初二数学二次根式知识点解析

一、选择题1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．0≤x≤5C ．x≥5D ．x≤52．下列运算错误的是（ ） A= B．=C．)216=D．)223=3．a b =--则（ ） A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=4．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．535．当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．27．下列计算正确的是（ ）A 6=± B．=C．6= D=（a≥0，b≥0）8．下列计算正确的是（ ）A=B=C4=D3=-9．下列运算正确的是（） A=B ．(28-=C12=D1=10．与根式1x x--的值相等的是（ ） A ．x -B ．2x x --C ．x --D ．x -二、填空题11．若m ＝20161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．把31a a-根号外的因式移入根号内，得________ 13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.14．已知函数1x f xx，那么21f _____．15．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11 233第行 131541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．14+⋅⋅⋅=的解是______．18．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________．19．=_______．20．a ，小数部分是b b -=______.三、解答题21．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．22．解：设x222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-，即235354x =++-+，x 2=10 ∴x =10．∵3535++-＞0，∴3535++-=10． 请利用上述方法，求4747++-的值． 【答案】14 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x =47++47-，两边平方得：x 2=（47+）2+（47-）2+247?47+-， 即x 2=4+7+4﹣7+6， x 2=14 ∴x =±14．∵47++47-＞0，∴x =14． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮（2（a ＜0）（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5，故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．3．C解析：C 【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．5．A解析：A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131331133331131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．7．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；= （a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D8．B解析：B 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A A 错误；B =，故B 正确；C ==C 错误；D 3=，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．B解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C 124==，选项C 错误；选项D 1，选项D 错误．综上，符合题意的只有选项B ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.【详解】由题意可得x 是负数，所以-x x-⋅=- 故选：D .【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．13．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a ＞0+3.a =a+3. 【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++．2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 18．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.19．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，则244t =+8=+8=+81)=+6=+21)=1t ∴=．．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．【详解】若的整数部分为a ，小数部分为b ，∴a=1，b=，∴a -b==1．故答案为1．解析：【详解】a ，小数部分为b ，∴a =1，b 1，∴-b 1)=1．故答案为1．三、解答题21．无22．无23．无25．无26．无27．无28．无。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

八年级初二数学二次根式知识归纳总结及解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b -=- B ．()322x x 8x ÷=+ C ．1a a a a÷⋅= D ．()244-=-2．下列运算正确的是（ ） A ．235+=B ．322-＝3C ．2(2)-＝﹣2D ．24322÷=3．下列计算正确的是（ ） A ．532-=B ．223212⨯=C ．933÷=D ．423214+=4．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣15．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）A ．（8﹣3cm 2B ．（4﹣3cm 2C ．（16﹣3cm 2D ．（﹣3）cm 26．下列各式一定成立的是（ ） A 2()a b a b +=+ B 222(1)1a a +=+ C 22(1)1a a -=- D 2()ab ab =7．设2222222211111111111112233499100+++++++++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1018．已知实数x ，y 满足（x 22008x -y 2-2008y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007的值为（ ） A ．-2008B ．2008C ．-1D ．19．12的下列说法中错误的是（ ）A 12的算术平方根B ．34<<C 不能化简D 是无理数10．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D12．下面计算正确的是（ ）A ．BCD 2-二、填空题13．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-14．已知aa 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．15．已知|a ﹣2007=a ，则a ﹣20072的值是_____．16．若0xy >，则二次根式________．17．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．18．，3，，，则第100个数是_______．y=，则2xy的值为__________．19．3有意义，则x的取值范围是____．20．三、解答题21．计算（1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差．【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3；（2）原式=﹣3﹣2+﹣3=-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．22．-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．23．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得 【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.24．计算②)21-【答案】① 【分析】①根据二次根式的加减法则计算； ②利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．25．计算：（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4【答案】（1）-5;（2）9【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--，5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：)1131-＝233÷3＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．观察下列各式．====…… 根据上述规律回答下列问题． （1）接着完成第⑤个等式： _____；（2）请用含(1)n n ≥的式子写出你发现的规律；（3）证明（2）中的结论．【答案】（1=2(n =+3）见解析 【分析】（1）当n=5=（2(n =+ （3）直接根据二次根式的化简即可证明． 【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．29．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.30．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++()211,11x x x x -+=⋅-+ 1.1x =+当1x =时，113x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111a a 1a a a÷⋅=⋅=，选项错误；D 44=-=，选项错误．故选：B ．2．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：AB 、＝，故此选项错误；C 2，故此选项错误；D ，正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．3．B解析：B 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】A 不符合题意；∵12=，故选项B 符合题意；C 不符合题意；∵=D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小5．D解析：D 【分析】根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，4cm ＝cm ，∴AB ＝4cm ，BC ＝（+4）cm ，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm 2， 故选：D . 【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.6．B解析：B 【分析】分别利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解；A 2=|a+b|，故此选项错误；B 2+1，正确；C ，无法化简，故此选项错误；D ，故此选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．7．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100-=100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础． 8．D解析：D【解析】由（x y ）=2008，可知将方程中的x,y 对换位置，关系式不变，那么说明x=y 是方程的一个解由此可以解得，或者则3x 2-2y 2+3x -3y -2007=1，故选D.9．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A 12的算术平方根，故该项正确；B 、34<<，故该项正确；C =D =是无理数，故该项正确；故选：C .【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.10．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．11．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．12．B解析：B【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A A 选项错误；B ==＝3，故B 选项正确；C ==C 选项错误；D ．2(2)2-==，故D 选项错误；故选B ．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．二、填空题13．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.14．-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a ＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a －(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a－3时， 原式＝a 3+6a 2+9a －(a 2+6a +9)－7a +3＝a (a +3)2－(a +3)2－7a +3＝7a －7－7a +3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.15．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．16．－【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，∴x ==．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 17．【解析】上述各式反映的规律是(n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.18．【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n 个数是，进而可得答案．【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，∴第100个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考解析：【分析】，，于是可得第n 进而可得答案．【详解】，∴第100=．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy=-2×52×3=-15.20．x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】∵有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

人教版初二下册数学知识点二次根式二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。

其中，a被称为系数，b被称为被开方数。

最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。

同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。

二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。

在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。

例题：1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。

答案：（1）x≠3；（2）x∈R。

3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。

4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。

答案：4x²-4x+1.5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。

给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。

首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。

计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。

化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。

因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。

初二数学二次根式知识点归纳1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式.2.二次根式的性质：①≥0(a≥0)这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2；②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以.3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=.典例讲解例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________.（2）当x满足条件______________时，式子有意义.（3）当x=______________时，有最小值，最小值是______________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是______________.答案：（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1（3）－25；9 （4）6例2、选择题：（1）化简的值为（）A. 4B.－4C.±4D. 16（2）下列各组数中，互为相反数的是（）A. －2与B.C.－2和D. 2和（3）若x≥0，那么等于（）A. xB.－xC.－2xD. 2x（4）当a≥1，则=（）A.2a－1B. 1－2aC.－1D. 1（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（）A. (x＋3)(x－3)B. (x＋)(x－)C. (x＋)(x－)D. (x＋9)(x－9)答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示：（1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长.解：设它的棱长为x，则所以．故它的棱长为．（2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？解：设这个正方形的边长为xcm.则所以．正方形的边长为㎝．例4、计算：(1)(2)(3)(4)解：(1)=(2)=63(3)=3＋2=5(4)=例5、已知|x＋y－7|＋，求x2＋y2的值.解：由已知得：∴所以，原式=(x＋y)2－2xy=72－2×12=25．例6、已知实数a满足,求a－20082的值. 解：因为所以a≥2009，所以2008－a<0，所以原等式可化为：，所以，所以a－2009=20082，所以a－20082=2009．1. 二次根式的乘法：①法则，=(a≥0，b≥0)；②利用这一法则，可以求出某些特殊的二次根式的值，如：15，7；③这一法则的探究我们采用的方法是不完全归纳法.2. 积的算术平方根的性质：①性质，与二次根式的乘法法则相比较互逆；②利用这一性质和二次根式的乘法法则，可以化简二次根式，如=3a2b，=；③性质应用：在化简二次根式时，通常要结合二次根式的性质，因此方法上应注意将被开方数进行因数分解或直接开算术平方根的原则是将开得尽方的因数分解出来. 化简实质上是将根号内完全平方的因数(式)移到根号外.典例讲解例1、填空题（1）化简：_____________；（2）计算：_____________；（3）计算：= _____________.答案：（1）；（2）；（3）6例2、把下列各式中根号外的因式移到根号内：；.解：；=－(－a).例3、计算：(1)(2)(3)(4)解：(1)==(2) ==x(x＋y)=x2＋xy(3)===(4)===2xy例4、比较下列各组中两个数的大小.(1)解：∵2，，而44<45∴，∴．(2)解：∵，，而32<，∴．例5、观察下列各式及其验证过程.验证：验证：3=.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证：(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式,并给出证明.解：(1)验证：(2)反映的规律为：证明：n=.1.二次根式的除法:①法则:；②法则中规定b>0的理由是分母不为零；③作用是化去分母中的根号.2.商的算术平方根：①性质（≥0，＞0）；②用语言叙述上述性质：算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；③作用是化去根号下的分母.3.最简二次根式：①最简二次根式必须满足两个条件是被开方数不含分母和被开方数中不含开得尽的因数或因式；②二次根式的乘除法运算，最后的结果一定要是最简二次根式或有理式.例1、化简下列二次根式(1)；(2)；(3)答案：（1）；（2）；(3)例2、选择题1.下列各式中正确的是（）A. B.C. D.答案：B2.在化简时，甲、乙、丙三位同学的解法如下：甲：乙：丙：正确的是（）A.甲B.乙C.丙D.甲、乙、丙均正确答案：D3.在下列根式、、、中，最简二次根式的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个答案：C例3、计算：(1)(2)(3)(4)(5)解：(1)(2)(3)(4)(5)例4、已知，，求与的近似值.解：∵，，∴，（此处视频中0.577误为0.5713）．1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2、二次根式的加减法运算步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）被开方数相同的二次根式进行合并．3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样，先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用．4、二次根式的运算可以类比实数的运算，实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律，使运算更为简单．典例讲解例1、填空题1、计算：（1）=__________．（2）=__________．答案：（1）（2）2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________．答案：例2、选择题（1）下列各式中运算正确的是（）A．B．C．D．答案：A（2）已知、，则a、b的关系为（）A．a=b B．a＋|b|=0C．ab=1 D．ab=－1答案：D例3、计算（1）（2）（）－（）（3）（）（）（4）解：（1）（2）（）－（）（3）（）（）（4）＝=例4、已知求的值．解：原式＝∵，∴，∴．∴原式＝．例5、利用乘法公式计算：,……（n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算：答案：2007。

初二数学二次根式的乘法与除法运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，学好二次根式的乘法与除法运算对于学生正确理解和解决相关的数学问题至关重要。

本文将详细介绍二次根式的乘法与除法运算方法，旨在帮助初二学生掌握这一知识点。

一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的操作。

具体方法如下：首先，我们需要将两个二次根式进行合并，合并的规则是将根号内的数相乘，并将外面的系数相乘。

例如：√a * √b = √(a * b)当然，在实际运算中还需要注意一些特殊情况，如二次根式的下标、系数与被开方数的关系等。

下面通过例子来说明：例1：化简√8 * √3解析：根据乘法运算的规则，√8 * √3可以合并为√(8 * 3)，即√24。

进一步化简：√24 = √(4 * 6) = √4 * √6 = 2√6例2：化简2√5 * 3√5解析：根据乘法运算的规则，2√5 * 3√5可以合并为(2 * 3)√(5 * 5)，即6√(25)。

进一步化简：6√(25) = 6 * 5 = 30通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的乘法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。

二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的操作。

具体方法如下：首先，我们需要根据乘法的逆运算，将除数的根号有理化为整数。

例如，将√a有理化为√(a * a)。

然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并，并化简。

例3：化简√32 / √8解析：首先，我们有理化除数：√8 = √(8 * 8) = 8然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：√32 / 8 =√(32 / 8) = √4 = 2例4：化简3√12 / 2√3解析：首先，我们有理化除数：2√3 = 2 * √3然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：3√12 / (2 * √3) = 3 * (√(12 / 3)) / (2 * √3) = 3 * √4 / 2 = 3 * 2 / 2 = 3通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的除法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。

第1关 二次根式（讲义部分）知识点1 二次根式1．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（0≥a ）的式子叫做二次根式． （1）“”称为二次根号；（2）a （0≥a ）是一个非负数. 2．二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念．形如（0≥a ）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（0≥a ）是一个非负数． 3．二次根式的双重非负性（1）0≥a 被开方数的非负性；（2）0≥a （算数平方根的非负性）． 4．二次根式化简（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．题型1 二次根式定义【例1】0)y 0,0)a b <<中，是二次根式的有( ) A ．3个B ．4个C ．5个D ．5个【解答】0)y 0,0)a b <<是二次根式，共4个， 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．【例2】y( ) A ．0x B ．0x 且0y >C ．x 、y 同号D ．0x ，0y >或0x ，0y <【解答】解：依题意有20x y 且0y ≠，即0xy且0y ≠． 所以0x ，0y >或0x ，0y <． 故选：D ．【点评】0)a 叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．题型2 二次根式有意义的条件【例3】若a 、b 为实数，且4b =+，则a b +的值为( ) A ．1± B ．4 C ．3或5 D ．5【解答】解：由题意得，210a -，210a -，则21a =，解得，1a =±，4b ∴=，则3a b +=或5， 故选：C ．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【例4】若2y =，求x y 的值． 【解答】解：22y x =，24x ∴=，解得：2x =±， 故2y =-，则2(2)4x y =-=或21(2)4x y -=-=． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x 的值是解题关键．题型3 二次根式化简求值【例5】已知a 、b 、c ||||a bb c ++．【解答】解：如图所示：0a <，0a b +<，0c a ->，0b c +<，||||a b b c ++a ab c a bc =-+++---a=-．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．【例6】设a ，b ，c 为ABC ∆的三边，化简：【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC ∆的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，0c b a --<，则原式||||||||4a b c a b c b a c c b a a b c b c a a c b a b cc=+++--+--+--=++++-++-++-=． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本 题的关键．【例7】数a ，b【解答】解：如图得，21a-<<-，12b <<，0a b ∴-<，10b ->，10a +<，∴1(1)b a b a =-+----， 211b a a =--++， 2b =．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，掌握二次根式的化简是解题的关键．知识点2 二次根式运算1．最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理 化因式． 3．同类二次根式（1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这 几个二次根式叫做同类二次根式． （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式 的混合运算应注意：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括 号的先算括号里面的．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 题途径，往往能事半功倍．题型4 最简二次根式【例8】下列说法错误的是( )A ． BC ．是一个非负数D 的最小值是4【解答】解：A |3|a =-，说法错误，故本选项正确；BC 是一个非负数说法正确，故本选项错误；D 、4说法正确，故本选项错误． 故选：A ．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分 母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型5 分母有理化【例9】阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①2525555==；②1===等运算都是分母有理化．根据上述材料， （1（2．【解答】解：（1）原式==（2）原式11．【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【例10】观察下列运算①由1)1=1=；②由1=③由1=④由1==；⋯（1）通过观察，将你发现的规律用含有n 的式子表示出来． （2）利用你发现的规律，+⋯+．【解答】解：（1n =为正整数）；（2）原式1)=+++⋯+，1=1=．【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．题型6 同类二次根式【例11】( )A B CD【解答】解：，∴ 故选：A ．【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．【例12】 是同类二次根式的是( )A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④【解答】解：=2==3==，∴故选：C ．【点评】本题考查了同类二次根式的定义： 化成最简二次根式后， 被开方数相同， 这样的二 次根式叫做同类二次根式 ．【例13】是同类二次根式，则a = ．【解答】解：38172a a ∴-=-，解得：5a =．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．【例14】计算：（1）-．（2）-．（3）2132 3+（4）【解答】解：（1）原式==（2）原式22=-1812=-6=；（3）原式23=-+5=；（4）原式13932=⨯⨯=【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．题型7 二次根式化简求值【例15】先化简，再求值(6(4-，其中32x=，27y=．【解答】解：32x=，27y=，∴原式=-=-====【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键．【例16】已知x=，y=，求代数式22242x xy y-+的值．【解答】解：353x+==+-5y ==-∴原式222(2)x xy y =-+22()x y =-22(55=++2= 296=⨯ 192=．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先化简x ，y 的值是解题的关键．第1关 二次根式（题册部分）【课后练1】下列各式中，不属于二次根式的是( )A 0)xB C D【解答】解：当0aA ∴、属于二次根式，故本选项错误；B 、属于二次根式，故本选项错误；C 、属于二次根式，故本选项错误；D 、210x --<不属于二次根式，故本选项正确； 故选：D ．【课后练2】实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，( )A ．3a b -+B ．1a b +-C ．1a b --+D ．1a b -++【解答】解：由数轴可知：102a b -<<<<，10a ∴+>，20b ->， ∴原式|1||2|a b =+--12a b =+-+ 3a b =-+， 故选：A ．【课后练3】a 的值可能是( ) A ．2- B ．2C ．32D ．8【解答】解：0a ∴，且a故选项中2-，32，8都不合题意，a ∴的值可能是2． 故选：B ．【课后练4】，那么x 的取值范围是( )A ．12xB ．12x <C ．2xD ．2x >【解答】解：由题意可得，10x -且20x ->，解得2x >． 故选：D ．【课后练5】下列根式中，与是同类二次根式的是( )A ．BC D【解答】与A 错误；=B 错误；C 错误；=是同类二次根式，D 正确； 故选：D ．【课后练6】的结果是( )A ．BC ．D ．3-【解答】解：原式6===． 故选：B ．【课后练7】x 的取值范围是 ．【解答】1200x x -⎧⎨≠⎩． 解得12x且0x ≠， 故答案为：12x 且0x ≠．【课后练8】实数a 化简后为 ．【解答】解：由数轴可得，48a <<，∴310a a =-+- 7=，故答案为：7．【课后练9】先观察下列的计算，再完成：（11==；====请你直接写出下面的结果：= ；= ； （2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：1)+⨯．【解答】解：（12==；==（2）根据题意得：原式111==．故答案为：（12【课后练10】计算题：①②(2+-③④⑤⑥2314()22+⨯--．【解答】解：①原式==，②原式43=- 1=，③原式==1311=⨯ 143=，④原式==89=⨯ 72=，⑤原式328=-- 7=-．【课后练11】已知1a =，1b =，分别求下列各式的值．（1）22a b +； （2）b a a b+．【解答】解：当1a =，1b =时，（1）原式221)1)=+44=-+8=；（2）原式22a b ab+=22=82= 4=．【课后练12】化简求值（1）23)3)+；（2）已知x =-【解答】解：（1）原式59119=-+-16=-．（2）原式(2x =-，1212x ==+，∴原式1(2(1)xx x x -=--1(2x x =+，当2x =原式(2(2=-++9=-。

人教版初二下册数学知识点第十六章二次根式。

一、二次根式的概念。

1. 定义。

形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

- 被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

例如√(x - 1)，则x-1≥0，即x≥1时该二次根式才有意义。

二、二次根式的性质。

1. (√(a))^2=a(a≥0)- 例如(√(5))^2 = 5。

2. √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)- 当a = 3时，√(3^2)=3；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。

3. 积的算术平方根√(ab)=√(a)·√(b)(a≥0,b≥0)- 例如√(12)=√(4×3)=√(4)×√(3)=2√(3)。

4. 商的算术平方根√(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥0,b > 0)- 例如√(frac{8){2}}=(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。

三、二次根式的运算。

1. 二次根式的加减法。

- 先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。

- 最简二次根式满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如√(8)不是最简二次根式，化为最简二次根式为2√(2)。

- 合并同类二次根式，就是把几个同类二次根式合并为一个二次根式。

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如3√(2)+2√(2)=(3 + 2)√(2)=5√(2)。

2. 二次根式的乘除法。

- 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

- 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即√(a)÷√(b)=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。

初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。

其中，$\sqrt{}$ 称为二次根号，$a$（$a\geq0$）是一个非负数。

2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。

二次根式中被开方数是非负数，且具有非负性，即 $a\geq0$。

3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性，即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。

4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$a+5$，$-3y(y\geq0)$，$m^2-1$ 和 $ab$（$a<0,b<0$）中，是二次根式的有()A。

3个B。

4个C。

5个D。

5个解答】解：式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$-3y(y\geq0)$，$ab$（$a<0,b<0$）是二次根式，共 4 个，故选 B。

点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数。

题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式，则下列说法正确的是()A。

$x<y$B。

$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。

$x$、$y$ 同号D。

$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解：依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$，即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，是二次根式。

则 $\frac{2x}{y}>0$，即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。

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二次根式【知识要点】1. 二次根式的有关概念（1）二次根式：形如 （ a ≥0 )的式子叫做二次根式。

（2）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 练习:化简：（1)= ；（2)= ;（3)= ；(4）= .（5) 下列的根式中，属最简二次根式的是（A B 。

D 。

（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.若最简二次根式与是同类二次根式，则m = 。

2.； ⑵ （≥0） ⑶； ⑷ （）; ⑸ （） 3. 分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。

练习：化简:；1. 中，字母a的取值范围是__________．2.________．3. 当时，在实数范围内有意义．4. 的倒数是 ；的绝对值是 ．5.的有理化因式是，的有理化因式是 ．6.7.当时，化简的结果是_________．8.化成最简二次根式，结果是___________．9. ，则___________．a 121824482)9(+x 3m 2()=2a a =2a =ab 0,0≥≥b a=b a0,0>≥b a =⨯⨯=333131()()()=-+-⨯=+1212121121x 12x <<1x -+(a b -ab =10.,且＜，化简：。

初二下册数学二次根式知识点
一、二次根式的定义
二次根式是一种常见的函数，是表示二次函数y = ax2+ bx+ c (a≠ 0) 的根的简写形式。

它一般由一个未知数 x 和一些常数 a、b、c 组成，它的形式如：ax2+ bx+ c= 0。

二次根式又称二次方程根，二次根式中的常数 a、b、c 可以推倒出
二次函数 y = ax2+ bx+ c，这时 x 可以表示为 ax2+ bx+ c = 0中它的解，也就是 y 轴上的两个变化点，这样 x 就变成了 ax2+ bx+ c = 0 中
一个变量，而不是一个常数。

二、二次根式的解法
1、求根公式法
即已知二次根式 ax2+ bx+ c = 0，求解 x 的一般解法，首先用根公
式法，即设 x1、x2 是该方程的根，则有：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
根据以上两式可求出：
x1 = [-b + √(b2- 4ac)]/2a x2 = [-b - √(b2- 4ac)]/2a
2、分部分求根法
即将二次根式分成两部分，一部分是首项与其系数之积 ax2，另一部
分是常数项 c，将两部分分别化简。

(1) 首先将 ax2 化简为 A，求出 bx + c = 0 的解 x1；
(2) 然后将 A + bx = 0 化简为 ax2 + bx = -c，求出其解 x2
二次根式的解有一般解和特殊解，当a、b、c中有变数时，可以用一般解；当a、b、c中有常数时，可以用特殊解。

三、二次根式的应用
1、二次根式可以用来求解一元二次方程，根据一元二次方程 y = ax2+ bx+ c = 0 的特点，可以求出两个不同的解，分别为 x1、x2。

初二数学二次根式知识点归纳一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

根号下的数字a称为被开方数，√a称为二次根式的基数。

二、二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式写成最简形式的过程。

化简的基本原则是将被开方数a的因数分解，并利用数的乘法法则和开方的运算性质进行合理的变形。

1. 同底合并当两个二次根式的基数相同时，可以将它们合并为一个二次根式，并进行化简。

2. 分解因数当被开方数a是一个完全平方数时，可以将其分解因数，再进行化简。

例如，√16可以分解为√(4×4)，再利用根号的运算性质进行合并得到4。

3. 有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，为了方便计算和比较，需要对分母进行有理化处理。

有理化分母的基本原则是将分母中的二次根式去掉，即将其乘以一个合适的形式为√a的因式。

三、二次根式的运算二次根式可以进行加减、乘除等运算。

在进行二次根式的运算时，需要注意以下几点：1. 加减运算当二次根式的基数和被开方数相同时，可以直接进行加减运算，并保持根号下的数字不变。

2. 乘除运算二次根式的乘法和除法运算可以通过化简和合并同类项的方式进行。

在乘法运算中，可以将二次根式的被开方数相乘，并将基数相乘；在除法运算中，可以将二次根式的被开方数相除，并将基数相除。

四、二次根式的应用二次根式在实际问题中有着广泛的应用。

以下是二次根式常见的应用场景：1. 长方形的对角线当已知长方形的长和宽时，可以利用勾股定理和二次根式的概念求出长方形的对角线长度。

2. 面积和体积在计算面积和体积时，常常会遇到含有二次根式的公式，如三角形的面积公式、球的体积公式等。

3. 几何图形的边长和面积比较通过比较含有二次根式的几何图形的边长和面积，可以判断它们的大小关系。

五、二次根式的性质二次根式有一些重要的性质，掌握这些性质有助于更好地理解和应用二次根式。

1. 非负性二次根式的基数必须是非负实数，即根号下的数字不能为负数。

初二数学下册：二次根式知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。

①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3二次根式的性质（1）非负性√a（a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

【知识回顾】1.⼆次根式：式⼦（ ≥0）叫做⼆次根式。

2.最简⼆次根式：必须同时满⾜下列条件：⑴被开⽅数中不含开⽅开的尽的因数或因式；⑵被开⽅数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类⼆次根式：⼆次根式化成最简⼆次根式后，若被开⽅数相同，则这⼏个⼆次根式就是同类⼆次根式。

4.⼆次根式的性质：（1）（）2= （ ≥0）；（2）5.⼆次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．= • （a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1），其中是⼆次根式的是_________（填序号）．例2、求下列⼆次根式中字母的取值范围（1）；（2）例3、在根式1) ，最简⼆次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：例5、（2009龙岩）已知数a，b，若 =b－a，则 ( )A. a>bB. a2、⼆次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a－b）－1a－b 化成最简⼆次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= ．例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、⽐较数值（1）、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则。

例1、⽐较与的⼤⼩。

（2）、平⽅法当时，①如果，则；②如果，则。

二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质例1、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )A．5 B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠0D．x≥0且x ≠ 14．的值是( )A．0 B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( ) A．B．C．D．6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．二、填空题1.若，则x = ____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9. 计算：(1)=_______；(2)=________；(3) =________。

初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。

①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。

初二数学重要知识点归纳1. 二次根式1.1 二次根式的定义二次根式是形如 $a\\sqrt{b}$ 的数，其中a和b都是实数，b是正整数且不含完全平方因子， $\\sqrt{b}$ 称为二次根式的根。

1.2 二次根式的四则运算二次根式的加减法可以化简为同类项相加减，乘法可以化简为配方法则，例如：$$(4\\sqrt{3} + 2\\sqrt{2}) - (3\\sqrt{3} - \\sqrt{2}) = 1\\sqrt{3} +3\\sqrt{2}$$$$(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}) \\times (3\\sqrt{5} - \\sqrt{3}) = 13\\sqrt{15}$$1.3 二次根式的化简二次根式可以通过化简消去根号，例如：$$\\frac{\\sqrt{12}}{2} = \\frac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}$$1.4 二次根式的应用二次根式在几何中有广泛的应用，例如矩形的对角线长就可以表示为二次根式。

2. 相似2.1 相似的定义相似的两个图形具有相同的形状但尺寸不同，其中一个图形可以通过放缩、旋转和平移得到另外一个图形。

2.2 相似的判定两个图形相似的条件是它们的对应角度相等而对应边的长度成比例，即角度相等且对应边的比例相等。

2.3 相似的性质1.相似的两个三角形的对应边比例相等，称为它们的相似比；2.相似的两个三角形的高线成比例，比例系数等于相似比；3.相似的两个三角形的面积成比例，比例系数等于相似比的平方；4.相似的两个平行四边形的面积成比例，比例系数等于对应边的比例的平方。

3. 代数式3.1 代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，代表一个或多个数。

3.2 代数式的基本运算代数式有四个基本运算，分别为加法、减法、乘法和除法。

其中加法和减法是同类项相加减，乘法可以化简为配方法则，除法可以化简为乘以倒数。

3.3 代数式的因式分解代数式可以进行因式分解，即将一个多项式拆分为几个因式的乘积，例如：2x2+6x=2x(x+3)3.4 代数式的应用代数式在对一些数学问题进行建模时非常有用，例如通过代数式可以描述物体的运动状态和力学规律。