2024年湖北名师联盟数学高三第一学期期末复习检测试题含解析

2024届湖北省三校数学高三第一学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．2．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 33．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n的值为10，则输出i的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23B ．17C ．20D ．635．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 6．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 7．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆8．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．72410．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．12012．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5C 5D 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省名校联盟2024年数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．2．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数 43 352 210 A ．2B ．3C ．3.5D ．44．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．45．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫---⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=8．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．59．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π11．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．940二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省高中名校联盟2025届高三第二次联合测评数学试卷（答案在最后）命题单位：武汉外国语学校数学备课组审题单位：圆创教育教研中心宜昌市第一中学本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2024年11月7日下午15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx a B x x =<<=<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A.10,13⎛⎫-⎪⎝⎭B.101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()6,9-D.()9,6-3.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±5.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2⋃B.()(0,11,⋃C.()1,2 D.(1,6.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD ，点E 在下底面圆周上，且CE =，点F 在母线AB 上，点G 是线段AC 上靠近点A 的四等分点，则EF FG +的最小值为（）A.4B.4C.6D.927.在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（）A.14 B.13C.512D.128.已知函数()()sin (0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，若所在平面不等式()()20f x f x a +-在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.,12∞⎛-+⎝⎦B.1,2∞⎛+- ⎝⎦C.,2∞⎛- ⎝⎦D.,12∞⎛--⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知抛物线2:4E y x =，过点()2,0M 的直线l 与E 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与E 的准线l '交于,C D 两点.则下列说法正确的是（）A.4OA OB ⋅=-B.直线,OA OB 的斜率分别记为12,k k ，则12k k ⋅为定值C.CD 的取值范围为)∞+D.AOB 面积的最小值为11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB AA AD E ===为棱AD 上一点，且3AE =，平面1A BE上一动点Q 满足0,EQ AQ P ⋅=是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为O ，则下列结论正确的是（）A.长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为2B.点A 到平面1A BEC.球心O 到平面1A BE 的距离为3 D.点Q 的轨迹在1A EB 内的长度为6π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}220B x Nx x =∈+-≤∣，则A B = （）A.(]1,1-B.{}0,1,2C.{}0,1 D.{}1,0,1-2.已知i 为虚数单位，若()()1122z i i ++=-+，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i+ D.1i-3.已知向量a ，b 满足()3,4a = ，()2,1b =- ，则向量b 在向量a方向上的投影向量为（）A.68,2525⎛⎫⎪⎝⎭ B.(6,8)C.68,55⎛⎫⎪⎝⎭D.(4,2)4.已知角α，β满足tan 2α=，()sin 2cos sin βαβα=-，则tan β=（）A.23B.23-C.43D.43-5.已知函数()26ln 1f x x x ax =++-在区间(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围是（）A.8,⎡--⎣B.(8,--C.7,⎡--⎣D.(8,7)--6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（）A. B.(2π+ C.(1π+ D.(3π+8.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()114f x g x -++=，()()24f x g x +-=，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为奇函数C.()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑ D.()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数x ，y 满足2x y +=，则2291x y x y+++的可能取值为（）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F .过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点.12AF F △的内心为1I ，12BF F △的内心为2I ，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为2B.直线AB 的斜率的取值范围为(),-∞+∞C.12I I 的取值范围为2,3⎡⎢⎣⎦D.2112tan3tan 22AF F AF F ∠∠=11.在正三棱锥P ABC -中，AB =PA =，三棱锥P ABC -的内切球球心为O ，顶点P 在底面ABC 的射影为Q ，且PQ 中点为M ，则下列说法正确的是（）A.三棱锥P ABC -的体积为3B.二面角M AB P --的余弦值为277C.球O 的表面积为43π D.若在此三棱锥中再放入一个球1O ，使其与三个侧面及内切球O 均相切，则球1O 的半径为39三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为_____.13.已知直线y ax =与曲线()xe f x x=相切，则实数a 的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足()()*21nnn b n N =+-∈，且()1,0nn n ab b R λλλ+=-∈>.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n c 满足2n n c n a =，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求9T .16.（15分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=-.（1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC △沿AD 折成直二面角B AD C '--，求直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记X 为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左顶点到点()2,1P 的距离为，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB =，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果R 上的函数()f x 满足条件：①在闭区间[],a b 上连续；②在开区间(,)a b 可导；③()()f a f b =.则至少存在一个(),c a b ∈，使得()0f c '=.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根，其中a ，b ，c ，d R ∈；（2）已知函数()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈在区间(0,1)内有零点，求m 的取值范围.湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12.10313.24e 14.2881解答题：15.（13分）解：（1）因为{}n a 为等比数列，所以2213a a a =，即()()()2755177λλλ-=--，化简得()()210λλ-+=.因为0λ>，得2λ=.因此()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦，易知{}n a 为等比数列；（2）由（1）知，()231nn c n=--.22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ ，16.（15分）解：（1）sin sin sin sin A B B C c a b ++=-，a b b c c a b++∴=-，化简得222b c a bc +-=-.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-，故23A π=；（2）设BD x =，2CD x =，在ACD △中，由sin sin CD AD DAC C ∠=得22sin30sin x C=，解得1sin 2C x=.①在ABD △中，2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭.②由①、②得27sin ,7B x ==BD ∴=CD =，从而AB =.二面角B AD C '--为直二面角，AB AD '⊥，平面AB D ' 平面ACD AD =，AB '⊂平面AB D '，AB ∴'⊥平面ACD建立如图所示的空间直角坐标系，易知()0,0,0A，()D，()C，(B '，(AB ∴='，(B C ='，(B D '=.设平面B CD '的法向量(),,n x y z = ，则有00n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'，即0x ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，解得()4n =.211cos ,11n AB n AB n AB ⋅∴=''='，故直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值为21111.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为111224⨯=，若两人交换的是玩偶，则概率也为111224⨯=，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为111442+=.（5分）（2）X 可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为111224⨯=，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为111224⨯=，经过两次交换后()1111044464P X ==⨯⨯=，()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯=，故随机变量X 的分布列为：X 01234P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.18.（17分）解：（1）设椭圆C 左顶点为D ，则D 坐标为(,0)a -.由PD==，解得2a =.因为椭圆C 的离心率为2c e a ==，得c =1b =.所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）设A 坐标为(),A A x y ，B 坐标为(),B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()222204A B A B x x y y -+-=，整理得222214A B A B y y x x -=--.（*）设Q 坐标为(),Q Q x y ，由2AB QB =得Q 为线段AB 的中点，2A B Q x x x +∴=，2A BQ y y y +=.由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有12OQ OP k k ==，即12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+.由（*）得222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-，故12A B AB A B y y k x x -==--.设直线l 方程为1,02y x m m =-+≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，得221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得()222210x mx m -+-=.由0>△，得m <<且0m ≠.因为直线l 与椭圆C 相交于A 和B 两点，所以2A B x x m +=，()221A B x x m =-.A B AB x ∴=-=点P 到直线l的距离为52d ==，122APB S AB d ∴==-△m <<且0m ≠.记()()()2222f m m m =--，()()()2421f m m m m =---'.由()0f m '=，及m <<0m ≠得12m =即当12m =时，APB S △取最大值.此时直线l 方程为1122y x=-+，与坐标轴交点为()1M -，10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭13522MON S OM ON ∴== △.19.（17分）证明：（1）设()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++，[]0,1x ∈，则()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++，()F x ∴在[]0,1上连续，在(0,1)上可导.又()()010F F ==，由罗尔中值定理知：至少存在一个()00,1x ∈，使得()00F x '=成立，()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=.故方程()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根.（2）()()2222222xf x emx e m x =----- ，m R ∈在区间(0,1)内有零点，不妨设该零点为1x ，则()10f x =，()10,1x ∈.由于()()224222xf x e mx e m '=----，易知()f x '在[]10,x 和[]1,1x 上连续，且在()10,x 和()1,1x 上可导.又()()()1010f f x f ===，由罗尔中值定理可得，至少存在一个()210,x x ∈，使()20f x '=；至少存在一个()31,1x x ∈，使得()30f x '=.∴方程()()2242220x f x e mx e m '=----=在(0,1)上至少有两个不等实根2x 和3x .设()()()224222xg x f x emx e m ==--'--，()0,1x ∈，则()282x g x e m =-'.()0,1x ∈ ，()2288,8x e e ∴∈.1 当28m ≤，即4m ≤时，()()0820g x g m >=-'≥'，故()g x 在(0,1)上单调递增；方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去2 当228m e ≥，即24m e ≥时，()()21820g x g e m <=-'≤'，故()g x 在(0,1)上单调递减.方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去3 当244m e <<时，由()0g x '=得()1ln 0,124mx =∈，10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '<单调递减；1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '>单调递增.()g x ∴在(0,1)上的最小值()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.注意到()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭，则有()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 方程()0g x =在(0,1)上至少有两个不等实根，()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩，解得222622e m e -<<+.结合244m e <<，且22262 2.564e ->⨯->，222222224e e e e +<+=，故m 的取值范围为()2226,22e e -+.。

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则集合的子集个数为（ ）A.2B.4C.8D.162.若复数满足，则（ ）B.3.在中，为的重心，设，则（ ）A. B.C. D.4.已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A.或B.或C.或D.或5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）A.5B.4C.3D.26.已知实数，且满足，则下列一定正确的是（ ）A.B.C.D.{}(){}3390,lg 3A xx x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣A B ⋂z 1i34i z-=+z =25ABC V G ABC V ,BA a BC b == CG =1233a b - 2133a b -+ 1233a b -+ 2133a b- ()(){}210,21102x A xB x x a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣x A ∈x B ∈a 3a ≤-1a ≥3a ≤-1a >3a <-1a ≥3a <-1a >mL 2079mg ~mg 0.4mg /mL 20%lg20.3010≈(),1,0ab ∈-cos πcos πa b >sin sin a b <3355ab-->sin sin a a b b ->-4433a b<7.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则下列一定正确的是（）A.B.C.为奇函数D.为奇函数8.在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（ ）A.B.25C.D.24二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.的图像可由的图像向左平移个单位得到B.图像关于点对称C.在上值域为D.若，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）()f x R ()1f x +()2f x +()20221f =()()2f x f x =+()3f x +()2024f x +ABC V ,,A B C ,,a b c 222c a b ab =++D AB CD ACB ∠12CD =49a b +252254)(),0,1a m b ==2a = 1a b ⋅=m a∥b()4a a b ⊥-1m =3m =a b b - ,a b2π3()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x y x =π4()f x π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π[]1,1-()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭7cos225α=()()ln ,e ln xf x x xg x a x a =-=-+A.有极大值为B.对于恒成立，则实数的取值范围是C.当时，过原点与曲线相切的直线有2条D.若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若为偶函数，则实数__________.13.已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________.14.定义：如果集合存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合的一个划分.若使函数在有且仅有一个零点的的取值集合为，则集合的所有划分的个数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）对于任意两个非零向量，定义新运算：.（1）若向量，求；（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）已知的三个内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，点满足，且的面积；()f x 1-()0g x ≥x ∈R a 12e ,∞-⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =()()1y g x f x =--x ()()f x g x =a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()sin2g x x =()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭a =ABC V O ,,A B C ,,abc ::5:6:5a b c =7BA BC ⋅=BO BA ⋅=A ()12,,,,2m A A A m m ∈≥N 12m A A A A ⋃⋃⋃= 12,,,m A A A Am ()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N π0,4⎛⎫⎪⎝⎭ωA A ,a b2a b a b b ⋅⊕= ()()1,5,3,4a b =-=()2a b b -⊕ ,a b ()()5323a b a b +⊕-=- a b + b ABC V ,,A B C ,,a b c π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = CD =ABC V17.（本小题满分15分）已知函数.（1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数在上的最大值为2，集合.（1）求的值，并用区间的形式表示集合；（2）若，对，都，使得，求实数的值.19.（本小题满分17分）（1）当时，求证：（i ）；（ii ）（2）已知函数.（i ）当时，求在点处的切线方程；（ii ）讨论函数在上的零点个数.()2ln f x x ax a =-+1x =()f x a ()f x ()1,x ∞∈+()0f x >a ()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣a A ()()221xx x x g x a a m a a --=+-++1x A ∀∈[]20,1x ∃∈()12x g x =m[]0,πx ∈sin x x ≥21e 12xx x ≥++()e sin 1xf x mx x x =+--1m =()y f x =()()0,0f ()y f x =[]0,π湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学答案1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.BCD 10.BD 11.ABD 12.113.14.148.由，又，，，当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值11.A 选项，则，当时，；当时，；所以在处取得极大值为，对B 选项，在递减，在上递增，故对于恒成立，则B 对C 选项，，函数定义域为，则，设切点坐标为，则在处，的切线方程为，把点代入切线方程得，，化简得，25222212πcos ,23c a b ab C C =++⇒=-∴=S ABC ACD BCD S S =+V V 12π1π1π11sin sin sin 2,2232323ab b CD b CD ab a b a b ∴⋅=⋅+⋅⇒=+∴+= ()111194125494913132222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝9423b a b a a b =⇒=112a b +=55,46a b ==252()()ln ,0,f x x x x ∞=-∈+()()111x f x x x--=-='()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∞∈+()0f x '<()f x 1x =()11f =-A ()()()e 10xg x a a g x =->⇒'10,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0g x ≥x ∈R 121ln 012ln 0e ,g a a a -⎛⎫≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭()()1e 1ln xy g x f x x =--=--()0,∞+1e xy x'=-()00,x y 0x x =e 1ln x y x =--()()000001e 1ln e x x y x x x x ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭()0,0()()000001e 1ln e 0xxx x x ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭()000ln 1e xx x =-当时，，此方程无解，当时，，此方程无解，当时，，满足要求，故方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条切线和相切，C 错误；D ：由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，整理得，则，即设函数，则上式为，因为在R 上单调递增，所以，即，由A 选择项可知，当时，；当时，；的最大值为，又因为，所以要想有两个根，只需要，即，所以的取值范围为.故D 对.14.函数在有且仅有一个零点，则，，集合有4个元素，集合的2划分个数为，集合的3划分个数为，集合的4划分个数为1，故集合的所有划分的个数为14.15.解：（1），001x <<()000ln 01e xx x <<-01x >()000ln 01e xx x >>-01x =()000ln 01e xx x ==-()000ln 1e xx x =-01x =()y f x =x ()()f x g x =ln e ln x x a a =+ln lnx e ln x a a +=+()ln ln e ln x ax x x a ++=++()ln ln ln ee ln ,xx a x x a ++=++()e xh x x =+()()ln ln h x h x a =+()h x ln ln x x a =+ln ln a x x =-()()ln ,0,f x x x x ∞=-∈+()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∞∈+()0f x '<()f x ()11f =-()(),,0,x f x x f x ∞∞∞→+→-→→-ln ln a x x =-ln 1a <-10e a <<a 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N π0,4⎛⎫⎪⎝⎭πππ2π3744ωω<+≤⇒<≤{},4,5,6,7,4,5,6,7A ωω∈∴=∴=N A A 214422C C 7A +=A 246C =A A ()25,6a b -=-()()()()225,63,4152492252525a b b a b b b-⋅-⋅-+∴-⊕====（2）由，，.，故与16.解（1），，，，，（2）由，，，()()()()232553233(2)a b a b a b a b a b +⋅-+⊕-=-⇒=--15543554a b a b a b-⋅=-⇒⋅=-⋅ ()91,5a b b a b a b +⋅=⋅+=+====()cos ,a b b a b b a b b +⋅<+>===+⋅ a b + b π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()cos sin sin 2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++()sin sin cos 2sin ,0,π,sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π623C C ∴-=∴=()22233AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-1233CD CA CB ∴=+1233CD CA CB ∴=+==22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭()()22301303b b b b b ∴--=⇒+-=⇒=11sin 1322S ab C ∴==⋅⋅=17.（1）是的极值点，故，当时，，，可知是的极大值点，故，的单调增区间为；单调减区间为（2）法一：由，得，易知当时，，满足题意；当时，令，在上单调递增，则，不符合题意；当时，由，得，由，得，于是有在上单调递减，在上单调递增，，则当时，，()12,1f x ax x x '=-= ()f x ()111202f a a =-=⇒='12a =()()()()111120x x f x ax x x x x x--+=-=-=>'()()()()00,1,01,f x x f x x ∞'>⇒∈<⇒∈+'1x =()f x 12a =()f x ()0,1()1,∞+()0f x >()()21ln 0,1,a x x x ∞--<∈+2ln 0,10,x x -<->0a …()21ln 0a x x --<12a …()()()21ln 1g x a x x x =-->()()2210,ax g x g x x-=>'()1,∞+()()10g x g >=102a <<()0g x '>x ∞⎫∈+⎪⎭()0g x '<x ⎛∈ ⎝()g x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎭()min ()10g x g g =<=102a <<()()1,,0x g x ∞∃∈+<综上，的取值范围为.法二：由，得，，令，则，令，则，可知在上为减函数，故，故在上为减函数，故，，故，则在上为减函数，故，综上，的取值范围为.18.（1），则，当时，（舍）当时，满足，故.，故集合（2）由集合，设，则当，即时，a 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x >()()21ln 0,1,a x x x ∞--<∈+()2ln 11x a x x ∴<>-()()2ln 11x g x x x =>-()()()2212ln 11x x x x g x x x --=>-'()()12ln 1h x x x x x x =-->()()212ln 11h x x x x'=-->()212ln 1h x x x=--'()1,∞+()()10h x h '<='()12ln h x x x x x=--()1,∞+()()10h x h <=()()()2212ln 011x x x x g x x x --'=<>-()2ln 1xg x x =-()1,∞+2211111ln 111lim ()lim lim lim ,12222x x x x x x g x a x x x →→→→====∴<-a 1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭212,14t x x x ⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦29,416t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦01a <<291629log ,,4,max log 216a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦1a >429log ,,4,max log 2216a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦2a =()()][221log 21,0,2,2,4y f x x x x y ⎡⎤=+=+++∈∴∈⎣⎦[]2,4A =[]()()()()2222,4,2222122221x x x x x x x x A g x m m ----==+-++=+-+-22x x t -=+[]0,1x ∈[]21,2x∈由对勾函数的性质可知，故，设，则由题意得为当时，的值域的子集.当即时，易知在上单调递增，故，得当，即时，在上的最大值为和中的较大值，若得，若得，而，故不合题意；当，即时，易知在上单调递减，故，不等式组无解.综上所述：实数的值为.19.证明：（1）（i ）令，则，故上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（ii ）令，则当时，，故在上为增函数，故当时，，52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()()22222211x xx x g x m t mt --=+-+-=--()2h 1t t mt =--[]2,4A =52,2t ⎡∈⎢⎣()h t 22m ≤4m ≤()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()232252154242h m h m ⎧=-≤⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩1;2m =5222m <<45m <<()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2h 52h ⎛⎫⎪⎝⎭()2324h m =-≥12m ≤-52154242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭12m ≤45m <<522m ≤5m ≤()h t 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()232452152242h m h m ⎧=-≥⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩m 12()[]()sin 0,πx x x x ϕ=-∈()1cos 0x x ϕ=-≥'()[]sin 0,πx x x ϕ=-在()()00x ϕϕ≥=sin 0x x -≥0x =[]0,πx ∈sin x x ≥()[]()21e 10,π2xk x x x x =---∈[]0,πx ∈()()e 1,e 10x x k x x k x ''=--=-≥'()e 1x k x x =--'[]0,π[]0,πx ∈()()00k x k '≥='即：，当且仅当时取等号；故在上为增函数，故，即，当且仅当时取等号；故当时，成立.（2）（i ）当时，，故在点处的切线方程为：（ii ）（A ）当时，，故，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（B ）当时，，，当且仅当时取等号，故在区间上的零点个数只有1个；（C ）当时，，，当时，在上为增函数，故，当时，，故，使得，则，e 10x x --≥0x =()21e 12x k x x x =---[]0,π()()00k x k ≥=21e 102x x x ---≥0x =[]0,πx ∈21e 12x x x ≥++1m =()()()()e sin 1,00,e sin cos 1,00x x f x x x x f f x x x x f =+---'==++∴='()y f x =()0,00y =()[]e sin 1,0,πxf x mx x x x =+--∈0m ≥[]0,π,sin 0x mx x ∈∴≥ ()e sin 1e 10x x f x mx x x x =+--≥--≥0x =()f x []0,π1,02m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭[]0,π,sin 0x x x ∈∴≥ ()211e sin 1e sin 1e 1022x x x f x mx x x x x x x x ∴=+--≥---≥---≥0x =()f x []0,π1,2m ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()[]e sin 1,0,πx f x mx x x x =+--∈()()()e 1sin cos ,e 2cos sin x x f x m x mx x f x m x x x '=-++-''=+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()e 2cos sin x f x m x x x =+-''π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()π2ππ0120,e 022f x f m f m '⎛⎫≥=+<='-> ⎪⎭''''⎝π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()e 2cos sin 0x f x m x x x =+-'>'0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x ''=()()()()000,,0;,π,0x x f x x x f x ∈''''<∈>故在递减，在递增，又，故，则，使得，则，故在递减，在递增，又，又，故，使得，即此时在区间上有两个零点和；综合有：当时，在区间上只有一个零点；当时，在区间上有两个零点.()f x '[)00,x (]0,πx ()()π00,πe 1π0f f m '==-⋅'->()()000f x f '<='()10,πx x ∃∈()10f x '=()()()()110,,0;,π,0x x f x x x f x ∈''<∈>()f x [)10,x (]1,πx ()()()100,00f f x f =∴<=()ππe π10f =-->()21,πx x ∃∈()20f x =()f x []0,π0x =2x x =1,2m ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭()f x []0,π1,2m ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()f x []0,π。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数与下列复数相等的是( )A. B. 2023-2024学年湖北省高三调研模拟考试数学试卷C. D.2.已知集合，，且全集，则( )A.B.C.D.3.城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性.在一个周期T 内交通信号灯进行着红绿交替变换东西向红灯的同时，南北向变为绿灯;然后东西向变为绿灯，南北向变红灯用H 表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V 表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R 表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S 表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和不考虑黄灯时间及其它起步因素，则S 的计算公式为( )A. B. C. D.4.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则( )A. B.C. D. 5.在中，，，且点D 满足，则( )A. B. C. D. 6.已知，则( )A.B.C.D.7.已知动直线l 的方程为，，，O 为坐标原点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 长度的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为，且的图象关于原点对称，则( )A. 0B. 3C. 4D. 1二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.以下说法正确的有( )A. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为B. 经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点C. 若，，则事件A，B相互独立D. 若随机变量∽，则取最大值的必要条件是10.已知函数其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有( )A.B. 函数为奇函数C.D. 若，则直线为图象的一条切线11.已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有( )A. 截面多边形可能是五边形B. 若截面与直线垂直，则该截面多边形为正六边形C.若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行D. 若截面过点，则该截面多边形的面积为12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有( )A. 抛物线焦点F的坐标为B. 过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C. 在中，若，，则t的最小值为D. 若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届湖北省三市联考高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π2．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2log 33．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或04．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3605．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．66．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．128．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．-C ．18D ．9．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③10．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-111．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武昌区2024届高三年级上学期期末质量检测数学（答案在最后）本试题卷共4页，共22题.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是锐角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据命题否定的相关概念直接求解.【详解】由命题否定的概念可知，命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三角形”.故选：B2.若复数z 满足()i 11z +=，则z z ⋅=（）A.iB.i- C.12D.12-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z ，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222z --====-++-，则11i 22z =+，所以1111111i +i =+=2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.3.已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A.18ab ≥B.18ab >C.108ab <≤D.108ab <<【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式直接计算即可.【详解】由题意得，0,0a b >>，则0ab >，21a b +=≥108ab <≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时等号成立.故选：C4.已知1()2(1),1x f x f x x ≤≤=->⎪⎩，则5()4f =（）A.2B.C.32D.1【答案】D 【解析】【分析】根据给定的分段函数，代入依次计算即得.【详解】函数1()2(1),1x f x f x x ≤≤=->⎪⎩，所以51(2()144f f ===.故选：D5.已知集合{}ln ,A y y x x B ==∈，若[]0,e A B = ，则集合B 可以为（）A.(]0,e B.(]0,1 C.(]1,e D.[]1,e 【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合并集的运算对选项逐一分析验证即可.【详解】若(]0,e B =，则(],1A ∞=-，(],e A B ∞⋃=-，A 不合题意；若(]0,1B =，则(],0A ∞=-，(],1A B ∞⋃=-，B 不合题意；若(]1,e B =，则(]0,1A =，(]0,e A B ⋃=，C 不合题意；若[]1,e B =，则[]0,1A =，[]0,e A B ⋃=，D 符合题意；故选：D.6.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为πtan 2xy x =⎛⎫ ⎪⎝⎭，01x <<，则（）A.y 有最大值B.y 有最小值C.y 随x 的增大而增大D.y 随x 的增大而减小【答案】D 【解析】【分析】利用导数知识直接求解判断即可.【详解】由πtan 2xy x =⎛⎫ ⎪⎝⎭，01x <<，则()2222ππ2tan ππππ2cos sin cos sin ππ2222πππtan sin 2sin 222xx x x x xx x y x x x ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝'⎭⎭，因为01x <<，所以ππ022x <<，则2πsin 02x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()()sin ππ,01g x x x x =-<<，则()()()πcos πππcos π10g x x x ⎡⎤=-=-≤⎣⎦'，所以()g x 在01x <<单调递减，所以()()00g x g <=，则0'<y ，所以πtan 2xy x =⎛⎫ ⎪⎝⎭在01x <<单调递减，即y 随x 的增大而减小，且无最值.故选：D7.已知函数()()sin f x x ϕ=+，0πϕ<<，若函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A.π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.π,8π2⎛⎤⎥⎝⎦C.π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据题意分类讨论π4ϕ≥和π4ϕ<两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.【详解】若3π04x ≤<，则3π4x ϕϕϕ≤+<+，又因为0πϕ<<，函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，所以当3ππ4ϕ+≥，即π4ϕ≥时，只需满足3π3π42ϕ+≤，此时π3π44ϕ≤≤，当3ππ4ϕ+<，即π4ϕ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π3ππ242ϕϕ-<+-，此时ππ84ϕ<<，综上，π3π84ϕ<≤，即ϕ的取值范围是π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D8.已知O 是坐标原点，过抛物线2:4C y x =上异于O 的点(),M a b 作抛物线的切线l 交x 轴于点(),0N b ，则OMN 的外接圆方程为（）A.()()222640x y +++=B.()()222640x y ++-=C.()()222620x y +++=D.()()222620x y ++-=【答案】A【解析】【分析】先求得,M N 的坐标，再利用待定系数法即可求得OMN 的外接圆的一般方程.【详解】设过抛物线上异于O 的点(),M a b 的切线l 为()y k x a b =-+，又l 交x 轴于点(),0N b ，则()0k b a b -+=，则2()4y k x a b y x=-+⎧⎨=⎩，整理得24440ky y b ka -+-=，则()164440k b ka ∆=--=，即210k a kb -+=则有22()0104k b a b k a kb b a-+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，可化为222()04104b k b b k b kb ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解之得412b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，则4124a kb =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，则()()4,4,4,0M N --设OMN 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则016164401640F D E F D F =⎧⎪++-+=⎨⎪-+=⎩，解之得0124F E D =⎧⎪=⎨⎪=⎩OMN 的外接圆方程为224120x y x y +++=，即()()222640x y +++=.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于随机变量X ，下列说法正确的有（）A.若()1E X =，则()211E X -=B.若()1D X =，则()214D X -=C.若()2,4X N :，则()4E X =D .若()10,0.5X B ，则()5E X =【答案】ABD 【解析】【分析】根据期望和方差变换公式和二项分布、正态分布相关概念求解即可.【详解】对于A ，若()1E X =，则()212111E X -=⨯-=，故A 正确；对于B ，若()1D X =，则()221124D X -=⨯=，故B 正确；对于C ，若()2,4X N :，则()2E X =，故C 错误；对于D ，若()10,0.5X B ，则()100.55E X =⨯=，故D 正确.故选：ABD10.已知不重合的直线m ，n ，l 和平面α，β，则（）A.若//m l ，//n l ，则//m nB.若m l ⊥，n l ⊥，则m n⊥C.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】AD 【解析】【分析】根据直线和平面的相关性质逐一判断即可.【详解】对于A ，根据平行传递性可知，若//m l ，//n l ，则//m n ，故A 正确；对于B ，若m l ⊥，n l ⊥，则可能出现m n ⊥，或//m n ，或,m n 相交但不垂直，或,m n 异面但不垂直，故B 错误；对于C ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；对于D ，根据面面垂直判定定理可知，若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选：AD11.已知数列{}n a 满足11a =，11211111n n n a a a a a +=++++- ，数列{}n b 满足121111n nb a a a =++++ ，则（）A.112233a b a b a b ==B.11n n n n a b a b ++=C.存在*k ∈N ，使得1k k a a +≤D.数列{}n b 单调递增，且对任意*n ∈N ，都有1122n n b b b ++++< 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，分别求得123,,a a a 和123,,b b b 的值，可判定A 正确；根据数列{}n a 的递推公式，化简得到21n n n a a a -=，即数列{}n a 为等比数列，进而得到2nn b =，可判定B 正确；结合等比数列的单调性，可判定C 错误；根据等比数列的求和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由11211111n n n a a a a a +=++++- ，{}n b 满足121111n nb a a a =++++ ，因为11a =，可得11112b a =+=，当1n =时，可得1212a a =-，解得212a =，2121114b a a =++=；当2n =时，可得2314a a =-，解得314a =，312311118b a a a =+++=；可得1122332a b a b a b ===，所以A 正确；对于B 中，由数列{}n a 满足11211111n n na a a a a +=++++- ，当2n ≥时，112111111n n n a a a a a --=++++- ，两式相减得11111n n n n na a a a a +--=--，整理得21n n n a a a -=，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，所以11(2n n a -=，又由21121111112222n n n nb a a a -=++++=+++++= ，则11()222n n n n a b -=⨯=，1111(222n n n n a b +++=⨯=，所以11n n n n a b a b ++=，所以B 正确；对于C 中，因为数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，所以数列{}n a 为递减数列，所以1k k a a +>，所以C 不正确；对于D 中，由数列{}n b 满足2nn b =，则112220++-=-=>n n n n n b b ，所以数列{}n b 为递增等比数列，且11122(12)22212nn n n b b b ++-+++==-<- ，所以D 正确.故选：ABD.12.已知(),P P P x y ，(),Q Q Q x y 是曲线222:66721630C x x y y x -+-++-=上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A.22Q Q x y +的最小值为1B.46+C.若直线()3y k x =-与曲线C有公共点，则,33k ⎡∈-⎢⎣⎦D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD 【解析】【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D.【详解】当2630y x +-≥时，原方程即()22266721630x x y y x -+-++-=，化简为22143x y +=，轨迹为椭圆.将22334y x =-代入2630y x +-≥，则08x ≤≤，则此时02x ≤≤，即此部分为椭圆的一半.同理当2630y x +-<时，原方程即()22266721630x x y y x -+--+-=，化简为()2214x y -+=.将()2241y x =--代入2630y x +-<，则0x <或8x >，则此时10x -≤<，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，22Q Q x y +最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当0x ≥时，22Q Q x y +最小值为3，当y =时取得，当0x <时，22Q Q x y +最小值为1，当0y =时取得，则22Q Q x y +最小值为1，故A 正确；对于B ，当1,0P P x y =-=2=，显然B 选项错误；对于C ，直线()3y k x =-经过定点()3,0，当3k =时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在33k >，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设P 为ABC 所在平面内一点，满足0AP BC BP AC ⋅=⋅=，则CP AB ⋅= ______.【答案】0【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合向量的加减法计算即得.【详解】由0AP BC ⋅=，得()0PA PC PB ⋅-= ，则PA PC PA PB ⋅=⋅ ，由0BP AC ⋅=，得()0PB PC PA ⋅-=，则PB PC PB PA ⋅=⋅，于是C PB PC PA P ⋅=⋅，所以()0CP AB PC PB PA PC PB PC PA ⋅=-⋅-=-⋅+⋅= .故答案为：014.若点()0,1A 在圆()()222:10C x y r r -+=>上，则过A 的圆的切线方程为______.【答案】1y x =+【解析】【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.【详解】因为点()0,1A 在圆()()222:10C x y r r -+=>上，所以过A 的圆的切线方程和AC 垂直，因为()0,1A ，()1,0C ，所以10101AC k -==--，所以切线方程斜率为111-=-，所以切线方程为()101y x =⨯-+，即1y x =+.故答案为：1y x =+15.楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则不同的写法共有______种.（用数字作答）【答案】232【解析】【分析】根据题意分类讨论短竖有几处，结合组合相关概念计算即可.【详解】当短竖为3处时，不同写法有325C 210440⨯=⨯=，当短竖为2处时，不同写法有235C 210880⨯=⨯=，当短竖为1处时，不同写法有145C 251680⨯=⨯=，当短竖为0处时，不同写法有055C 232⨯=，一共有40808032232+++=种不同写法.故答案为：23216.棱长为10cm 的密闭正四面体容器内装有体积为3的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______2cm .【答案】【解析】【分析】首先分水面平行于一组对棱和水面平行于正四面体的一个面两种情况，舍去前一种情况，结合正四面体几何特征求出其体积，根据相似关系得到棱长比，进而求出面积即可.【详解】若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，即两条棱为对棱时，如图所示，若水面平行与,AS BC ，不妨取特殊情况讨论，记,,,AB AC SB SC 中点分别为,,,N M P Q ，则////PQ BC MN ，12PQ BC MN ==，则四边形MNPQ 为平行四边形，即水面形状为平行四边形，不符合题意；则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为DEF ，下求正四面体体积，如图所示，即AB 中点为G ，连接CG ，设SO ⊥平面ABC ，则O 是CG 三等分点，因为正四面体棱长为10，所以22333OC CG ==⨯=，1102ABC S =⨯⨯=△，则3SO ===，所以113333S ABC ABC V S SO -=⋅=⨯=△，如下图所示，正四面体容器倒放时，棱锥S DEF -部分为水体部分，设SD SE SF a ===，则3310S DEF S ABC V a V --=，则3218210002163a =÷⨯=，则6a =，所以水面面积26925331025DEF ABC S S ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 如下图所示，正四面体容器正放时，棱台ABC DEF -部分为水体部分，设SD SE SF b ===，则3318210S ABC S ABC V b V ---=，则3784216b =>，水面面积更大，不符合.综上，水面面积的最小值为23cm .故答案为：3【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，且()22cos sin c a B b A a b -=-.（1）求A ；（2）若2a =，ABC 的面积为2，求b c +.【答案】（1）π4A =（2）2+【解析】【分析】（1）根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解；（2）根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可.【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理得，222cos 2a c b B ac+-=，代入()22cos sin c a B b A a b -=-，则22222sin 2a c b c a b A a b ac ⎛⎫+-⋅-=- ⎪⎝⎭，即22222s n 222i a A b a c b b c -=-+-，即222sin cos 2b c a A A bc+-==，因为()0,πA ∈，且π2A =时上式不成立，所以cos 0A ≠，所以tan 1A =，则π4A =【小问2详解】因为ABC 的面积为2，所以1sin 22bc A =，即bc =，又因为2222cos a b c bc A =+-，2a =，π4A =，所以2212b c +=，则()222212b c b c bc +=++=+，则2b c +=+18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，2AC CB ==，13AA =，90ACB ∠=︒，P 为BC 的中点，点Q ，R 分别在棱1AA ，1BB 上，12A Q AQ =，12BR RB =.（1）求证；AC PR ⊥；（2）求平面PQR 与平面111A B C 所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）22929.【解析】【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）借助（1）中坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面111A B C ，而1111,C A C B ⊂平面111A B C ，则111111,CC C A CC C B ⊥⊥，显然11190A C B ACB ∠=∠=︒，则1111C A C B ⊥，即直线11111,,C A C B CC 两两垂直，以点1C 为原点，直线11111,,C A C B CC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由2AC CB ==，13AA =，12A Q AQ =，12BR RB =，得(2,0,3),(0,0,3),(0,1,3),(0,2,1),(2,0,2)A C P R Q ，(2,0,0),(0,1,2)CA PR ==- ，显然0CA PR ⋅= ，因此CA PR ⊥ ，所以AC PR ⊥.【小问2详解】由（1）知，(2,1,1)PQ =-- ，(0,1,2)PR =- ，设平面PQR 的法向量(,,)n x y z =，则2020n PQ x y z n PR y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2z =，得(3,4,2)n = ，显然平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m = ，于是29cos ,29||||291n m n m n m ⋅〈〉==⨯ ，显然平面PQR 与平面111A B C 所成二面角为锐角，所以平面PQR 与平面111A B C 所成二面角的余弦值为22929.19.数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：项目速度快速度慢合计准确率高102232准确率低111728合计213960（1）依据0.010α=的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.附：α0.1000.0500.0250.0100.0050.001x α 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++.【答案】（1）依据0.010α=的独立性检验，数学考试中准确率与运算速度无关（2）49【解析】【分析】（1）根据独立性检验相关知识直接计算判断即可；（2）记“甲在3人一组”为事件A ，记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件AB ，根据题意分别求出两事件概率，结合条件概率公式求解甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率即可.【小问1详解】零假设0:H 数学考试中准确率与运算速度无关，()220.01060171011222300.424 6.63521393228637x χ⨯⨯-⨯==≈<=⨯⨯⨯，依据0.010α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即数学考试中准确率与运算速度无关【小问2详解】记“甲在3人一组”为事件A ，则需从除甲以外的9人中任选2人与甲形成一组，再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，所以()334234107497422C C C 3C C C A 5P A =÷=，记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件AB ，则需从除甲、乙以外的8人中任选2人与甲形成一组，再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，所以()334233107486322C C C 4C C C A 15P AB =÷=，由条件概率公式，则()()()4341559P AB P B A P A ==÷=，即甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为4920.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()10a m m =≠，1122n n n S a a +=-.（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，[]1010S =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）21115m ≤<【解析】【分析】（1）根据公式1n n n a S S -=-整理等式，利用等差中项，可得答案；（2）根据等差数列的性质，求得首项与公差，结合求和公式，可得答案.【小问1详解】由1122n n n S a a +=-，则()112n n n n n a a S a a ++=-，当2n ≥时，可得()1112n n n n n a a S a a ---=-，两式相减可得()()111122n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-+-=---，()()1111122n n n n n n a a a a a a +-+-=---，()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+--+--=---，21111111122222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++--++----+=-+，211112020n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+=-+=，，11n n n n a a a a +--=-，所以数列{}n a 是等差数列.【小问2详解】当1n =时，2121111212122122a a a a a S a a a a =-==-=，，，则等差数列{}n a 的首项为m ，公差为m ，所以()()110101059552a a S m m m m ⨯+==++=，由[]1010S =，则101011S ≤<，即1055m 11≤<，解得21115m ≤<.21.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），点()4,0F 是C 的右焦点，C的一条渐近线方程为y =.（1）求C 的标准方程；（2）过点F 的直线与C 的右支交于,A B 两点，以AB 为直径的圆记为M ，是否存在定圆与圆M 内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）221412x y -=（2）存在，方程为()22616x y -+=【解析】【分析】（1）根据双曲线焦点和渐近线求出基本量即可得到方程；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，结合圆的相关概念求得圆M 方程，结合对称性得到定圆圆心的位置，设出定圆方程，结合两圆内切的概念列出方程求解即可.【小问1详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为点()4,0F 是C 的右焦点，C的一条渐近线方程为y =所以2224c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的标准方程为221412x y -=【小问2详解】存在定圆满足题意，方程为()22616x y -+=，理由如下：因为过点F 的直线与C 的右支交于,A B 两点，所以直线AB 斜率不为0，设直线AB 方程为4x my =+，()()()112200,,,,,A x y B x y M x y，由2241412x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()223124360m y my -++=，()()()222Δ244363114410m m m =-⨯-=+>，1222431m y y m -+=-，1223631y y m =-，所以120212231y y m y m +-==-，0024431x my m -=+=-，由直线AB 与C 的右支交于,A B 两点可知12236031y y m =<-，解得213m <，又因为12AB y =-=()2212113m m +==-，所以圆M 的方程为()222222261412313113m m x y m m m ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由对称性可知，若存在定圆1O 与圆M 相内切，则定圆圆心1O 一定在x 轴上，不妨设定圆1O 方程为()()2220x n y r r -+=>，则由圆1O 与圆M 相内切可知，()2126113m MO r m +=--，即()222222261412313113m m n r m m m ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得，()()()()()()222242936641442366460n r m n n r r m n r ⎡⎤⎡⎤-++-+-+-+---=⎣⎦⎣⎦，因为上式与m 无关，所以()()()()()()222293606414423660460n r n n r r n r ⎧-+=⎪⎪-+-+-=⎨⎪---=⎪⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，所以存在定圆1:O ()22616x y -+=满足题意【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.22.已知函数()()ln e xx f x x m =+-+，m ∈R .（1）当1m =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 有且仅有1个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）0y =；（2）1m =【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）结合第一问将m 分为三种情况：当1m =时，由导数研究函数的单调性与最值可判定此时零点个数；当1m >时，通过取点及适当放缩分别计算()()10,,e f f m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的正负，判定此时函数零点的个数；当1m <时，通过函数的单调性得出()()ln ln 1x m x -+<-+，从而确定()f x 始终为负即可.【小问1详解】1m =时，()()ln 1e x x f x x =+-+，所以()()11,001e xx f x f x -='-=-，则()00f '=，所以()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】①由上知1m =时，()()()ln 11e xx f x x x =+-+<，有()()()2e 1111e e 1x x x x x f x x x ---=-=--'，令()()()()()2e 11e 210x x g x x x g x x =--<⇒=-->'，即()y g x =在(),1∞-上单调递增，又()00g =，()e 10x x -<，所以(),0x ∞∈-时，()0f x '>，()0,1x ∈时，()0f x '<，即()y f x =在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()00f x f ≤=，此时()y f x =只有一个零点，符合题意；②当1m >时，()()()ln ex x f x x m x m =+-+<，且()0ln 0f m =>，所以11e e 1111e e ln 1e e e e m m m m f m ----⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()()e 1e 1x xh x x h x =--⇒=-'，显然0x >时()0h x '>，即此时()h x 单调递增，0x <时()0h x '<，此时()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，即1e 1e 111e e 1e 1010e e e m x m m x m m ---≥+⇒≥-+>->⇒-<，所以10ef m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以根据零点存在性定理可知010,e x m ⎛⎫∃∈-⎪⎝⎭使得()00f x =，又()ln 2e ln ln 2em m m f m m m m ---=+=-++，易知1,ln 21m -<-<，所以()e e e ln 1m m m m f m m -<-⇒-<-++，由上证得1e 1e 1e ln 111110e 1ln m m m m m m m m m m m m-⎧≥+⇒-≤--⇒-++≤--+-+=-<⎨≥⇒-≥⎩，即()0f m -<，故()1,0x m ∃∈-使得()10f x =，所以此时()f x 至少存在两个零点，不符题意；③1m <时，()()()ln ex x f x x m x m =+-+<，由①可知()()ln 10e x x f x x <+-+≤，所以此时()f x 无零点，不符合题意；综上所述1m =时，()f x 有且仅有1个零点.。

湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评数学本试卷共4页，22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220M x x x =--≤，{N x y ==+，则M N =U （）A.[]2,2- B.[]1,1- C.[]2,1- D.[]1,2-2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，则z =（）A.i- B.iC.1i- D.1i+3.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（）A.310B.35C.38D.134.设命题p ：若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则点(),n P n a 必在一次函数图象上；命题q ：若正项数列{}n a 是公比不为1的等比数列，则点(),n Q n a 必在指数函数图象上.下列说法正确的是（）A.p 、q 均为真命题B.p 、q 均为假命题C.p 真q 假D.p 假q 真5.某人从A 地到B 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A 地到B 地迟到的概率是（）A.0.16B.0.31C.0.4D.0.326.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则min t 后物体的温度θ℃满足公式010()kteθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（）A.ln2k = B.2ln2k =C.牛奶的温度降至35℃还需4minD.牛奶的温度降至35℃还需2min7.已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.34B.23C.53D.748.记a =b =c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （4n ≥）均为正数，且.12n x x x <<⋅⋅⋅<，若由21k k y x =-()1,2,,k n =⋅⋅⋅生成一组新的数据1y ，2y ，…，n y ，则这组新数据与原数据的（）可能相等.A.极差B.平均数C.中位数D.标准差10.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则N ，O ，P 三点不共线B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若直线l 过焦点F ，则抛物线C 在M ，N 处的两条切线的交点在某定直线上D.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 11.已知正四面体P ABC -的棱长为2，下列说法正确的是（）A.正四面体P ABC -的外接球表面积为6πB.正四面体P ABC -内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体P ABC -的相邻两个面所成二面角的正弦值为13D.正四面体Q MNG -在正四面体P ABC -的内部，且可以任意转动，则正四面体Q MNG -的体积最大值为8112.若()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，且对任意1x ，210,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，则下列说法正确的是（）A.()1f 一定为正数B.2是()f x 的一个周期C.若()11f =，则202314f ⎛⎫=⎪⎝⎭D.若()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则1(1)2024f ≠三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()52x y x y -+的展开式中33x y 的系数是______.14.已知Rt ABC △的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______.15.小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n 层（2030n ≤≤，n N *∈），设第1层的“环境满意度”为1，且第k 层（2k n ≤≤，k N *∈）比第1k -层的“环境满意度”多出2331k k -+；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k 层（2k n ≤≤，k N *∈）比第1k -层的“高层恐惧度”高出13倍.在上述条件下，若第k 层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为k a ，k b ，记小王对第k 层“购买满意度”为k c ，且kk ka cb =，则小王最想买第______层住宅.（参考公式及数据：2222(1)(21)1236n n n n ⋅⋅⋅++++++=，ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈1.1006≈）16.已知()221:21O x y +-=e ，()()222:369O x y -+-=e ，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当PM PN +取到最小值时，点P 坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数241()log )R (2x xm f x m ⋅+=∈.（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，求实数m 的值；（Ⅱ）若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =.成立，求实数m 的取值范围.18.（12分）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.（Ⅰ）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；（Ⅱ）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记ξ表示抽到一等品的箱数，求ξ的分布列和期望.19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11ABB A 均为矩形，2AB =，6BC =，1BB =14AC =.（Ⅰ）求证：1A D DC ⊥；（Ⅱ）求1AC 与平面11BAA B 所成角的正弦值.20.（12分）已知数列{}n a 满足10a >，212log ,2,n n n a a n a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数（Ⅰ）判断数列{}21n a -是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 的前10项和为361，记221221(log )n n n b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：716n T <.21.（12分）已知双曲线22149x y -=与直线3:()2l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M .（Ⅰ）若点()2,9N 在直线l 上，求直线l 的方程；（Ⅱ）过点M 且与直线l 垂直的直线分别交x 轴于10(),A x ，y 轴于1(0,)B y 两点.是否存在定点G ，H ，使得M 在双曲线上运动时，动点11(),P x y 使得PG PH -为定值.22.（12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若两个不相等的正实数a ，b 满足()()f a f b =，求证：1a b +<；（Ⅲ）若42ππα<<，求证：()()c i s s n o f f αα<.湖北省高中名校联盟2024届高三第一次联合测评数学试卷参考答案与评分细则题号123456789101112答案ABACBDCDBCBCDABDBCD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】由{}[]2201,2M x x x =--≤=-，{[]2,1N x y ===-，得[]2,2M N =-U .故选A.2.B 【解析】21i (1i)i 1i 2z ++===-，故选B.3.A 【解析】从5条线段中任取3条，可能的情况有：()2,4,6，()2,4,8，()2,4,10，()2,6,8，()2,6,10，()2,8,10，()4,6,8，()4,6,10，()4,8,10，()6,8,10共有10种可能，其中，能构成三角形的只有()4,6,8，()4,8,10，()6,8,10共3种可能，所以，能构成三角形的概率为310.选A.4.C 【解析】若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则()111()n a a n d dn a d =+-=+-，故点(),n P n a 必在一次函数1()y dx a d =+-图像上，故p 真；若12n n a -=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列12n n n a a -=≠ ，(N )n *∀∈，(),n Q n a ∴不恒在指数函数图像上，故q 假.故C 正确.5.B 【解析】设事件A 表示“乘火车”，事件B 表示“乘轮船”，事件C 表示“乘飞机”，事件D 表示“迟到”，则()0.3P A =，()02|.P D A =，()0.3P B =，()03|.P D B =，()0.4P C =，()04|.P D C =，()()()D D A D B D C =I U I U I ，由全概率公式得：()()()()()()||P D P A P D A P B P D B P C =++()0.30.20.30.30.40.40.31|P D C =⨯+⨯+⨯=.选B.6.D 【解析】由条件及公式010()kteθθθθ-=+-，得()250208020te-=+-，故1ln 22k =，AB 错误；又由3520(8020)kt e -=+-，1ln 22k =，得4t =，故牛奶的温度从80℃降至35℃需4min ，从50℃降至35℃还需422min -=.故选D.7.C 【解析】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-在2Rt MNF △中()()()2223222n a n a n +-=-22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =123a MF ∴=，243a MF =在12Rt MF F △中，222416499a a e =+，223620e a ∴=2205369e ==，又()0,1e ∈，3e ∴=，故选C.8.D 【解析】设12023()f x x=，则()f x 在R 上单调递增，故()(2022)2023f f <，即a b <；设()ln 1xg x x =+，2x e >，则()22211ln ln 1g ()0(1)(1)12ln x x xx x x x x x x -+-+-'==<<+++()2x e >，()g x 在()2,e +∞.单调递减，故()()02023222g g <，即c a <；综上得，b a c >>，故D 正确.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC 【解析】极差分别为1n x x -和11(2)n n y y x x -=-，10n x x -> ，1112()n n n y y x x x x ∴-=->-，故A 错误；由21y x x =-=知，当1x =时，平均数相等，故B 正确；当21n m =-时，中位数分别为m x 与21m m y x =-，同理可知当1m x =时，中位数相等，当2n m =时，中位数分别为12m m x x ++与111(21)(21)21222m m m m m m y y x x x x ++++-+-+==⨯-，同理可知当112m m x x ++=时，中位数相等，故C 正确；由.2y x s s =，0x s >知，2y x x s s s =>，标准差不可能相等，故D 错误.综上，选BC.10.BCD 【解析】设直线:l x ty m =+，联立方程22x ty m y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pty pm --=设11(),M x y ，22(),N x y ，则121222y y pty y pm+=⎧⎨=-⎩选项A 若直线l 过焦点F ，则2p m =212y y p ∴=-，1,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1222OP y p k p y ∴==-又22222222,22ON OPy y p y k y p y k pN ⎛∴⎫=== ⎪⎝⎭Q N ∴，O ，P 三点共线，∴A 错选项B 由抛物线的定义和平行线的性质知：1MFP MPF PFO ∠=∠=∠=∠，2NFQ NQF QFO ∠=∠=∠=∠又2(12)π∠+∠=，122π∴∠+∠=，所以B 对；选项C 抛物线C 在点M 处的切线为11()y y p x x =+抛物线C 在点N 处的切线为22()y y p x x =+，联立得1122()()y y p x x y y p x x =+⎧⎨=+⎩解得：1222y y px p ==-抛物线在点M ，N 处的切线的交点在定直线2px =-上，所以C对选项D 因为OM ON ⊥，12120x x y y ∴+=，221212022y y y y p p∴+=将韦达定理代入得：2m p =所以直线l 恒过点()2,0p ，所以D 对11.ABD 【解析】A.棱长为2的正四面体P ABC -2的正方体的外接球半径相同，设为R ，则：26R =，所以246S R ππ==，所以A 对B.设四面体P ABC -内任意一点到四个面的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，设四面体P ABC -的高为d ，由等体积法可得：123411()33s d d d d sd +++=，所以1234d d d d d +++=为定值.所以B 对C.设BC 中点为D ，连接PD ，AD ，则PDA ∠为求，3341cos 63PDA +-==∠，所以正弦值为223，所以C 错D.要使正四面体Q MNG -在四面体P ABC -的内部，且可以任意转动，则正四面体Q MNG -的外接球在四面体P ABC -内切球内部，当正四面体Q MNG -的外接球恰好为四面体P ABC -内切球时，正四面体Q MNG -的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为13，所以正四面体Q MNG -的外接球半径为66，设正四面体Q MNG -为a 226a ⎫=⨯⎪⎪⎭，所以23a =，故体积32221281V a ==，所以D 对因此：正确答案为ABD12.BCD 【解析】因为()0f x =符合条件，故A.错误；因为偶函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()2f x f x f x +=-=，故B 正确；因为对任意1x ，210,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，所以对任意[]0,1x ∈，取122x x x ==得2()02x f x f⎡⎤⎛⎫=≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；若()11f =，即2411(1)124f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故114f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由2是()f x 的周期得202311150614444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；假设1(1)2024f =，由24111(1)242024f ff ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦及()0f x ≥，[]0,1x ∈，得12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这与()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.上单调递增矛盾，故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-40【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y -+=-+-，所以33x y 的系数为332255(2)(2)40C C -+-=-14.485π【解析】由勾股定理知斜边为5，斜边上的高为125，该几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为125，两个圆锥的高之和为5，所以该几何体体积为485π15.10【解析】依题意，11a =，且21331k k a a k k --=-+，(2)k ≥；11b =，1113341k k k k b b b ---=+=所以121321()()()k k k a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2221(32321)(33331)(331)k k =+⨯-⨯++⨯-⨯++⋅⋅⋅+-+()()()()2222313113232133331331k k =⨯-⨯++⨯-⨯++⨯-⨯++⋅⋅⋅+-+22223(123)3(123)k k k=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++3(1)(21)3(1)22k k k k k k k +++=-+=143k k b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【注】利用()32313311k k a a k k k k --=-+=--，（2k ≥）求解k a 更易.143k k b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故小王对第k 层住宅的购买满意度3143k k k c -=⎛⎫ ⎪⎝⎭.【方法一】由13313411(1)314433k k kkc k k c k -+⎛⎫+ ⎪+⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭⎭=⋅=>⎛⎫⎪⎝⎭.即1)1k -<解得9.9404k <，所以123910c c c c c <<<⋅⋅⋅<<同理有101112c c c >>>L ，小王最想购买第10层住宅.【方法二】设31()43x x f x -=⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)x ≥，则214()(3ln )343x x f x x -'=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故314ln3x ≤≤时()f x 单调递增；34ln 3x ≥时()f x 单调递减.由于3310.431242ln 2ln 3ln 3=≈-，33(11)3111(10)410f f ⨯=<⨯故()10f 最大，小王最想购买第10层住宅.16.3,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0P t则PM ==，PN =PM PN +=取(0,A，B 则PM PN PA PB AB +=+≥=此时，AB 直线：43(0)3y x +=-令0y =，则34x =，3,04P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数知，()()f x f x -=.故224141log log 22x x x x m m --⋅+⋅+=，即22441log log 22x x x x m m +⋅+=，化简得，()()1410xm a --=恒成立.故1m =，实数m 的值为1.（Ⅱ）若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =，则002041log 2x x m x ⋅+=，即00414xxm ⋅+=，[]00,1x ∈能成立.于是，0114x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]00,1x ∈由指数函数单调性，得01310,44xm ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故实数m 的取值范围为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法二】若[]00,1x ∃∈，使得00()f x x =，则002041log 2x x m x ⋅+=，即00414xxm ⋅+=，[]00,1x ∈能成立.于是，0141x m=-，[]00,1x ∈，由指数函数单调性，得[]0141,41x m=∈-解得304m ≤≤，故实数m 的取值范围为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.【解析】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件1A ，则121613101()2C C P A C ==；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为12，（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率42105=，由题可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:03302327(0)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21322336(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333238(3)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为ξ0123P271255412536125812526()355E ξ=⨯=.19.（Ⅰ）证明： 四边形ABCD 和四边形11ABA B 均为矩形，1AB AA ∴⊥，AB AD⊥又1AA AD A ∴= AB ∴⊥平面11AA D D1AD 平面11AA D D ，1AB A D ∴⊥//AB CD ，1A D DC ∴⊥.（Ⅱ）设1A AD θ∠=，1A D DC⊥ 22222211112cos A C DC A D DC A A AD A A AD θ∴=+=++-⋅164123626cos θ∴=++-⨯，cos 2θ∴=[]0,θπ∈ ，6πθ∴=，过C 点作CM 垂直交1BB 于点M ，由（1）可知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂ 平面11BCC B AB CM ∴⊥1CM BB ⊥ ，1AB BB B= CM ∴⊥平面11ABB A ，设1AC 与平面11BAA B 所成的角为α，又116B BC A AD π∠=∠=，1632CM ∴=⨯=1//CC 平面11AA B B ，1C ∴到平面11AA B B 的距离等于3在平行四边形11A ACC 中，()()()()22221112A C AC A A AC ⎡⎤+=+⎣⎦2116()2(4012)AC ∴+=+，1AC ∴=1322sin 44CM AC α∴==，1AC ∴与平面11BAA B所成角的正弦值44，20.【解析】（Ⅰ）数列{}21n a -成等比数列.根据212log ,2,.n n n a a n a n ++⎧=⎨⎩当为奇数时,当为偶数时得22212log 222121212224n n a a n n n a a a -+++--====；10a >Q ，210n a -∴>，21214n n a a +-=，即数列{}21n a -成等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12114n n a a --∴=⋅，()222121log log 21n n a a a n -==+-，故()0123410121121444445log 201234()3415log 20S a a a a =++++++++++=++由10361S =，得1213415log 20361a a ++=.显然，()23415log 20f x x x =++，0x >单调递增，且()11361()f f a ==，故11a =，22142n nn a -==，2221log 22n a a n n +=+=.22212211(log )4n n n b a a n ++=∴⋅=，111744T b ==<，212571616T b b =+=<当3n ≥时，()21111144141n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭122111111171177142231444416n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+<++-+⋅⋅⋅+=-<⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦综上，知716n T <.21.【解析】（1）联立22149x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=又Q 点()2,9N 在直线:l y kx m =+上，所以：92k m =+，2940k -≠Q 时，()2222644944(3)60k m k m ∴∆=----=，则：2249m k =-所以：()229249k k -=-，即，则52k =当52k =时，4m =；所以：直线l 的方程：542y x =+（Ⅱ）联立22149x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=，因为32k ≠±，M 是双曲线与直线的唯一公共点，所以()()2222644944360k m km∆=----=，化简得2249m k =-，解得点M 的坐标为2249,9494km m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，即为49,k m m ⎛⎫⎪--⎝⎭于是，过点M 且与l 垂直的直线为914k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，可得13,0k A m ⎛⎫⎪-⎝⎭，130,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1313,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即113k x m =-，113y m=-，于是222211222211691699169916991699114444413k m x m m m y ⎛⎫⎪⎛⎫+ ⎪⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫ ⎪⎝- ⎪⎝⎭⎭即P 的轨迹方程为：221(0)16916949x y y -=≠所以存在定点1313,06G ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，1313,06H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，使得当点M运动时，PG PH -为定值1322.【解析】（Ⅰ）函数()ln f x x x =的定义域是()0,+∞.由()ln 10f x x '=+>，得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；由()ln 10f x x '=+<，得()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上知，()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为1,0e⎛-⎫ ⎪⎝⎭，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域为1,e⎛-+∞⎫ ⎪⎝⎭.注意到()10f =，()()f a f b =.不妨设101a b e<<<<则欲证1a b +<，即证1b a <-.由于11b a e <<-由（Ⅰ）得()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故只需证()()1f b f a <-，由已知()()f a f b =，即证()()1f b f a <-，也即()()10a f a f --<【方法一】令()()()1F x f x f x =--，10x e<<.[]()()(1)ln(1)2ln (ln 1)2F x f x f x x x x x '''=+-=+-+=-+，10x e<<由[]211(1)24x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，得()()ln 12F x x x '=-⎤⎣⎦+⎡单调递增且()()()()ln 12,ln 1F x x x e ⎡⎤'=-+⎦∈⎣-∞-.由于()ln 10e ->，故010,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭满足00()F x '=.由()F x '单调递增知：当0()0,x x ∈时()()00F x F x ''<=，()F x .单调递减，值域为()0,(0)F x ；当01,x x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0()0F x F x ''>=，()F x 单调递增，值域为0111(),1ln 1F x e e e ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎫ ⎪⎝⎭；设ln 1()1g x x x =+-，01x <<，则22111()0x g x x x x-'=-=<，()g x 单调递减，故()()10g x g >=，即ln 11x x>-，01x <<取11x e =-，得11ln 1111e e⎛⎫->- ⎪⎝⎭-，即1111ln 10e e e ⎛⎫⎛⎫----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，得()0F x <，即()()()10f a f a F x --=<，1a b +<得证.【方法二】（重新同构）()()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1111a a a f a a a a a a a a f a --<-⇔<--⇔<=---令ln ()1xF x x =-，即01x <<，证：()()1F a F a <-，由于1102a e <<<，从而011a a <<-<.故要证()()1F a F a <-成立，只需ln ()1xF x x =-在()0,1单调递增成立即可.2211(1)1()(1ln ln )(1)x x x x x F x x x -++-'==--，令1()1ln G x x x =+-，01x <<，则22111()0x G x x x x-'=-+=<，()G x 在()0,1单调递减，()()10G x G >=，2()()0(1)G x F x x '=>-，故ln ()1xF x x=-在()0,1单调递增成立，原命题成立.【方法三】（比值代换）由对称性，不妨设0a b <<，1bt a=>，则()()l ln ln ln n()1t t f a f b a a ta ta a t==⇔⇔=-由于b ta =，欲证1a b +<，即证：()()11ln 1ln 0t a t a +<⇔++<，即证：ln ln(1)01t tt t++<-【方法四】（切、割线放缩）1、由于10a e<<故()1n 0l a a +<，即ln a a a <-；2、由方法二知110ln x x+->，01x <<，故110ln b b +->，即1ln 1b b >-，故ln 1b b b >-，11b e<<；由1、2知1ln ln b b b a a a -<=<-，故1a b +<成立，原命题成立.（Ⅲ）由（Ⅱ）知()()222221a b a b ab a b +=+-<+<.（1）当12cos sin 12e αα≤<<<时，()f x 在1,e ⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故()()sin f c s f o αα<.（2）当120cos sin 12e αα<<<<<时，由221a b +<，取10cos a eα<=<，得()()f a f b =（10cos 1a b eα<=<<<）时，。

湖北省高中名校联盟2024-2025学年高三上学期8月第一次联合测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．4B ．5．若 π4sin 125a æö+=ç÷èø，则 cos 2a æ-çèA ．1225-B ．725-二、多选题A．点 ()2,0在曲线 C上B．曲线 C的方程为( (2x y+C．曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为A ．若 π3AOB Ð=，球的半径为B ．存在球面三角形ABC，C ．若π3AOB Ð=，球的半径为8π3(1)若 AC与BD交于点O，且(2)求四边形 ABCD周长的最大值．16．已知椭圆Γ22221 x ya b+=经(1)求椭圆Γ的方程；(1)证明：MN∥平面A'BE；(2)当三棱锥A BEN¢-的体积为33，且二面角A BE C¢--为锐平面BEDC夹角的正切值．18．为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对(1)若给定01x =，求r 的二阶(2)设 1(),()(n n xg x h x x +==-+①试探求函数h (x )的最小值 ②证明：3e 4m <-.由已知，10,2Fæöç÷èø，设P(x由22x y=，即212y x=，则y¢所以过点P抛物线C的切线的由BD AC^可知, 2ABDSAOBD=V所以2215 4BO AB AO=-=（2）因为90BCDÐ=°,所以【分析】（1）利用中位线定理在平面A BE ¢中找到和直线MN 平行的直线BH ，利用直线和平面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.【详解】（1）取A B ¢的中点H ，BC 的中点O ，由题意知，2CD ED BC BE ====，直角梯形ACDE 中//,BC ED BC CD ^，\四边形BEDC 为正方形，Q N 为A C ¢的中点，////,NH BO EM NH BO EM \==，\四边形EMNH 为平行四边形，//EH NM \，EH ÌQ 平面A BE ¢，NM 不在面A BE ¢内，//MN \平面A BE ¢.（2）连接A O ¢，则AO BC ¢^，以OC 为x 轴，OM 为y 轴，OA ¢为z 轴建立空间直角坐标系，,BE A B BE BC ¢^^Q ，,A B BC ¢Ì面A BN ¢，BE \^平面A BN ¢，BA BC ¢=，12A BC S BC ¢\=´´V 3sin 2A BC ¢Ð=，A BC ¢\V 为等则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),BC A ¢-设ur 为平面NBM 的法。

2024届湖北省名校联盟高三数学第一学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．2D ．－22．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．73．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ） A ．6898B ．6896C ．5268D ．52664．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-8．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i9．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:20()P K k ≥0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”10．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．2⎛ ⎝⎦ B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦ D．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年湖北省三市联考数学高三上期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．43C 23D ．234．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ） A ．8B ．16C ．62D ．25．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ）A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1476．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．988．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1209．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．33711510．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明B ．小红C ．小金D ．小金或小明11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c12． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省宜昌市2024学年数学高三上期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．322．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]3．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或54．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-5．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C ．33D ．36．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.87．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x 9．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或1510．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－1311．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年湖北省实验中学等六校数学高三第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5782．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 3或－3 D ． 2和－24．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x y ±=C ．520x y ±=D ．50x y ±=5．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5 C ．4D ．36．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=8．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A ．34B ．33C ．32D ．39．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．10．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体12．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{,2}B m m =+，若{2}A B =，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．42．23i1i-=+（ ） A ．15i 22-B ．15i 22--C ．15i 22+D ．15i 22-+3．已知(1,2)=a ，(,3)m m =+b ，(2,1)m =--c ，若∥a b ，则⋅=b c （ ） A ．7-B ．3-C ．3D ．74．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．22y x =±C ．5y x =±D ．2y x =±此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种 B ．36种C ．24种D ．18种6．若3π3sin()2α+=，则cos2α=（ ） A ．12-B ．13-C ．13D ．127．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ） A．2B ．3C ．2 D．212．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞B ．(10,]eC ．[1,)e+∞D ．[,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，3a =，b =2B A =，则cos A = ．14．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．15．已知11210110121011(12)x a a x a x a x a x +=+++++，则12101121011a a a a -+-+= ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,)A a ，(3,4)B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF AC ∥，1EF =，60ABC ∠=︒，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点．（1）求证：平面ACG ∥平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流．（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表：20．（12分）设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，圆22:2O x y+=与x轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断||||PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．21．（12分）已知函数()sin x f x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在π(0,)2上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线:x t l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-．（1）解不等式()(21)6f x f x ++≥；（2）对1(0,0)a b a b +=>>及x ∀∈R ，不等式41()()f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】因为{2}A B =，所以2m =或22m +=，当2m =时，{2,4}A B =，不符合题意；当22m +=时，0m =，{2}A B =． 2．【答案】B 【解析】23i (23i)(1i)15i 1i (1i)(1i)22---==--++-． 3．【答案】B【解析】由∥a b ，得2(3)0m m -+=，则3m =，(3,6)=b ，(1,1)=-c ，所以3⋅=-b c ．4．【答案】A【解析】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，则2p =，又e p =，所以2ce a==，可得22224c a a b ==+，可得b =，所以双曲线的渐近线方程为y =． 5．【答案】B【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1名外科，2名护士，则有12333C C 39=⨯=，其余的分到乙村；若甲村有2外科，1名护士，则有21333C C 39=⨯=，其余的分到乙村， 则总有的分配方案为2(99)21836⨯+=⨯=种． 6．【答案】B【解析】因为3πsin()2α+=，由诱导公式得cos α=，所以21cos22cos 13αα=-=-．7．【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，可得3π5π7π9π11π2017(sin sin )sin sin )(sin sin )2017222222π(S =++++++=． 8．【答案】D【解析】由题意该几何体是由一个三棱锥和三棱柱构成， 该几何体体积为111162222222323⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 9．【答案】B【解析】()f x 的定义域为(1,)-+∞， 因为1()1f x a x '=-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =， 可得12a -=，解得1a =-． 10．【答案】A【解析】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥， 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体A BCD -的球心，由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF 的边长为3，则3OG =，∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为2520π4π()33⨯=．11．【答案】D【解析】连结11,MF PF ，可知四边形12PF MF 为平行四边形，∵12||3||PF PF =，∴2PF a =，13PF a =， 又∵22160MF N F PF ∠=∠=︒，∴在12PF F △中，22212(3)(2)1cos 232a a c F PF a a +-∠==⨯⨯，化简可得2274a c =，∴7c e a ==． 12．【答案】D【解析】根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数， 不妨设32(),A t t t -+，(, ())B t f t (0)t >，若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=， 即23232)(0()t t t t t +-+-+=，方程无解； 若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=，即232ln (0(1))a t t t t t t -++=+，即ln ta t=，因为函数ln ty t=在(1,)+∞上的值域为[,)e +∞，故[,)a e ∈+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】63【解析】∵3a =，26b =，2B A =， ∴由正弦定理可得sin sin 2sin cos a b bA B A A==，∴266cos 2233b A a ===⨯． 14．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=， 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ， 则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2525π()π24⨯=．15．【答案】22【解析】对等式11210110121011(12)x a a x a x a x a x +=+++++两边求导，得1091012101122(12)21011x a a a x a x x +=++++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=．16．【答案】55(,)33- 【解析】AB 的斜率44303a a k +-==-，2222||(30)(4)345AB a a =-++-=+=， 设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴11||5522S AB h h ==⨯=，即2h =，直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离22|3|54(3)a d ==+-， 应该满足321d R h <-=-=，即|3|15a <， 得|3|5a <，得5533a -<<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+；（2）1311()2212n T n n =--++．【解析】（1）设公差为d ，由已知有111210434242a a d a d ++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得13a =，2d =， 所以21n a n =+．（2）由于21n a n =+，所以22n S n n =+，则211111()222n S n n n n ==-++， 则111111111311(1)()23241122212n T n n n n n n =-+-+⋯+-+-=---++++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，易知O 是BD 的中点，故OG BE ∥，BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外，所以OG ∥面BEF ； 又EF AC ∥，AC 在面BEF 外，AC ∥面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面ACG ∥面BEF ．（2）连结OF ，∵//FE OC ，∴OF EC ∥， 又∵CE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,3,0)B -，(0,3,0)D，(0,0,3)F ，(1,3,0)AD =，(1,3,0)AB =-，(1,0,3)AF =，设面ABF 的法向量为(,,)a b c =m ，依题意有ABAF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m ，3030AB a b AF a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m ，令3a =，1b =，1c =-，(3,1,1)=-m ， 3315,544o 1c s AD +<>==⨯+m ，直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是15． 19．【答案】（1）能；（2）（i ）男生有6人，女生有4人；（ii ）4()5E X =，分布列见解析．【解析】（1）列出列联表，22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（2）（i ）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2， 用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X ， 则X 的可能值为0，1，2，则262101 (0)3CP XC===，11642108(1)15C CP XC===，242102(2)15CP XC===，可得X的分布列为：可得数学期望1824()012315155E X=⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）22163x y+=；（2）为定值，||||2PM PN⋅=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22知，b c=，2a b=，∴椭圆C的方程可设为222212x yb b+=，易求得2,0)A，∴点2,2)在椭圆上，∴222212b b+=，解得2263ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C的方程为22163x y+=．（2）当过点P且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x=由（1）知，2,2)M ，2,2)N-，(2,2)OM=，(2,2)ON=-，0OM ON⋅=，∴OM ON⊥，当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m=+，11)(,M x y，22)(,N x y221k=+222(1)m k=+，联立直线和椭圆的方程得222()6x kx m++=，∴222)(124260k x kmx m+++-=，得2221222122(4)4(1226)0421621)2(Δkm k m km x x k m x x k =-+->+=-⎧⎪⎪⎪+⎨-=+⎪⎪⎪⎩，∵11(),OM x y =，22(,)ON x y =，∴12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222))264(1((1)1221m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++2222222222222(1(26)421)3663(22)6602)21121(k m k m m k m k k k k k k +--++--+--====+++，∴OM ON ⊥，综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥， 在OMN Rt △中，由OMP △与NOP △相似得，2||||||2OP PM PN =⋅=． 21．【答案】证明见解析；（2）(0,1)．【解析】（1）当1a =时，()sin x f x e x =-，于是()cos x f x e x '=-． 又因为当(0,)x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤； 故当(0,)x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>．所以函数()sin x f x e x =-为(0,)+∞上的增函数，于是()(0)1f x f ≥=． 因此对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）由题意()f x 在π(0,)2上存在极值，则()cos x f x ae x '=-在π(0,)2上存在零点，①当(0,1)a ∈时，()cos x f x ae x '=-为π(0,)2上的增函数，注意到(0)10f a '=-<，π2(π)02f a e '=⋅>，所以，存在唯一实数0(0,)2πx ∈，使得0()0f x '=成立．于是，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为0(0,)x 上的减函数；当0()2π,x x ∈时，()0f x '>，()f x 为0(,)π2x 上的增函数，所以0(0,)2πx ∈为函数()f x 的极小值点；②当1a ≥时，()e cos cos 0x x f x a x e x '=-≥->在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递增，所以()f x 在π(0,)2上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x '=-<在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递减，所以()f x 在π(0,)2上没有极值，综上所述，使()f x 在π(0,)2上存在极值的a 的取值范围是(0,1)．22．【答案】（1）||1AB =；（2）4【解析】（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为(1,0)A，1(,22B ， 则||1AB =．（2）曲线2C 的参数方程为1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标为1cos ,(in )22θθ，从而点P 到直线l的距离是cos 222|π()4d θθθ-==- 由此当πsin()14θ-=-时，d23．【答案】（1）(,1][3,)-∞-+∞；（2）135m -≤≤．【解析】（1）1133,2()(21)|22233,||21|1,2x x f x f x x x x x x x ≤≤-⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=⎨>+⎪⎪⎪⎩， 当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，所以不等式()6f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞．（2）∵1(,0)a b a b +=>，∴414()()559b a a b a b a b ++=++≥+=， ∴对于x ∀∈R ，恒成立等价于：对x ∀∈R ，|2||2|9x m x -----≤， 即max |2||2|]9[x m x -----≤，∵|2||2||(2)(2)||4|x m x x m x m -----≤---+=--， ∴949m -≤+≤，∴135m -≤≤．。

湖北省2024年三上数学期末复习检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、用心思考，认真填写。

1．103乘5的积的中间有（_____）个0。

2．一天有_____小时，在一天的时间里时针正好走_____圈．3．在计算97×41时，可以把97当作________，把41看作________，这两个新数的乘积是________所以97×41≈________．4．妈妈早上7：45从家里出发去超市，走了40分钟，妈妈（____：____）到超市。

5．从一个长方形中剪下一个最大的正方形，已知这个正方形的周长是40厘米，长方形的长比宽多5厘米，那么这个长方形的周长是（________）厘米。

6．如下图，橡皮长（________）毫米，铅笔长（________）毫米，铅笔比橡皮长（________）毫米。

7．7吨＝（______）千克；80分米＝（______）米。

8．阳光小学六年级订《科学画报》150份，五年级比六年级少订25份，四年级比五、六年级订的总数多20份，三年级比四年级的2倍少28份。

根据上面的条件把下表填写完整。

年级六年级五年级四年级三年级份数1509．620比360多_____，比450多170的数是_____．10．60厘米＝（________）分米3千米＋2千米＝（________）米1分18秒＝（________）秒2吨－30千克＝（________）千克11．丽丽有3件上衣，4条裙子，一件上衣和一条裙子任意搭配，有（______）种不同穿法．二、仔细推敲，认真辨析。

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题（答案在最后）命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}3390,lg 3A x x x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B 【解析】【分析】先确定集合B 中的元素，依次判断是否满足3390x x +-≤，即可确定A B ⋂，即可得解.【详解】根据题意，(){}{}lg 30,1,2B x y x =∈=-=N∣，可得0,1,2A A A ∈∈∉，所以{}0,1A B ⋂=，所以集合A B ⋂的子集个数为224=.故选：B.2.若复数z 满足1i34i z-=+，则z =（）A.5B.25C.5D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法、复数的共轭及复数的模公式即可求解.【详解】由题意得1i (1i)(34i)34i 3i 417i34i (34i)(34i)91625z --------====++-+，17i 2525z ∴=-+，5z ∴===.故选：C .3.在ABC V 中，G 为ABC V 的重心，设,BA a BC b == ，则CG =（）A.1233a b - B.2133a b-+C.1233a b -+ D.2133a b - 【答案】A 【解析】【分析】根据重心得出2CG GF =，进而得出()13CG CB CA =+ ，再结合已知条件转化为用,a b表示即可.【详解】设F 分别是AB 的中点，由于G 是三角形ABC 的重心，所以2CG GF =，则()2213323CB CA CG CF CB CA ⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭.因为,BA a BC b == ，所以b C BC a A BA =-=- ,CB b =- ,所以()1122333CG a b a b =-=-.故选：A.4.已知集合()(){}210,21102x A x B xx a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.3a ≤-或1a ≥B.3a ≤-或1a >C.3a <-或1a ≥D.3a <-或1a >【答案】C 【解析】【分析】由题意确定B A ≠⊂,列出不等式即可求解.【详解】{1012x A xx x x ⎧⎫-=≤=≥⎨⎬+⎩⎭或2}x <-()(){}{}221101B x x a x a a x a x a =-+++≤=≤≤+∣∣因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ≠⊂，所以12a +<-或1a ≥.解得:3a <-或1a ≥.故选:C5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.4mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg20.3010≈）A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】设至少经过t 个小时才能驾驶，则40(10.2)20t-<，所以1lg2lg0.8t >，再结合对数的运算性质求解．【详解】设至少经过t 个小时才能驾驶，则40(10.2)20t -<，即10.82t<，所以1lg0.8lg 2t <，所以1lglg2lg2lg20.30102 3.1lg0.8lg4lg5lg52lg213lg210.9030t ->===≈≈----，即至少经过4个小时才能驾驶．故选：B ．6.已知实数(),1,0a b ∈-，且满足cos πcos πa b >，则下列一定正确的是（）A.sin sin a b <B.3355ab-->C.sin sin a a b b ->- D.4433a b<【答案】D 【解析】【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得10b a -<<<，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确.【详解】(),1,0a b ∈-时，()π,ππ,0a b ∈-，余弦函数在()π,0-上单调递增，由cos πcos πa b >，得ππa b >，则有10b a -<<<.正弦函数在()1,0-上单调递增，则有sin sin b a <，A 选项错误；幂函数35y x -=在()1,0-上单调递减，则有3355b a -->，B 选项错误；设函数()sin f x x x =-，由()cos 10f x x =-≤'，()f x 在()1,0-上单调递减，10b a -<<<，则有()()f b f a >，即sin sin b b a a ->-，C 选项错误；幂函数43y x =是偶函数，在()1,0-上单调递减，4433b a >，D 选项正确.故选：D.7.已知函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，则下列一定正确的是（）A.()20221f =B.()()2f x f x =+C.()3f x +为奇函数D.()2024f x +为奇函数【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性得出函数值判断A ,根据对称性分别判断B,C,D.【详解】函数()1y f x =+是偶函数，()()11f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，且因为()()2,f x f x =-由于函数()2y f x =+是奇函数，所以()f x 的图象关于()2,0对称，则()()220f x f x -++=，令=0，可得()()220f f +=，即()20f =，由()()2,f x f x =-可得()()2f x f x =-+，因为()f x 不一定恒为0，所以()()2f x f x =+不一定成立，故B 选项错误；可得+4=−+2=，所以()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()20224505220f f f =⨯+==，故A 选项错误；因为()()11f x f x +=-，则()()2f x f x +=-，且()()2f x f x =-+，即得()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，即()()2024f x f x +=为奇函数，D 选项正确；因为()()2f x f x =-+，所以()()31f x f x +=-+，又因为()1f x +为偶函数，()f x 不一定恒为0，所以()3f x +不一定为奇函数，所以C 选项错误.故选：D【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数转化为对称关系得出函数周期及对称轴对称中心解题.8.在ABC V 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222c a b ab =++，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，且12CD =，则49a b +的最小值为（）A.252B.25C.254D.24【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理可得角C 的大小，由S ABC ACD BCD S S =+ 可得112a b+=，结合基本不等式“1”的巧用，即可得49a b +的最小值.【详解】由()22212πcos ,0,π23c a b ab C C C =++⇒=-∈∴= ，又S ABC ACD BCD S S =+ ，12π1π1π11sin sin sin 2,2232323ab b CD b CD ab a b a b ∴⋅=⋅+⋅⇒=+∴+= ，0,0a b >> ，()111194125494913132222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9423b a b a a b =⇒=取等号；又112a b +=，即当且仅当55,46a b ==取到最小值252.故选：A.二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量)(),0,1a m b ==，则下列说法正确的是（）A.若2= a ，则1a b ⋅= B.不存在实数m ，使得a∥bC.若向量()4a a b ⊥-，则1m =或3m =D.若向量a 在b 向量上的投影向量为b - ，则,a b的夹角为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.【详解】A 选项：2a =，所以1m =±，所以·1a b =±，故A 错误；B 选项：若得a ∥b ，则10=，显然不成立，故B 正确；C 选项：因为)44a b m -=-,若向量()4a a b ⊥-，则()()·43401a a b m m m -=+-=⇒=或3m =，故C 正确；D 选项：设,a b的夹角为[]()0,πθθ∈，则向量a在b 向量上的投影向量为··,a b b mb b b b==- 所以1m =-，又因为向量a 在b 向量上的投影向量为····cos ·2cos ·a b b b a b b b b b bθθθ====- ，所以1cos 2θ=-则,a b的夹角为2π3，故D 正确.故选：BCD.10.已知函数()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B.()f x 图像关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在[]0,π上值域为[]1,1-D.若()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则2cos275α=【答案】BD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，化简函数()f x ，根据三角函数的图象性质判断A ，B ，C 选项；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求cos2α的值，从而判断D 选项.【详解】()π3ππsin cos cos sin 224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于A ，将y x =的图像向左平移π4个单位可得函数()πsin cos 4y x x x f x ⎛⎫=+=+≠ ⎪⎝⎭的图象，故A 不正确；对于B ，ππ204f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 图像关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，当[]0,πx ∈时，ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2cos 1,42x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()f x ⎡⎤∈⎣⎦，故C 不正确；对于D ，()cos sin 5cos2f αααα=-=()()()225cos sin 5cos sin cos sin αααααα=-=-+，因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα->，则()5cos sin 1αα+=，故1cos sin 5αα+=，平方得221cos sin 2cos sin 25αααα++=，则242sin cos 25αα=-，所以()2222449cos sin cos sin 2cos sin 12525αααααα-=+-=+=，则7cos sin 5αα-=，所以()()22177cos2cos sin cos sin cos sin 5525ααααααα=-=+-=⨯=，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()ln ,()e ln x f x x x g x a x a =-=-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 有极大值为1-B.()0g x ≥对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是12[e ,)-+∞C.当1a =时，过原点与曲线()()1y g x f x =--相切的直线有2条D.若关于x 的方程()()f x g x =有两个不等实根，则实数a 的取值范围是1(0,)e【答案】ABD 【解析】【分析】求出极大值判断A ；探讨最小值并建立不等式求出a 的范围判断B ；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C ；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出a 的范围判断D.【详解】对于A ，()ln ,0f x x x x =->，求导得11()1x f x x x-='-=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在1x =处取得极大值为(1)1f =-，A 正确；对于B ，()e 1'=-x g x a ，当10ln x a<<时，()0g x '<，当1ln x a >时，()0g x '>，函数()g x 在1(0,ln )a 递减，在1(ln,)a+∞上递增，1()(ln )12ln g x g a a ≥=+，由()0g x ≥对于x ∈R 恒成立，得12ln 0a +≥，解得12e-≥a ，B 正确；对于C ，()()1e 1ln x y g x f x x =--=--，函数定义域为(0,)+∞，求导得1e xy x'=-，设切点坐标为00(,)x y ，则在0x x =处，e 1ln x y x =--的切线方程为000001(e 1ln )()e x x y x x x x ---=--，则000001(e 1ln )(e )x x x x x -⋅--=--，化简得000ln (1)e x x x =-，当001x <<时，000ln 0(1)e xx x <<-，此方程无解；当01x >时，000ln 0(1)e x x x >>-，此方程无解；当01x =时，000ln 0(1)e xx x ==-，满足要求，因此方程000ln (1)e xx x =-只有01x =这1个解，即过原点有且仅有一条直线与()y f x =相切，C 错误；对于D ，由关于x 的方程()()f x g x =有两个实根，得ln e ln x x a a =+有两个不等实根，整理得ln ln e ln x a x a +=+，则ln ln e (ln )x a x x x a ++=++，即ln ln ln e e (ln )x x a x x a ++=++，令函数()e x h x x =+，则ln ln ln e e (ln )x x a x x a ++=++即为(ln )(ln )h x h x a =+，函数()h x 在R 上单调递增，则ln ln x x a =+，即ln ln a x x =-，由A 选项知()ln ,(0,)f x x x x =-∈+∞，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)1f x f ==-，当01x <<时，函数ln y x =取值集合为(,0)-∞，而10x -<<，因此()f x 在(0,1)的取值集合为(,1)∞--；当2x >时，令1()ln 2x x x ϕ=-，11()02x x ϕ'=-<，函数()ϕx 在(2,)+∞上单调递减，()(2)ln 210x ϕϕ<=-<，则1ln 2x x <，当2x >时，11()ln 22f x x x x x x =-<-=-，显然函数12y x =-在(2,)+∞取值集合为(,1)∞--，因此函数()f x 在(1,)+∞的取值集合为(,1)∞--，则ln ln a x x =-有两个根，必有ln 1a <-，解得10e a <<，所以a 的取值范围为1(0,)e，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()sin2g x x =，若()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+ ⎪-⎝⎭为偶函数，则实数a =__________.【答案】1【解析】【分析】由题可设函数()2lg 1h x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数a 的值.【详解】已知()sin2g x x =为R 上的奇函数，若()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭为偶函数，则函数()2lg 1h x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭为奇函数，又()2lg 1h x a x ⎛⎫-=+⎪--⎝⎭，则()()2222lg lg lg 01111h x h x a a a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故22111a a x x ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，整理得()222221a a x x --=-，所以()22211a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =，则()21lg 1lg 11x h x x x +⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其定义域为()(),11,∞∞--⋃+符合定义域对称，则函数ℎ为奇函数，所以1a =.故答案为：1.13.已知ABC V 的外心为O ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且::5:6:5a b c =.若7BA BC ⋅=，则BO BA ⋅=__________.【答案】252【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求解.【详解】由题意，不妨设()5,60a c k b k k ===＞，所以2222222cos 7722a cb ac b BA BC BA BC B ac k ac +-+-⋅=⨯=⨯=== ，解得=1，则5c =，又因为O 是ABC V 的外心，过点O 作OD AB⊥又因为OA OB =,所以12BD BA=则()2125·cos 22BO BA BO BA ABO BA BD BA =⨯⨯∠=⨯==，故填：252.14.定义：如果集合A 存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2m A A A m m ∈≥N ，且12m A A A A ⋃⋃⋃= ，那么称无序子集组12,,,m A A A 构成集合A 的一个m 划分.若使函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点的ω的取值集合为A ，则集合A 的所有划分的个数为__________.【答案】14【解析】【分析】通过零点个数确定ω，再结合新定义即可求解.【详解】函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点，则πππ2π3744ωω<+≤⇒<≤，{},4,5,6,7,4,5,6,7A ωω∈∴=∴=N ，集合A 有4个元素，集合A 的2划分个数为214422C C 7A +=，集合A 的3划分个数为24C 6=，集合A 的4划分个数为1，故集合A 的所有划分的个数为14.故答案为：14四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量,a b，定义新运算：2a b a b b ⋅⊕= .（1）若向量()()1,5,3,4a b =-=，求()2a b b -⊕ ；（2）若两个单位向量,a b 满足()()5323a b a b +⊕-=- ，求a b + 与b夹角的余弦值.【答案】（1）925（2）10【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.【小问1详解】()25,6a b -=-，()()()()225,63,4152492252525a b b a b b b-⋅-⋅-+∴-⊕====.【小问2详解】由()()()()()2325532332a b a b a b a b a b+⋅-+⊕-=-⇒=--，15543554a b a b a b-⋅=-⇒⋅=-⋅，()91,55a b b a b a b +⋅=⋅+=+====.()95cos ,105a b b a b b a b b+⋅+==+⋅，故a b + 与b16.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；【答案】（1）23π（2）4【解析】【分析】（1）cos 2C C =+，再由辅助角公式即可求解；（2）由题意得到：1233CD CA CB =+，平方得到b ，再由面积公式即可求解.【小问1详解】（1）π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)()cos sin sin 2sin A A C A C A ∴+=++，sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++，()sin sin cos 2sin ,0,π,sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ ，πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，ππ2π623C C ∴-=∴=【小问2详解】由()22233AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-，1233CD CA CB ∴=+ ，127333CD CA CB ∴=+==，22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭，()()22301303b b b b b ∴--=⇒+-=⇒=11sin 132224S ab C ∴==⋅⋅⋅=17.已知函数()2ln f x x ax a =-+.（1）若1x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若存在()1,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12a =，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求导，通过1x =为极值点，求a ，进而确定单调区间；（2）将()0f x >转换成()21ln 0,a x x --<构造函数()()()21ln 1,g x a x x x =-->，通过0a ≤，12a ≥，102a <<三类情况讨论单调性即可求解.【小问1详解】()12,1f x ax x x '=-= 是()f x 的极值点，故()111202f a a ='=-⇒=，当12a =时，()()()()111120x x f x ax x x x x x--+=-=-=>'，()()()()00,1,01,f x x f x x ∞''>⇒∈<⇒∈+，可知1x =是()f x 的极大值点，故12a =，()f x 的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,∞+【小问2详解】由()0f x >得()()21ln 0,1,a x x x ∞--<∈+，易知2ln 0,10,x x -<->当0a ≤时，()21ln 0,a x x --<满足题意；当12a ≥时，令()()()21ln 1g x a x x x =-->，()2210,()ax g x g x x=>'-在1,+∞上单调递增，则()()10g x g >=，不符合题意；当102a <<时，由()0,g x '>得x ∞⎫∈+⎪⎭，由()0,g x '<得x ⎛∈ ⎝，于是有()g x 在⎛ ⎝递减，在∞⎫+⎪⎭递增，()()min 10g x g g =<=，所以当102a <<，()1,x ∞∃∈+，使得<0，也即()1,x ∞∃∈+，使得()0f x >，综上，a 的取值范围时1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭18.已知函数()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠在1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，集合()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣.（1）求a 的值，并用区间的形式表示集合A ；（2）若()()221xx x x g x a a m a a --=+-++，对1x A ∀∈，都[]20,1x ∃∈，使得()12x g x =，求实数m 的值.【答案】（1）2，[]2,4A =（2）12.【解析】【分析】（1）通过换元22t x x x =++，先求得t 的范围，在通过01a <<，和1a >讨论确定a ，即可求解；（2）通过换元22x x t -=+，构造()21h t t mt =--，通过22m ≤和5222m <<的讨论即可求解.【小问1详解】212,14t x x x ⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦，则29,416t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当01a <<时，291629log ,,4,max log 2164a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦（舍）当1a >时，429log ,,4,max log 2216a a y t t a ⎡⎤=∈==⇒=⎢⎥⎣⎦满足，故2a =.()()][221log 21,0,2,2,4y f x x x x y ⎡⎤=+=+++∈∴∈⎣⎦，故集合[]2,4A =【小问2详解】由集合[]()()()()2222,4,2222122221x x x x x x x x A g x m m ----==+-++=+-+-，设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈，即[]21,2x∈时，由对勾函数的性质可知52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()()22222211x xx x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，则由题意得[]2,4A =为当52,2t ⎡∈⎢⎣时，()h t 的值域的子集.当22m ≤即4m ≤时，易知()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()232252154242h m h m ⎧=-≤⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，得1;2m =当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h 和52h ⎛⎫⎪⎝⎭中的较大值，若()2324h m =-≥得12m ≤-，若52154242h m ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭得12m ≤，而45m <<，故不合题意；当522m ≤，即5m ≤时，易知()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()232452152242h m h m ⎧=-≥⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，不等式组无解.综上所述：实数m 的值为12.19.（1）当[]0,πx ∈时，求证：（i ）sin x x ≥；（ii ）21e 12xx x ≥++（2）已知函数()e sin 1xf x mx x x =+--.（i ）当1m =时，求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ii ）讨论函数()y f x =在[]0,π上的零点个数.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；（2）（i ）0y =；（ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）（i ）作差之后构造函数，求导分析单调性可得；（ii ）作差之后构造函数，求导分析单调性可得；（2）（i ）由导数的意义求出切线的斜率，再得到切线方程即可；（ii）当0m ≥和1,02m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求导后由（1）的结果进行简单放缩即可，当1,2m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，属于隐零点问题，求导后构造函数再求导，结合单调性和零点存在定理分析即可；【详解】证明：（1）（i ）令()[]()sin 0,πx x x x ϕ=-∈，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，故()sin x x x ϕ=-在[]0,π上为增函数，故()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，当且仅当0x =时取等号；故当[]0,πx ∈时，sin x x ≥成立.（ii ）令()[]()21e 10,π2xk x x x x =---∈，则当[]0,πx ∈时，()e 1,xk x x =--'，设()()g x k x '=，则()e 10xg x '=-≥，令()00g x x '=⇒=，当0x >时，()0g x '>故()e 1xk x x =--'在[]0,π上为增函数，故当[]0,πx ∈时，()()00k x k ''≥=，即：e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号；故()21e 12xk x x x =---在[]0,π上为增函数，故()()00k x k ≥=，即2e 1102xx x ---≥，当且仅当0x =时取等号；故当[]0,πx ∈时，21e 12xx x ≥++成立.（2）（i ）当1m =时，()()()()e sin 1,00,e sin cos 1,00xxf x x x x f f x x x x f =+---'==++∴='，故()y f x =在点()0,0处的切线方程为：0y =（ii ）()[]e sin 1,0,πxf x mx x x x =+--∈（A ）当0m ≥时，[]0,π,sin 0x mx x ∈∴≥ ，故()e sin 1e 10xxf x mx x x x =+--≥--≥，当且仅当0x =时取等号，故()f x 在区间[]0,π上的零点个数只有1个；（B ）当1,02m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，[]0,π,sin 0x x x ∈∴≥ ，()211e sin 1e sin 1e 1022x x x f x mx x x x x x x ∴=+--≥---≥---≥，当且仅当0x =时取等号，故()f x 在区间[]0,π上的零点个数只有1个；（C ）当1,2m ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()[]e sin 1,0,πxf x mx x x x =+--∈，()e 1sin cos ,x f x m x mx x =-++'，令()()h x f x ='，则()()e 2cos sin xh x m x x x '=+-，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由复合函数的单调性可得()()e 2cos sin xh x m x x x '=+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()()π2ππ0120,e 022h x h m h m ⎛⎫≥'=+=-⎪⎭' ⎝'，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()e 2cos sin 0xh x m x x x =-'+>，故0π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，则()()()()000,,0;,π,0x x h x x x h x ∈''∈，故()f x '在[)00,x 递减，在(]0π,x 递增，又()()π00,πe 1π0f f m ''==--⋅>，故()()000f x f ''<=，则()10,πx x ∃∈，使得()10f x '=，则()()()()110,,0;,π,0x x f x x x f x ∈''∈，故()f x 在[)10,x 递减，在(]1,πx 递增，又()()()100,00f f x f =∴<=，又()ππe π10f =-->，故()21,πx x ∃∈，使得()20f x =，即此时()f x 在区间[]0,π上有两个零点0x =和2x x =；综合有：当1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[]0,π上只有一个零点；当1,2m ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()f x 在区间[]0,π上有两个零点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键在于对m 分类讨论，当1,2m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，需要两次求导，利用复合函数的单调性结合零点存在定理分析，属于隐零点问题.。

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三（上）8月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|y =ln (x−1)}，则A ∩(∁R B)=( )A. [−1,1)B. [−1,1]C. (1,2]D. (1,+∞)2.若复数z 满足1−zz−i =1+i,i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量|a |=3,|a−b |=|a +2b |，则|a +b |=( )A.3B. 2C.5 D. 34.若(3x −1x )n 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中1x 5的系数为( )A. 8B. 28C. 70D. 2525.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆台的底面半径分别是r 1和r 2，且r 1=5，r 2=10，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为( )A.35 3π3 B.175 3π3 C.875 3π3D. 8753π6.已知函数f(x)=2|x +m|(m ∈R)为偶函数，则a =f(log 20.8)，b =f(30.2)，c =f(3)的大小关系为( )A. a <b <cB. c <a <bC. a <c <bD. b <c <a7.已知函数f(x)=2cos 2ωx−(sinωx−cosωx )2(ω>0)的图象关于直线x =π12轴对称，且f(x)在(0,π3)上没有最小值，则ω的值为( )A. 12B. 1 C. 32D. 28.已知抛物线C：x2=12y和圆M：x2+y2−4x−4y+4=0，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点A，B满足AO=2AF，BO=2BF，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则P到直线AB的最大距离为( )A. 2+2B. 2C. 4+2D. 22二、多选题：本题共3小题，共18分。