a c a c b +-⋅=时．故有2222a c a c c a +-⋅=-，整理得：2c a =， ∴222(2)a b a +=，整理得：b =．∴::=:22=a b c a a ． 【点睛】 本题考查判断命题的真假，等边三角形的性质和勾股定理．读懂题意，理解“和谐三角形”的定义是解答本题的关键． ·线○封○密·○外。

2022年吉林省长春市中考数学试题及答案题目后面的括号内）1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A．内含B．相交C．相切D．外离2(－3)的结果是【】A.3B.－3C.±3D．93、如果2是方程某c0的一个根，那么c的值是【】A．4B．－4C．2D．－2224、下列成语所描述的事件是必然发生的是【】A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待免D.瓮中捉鳖5、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为【】A、10B、8C、6D、46、抛物线y某23的顶点坐标是【】A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）7、观察下列银行标志，从图案看是中心对称图形的有（）个2A、1个B、2个C、3个D、4个8、二次函数yk某6某3的图象与某轴有交点，则k的取值范围是【】A．k3B．k3且k0C．k3D．k3且k029、某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”。

根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是【】A．1112B．C．D．22055023B．1C．2D．3210、在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是【】A．11、如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是【】A、R＝2r；B、R；C、R＝3r；D、R＝4r．12．已知反比例函数yA．B．C．D．k的图象如下右图所示，则二次函数y2k某2某k2的图象大某13、如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是【】A．4 9B．4848C．8D．8999二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填在横线上）14、点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是_____________．DC15、⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径是ｃｍ．0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线16、将抛物线ya某b某c(a2y2某24某5，则原抛物线的顶点坐标是。