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不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质：a. 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。
b. 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
c. 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及运用。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 利用例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
3. 小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔2. 例题及练习题3. 学生分组合作的材料教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学的相关知识。
2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不等式的基本性质，引导学生发现规律。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
四、小组讨论（10分钟）1. 教师给出讨论题目，让学生分组合作解决问题。
2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结不等式的基本性质及运用。
2. 教师补充讲解，强调重点知识点。
六、课后作业（课后自主完成）1. 巩固不等式的基本性质，提高解题能力。
2. 结合生活实际，解决相关问题。
六、教学拓展（10分钟）1. 引导学生思考：不等式性质在实际生活中的应用。
2. 举例说明：如购物时比较价格、比赛成绩排名等。
七、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些巩固不等式性质的习题。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
八、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题，让学生分组讨论、回答。
不等式的性质教学教案一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 引导学生运用不等式的性质进行证明和推理，培养学生的数学素养。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质3. 不等式的运算规则4. 不等式与方程的关系5. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念、表示方法、基本性质和运算规则。
2. 教学难点：不等式的性质证明和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生解决实际问题，巩固不等式的应用。
3. 采用分组讨论法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4. 利用多媒体辅助教学，提高课堂效果。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引入不等式的概念，让学生感受不等式的实际意义。
2. 讲解不等式的表示方法，如“>”、“<”、“≥”、“≤”等，并进行举例说明。
3. 引导学生探索不等式的基本性质，如对称性、传递性等，并进行证明。
4. 讲解不等式的运算规则，如加减乘除等，并通过例题展示运算过程。
5. 分析不等式与方程的关系，引导学生掌握解不等式的方法。
6. 运用案例分析法，让学生解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
8. 布置作业：设计相关练习题，巩固所学知识。
六、教学策略与评估1. 教学策略：运用比较方法，让学生通过观察和分析，发现不等式的性质。
利用图形和符号表示不等式，帮助学生形象地理解不等式的意义。
提供丰富的练习题，让学生在实践中掌握不等式的性质和应用。
鼓励学生参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力。
2. 评估策略：课堂提问：通过提问了解学生对不等式性质的理解程度。
作业批改：检查学生作业，评估学生对不等式性质的掌握情况。
小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和沟通能力。
课堂表现：评估学生在课堂上的参与度和表现。
不等式的基本性质一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认知。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质1) 不等式的两边加减同一个数，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
3. 运用不等式的基本性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质及其运用。
2. 教学难点：不等式性质3的理解与应用。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式解决实际问题。
3. 利用小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：复习相关知识点，如实数、比较大小等，为学生学习不等式打下基础。
2. 新课讲解：介绍不等式的定义及表示方法，讲解不等式的基本性质，并通过例题展示运用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固不等式的基本性质。
4. 实际问题解决：引导学生运用不等式解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 课堂小结：总结不等式的基本性质及运用方法。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式基本性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 对比等式的性质，引导学生发现等式与不等式的异同。
2. 介绍不等式的其他性质，如不等式的传递性、同向不等式的可加性等。
八、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论不等式性质的应用，分享解题心得。
2. 教学游戏：设计有关不等式的游戏，提高学生的学习兴趣。
九、教学策略调整1. 根据学生掌握情况，针对性地讲解不等式的难点知识点。
2. 对于学习困难的学生，提供个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
不等式的性质教学设计【教学设计】不等式的性质一、教学目标：1. 理解不等式的定义，能够辨别不等式中的符号；2. 掌握不等式的性质，包括加减乘除不等式的性质和绝对值不等式的性质；3. 能够运用不等式的性质解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 不等式的性质，特别是绝对值不等式的性质；2. 运用不等式的性质解决实际问题。
三、教学准备：教师：教学课件、黑板、彩色粉笔、实物道具等；学生：教材、练习册。
四、教学过程：Step 1：导入（5分钟）1. 教师出示一些简单的不等式，引导学生回顾不等式的定义和符号的意义；2. 提问：什么是不等式？不等式中的符号有哪些？请举例说明。
Step 2：不等式的性质（15分钟）1. 教师通过示例，讲解加减乘除不等式的性质：a) 加减不等式的性质：对不等式两边同时加减一个数，不等式的关系不变；b) 乘除不等式的性质：对不等式两边同时乘除一个正数，不等式的关系不变；对不等式两边同时乘除一个负数，不等式的关系反向。
2. 教师通过示例，讲解绝对值不等式的性质：a) 绝对值不等式的性质：|a| < b 等价于 -b < a < b；b) 绝对值不等式的解集：解集是一个开区间。
Step 3：练习与巩固（20分钟）1. 学生个别完成练习册上的习题，巩固加减乘除不等式的性质；2. 学生个别完成练习册上的绝对值不等式习题，巩固绝对值不等式的性质。
Step 4：运用不等式解决实际问题（15分钟）1. 教师出示一些实际问题，引导学生运用不等式的性质解决问题；2. 学生个别完成练习册上的实际问题习题，运用不等式解决实际问题。
Step 5：小结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行小结，强调不等式的性质和解决实际问题的能力；2. 提问：在日常生活中，你可以运用不等式解决哪些问题？请举例说明。
五、课堂作业：1. 完成练习册上的作业题；2. 思考并写出一个实际问题，运用不等式的性质解决问题。
不等式的基本性质教学目标：1. 了解不等式的概念及基本性质；2. 掌握不等式的运算规则；3. 能够运用不等式的基本性质解决实际问题。
教学重点：1. 不等式的基本性质；2. 不等式的运算规则。
教学难点：1. 不等式的性质3的推导；2. 不等式运算的灵活运用。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学过的不等式知识；2. 提问：不等式有哪些基本性质？二、探究不等式的基本性质（15分钟）1. 引导学生发现不等式的性质1：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；2. 引导学生发现不等式的性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号的方向不变；3. 引导学生发现不等式的性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号的方向改变。
三、不等式的运算规则（15分钟）1. 讲解不等式的加减法运算规则；2. 讲解不等式的乘除法运算规则；3. 举例说明不等式运算的运用。
四、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成练习题，巩固不等式的基本性质和运算规则；五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的不等式的基本性质和运算规则；2. 强调不等式在实际问题中的应用。
教学反思：六、不等式的应用举例（15分钟）1. 举例说明不等式在实际生活中的应用，如分配问题、比赛评分等；2. 引导学生运用不等式的基本性质和运算规则解决实际问题；3. 让学生尝试解决一些复杂的不等式问题，培养学生的解决问题能力。
七、不等式的综合训练（15分钟）1. 给出一些综合性的不等式题目，让学生独立解答；2. 引导学生运用不等式的基本性质和运算规则，提高解题效率；3. 及时给予学生反馈，帮助学生纠正错误，提高解题正确率。
2. 强调不等式在实际问题中的应用，提醒学生课后加强练习。
九、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习册上的相关题目，巩固不等式的基本性质和运算规则；2. 选择一些不等式的应用题目，尝试解决实际问题。
不等式的基本性质数学教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
二、教学内容：1. 不等式的概念2. 不等式的基本性质3. 不等式的解法三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的解法。
2. 教学难点：不等式的性质在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的基本性质。
2. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习相关知识，引导学生进入不等式学习。
2. 讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的基本性质。
3. 实例分析：运用不等式的基本性质解决实际问题。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检测学习效果。
6. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，评估学生对不等式基本性质的理解和应用能力。
2. 课堂互动：观察学生在小组讨论和回答问题时的表现，评估他们的参与度和理解程度。
3. 知识测试：通过书面测试或口头提问，检验学生对不等式基本性质的记忆和运用。
七、教学拓展：1. 对比等式的性质，引导学生探讨不等式与等式的异同。
2. 引入绝对值不等式和分式不等式，为学生提供更多不等式解题方法。
八、教学资源：1. PPT课件：展示不等式的基本性质，方便学生理解和记忆。
2. 练习题库：提供丰富的习题，帮助学生巩固所学知识。
3. 实际问题案例：用于引导学生将不等式应用于解决实际问题。
九、教学反馈：1. 课堂反馈：课后与学生交流，了解他们对不等式基本性质的理解程度。
2. 家长反馈：与家长沟通，了解学生在家中的学习情况。
3. 自我反馈：教师根据学生的作业和测试成绩，反思教学效果，调整教学策略。
十、教学改进：1. 根据学生的学习情况，调整教学进度和难度，确保学生能够跟上课程。
不等式的性质教案教学目标：1. 了解不等式的定义及符号。
2. 掌握不等式的性质。
3. 能够灵活运用不等式的性质解决问题。
教学重点：1. 不等式的性质。
2. 不等式的运算规则。
3. 不等式的应用。
教学难点：1. 不等式的性质的理解及应用。
2. 不等式的运算规则的灵活运用。
教学准备：PPT，教材，课件，习题集。
教学过程：Step 1 引入1. 现实生活中，很多情况我们会使用不等式来描述。
请举一些例子。
2. 通过例子引入不等式的概念。
Step 2 定义及符号1. 展示不等式的定义：“如果两个数或两个代数式之间用大于号、小于号等连接起来，则称其为不等式。
”2. 展示常见的不等式符号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号、不等号）及其表示的意义。
Step 3 性质1. 结合PPT，介绍不等式的性质：- 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
- 乘除性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
- 反号性质：若a>b，则-b>-a。
- 同类项性质：若a>b且c>d，则a+c>b+d，a-c>b-d。
- 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。
- 运算混合性质：若a>b且b>c，c>0，则ac>bc。
Step 4 运算规则1. 展示不等式的运算规则：- 加减法：对不等式两边加减相同的数或代数式。
- 乘法：对不等式两边乘以同一正数时，不等关系不变；对不等式两边乘以同一负数时，不等关系反向。
- 反号：两边都取反号，不等关系不变。
Step 5 应用1. 给出一些实际问题，让学生通过不等式的性质解决。
2. 给学生分发习题集，让他们独立完成一些不等式的练习题。
3. 列举一些学生容易犯错的地方，进行点拨和讲解。
Step 6 总结1. 总结不等式的定义、符号及性质。
不等式的基本性质一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质解有关不等式。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现不等式的基本性质。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的性质。
2. 教学难点：不等式性质的应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、PPT、黑板、粉笔。
2. 学生准备：课本、练习本、文具。
四、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾一元一次不等式的解法。
1.2 提问：同学们，你们知道不等式有什么性质吗？今天我们就来学习不等式的基本性质。
2. 探究不等式的性质2.1 展示不等式实例，引导学生观察、分析。
2.2 引导学生发现不等式的性质，并总结出不等式的基本性质。
3. 例题讲解3.1 出示例题，讲解例题的解法，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3.2 学生自主练习，教师巡回指导。
4. 课堂练习4.1 出示练习题，学生独立完成，教师批改并讲解。
4.2 学生总结练习中的经验教训。
五、课后作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
六、教学拓展1. 引导学生思考：不等式的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明不等式性质在生活中的应用，如购物、分配等。
3. 引导学生进行不等式性质的综合应用，提高解决问题的能力。
七、巩固练习1. 出示巩固练习题，学生独立完成。
2. 教师批改并讲解，学生总结解题思路和方法。
八、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结不等式的基本性质。
2. 学生分享学习收获和感受。
九、课后反思1. 教师反思本节课的教学效果，找出不足之处，为下一节课做好准备。
2. 学生反思自己的学习过程，找出优点和不足，制定改进措施。
十、布置作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
课题：不等式的性质（1）教学目的：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：复习初中学过的不等式的性质①正数的相反数是负数②任意实数的平方不小于0。
③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3．设且，比较与的大小解：当时∴>当时∴>∴总有>例4已知a>b>0，m>0，试比较与的大小解：∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例5比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)=- (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)∴a4-b44a3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例6 已知x>y，且y≠0，比较与1的大小解：∵x>y，∴x-y>0当y<0时，<0，即<1当y>0时，>0，即>1说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论四、课堂练习：1如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小解：（－1）2－（＋1）2＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1）或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4∵x＞0 ∴＞0 ∴－4＜0∴（－1）2＜（＋1）22已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小解：（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2∵a≠0，∴a2＞0 ∴－a2＜0故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）3在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（＋）2６＋2；（2）（－）2（－1）2；（3）；(4)当a＞b＞0时，log a log b答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜4选择题若a＜0，－1＜b＜0，则有( )A a＞ab＞ab2B ab2＞ab＞aC ab＞a＞ab2D ab＞ab2＞a 分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可∵a＜0，－1＜b＜0∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞aab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2故ab＞ab2＞a答案：D5比较大小：(1)（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2；(2)log与log解：(1)（x＋５）（x＋７）－（x＋６)2＝（x2＋12x＋3５）－（x2＋12x＋3６）＝－1＜0∴（x＋５）（x＋７）＜（x＋６）2(2)解法一：(作差法)log－log＝＝＞0∴log＞log解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介)∵函数y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是减函数且＞∴log＞log＝1，log＜log＝1∴log＞log五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：1．已知，比较与的大小解：-=……= ∴≥2．比较2sinθ与sin2θ的大小(0<θ<2π)解： 2sinθ-sin2θ=2sinθ(1-cosθ)当θ∈(0,π)时2sinθ(1-cosθ)≥0 2sinθ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sinθ(1-cosθ)<0 2sinθ<sin2θ3．设且，，比较与的大小解：∴当时≤；当时≥习题6.1 1--3七、板书设计（略）八、课后记：。
《不等式的性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认识。
二、教学内容：1. 不等式的定义与性质2. 不等式的运算规则3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的运算规则。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生学会将不等式应用于实际问题。
3. 利用小组讨论法，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入不等式的概念，让学生感受不等式的实际意义。
2. 新课导入：讲解不等式的定义与性质，引导学生理解不等式的基本概念。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生掌握不等式在解决问题中的应用。
4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学的不等式性质与运算规则。
5. 小组讨论：分组讨论不等式在实际问题中的应用，培养学生的合作与交流能力。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与情况，是否积极回答问题，参与小组讨论。
2. 练习题的正确率：检查学生完成练习题的正确率，以评估他们对不等式性质的理解和运用能力。
3. 课后作业：评估学生课后作业的质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。
4. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括他们的思考深度和与他人合作的有效性。
七、教学资源：1. 教学PPT：制作包含不等式性质的图表、示例和练习题的PPT，以便进行多媒体教学。
2. 练习题库：准备一系列不等式练习题，包括填空题、选择题和解答题，以供课堂练习和课后作业使用。
3. 小组讨论模板：提供小组讨论的报告模板，包括讨论问题、成员贡献和结论等部分。
八、教学进度安排：1. 第1周：介绍不等式的定义和基本性质。
2. 第2周：讲解不等式的运算规则和性质。
《不等式的性质》教案一、教学目标：1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够运用不等式的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 不等式的定义和基本性质。
2. 不等式的运算规则。
3. 不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点：1. 不等式的基本性质。
2. 不等式的运算规则。
四、教学难点：1. 不等式的性质在实际问题中的应用。
五、教学方法：1. 讲授法：讲解不等式的定义、性质和运算规则。
2. 案例分析法：通过实际问题引导学生运用不等式的性质解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式问题，培养学生的合作能力。
教学过程：一、导入：1. 引入不等式的概念，引导学生回顾已学过的不等式知识。
2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、讲解不等式的基本性质：1. 性质1：不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
2. 性质2：不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
3. 性质3：不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、讲解不等式的运算规则：1. 不等式的加减法规则。
2. 不等式的乘除法规则。
四、案例分析：1. 举例说明不等式的性质在实际问题中的应用。
2. 引导学生运用不等式的性质解决问题。
五、小组讨论：1. 分成小组，让学生讨论不等式问题。
2. 鼓励学生提出自己的解题思路和答案。
六、总结：1. 回顾本节课所学的不等式的性质和运算规则。
2. 强调不等式在实际问题中的应用。
教学评价：1. 课后作业：布置有关不等式的练习题，检验学生对知识的掌握程度。
2. 课堂问答：通过提问了解学生对不等式的理解和运用情况。
3. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，包括思考问题、合作能力等。
六、教学反馈与评价：1. 课后收集学生作业，分析其掌握不等式性质的情况。
2. 在课堂中随机提问，了解学生对不等式性质的理解程度。
3. 观察小组讨论，评估学生在团队合作中的表现以及解决实际问题的能力。
不等式的性质（教案）教学设计一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法。
2. 不等式的基本性质。
3. 不等式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念、表示方法及基本性质。
2. 教学难点：不等式的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生解决实际问题。
3. 利用小组讨论法，培养学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，让学生感受不等式在实际生活中的应用。
2. 讲解不等式的表示方法，引导学生掌握不等式的基本写法。
3. 探究不等式的基本性质，引导学生发现并证明不等式的性质。
4. 运用案例分析，让学生解决实际问题，巩固不等式的应用。
5. 课堂小结，总结本节课的主要内容和知识点。
6. 布置作业，巩固所学知识。
附：教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行针对性指导。
要注重培养学生的动手操作能力和思维能力，让学生在学习过程中体验到数学的乐趣。
在案例分析环节，要选取具有代表性的实例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 评价内容：学生对不等式概念的理解、不等式表示方法的掌握、不等式性质的应用。
2. 评价方式：课堂问答、作业批改、小组讨论、课后访谈。
3. 评价标准：a. 对不等式概念的理解：能正确表述不等式的定义，区分不等式与等式。
b. 对不等式表示方法的掌握：能熟练运用不等号表示大小关系，正确书写不等式。
c. 对不等式性质的应用：能运用不等式性质解决实际问题，正确进行不等式变形。
七、教学拓展1. 对比等式与不等式的异同，让学生深入理解不等式的概念。
2. 介绍不等式的起源和发展历程，激发学生学习兴趣。
3. 引导学生探究不等式与其他数学知识的关系，如代数、几何等。
不等式的基本性质教案教案：一、教学目标：1.了解不等式的定义和符号表示。
2.掌握不等式的基本性质，如不等式的加减运算性质、等式变换性质、倍数性质等。
3.能够根据不等式的基本性质解决实际问题。
二、教学内容：1.不等式的定义及符号表示。
2.不等式的加减运算性质。
3.不等式的等式变换性质。
4.不等式的倍数性质。
三、教学过程：1.引入新知识：通过提问和案例引导学生思考，了解不等式的概念和符号表示。
2.讲解不等式的加减运算性质：通过示例演示，引导学生发现不等式在加减运算过程中的基本性质。
3.讲解不等式的等式变换性质：通过示例演示，引导学生发现不等式在等式变换过程中的基本性质，如等号两边同时加减一个数、乘除一个正数等。
4.讲解不等式的倍数性质：通过示例演示，引导学生发现不等式在乘除一个正数的过程中的基本性质。
5.练习：让学生通过练习题巩固所学内容。
6.作业：布置作业，要求学生完成课后习题。
四、教学辅助手段：1.教学课件。
2.黑板、白板。
3.课堂练习题。
五、教学评价方法：1.根据课堂表现评价学生的参与度和积极性。
2.根据练习题的完成情况评价学生的掌握程度。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解不等式的基本性质，并能够应用不等式的基本性质解决实际问题。
在教学中，我注重理论与实践的结合，通过示例演示和练习，提高了学生的实际操作能力。
同时，我也发现有些学生在等式变换环节还存在一些困难，需要在后续的教学中加强指导和训练。
教学过程中，我尽量采用互动式教学，鼓励学生的思考和发言，提高课堂的活跃度。
不等式的性质教案教案标题：不等式的性质教案教学目标：1. 了解不等式的基本概念和符号表示法；2. 掌握不等式的性质，包括加减乘除对不等式的影响；3. 能够利用不等式的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教案提纲、教学课件或黑板；2. 笔、纸、计算器。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用现实生活的例子引发学生对不等式的思考，例如：“如果你有4张电影票，你想把它们发送给不同的朋友，你会有怎样的规则来决定谁能获得票？”2. 引导学生回答问题，并讨论不等式的基本概念和符号表示法。
二、知识讲解（15分钟）1. 解释不等式的定义，强调不等式中的符号（<、>、≤、≥）的意义。
2. 讲解不等式的性质，包括以下几点：a. 加减性质：在不等式两边同时加减一个相同的数时，不等式的大小关系不变；b. 乘除性质：在不等式两边同时乘除一个正数时，不等式的大小关系不变；在不等式两边同时乘除一个负数时，不等式的大小关系会改变，需要反转不等号的方向。
三、示例演练（20分钟）1. 给出一些基本的不等式例子，引导学生利用加减乘除性质来解决：a. 3x + 5 > 2x - 1b. 2(x - 4) ≤ 3x + 1c. 2(x + 3) > 5x + 42. 鼓励学生积极参与解题过程，解释每一步骤的思路和方法。
四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生根据给定的条件，建立相应的不等式并解决问题，例如：“市场上一个产品的原价是150元，现在在打折，折扣力度不小于30%，那么现在的售价范围是多少？”2. 引导学生运用不等式性质解决实际问题，并展示他们的解题过程和答案。
五、总结与小结（5分钟）1. 总结不等式的性质和解题方法，强调加减乘除性质在解决不等式问题上的重要性；2. 鼓励学生复习总结今天所学内容，解答他们可能存在的问题。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题，要求学生通过应用不等式性质解答问题；2. 鼓励学生在作业过程中积极思考，发现问题并提出解决方法。
不等式的性质【教学目标】一、知识性目标：1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别。
二、过程性目标在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力。
三、情感态度目标1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力；2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。
【教学重难点】重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2；难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形。
【教学过程】一、创设情境问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？答：去分母、移项、系数化为1．问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质。
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式二、探索学习探索1：（1）请同学们观察：电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号）（2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b），如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c ＞b+c ）。
a ＞b a+c ＞b+c ．归纳1：教师在学生得出结论的前提下总结： 不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
用数学式了表示：如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c ，a-c ＞b-c ．探索2：问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3______4×3，7×2______4×2，7×1______4×1，……7×（－1）______4×（－1），7×（－2）______4×（－2），7×（－3）______4×（－3），……从中你能发现什么？在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外一条性质。
不等式的性质（教案）教学设计一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 引导学生运用不等式的性质进行证明和解决问题，培养学生的抽象思维能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质3. 不等式的运算规则4. 不等式的大小比较5. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的运算规则。
2. 教学难点：不等式的大小比较，不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的性质。
2. 运用多媒体课件，展示不等式的图形和实例，提高学生的直观理解能力。
3. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4. 进行适量练习，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入不等式的概念，引导学生理解不等式的表示方法。
2. 新课导入：介绍不等式的基本性质，引导学生探究并证明。
3. 案例分析：分析实际问题，运用不等式的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结不等式的性质，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式性质的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习答案，评估掌握不等式运算规则的情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组合作学习中的参与度和理解程度。
七、教学反思1. 教师课后总结教学效果，反思教学方法是否恰当。
2. 分析学生的练习情况，找出教学中需要改进的地方。
3. 根据学生的反馈调整教学计划，优化教学内容。
八、课后作业1. 巩固不等式的基本性质，完成相关练习题。
2. 运用不等式解决实际问题，提高应用能力。
3. 预习下一节课内容，为深入学习作准备。
九、课堂纪律与管理1. 建立课堂规则，维护课堂秩序。
3. 对违反纪律的学生进行适当批评和指导，帮助他们改正错误。
不等式的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力。
3. 通过对不等式性质的探究，培养学生的探究精神和合作意识。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法。
2. 不等式的基本性质。
3. 不等式的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念、表示方法及基本性质。
2. 教学难点：不等式性质的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究不等式的性质。
2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用不等式性质。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识不等式，引入不等式的概念。
2. 新课导入：讲解不等式的表示方法，并举例说明。
3. 探究不等式的性质：引导学生通过小组讨论，探究不等式的基本性质。
4. 案例分析：运用不等式性质解决实际问题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：对本节课的教学进行反思，为学生提供反馈。
六、教学评价：1. 评价学生对不等式概念的理解程度。
2. 评价学生对不等式表示方法的掌握情况。
3. 评价学生在实际问题中应用不等式性质的能力。
4. 评价学生的合作意识和探究精神。
七、教学拓展：1. 不等式的进一步性质探究。
2. 不等式在实际问题中的应用案例分析。
3. 引导学生关注不等式在其他学科领域的应用。
八、教学资源：1. 教学PPT。
2. 不等式性质的案例材料。
3. 练习题及答案解析。
4. 小组讨论工具。
九、教学进度安排：1. 第1-2课时：介绍不等式概念及表示方法。
2. 第3-4课时：探究不等式的基本性质。
3. 第5-6课时：应用不等式性质解决实际问题。
4. 第7-8课时：教学评价及拓展。
十、教学反馈与调整：1. 根据学生课堂表现和作业完成情况，及时给予反馈。
2. 对学生掌握不足的部分进行有针对性的辅导。
不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认知水平。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除同一个数（或式子）到不等式的两边，不等号的方向不变。
3. 不等式的解集及其表示方法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质，不等式的解集表示方法。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解集的表示方法。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的基本性质。
2. 利用多媒体课件，展示不等式的图形解集，增强直观感受。
3. 运用实例分析，让学生学会解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，引导学生理解不等式的表示方法。
2. 探索不等式的基本性质：引导学生分组讨论，发现不等式的加减乘除性质。
3. 应用不等式性质解决实际问题：选取典型例题，讲解解题思路和方法。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固不等式的基本性质。
5. 总结与拓展：总结不等式的基本性质，提出拓展问题，激发学生思考。
教案附件：练习题：1. 判断下列不等式是否成立，并说明理由：a) 2x > 3xb) 5(x 2) < 3(2x + 1)c) 4x 12 < 3(2x + 6)2. 解下列不等式：a) 3x 7 > 2b) 2(x 5) > 15c) 5x + 6 <= 4x + 20答案：1. a) 不成立，因为2x < 3x；b) 成立，因为5(x 2) = 5x 10，3(2x + 1) = 6x + 3，5x 10 < 6x + 3；c) 成立，因为4x 12 = 4(x 3)，3(2x + 6) = 6x + 18，4(x 3) < 6x + 18。
2. a) x > 3；b) x > 10；c) x <= 14。
不等式的性质教学案【前言】本教学案旨在通过系统性和探究性的教学方法，帮助学生全面了解不等式的性质。
首先，我们将从基本概念入手，然后介绍不等式的性质与规律，最后通过案例练习和巩固，深化学生对不等式性质的理解。
【第一部分：基本概念】1. 不等式的定义不等式是用不等号来表示两个数之间大小关系的数学语句。
例如：a > b 表示 a 大于 b，a < b 表示 a 小于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b。
2. 不等式的解集表示a) 不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
b) 以不等号中间的字母为变量，用集合表示法表示解集。
例如：a > 3 的解集可以表示为 {a | a > 3}。
【第二部分：不等式的性质与规律】在这一部分，我们将介绍不等式的性质与规律，为学生进一步理解不等式的性质打下基础。
1. 加减法性质a) 对不等式的两边同时加（减）一个相同的数，不等式的关系不变。
例如：若 a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c。
2. 乘除法性质a) 对不等式的两边同时乘（除）一个正数，不等式的关系不变；b) 对不等式的两边同时乘（除）一个负数，不等式的关系需要翻转。
例如：若 a > b，c > 0，则 ac > bc，若 a > b，c < 0，则 ac < bc。
3. 倒置性质a) 当不等号方向改变时，不等式的关系也需要翻转。
例如：若 a > b，则 -a < -b。
4. 移项性质a) 对不等式进行移项时，需要根据不等号来确定移项方向。
b) 如果移项的时候需要翻转不等号方向，则要注意移项后的解集表示方式。
例如：若 a + b > c，则 a > c - b。
5. 不等式链a) 不等式链是多个不等式通过逻辑运算符连接起来的复合不等式。
第六章不等式●网络体系总览不等式的性质 绝对值及其性质不等式的证明：比较法、分析法、综合法、放缩法等含绝对值的不等式不等式的解法不等式的应用：比较大小，函数的定义域、值域，方程根的分布，取值范围问题，实际应用问题等●考点目标定位1.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1 不等式的性质●知识梳理1.比较准则：a －b ＞0⇔a ＞b ； a －b =0⇔a =b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2.基本性质：（1）a ＞b ⇔b ＜a . （2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .（3）a ＞b ⇔a +c ＞b +c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a +c ＞b +d .（4）a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . （5）a ＞b ＞0⇒na ＞nb （n ∈N ，n ＞1）；a ＞b ＞0⇒a n＞b n（n ∈N ，n ＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒a 1＜b1，不能弱化条件得a ＞b ⇒a 1＜b 1，也不能强化条件得a ＞b ＞0⇒a 1＜b1. 4.要正确处理带等号的情况.如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a =c ，当且仅当a =b 且b =c 时，才会有a =c .5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n 可以推广到任意正数的情形.特别提示不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型.要注意二者的区别.●点击双基1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能．．成立的是 A.a 1＞b1B.2a ＞2bC.|a |＞|b |D.（21）a ＞（21）b解析：由a ＜b ＜0知ab ＞0，因此a ·ab 1＜b ·ab 1，即a 1＞b1成立； 由a ＜b ＜0得－a ＞－b ＞0，因此|a |＞|b |＞0成立. 又（21）x 是减函数，所以（21）a ＞（21）b成立.故不成立的是B. 答案：B2.（2004年春季北京，7）已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c －bd＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析：由ab ＞0，bc －ad ＞0可得出a c －bd＞0. bc －ad ＞0，两端同除以ab ，得a c －bd＞0.同样由a c －bd＞0，ab ＞0可得bc －ad ＞0. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-0000ab ad bc ad bc b da c ad bc ab ＞0. 答案：D3.设α∈（0，2π），β∈［0，2π］，那么2α－3β的范围是 A.（0，6π5） B.（－6π，6π5） C.（0，π）D.（－6π，π） 解析：由题设得0＜2α＜π，0≤3β≤6π.∴－6π≤－3β≤0.∴－6π＜2α－3β＜π. 答案：D4.a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，b a ，m a m b ++，nb na ++的由大到小的顺序是____________. 解析：特殊值法即可 答案：b a ＞n b n a ++＞m a m b ++＞ab 5.设a =2－5，b =5－2，c =5－25，则a 、b 、c 之间的大小关系为____________. 解析：a =2－5=4－5＜0，∴b ＞0.c =5－25=25－20＞0. b －c =35－7=45－49＜0.∴c ＞b ＞a .答案：c ＞b ＞a ●典例剖析【例1】 已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围. 剖析：∵a +b ，a －b 的范围已知，∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来. 可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y . 解：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1. ∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213，即－29＜2a +3b ＜213. 评述：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3， ① 2＜a －b ＜4. ② ①+②得1＜2a ＜7. ③由②得－4＜b －a ＜－2. ④ ①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23.⑤③+⑤得－213＜2a +3b ＜217. 思考讨论1.评述中解法错在何处?2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：已知函数f （x ）=ax 2－c ，满足－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的最大值和最小值.答案：20 －1【例2】 （2004年福建，3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. p 假q 真 剖析：只需弄清命题p 、q 的真假即可.解：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1不能推出|a +b |＞1， 而|a +b |＞1一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.又函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，∴|x －1|≥2.∴x ≤－1或x ≥3.∴q 为真. 答案：D【例3】 比较1+log x 3与2log x 2（x ＞0且x ≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性. 解：（1+log x 3）－2log x 2=log x43x. 当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<143010x x ，或⎪⎩⎪⎨⎧>>，，1431x x 即0＜x ＜1或x ＞34时，有log x 43x＞0，1+log x 3＞2log x 2. 当⎪⎩⎪⎨⎧><<，，14310x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<<>14301x x ，②时，log x 43x ＜0. 解①得无解，解②得1＜x ＜34，即当1＜x ＜34时，有log x 43x＜0，1+log x 3＜2log x 2. 当43x =1，即x =34时，有log x 43x=0.∴1+log x 3=2log x 2. 综上所述，当0＜x ＜1或x ＞34时，1+log x 3＞2log x 2； 当1＜x ＜34时，1+log x 3＜2log x 2； 当x =34时，1+log x 3=2log x 2. 评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展函数f （x ）=x 2+（b －1）x +c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1.当t ＜x 1时，比较t 2+bt +c 与x 1的大小.提示：令f （x ）=（x －x 1）（x －x 2），∴x 2+bx +c =（x －x 1）（x －x 2）+x .把t 2+bt +c 与x 1作差即可.答案：t 2+bt +c ＞x 1.●闯关训练 夯实基础1.（2004年辽宁，2）对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a （1+a ）＜log a （1+a 1）；②log a （1+a ）＞log a （1+a1）；③a 1+a ＜a1a11+；④a 1+a＞aa11+.其中成立的是A.①③B.①④C.②③D.②④解析：∵0＜a ＜1，∴a ＜a 1，从而1+a ＜1+a 1.∴log a （1+a ）＞log a （1+a1）. 又∵0＜a ＜1，∴a 1+a＞a a11+.故②与④成立.答案：D 2.若p =a +21-a （a ＞2），q =2242-+-a a ，则 A.p ＞qB.p ＜qC.p ≥qD.p ≤q解析：p =a －2+21-a +2≥4，而－a 2+4a －2=－（a －2）2+2＜2，∴q ＜4.∴p ＞q . 答案：A3.已知－1＜2a ＜0，A =1+a 2，B =1－a 2，C =a +11，D =a-11则A 、B 、C 、D 按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a =－31，计算可得A =910，B =98，C =23，D =43.∴D ＜B ＜A ＜C .答案：D ＜B ＜A ＜C4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：（－3，3）5.已知a ＞2，b ＞2，试比较a +b 与ab 的大小. 解：∵ab －（a +b ）=（a －1）（b －1）－1， 又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1. ∴（a －1）（b －1）＞1，（a －1）（b －1）－1＞0.∴ab ＞a +b .6.设A =x n +x －n ，B =x n －1+x 1－n ，当x ∈R +，n ∈N 时，求证：A ≥B.证明：A －B =（x n +x －n ）－（x n －1+x 1－n ）=x －n （x 2n +1－x 2n －1－x ） =x －n ［x （x 2n －1－1）－（x 2n －1－1）］=x －n （x －1）（x 2n －1－1）.由x ∈R +，x －n＞0，得当x ≥1时，x －1≥0，x 2n －1－1≥0；当x ＜1时，x －1＜0，x 2n －1＜0，即x －1与x 2n －1－1同号.∴A －B ≥0.∴A ≥B . 培养能力7.设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠31，试比较|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.解：∵0＜x ＜1，∴①当3a ＞1，即a ＞31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=|3log 3a （1－x ）|－|3log 3a （1+x ）|=3［－log 3a （1－x ）－log 3a （1+x ）］=－3log 3a （1－x 2）.∵0＜1－x 2＜1，∴－3log 3a （1－x 2）＞0. ②当0＜3a ＜1，即0＜a ＜31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=3［log 3a （1－x ）+log 3a （1+x ）］=3log 3a （1－x 2）＞0.综上所述，|log 3a （1－x ）3|＞|log 3a （1+x ）3|.8.设a 1≈2，令a 2=1+111a +.（1）证明2介于a 1、a 2之间； （2）求a 1、a 2中哪一个更接近于2；（3）你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由.（1）证明：（2－a 1）（2－a 2）=（2－a 1）· （2－1－111a +）=1211221a a +--））（（＜0.∴2介于a 1、a 2之间.（2）解：|2－a 2|=|2－1－111a +|=|111221a a +--））（（| =1112a +-|2－a 1|＜|2－a 1|. ∴a 2比a 1更接近于2. （3）解：令a 3=1+211a +，则a 3比a 2更接近于2. 由（2）知|2－a 3|=2112a +-|2－a 2|＜|2－a 2|. 探究创新9.已知x ＞－1，n ≥2且n ∈N *，比较（1+x ）n与1+nx 的大小.解：设f （x ）=（1+x ）n －（1+nx ），则f '（x ）=n （1+x ）n －1－n =n ［（1+x ）n －1－1］. 由f '（x ）=0得x =0.当x ∈（－1，0）时，f '（x ）＜0，f （x ）在（－1，0）上递减. 当x ∈（0，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上递增.∴x =0时，f （x ）最小，最小值为0，即f （x ）≥0.∴（1+x ）n≥1+nx .评述：理科学生也可以用数学归纳法证明. ●思悟小结1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a 、b 有a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b =0⇔a =b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a ＞b 、c ＞d 在什么条件下才能推出ac ＞bd .3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系. 拓展题例【例1】 已知f （x ）=|log 2（x +1）|，m ＜n ，f （m ）=f （n ）. （1）比较m +n 与0的大小；（2）比较f （n m n m -+）与f （mn nm -+）的大小. 剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）∵f （m ）=f （n ），∴|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|.∴log 22（m +1）=log 22（n +1）. ∴［log 2（m +1）+log 2（n +1）］［log 2（m +1）－log 2（n +1）］=0， log 2（m +1）（n +1）·log 211++n m =0. ∵m ＜n ，∴11++n m ≠1.∴log 2（m +1）（n +1）=0. ∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.当m 、n ∈（－1，0］或m 、n ∈［0，+∞）时，由函数y =f （x ）的单调性知x ∈（－1，0］时，f （x ）为减函数，x ∈［0，+∞）时，f （x ）为增函数，f （m ）≠f （n ）.∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0. ∴m +n =－mn ＞0.（2）f （n m n m -+）=|log 2n m m -2|=－log 2n m m -2=log 2mnm 2-， f （m n n m -+）=|log 2m n n -2|=log 2mn n -2. m n m 2-－mn n-2=）（）（m n m mn n m ----242=－）（）（m n m n m -+22＞0.∴f （n m n m -+）＞f （mn nm -+）. 【例2】 某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y 1和y 2.一张全票价格为a 元，那么y 1=a +0.55ax ，y 2=0.75（x +1）a .∴y 1－y 2=a +0.55ax －0.75a （x +1）=0.2a （1.25－x ）. ∴当x ＞1.25时，y 1＜y 2；当x ＜1.25时，y 1＞y 2.又因x 为正整数， 所以当x =1，即两口之家应选择乙旅行社； 当x ≥2（x ∈N ），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.。
