2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组十三解析几何试题文

重组十一 立体几何测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·浙江高考]已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 答案 C解析 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .故选C.2．[2016·济南调研]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．28＋6 5B ．40 C.403 D ．30＋6 5答案 C解析 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为13×12×5×4×4＝403.3．[2016·云师大附中月考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.12B.13 C ．2 2 D ．2 3答案 D解析 由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为2，故其表面积为12×2×2×sin π3×4＝23，故选D.4．[2017·河北衡水中学一调]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )A ．8B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V 1＝13×12×4×3×2＝4，三棱柱的体积为V 2＝2V 1＝2×4＝8，所以该几何体的体积为V ＝12，故选B.5．[2017·广西梧州模拟]若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．4π＋2πB ．6π＋22πC ．6π＋2πD ．8π＋2π 答案 C解析 圆柱的侧面积为S 1＝2π×1×2＝4π，半球的表面积为S 2＝2π×12＝2π，圆锥的侧面积为S 3＝π×1×2＝2π，所以几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＝6π＋2π，故选C.6．[2017·安徽师大期末]某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．2 2C ．4 2D ．8 答案 D解析 根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部分剩余23，如图所示，所以该几何体的体积为(3×2×2)×23＝8，故选D.7．[2017·吉林长春质检]某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A ．4＋32πB ．6＋3πC ．6＋32πD ．12＋32π答案 C解析 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12π·12＋12×2×2×3＝6＋3π2，故选C.8．[2017·河南百校联盟质监]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.112B.132C ．6D ．7答案 C解析 几何体如图，为每一个长方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为23－12×1×1×1×4＝6，选C.9．[2017·唐山模拟]在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面分别交直线PA ，CD 于M ，N 两点，则PM ＋CN ＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2 答案 C解析 由过E ，F ，H 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN ＝2；由过E ，F ，H 的平面交直线PA 于M 点，可得M 为PA 的四等分点，所以PM ＝1，所以PM ＋CN ＝3，故应选C.10．[2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.11．[2016·云师大附中月考]棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在球O 的球面上，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为( )A. 2B.153 C.263D. 3答案 B解析 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球球心O 为对角线AC 1的中点，球半径R ＝3，球心O 到平面EFG 的距离为233，所以小圆半径r ＝ R 2－⎝⎛⎭⎪⎫2332＝153，故选B. 12．[2017·河南开封质检]如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的假命题是( )A ．不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°B ．四边形AECF 是正方形C ．点A 到平面BCE 的距离为64D ．该八面体的顶点在同一个球面上 答案 C解析 因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是60°，而AE 与CE 所成的角为90°，A 正确；四边形AECF 各边长均为1，AC ＝EF ＝2，所以四边形AECF 是正方形；DB ＝2，该八面体的顶点在同一个球面上，D 正确；设A 到平面BCE 的距离为h ，由V E －ABCD ＝2V A －BCE ，所以13×1×1×22＝2×13×34h ，解得h ＝63，C 错误．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·江苏联考]将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．答案33π 解析 圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为3，圆锥的体积为13π×12×3＝33π.14．[2017·河南郑州一中期末]我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．答案 1.6解析 由图可得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋3×1×(5.4－x )＝12.6⇒x ＝1.6.15．[2016·江苏联考]在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB ⊥CD 的是________．答案 ①②解析 对于①，通过平移AB 到右边的平面，可知AB ⊥CD ，所以①中AB ⊥CD ； 对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD 垂直AB 所在的平面，由线面垂直定理得到②中AB ⊥CD ；对于③，可知AB 与CD 所成的角为60°；对于④，通过平移CD 到下底面，可知AB 与CD 不垂直． 故答案为①②.16．[2016·长春质检]如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．已知正四棱锥P －ABCD 内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．答案 43解析 由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而V P －ABCD ＝23h [1－(h －1)2]＝23(－h 3＋2h 2)，有V ′P －ABCD ＝23(－3h 2＋4h )＝23h (－3h ＋4)，可知当h ＝43时，体积V P －ABCD 最大．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. [2017·哈尔滨检测](本小题满分10分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥侧面ABB 1A 1，AC ＝AA 1＝2AB ，∠AA 1C 1＝60°，AB ⊥AA 1，H 为CC 1的中点，D 为BB 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面AB 1H ；(2)若AB ＝2，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．解 (1)证明：连接AC 1，∵△ACC 1为正三角形，H 为棱CC 1的中点， ∴AH ⊥CC 1，从而AH ⊥AA 1，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABB 1A 1， 平面AA 1C 1C ∩平面ABB 1A 1＝AA 1，AH ⊂平面AA 1C 1C, ∴AH ⊥平面ABB 1A 1，又A 1D ⊂平面ABB 1A 1， ∴AH ⊥A 1D ①.(3分)设AB ＝2a ，∵AC ＝AA 1＝2AB ，∴AC ＝AA 1＝2a ，DB 1＝a ，DB 1B 1A 1＝12＝A 1B 1AA 1， 又∠DB 1A 1＝∠B 1A 1A ＝90°，∴△A 1DB 1∽△AB 1A 1， ∴∠B 1AA 1＝∠B 1A 1D ，又∠B 1A 1D ＋∠AA 1D ＝90°， ∴∠B 1AA 1＋∠AA 1D ＝90°， ∴A 1D ⊥AB 1②，由①②及AB 1∩AH ＝A ，可得A 1D ⊥平面AB 1H .(6分) (2)取AA 1的中点M ，连接C 1M ，则C 1M ∥AH ， ∴C 1M ⊥平面ABB 1A 1，∴V C1－AB1A1＝13S△AB1A1·C1M＝13×2×3＝63，∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积为3V C1－AB1A1＝ 6.(10分)18．[2017·东北四市联考](本小题满分12分)如图，过四棱柱ABCD－A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE.(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDFE⊥平面A1C1CA.解(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于F，E两点，则EF即为所作的锯线．理由如下：在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，平面BDFE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥BD，从而EF∥B1D1.(6分)(2)证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDFE，所以平面BDFE⊥平面A1C1CA.(12分)19．[2017·湖北八校联考](本小题满分12分) 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，PA ＝PD ，且∠APD ＝90°，∠DAB ＝60°.(1)若线段PC 上存在一点M ，使得直线PA ∥平面MBD ，试确定M 点的位置，并给出证明； (2)在第(1)问的条件下，求三棱锥C －DMB 的体积． 解 (1)M 为线段PC 中点．(1分)证明：取线段PC 中点M ，连接MD ，MB ，连接AC 、BD 相交于O 点，连接OM ，∵ABCD 为菱形，AC 交BD 于O 点，∴O 为AC 中点，又M 为PC 中点， ∴OM ∥PA ，(4分)又OM ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ， ∴PA ∥平面MBD .(6分)(2)∵PA ＝PD ，取AD 的中点N ，∴PN ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∵∠APD ＝90°，AD ＝2，∴PN ＝12AD ＝1，(8分)又M 为PC 中点，∴M 到平面ABCD 的距离h M ＝12PN ＝12.(10分)∵ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∴S BCD ＝12×2×2×32＝3，(11分)∴V C －DMB ＝V M －BCD ＝13S BCD h M ＝13×3×12＝36.(12分)20．[2017·宁夏银川检测](本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥E －ABD 的侧面积和体积．解 (1)证明：在△ABD 中，因为AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，所以BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝23，所以AB 2＋BD 2＝AD 2，所以AB ⊥BD .又平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面EBD . 又DE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥DE .(4分) (2)由(1)知AB ⊥BD .因为CD ∥AB ，所以CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD .在Rt △DBE 中，因为DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，所以S △EDB ＝12DB ·DE ＝2 3.(6分)因为AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥BE . 因为BE ＝BC ＝AD ＝4，所以S △EAB ＝12AB ·BE ＝4.因为DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，所以DE ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，所以DE ⊥AD ，故S △EAD ＝12AD ·DE ＝4.故三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝S △EDB ＋S △EAB ＋S △EAD ＝8＋2 3.(9分) 因为DE ⊥平面ABD ，且S △ABD ＝S △EBD ＝23，DE ＝2， 所以V 三棱锥E －ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×23×2＝433.(12分)21．[2017·太原模拟](本小题满分12分) 如图，已知四棱锥的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面BDP ；(2)若侧棱PC 与底面ABCD 所成角的正切值为12，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM与PA 所成角的余弦值．解 (1)证明：由已知得BD ＝BC ＝22，所以BD 2＋BC 2＝16＝DC 2，故BD ⊥BC .(2分) 又PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD ⊥BC ，(4分) 又BD ∩PD ＝D ，所以BC ⊥平面BDP .(6分)(2)如图，取PD 中点N ，并连接AN ，MN ，则MN 綊12DC ，又AB 綊12DC ，所以四边形ABMN 是平行四边形，所以MB ∥NA ， 则∠PAN 为异面直线BM 与PA 所成角，又PD ⊥底面ABCD ，所以∠PCD 为PC 与底面ABCD 所成角，(8分) 则tan ∠PCD ＝12，所以PD ＝12CD ＝2，所以PN ＝12PD ＝1，易求得AN ＝5，PA ＝22，(10分)所以在△PAN 中，cos ∠PAN ＝AP 2＋AN 2－PN 22AP ·AN ＝31010，即异面直线BM 与PA 所成角的余弦值为31010.(12分)22．[2017·河北中学联考] (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA ＝AC ，PA ⊥平面ABCD .(1)若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； (2)若AB ＝3，求点B 到平面PCD 的距离．解 (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2分) ∵AC ＝PA ，E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD ， 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ，(4分)∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .(6分)(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ，所以PC ＝32， 由(1)的证明知，CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥PC ，因为AB ⊥AD ，△ABC 为正三角形，所以∠CAD ＝30°，因为AC ⊥CD ， 所以CD ＝AC tan30°＝ 3.(7分)设点B 的平面PCD 的距离为d ，则V B －PCD ＝13×12×32×3×d ＝62d ，(8分)在△BCD 中，∠BCD ＝150°，所以S △BCD ＝12×3×3sin150°＝12×3×3×12＝334，(9分)所以V P －BCD ＝13×343×3＝334，(10分)因为V B －PCD ＝V P －BCD ，所以62d ＝334，解得d ＝324， 即点B 到平面PCD 的距离为324.(12分)。

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1．如图,在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r(）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A． B． C． D．3．双曲线的焦点坐标是A．（−，0)，（，0） B． (−2，0)，（2，0）C．（0,−)，(0，) D． (0，−2），（0，2)4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．5．直线分别与轴,轴交于,两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．6．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．7．双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A． B． C． D．8．已知,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．9．已知抛物线C:的焦点是F,准线是l，（Ⅰ）写出F的坐标和l的方程;（Ⅱ）已知点P(9,6），若过F的直线交抛物线C于不同两点A，B(均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M,N.求证:MF⊥NF.10．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1)用表示点到点距离；(2)设，,线段的中点在直线，求的面积；（3)设,是否存在以、为邻边的矩形,使得点在上？若存在，求点的坐标;若不存在,说明理由．11．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴;（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x〈0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．12．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1)求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于,两点，与直线交于点M,且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．13．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ,B 。

H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程21．B12，H1 已知函数f(x)＝x 2e －x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0，2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x ＋2x(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.125．C 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2. 15．H1，C8，E8 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离20．H2，H4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.4．H2、H3和H4 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )。

6．解析几何1．【2018年浙江卷】双曲线焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.2．【2018年天津卷文】已知双曲线离心率为2，过右焦点且垂直于轴直线与双曲线交于两点.设到双曲线同一条渐近线距离分别为和，且则双曲线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B坐标，然后利用点到直线距离公式求得b值，之后求解a值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线离心率：，据此可得：，则双曲线方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线标准方程基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间关系，求出a，b值．如果已知双曲线渐近线方程，求双曲线标准方程，可利用有公共渐近线双曲线方程为，再由条件求出λ值即可.3．【2018年新课标I卷文】已知椭圆：一个焦点为，则离心率为A. B. C. D.【答案】C详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆离心率为，故选C.点睛：该题考查是有关椭圆离心率问题，在求解过程中，一定要注意离心率公式，再者就是要学会从题条件中判断与之相关量，结合椭圆中关系求得结果.4．【2018年全国卷Ⅲ文】已知双曲线离心率为，则点到渐近线距离为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。

详解：，，所以双曲线渐近线方程为，所以点（4，0）到渐近线距离，故选D点睛：本题考查双曲线离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。

5．【2018年全国卷Ⅲ文】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积取值范围是A. B. C. D.【答案】A点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线距离公式，三角形面积公式，属于中档题。

2018年全国各地高考数学模拟试题平面解析几何解答题汇编（含答案解析）1．（2018•南海区模拟）在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（）的距离和它到定直线x=的距离比为，记动点M的轨迹为Ω．（Ⅰ）求Ω的方程；（Ⅱ）设过点（0，﹣2）的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积为1时，求|AB|．2．（2018•江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．3．（2018•道里区校级三模）抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点．（Ⅰ）若点T（﹣1，0），且直线AT，BT的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值；（Ⅱ）设A、B两点在抛物线的准线上的射影分别为P、Q，线段PQ的中点为R，求证：AR∥FQ．4．（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．5．（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2016•南昌校级二模）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．7．（2017•河南模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．8．（2016•全国模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．9．（2016•衡阳三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2017•红桥区二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．11．（2018•凉山州模拟）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．12．（2016•天津一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线RA，RB的斜率之和等于零；（Ⅲ）求|AB|•|MN|的取值范围．13．（2015•大庆一模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．14．（2018•红桥区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．16．（2018•香坊区校级三模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上（异于椭圆C的左右顶点），过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|=2（O为坐标原点），椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：x=my+4（m∈R）与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B交x轴于点D，求证：点D的横坐标为定值；并求当三角形ABD的面积最大时，直线l的方程．17．（2018•枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．18．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F 的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S最大时，求直线MN的方程．△FNS19．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．20．（2018•商丘三模）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN 的垂直平分线过定点G（），求实数k的取值范围．21．（2018•太和县校级模拟）过点F（0，1）作直线交抛物线C：x2=4y于D，E，过D，E两点作C的两条切线交于点M，若△MDE的三边长成等差数列．（1）求证：MD⊥ME（2）求证：△MDE的面积为定值．22．（2018•宜昌模拟）已知倾斜角为的直线经过抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线Γ相交于A、B两点，且|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（12，8）的两条直线l1、l2分别交抛物线Γ于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N．如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．23．（2018•宣城二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？24．（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．25．（2018•江西二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值．26．（2018•深圳一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．27．（2018•潮南区模拟）已知椭圆的右焦点为F，坐标原点为O．椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．（I）证明：点M在直线上；（Ⅱ）当四边形OAMB是平行四边形时，求△MAB的面积．28．（2018•虹口区二模）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．29．（2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线MN过定点．30．（2018•揭阳一模）已知A是椭圆T：上的动点，点P（0，），点C与点A关于原点对称．（I）求△PAC面积的最大值；（II）若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且=m，=n，证明：m+n为定值．31．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．32．（2018•海淀区校级三模）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，1），离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）若过点A作圆M：（x+1）2+y2=r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（B，D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．33．（2018•琼海模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点，探究a，b，r之间的等量关系．34．（2018•韶关模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0），离心率e=，直线y=1与椭圆两交点的距离等于2．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x0，y0）是椭圆上的动点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）21作两条切线，切点分别为M，N．若直线OM，ON的斜率存在，并分别记为k1，k2试问k1•k2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．35．（2018•江西一模）平面曲线C上的点到点F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离．（1）求曲线C的方程；（2）点P在直线y=﹣1上，过点P作曲线C的切线PA、PB，A、B分别为切点，求证：A、B、F三点共线；（3）若直线PF交曲线C于D、E两点，设，求证λ+μ为定值，并求这个定值．36．（2018•青州市三模）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，离心率为，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若y2=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线，M，N，F1三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．37．（2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．38．（2018•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若∠AMN=60°，求点M的坐标．39．（2018•成都模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．40．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．参考答案与试题解析1．【分析】（Ⅰ）根据“动点M到定点F（）的距离和它到定直线x=的距离比为”可列出方程，化简即可求出M的轨迹方程；（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意；故设直线l：y=kx﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx﹣2代入，利用韦达定理解出x1+x2和x1x2的值，利用弦长公式表示出|AB|，再利用三角形面积公式以及△AOB的面积为1即可求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则，两边平方整理得Ω的方程为+y2=1；（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即k2＞时，，，从而|AB|=•=，又点O到直线AB的距离d=，所以△AOB的面积S==1，整理得（4k2﹣7）2=0，即k2=（满足△＞0），所以．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了设而不求方法的运用，考查了弦长公式，属于中档题．2．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．3．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设直线AB的方程为x=ky+1，根据韦达定理可得y1+y2=4k，y1y2=﹣4，根据斜率公式，化简计算即可证明；（Ⅱ）根据斜率公式即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），不妨设直线AB的方程为x=ky+1，联立方程组可得，消y可得y2﹣4ky﹣4=0，∴y1+y2=4k，y1y2=﹣4，∵T（﹣1，0），∴k1==，k2==∴k1+k2=+===0，（Ⅱ）∵A、B两点在抛物线的准线上的射影分别为P、Q，线段PQ的中点为R，∴P（﹣1，y1），Q（﹣1，y2），R（﹣1，），∴k AR===，k FQ==﹣=，∴k AR=k FQ，∴AR∥FQ【点评】本题考查抛物线的方程与性质，直线的斜率，韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．4．【分析】（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，问题得以解决．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由斜率公式化简即可得到定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．5．【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），用k表示D的坐标，分析可得=．解可得a2的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在定点M，且设M（0，m），分析易得k AM+k BM=0，即，变形分析可得2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．6．【分析】（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|==，解得a=2．（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，==，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，又x1x2==，则=﹣，解得a=5．所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．7．【分析】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由；由得，即．所以c=1又因为．因此所求椭圆的方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．====由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1．因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．8．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．9．【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．10．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B （x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2=即k=±时等号成立，可得S=|AB|•r≤×2×=，△OAB即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．11．【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．【解答】解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，，可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，又，联立，解得，即为；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．，．又∠AOB为锐角，即为，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，又，可得k2＜4．又，即为，解得．【点评】本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．12．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a、b的值即可；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立；（Ⅲ）讨论直线l的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB|•|MN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，所以2a=4，a=2；…（1分）由离心率为，得e2===，所以==，得b2=2；…（2分）所以椭圆C的方程为+=1；…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与+=1联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，…（5分）由R（0，2），得k RA+k RB=+=+=2k﹣（+）=2k﹣=2k﹣=0．…（7分）所以直线RA，RB的斜率之和等于零；…（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|•|MN|=8；…（9分）当直线l的斜率存在时，|AB|==•|x1﹣x2|=•=•=•，|MN|=2=2，…（11分）所以|AB|•|MN|=•×2=4•；因为直线l过点P（0，1），所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点，令1+2k2=t，则t≥1，所以|AB|•|MN|=4•=4•＜8，又y=4•在t≥1时单调递增，所以|AB|•|MN|=4≥4，当且仅当t=1，k=0等号成立；…（13分）综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4，8]．…（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．13．【分析】（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．直线AE的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．易知△＞0．所以，，．则=．因为m2≥0，所以．所以．当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．此时．所以的取值范围是．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．14．【分析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合．即可得到所求最大值；方法二、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB 的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y M y N＜0，求得，再由弦长公式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解出即可得出．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16．【分析】（1）由题意可得ab=2，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质，以及椭圆的定义、三角形的中位线定理可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）联立直线l和椭圆方程，运用韦达定理和直线方程，令y=0，化简可得定值；=•3|y1﹣y2|，结合韦达定理和换元法、基本不等式可得最大值和直再由S△ABD线l的方程．【解答】解：（1）椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4，可得•2a•2b=4，即ab=2，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质可得F2P=PR，由Q为F2R的中点，O为F1F2的中点，可得OQ=F1R=（PF1+PF2）=a=2，解得b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1），直线l：x=my+4，联立椭圆方程x2+4y2=4，可得（m2+4）y2+8my+12=0，即有y1+y2=﹣，y1y2=，直线A1B的方程为y+y1=（x﹣x1），令y=0，x D===4+=4﹣3=1；S△ABD=•3|y1﹣y2|===6，设=t（t≥0），则m2=12+t2，S△ABD==≤=，=的最大值为，当t=4，m=±2时，S△ABD直线l的方程x±2y﹣4=0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和垂直平分线性质、三角形的中位线定理，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查三角形的面积的最值，注意运用基本不等式，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k ≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．由抛物线的定义，得．由题意，．解得，或p=2（舍去）．所以C的方程为y2=x．（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），则y=kx+1﹣k．由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．由题意，直线PB的斜率为．。

重组一 集合与常用逻辑用语测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案 D解析 由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.选D.2．[2017·河北百校联盟联考]已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x 2－5x <0，x ∈Z }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 B解析 x 2－5x <0的解为0<x <5，所以集合A ＝{1,2,3,4}，(∁U A )∩B 是指不在集合A 中，但在集合B 中的全集中的元素，即－1,0，所以图中的阴影部分表示的集合等于{－1,0}，故选B.3．[2017·湖北武汉联考]命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x B ．∀n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x C ．∃n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x D ．∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x 答案 D解析 命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定是“∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x ”．故选D.4．[2016·江西九校联考]已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由A ＝{x |－1≤x <1}可得A ∩B ＝{－1,0}，所以A ∩B 的元素个数为2.5．[2016·北京东城模拟]集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥5 B．a ≥4 C．a ＜5 D ．a ＜4 答案 A解析 B ＝{x |x 2－5x <0}＝{x |0<x <5}，A ∩B ＝B 说明B 是A 的子集，故a ≥5. 6．[2016·安徽六校测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B.7．[2016·衡水模拟]“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3，得|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.8．[2016·济南调研]已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈p 为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假答案 B解析 由三角函数y ＝sin x 的有界性，－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >y |x＝0＝0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．9．[2017·河南郑州月考]已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥}－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是()A ．B ∩(∁R A )＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．A ＝B答案 A解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－1，＋∞)上单调递减，所以y ∈(0,2]，因为函数y ＝e x＋1在(－∞，0]上单调递增，所以y ∈(1,2]，故选A.10．[2016·河西五市二联]下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 答案 B解析 A 项，应为“∃x ∈R ，e x≤0”，故A 错误；B 项，其逆否命题是“若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B 正确；C 项，应为“(x 2＋2x －ax )min ≥0在[1,2]上恒成立”，故C 错误；D 项，函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0⇒a ＝－1，故D 错误，选B.11．[2017·河北百校联考]命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) 答案 A解析 命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题，即a 2＋1<2，解得－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．12．[2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m 种，这三天售出的商品最少有n 种，则m ，n 分别为( )A ．18,30B ．16,28C ．17,29D ．16,29 答案 D解析 设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________．答案 至少有一个实数的平方不是正数解析 全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．14．[2017·山西四校联考]已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0；命题q ：13－x <1，若(綈q )∧p是真命题，则x 取值范围是________．答案 [2,3]解析 若p 真，则1≤x ≤4；若q 真，则x <2或x >3.∵(綈q )∧p 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，2≤x ≤3，∴2≤x ≤3.15．[2016·沧州质检]设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，n ∈N *，若X ⊆S n 把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，则S n 的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析 若n ＝4，则S n 的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7. 16．[2016·山西质检]已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(32，＋∞)解析 如图，y ＝9－x 2的图象是半圆，当直线y ＝x ＋b 与半圆无公共点时，截距b ＞32或b ＜－3，故b 的取值范围是(－∞，－3)∪(32，＋∞)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解 (1)要使A ∩B ＝∅， 则需满足下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≤5，a ≥－1，(3分)解此不等式组得－1≤a ≤2， 即a 的取值范围是[－1,2]．(5分) (2)要使A ∪B ＝B ，即A 是B 的子集，(6分) 则需满足a ＋3＜－1或a ＞5，(8分) 解得a ＞5或a ＜－4，即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜－4}．(10分) 18．[2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．解 綈p ：⎝⎛⎭⎪⎫x －432＞4，解得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，(3分)綈q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，解得x ＜1－m 或x ＞1＋m ，设B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }．(6分)因为綈p 是綈q 的必要非充分条件，所以B A (8分)即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，(11分)∴m ≥9.(12分)19．[2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0}，m ∈R .(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意知，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}．(4分) 当m ＝3时，B ＝{x |0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝[0,3]．(5分) (2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，(7分) 结合(1)知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－1，m ＋3≥3，解得0≤m ≤2.(10分)故实数m 的取值范围是[0,2]．(12分)20．[2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0，x ∈R }，且A ∩{x |x ≥0}＝∅，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，A ＝{x |x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}，此时A ∩{x |x ≥0}＝∅；(3分) 当a ≠0时， ∵A ∩{x |x ≥0}＝∅，∴A ＝∅或关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根均为负数．(4分) ①当A ＝∅时，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝1－4a ＜0，解得a ＞14.(7分)②当关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根x 1，x 2均为负数时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a ≥0，x 1＋x 2＝－1a ＜0，x 1x 2＝1a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ＞0，即0＜a ≤14.(10分)综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．(12分)21．[2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0，a ∈R }，函数y ＝lgx －a 2＋2a －x(a ∈R )的定义域为集合B .(1)若a ＝1，求A ∩(∁R B )；(2)若a ＞－1且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝1，则集合A ＝{x |(x －1)·(x －5)＜0}＝(1,5)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －32－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －2＜0＝(2,3)，(3分) 所以∁R B ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，(4分) 故A ∩(∁R B )＝(1,2]∪[3,5)．(5分)(2)因为a ＞－1，所以2a ＋3＞1，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0⇒a 2＋2＞2a ，(7分) 则集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0}＝(1,2a ＋3)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋2a －x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋x －2a ＜0＝(2a ，a 2＋2)．(9分) 又“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，a 2＋2≤2a ＋3(等号不能同时取得)，解得12≤a ≤1＋ 2.(11分)故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋2.(12分) 22．[2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值范围．解 由p 得0＜c ＜1.(2分) 由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，又c ＞0，∴c ＞12，(4分)因为p ∨q 为真，p ∧q 为假， 所以p 和q 一真一假．(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧0＜c ＜1，c ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c ＞12，(10分)解得0＜c ≤12或c ≥1.∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．(12分) 重组二 函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析 由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析 因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)， 故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案 B解析 由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x ＋2＝2＋x 2sin x x ＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案 C解析 由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析 令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析 因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4， 又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2， 解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.12t －2＋8，t ∈，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈，16]，t ∈N . 分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125； 当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0， 所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0； 当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分)而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根， 又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值． 解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分) 当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fa ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fa ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)重组三 导数及其应用测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·安庆二模]给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上 答案 B解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．2．[2017·湖南郴州质检]已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x 有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C．(－∞，e 4) D ．(e 4，＋∞) 答案 B解析 取特殊函数f (x )＝1刚好符合已知条件，故f (x )<e x⇒1<e x⇒x >0，故选B.3．[2017·衡水中学三调]已知函数g (x )＝a －x 2( 1e≤x ≤e，e 是自然对数的底数 )与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B ．[1，e 2－2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)答案 B解析 由已知得，方程a －x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x －2x ＝－x＋xx.因为1e≤x ≤e，所以函数f (x )在x ＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[1，e 2－2]，故选B.4．[2017·江西抚州联考]已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案 D 解析 g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D.5．[2017·湖北联考]已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，16B ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a －4a －1)(18a －12a －1)<0，a <－12或a >16，因此D 是要求的一个充分不必要条件．故选D.6．[2017·沧州模拟]函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )答案 B解析 因为f (x )＝(cos x )·ln |x |，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝cos(－x )·ln|－x |＝(cos x )·ln |x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6·ln π6<0，排除A ，故选B.7．[2016·云南师大附中模拟]已知函数f (x )＝|x |ex (x ∈R )，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2e 2e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 2e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2e 2e ，1 答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝－x e x 为减函数，f (x )min ＝f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x ex ，f ′(x )＝1－2x2x ex，则x >12时，f ′(x )<0,0<x <12时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e 2e .其大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则0<m －1<2e 2e ，即1<m <1＋2e 2e，故选A.8．[2016·四川高考]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 答案 A解析 不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(0<x 2<1<x 1)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x1x －x 1，y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.9．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x －x 2－x ，x ＋1x＋a x的最大值为f (－1)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0,2e 2] B ．[0,2e 3] C ．(0,2e 2] D ．(0,2e 3] 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ＋a ≤f (－1)＝a －2；若a <0时，f (x )＝a ln x －x 2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x →0时，f (x )→＋∞；当a ＝0时，f (x )＝－x 2－2≤－2恒成立；当a >0时，f ′(x )＝a x －2x ＝a －2x 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2x，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，则需f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤f (－1)，即a lna 2－a2－2≤a －2，即a lna 2≤32a ，即ln a2≤3，解得0<a ≤2e 3，综上所述，实数a 的取值范围为[0,2e 3]，故选B.10．[2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx－ay 3＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 327C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 327，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28答案 C解析 由题意知a ＝e y x⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3，设y x ＝t (t >0)，则a ＝e t t 3，令f (t )＝e t t 3，则f ′(t )＝e tt －t 4，当t >3时，f ′(t )>0，当0<t <3时，f ′(t )<0，所以f (t )min ＝f (3)＝e 327，∴a ≥e327.11．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析 设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．[2017·河北百校联考]已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 3，1e 2答案 C解析 画出方程所代表的函数的图象，设过定点M (0,1)的直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝ln x 相切的切点为P (t ，ln t )，则由题设可得1t ＝ln t －1t，解之得ln t ＝2，即t ＝e 2，故P (e 2,2)，此时k ＝1e 2；当动直线经过点A (e 3,3)时，此时k ＝2e 3，结合图象可知当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2时，两函数y ＝ln x 与y ＝kx ＋1有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(写成⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞也给分) 解析 函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ≥0，即x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．[2016·长春质检]设函数f (x )＝1－e x的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________．答案 y ＝－x解析 由题意P (0,0)，f ′(x )＝－e x，f ′(0)＝－1，从而曲线在点P 处的切线方程为y ＝－x .15．[2016·北京高考改编]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.16．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－1对称，则f (x )的最大值为________．答案 4解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (0)＝f (－2)，f (1)＝f (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－2a ＋b ]，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋a ＋b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－3a ＋b ]，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋4x )＝－14x 4－x 3＋x 2＋4x ，则f ′(x )＝－x 3－3x 2＋2x ＋4＝－(x ＋1)(x2＋2x －4)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±5，易知函数f (x )在x ＝－1±5处取得极大值， 又f (－1＋5)＝f (－1－5)＝4，所以f (x )max ＝4.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·银川调研](本小题满分10分)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．解 (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数．∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(5分) (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0，∴a ＝1.(10分)18．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，t ∈R .(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －y ＋1＝0，则求t 的值； (2)若函数y ＝f (x )有三个不同的极值点，求t 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x， 则f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(2分)函数f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为f ′(0)＝3＋t ， 由题意可得，3＋t ＝4，解得t ＝1.(4分) (2)f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(5分)令g (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3＋t ，则方程g (x )＝0有三个不同的根，(6分) 又g ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)， 令g ′(x )＝0，得x ＝－1或3，且g (x )在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分)故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即有⎩⎪⎨⎪⎧t ＋8>0，t －24<0，解得－8<t <24.(12分)19．[2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ， 令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ．(3分) g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(6分)(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立，(7分) 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤exx.(8分)令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值范围是(0，e]．(12分)20．[2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k ∈Z 时，不等式k (x －1)<f (x )在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，(1分)由题意知f ′(x )≥0在[e ，＋∞)上恒成立，(2分) 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即a ≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立，(3分)而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2，∴a ≥－2.(4分) (2)f (x )＝x ＋x ln x ，k <f xx －1， 即k <x ＋x ln xx －1对任意x >1恒成立．(5分) 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2x －2.(6分) 令h (x )＝x －ln x －2(x >1)， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．(7分) ∵h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x 0∈(3,4)使h (x 0)＝0.即当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，(8分) 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0.∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．(9分) 由h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2，g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0－x 0－1＝x 0∈(3,4)，(11分)∴k <g (x )min ＝x 0且k ∈Z ，即k max ＝3.(12分)21．[2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x－bx ＋1.(1)若2a －b ＝4，则当a >2时，讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝－1，F (x )＝f (x )－5x，且当a ≥－4时，不等式F (x )≥2在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)由2a －b ＝4，得f (x )＝a ln x ＋1x＋(4－2a )x ＋1，所以f ′(x )＝a x －1x2＋(4－2a )＝－2a x 2＋ax －1x 2＝－ax ＋x －x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1a －2.(2分)当a ＝4时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a －2上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当a >4时，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，12上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(6分)(2)由题意知，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ≥2.(7分) 当b ＝－1时，F (x )＝f (x )－5x ＝x －4x＋a ln x ＋1，则F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2(1≤x ≤4)．(8分)①当－4≤a ≤4时，F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24x 2≥0，故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(9分)②当a >4时，设x 2＋ax ＋4＝0(Δ＝a 2－16>0)的两根分别为x 1，x 2，。

数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC→与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c .又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝75，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝55.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝55c ，因此55c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离H3 圆的方程20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图1­3，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图1­3(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.7．H3 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.437．B 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为1＋0＋23，0＋3＋33，即1，233，圆心到原点的距离为12＋2332＝213.2．H3 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝22．D 根据题意知圆的半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，所以以(1，1)为圆心且过原点的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系8．H4直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或128．D 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离d＝|3＋4－b|32＋42＝1，即|b－7|＝5，解得b＝12或b＝2，选D.20．H3，H4，H9已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4如图1­3，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.图1­3(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.13．H4若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB ＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．13．2 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|0－0＋5| 32＋（－4）2＝1，又△OAB中点O到AB边的距离d＝r sin 30°＝r2＝1，所以r＝2.13．H4、F3过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝________．13.32如图所示，|PA|＝|PB|＝3，|OP|＝2，|OA|＝1，且PA⊥OA，∴∠APO＝π6，即∠APB＝π3，∴PA→·PB→＝|PA→||PB→|cos∠APB＝3×3×cosπ3＝32.10．H4，H8设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r 的取值范围是( )A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)10．D 不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0.又中点M (2t 2＋m ，2t )，圆心C (5，0)，k MC k l ＝－1，所以m ＝3－2t 2，当t ＝0时，对于0<r <5，满足条件的直线有2条，当t ≠0时， 代入Δ＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得r ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t 21＋t2＝21＋t 2. 由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4)．5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a ＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0， 设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.H5 椭圆及其几何性质20．H5 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，所以b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB→·NM →＝0，故MN ⊥AB .8．H5 已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．98．B 由题意得，m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选B. 22．H5、H8、H9、H10 一种画椭圆的工具如图1­5所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB 所在的直线为x轴建立如图1­6所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1­5图1­622．解：(1)由题知|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x216＋y2 4＝1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4. ① 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得 S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2. ②将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，所以0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号，所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x216＋y 212＝1.A ，B 是C 的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB |＝6.20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．20．解：(1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M (3，2－y 1)． 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2. 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2.因为k BM－1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．11．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．0，3B ．0，34 C.3，1 D.34，111．A 因为直线l 过原点，不妨设A 在第一象限，左焦点为F ′，由对称性可知四边形AF ′BF 为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ＝4，所以a ＝2，点M (0，b )到直线l 的距离d ＝|0－4b |5≥45且b <a ，所以1≤b <2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝4－b 22∈0，32.20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC→与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.21．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．21．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知，0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 如图1­6，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图1­620．解：(1)由题设知c a ＝2，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知得Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.20．F3，H5，H8 如图1­3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC→·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图1­320．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA→·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA→·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA→·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c .又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－1x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝75，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝55.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝55c ，因此55c＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.7．H5 如图1­3，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )图1­3A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7．C 射线AP 以AB 为旋转轴，∠PAB ＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P 的轨迹为椭圆．15．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．15.22设FQ 的中点为A ，椭圆的左焦点为F ′，连接QF ′.因为点F 和Q 关于直线y ＝b c x 对称，所以点A 在直线y ＝bc x 上，且OA ⊥QF ，又OA ∥QF ′，所以F ′Q ⊥QF .在直角三角形OAF 中，tan ∠AOF ＝bc ，又a 2＝b 2＋c 2，故sin ∠AOF ＝b a ，cos ∠AOF ＝c a ，则|OA |＝c 2a ，|AF |＝cb a ，|QF ′|＝2c 2a ，|QF |＝2cb a ，所以2a ＝|QF ′|＋|QF |＝2c 2a ＋2cba，即a 2＝c 2＋cb ，又a 2＝c 2＋b 2，所以c ＝b ，故e ＝c a ＝22.21．H5、H8 如图1­5，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e的取值范围．图1­521．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)如图所示，连接F1Q，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝|PF1|2＋|PQ|2＝1＋λ2|PF1|.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a（λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ<43，得3≤t <4，即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59，即2<e ≤5.18．H5、H10 如图1­4，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1­418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意， 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.H6 双曲线及其几何性质6．H6 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝16．A A 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中双曲线的渐近线方程为y＝±22x .故选A.9．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 9．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋ma ＋m，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m a ＋m，即e 1<e 2.故选D. 16．H6 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．16．12 6 由已知得a ＝1，c ＝3，则F (3，0)，|AF |＝15.设F 1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PF 1|＝2，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2≥|AF 1|＋2＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2最小，即△APF 周长最小，此时，sin ∠OAF ＝15，cos ∠PAF ＝1－2sin 2∠OAF ＝2325，即有sin ∠PAF ＝4625.由余弦定理得|PF |2＝|PA |2＋|AF |2－2|PA ||AF |cos ∠PAF ，即(17－|PA |)2＝|PA |2＋152－2|PA |×15×2325，解得|PA |＝10，于是S △APF ＝12|PA |·|AF |·sin ∠PAF ＝12×10×15×46＝12 6.15．H6 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．15.x 24－y 2＝1 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x24－y 2＝λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．H6 已知(2，0)是双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．12. 3 因为(2，0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝22，又因为b >0，所以b ＝ 3.6．H6 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.536．D 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D. 15．H6 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．15．2＋ 3 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y ＝ba (x －c )，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a ，∴有（2a ）2a 2－y 2b2＝1，解得y ＝－3b (y ＝3b 舍去)，∴－3b ＝b a(2a －c )，整理得c ＝(2＋3)a ，即双曲线的离心率e ＝2＋ 3.7．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33 B ．23 C ．6 D ．437．D 由题意得，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝23或y ＝－23，故|AB |＝43.5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b a x ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b 2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a ＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.9．H6 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 29．C 由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a .不妨设Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2ac ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba ＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >2，故c max ＝2.H7 抛物线及其几何性质5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x216＋y 212＝1.A ，B 是C 的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB |＝6.19．H7、H10 已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图1­419．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.又G (－1，0)，所以k GA ＝2 2－02－（－1）＝2 23，k GB ＝－2－012－（－1）＝－2 23，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．方法二：(1)同方法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)，由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋2 2|8＋9＝4 217. 又直线GB 的方程为2 2x ＋3y ＋22＝0， 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋2 2|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC→与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.3．H7 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)3．B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由已知得－p2＝－1，所以p2＝1，故其焦点坐标为(1，0)．19．H7，H10 如图1­5，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．图1­519．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎨⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由直线PA 与抛物线相切,得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎨⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t2，和直线PA的方程tx－y－t2＝0.点B到直线PA的距离d＝t21＋t2.设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AP|·d＝t32.H8 直线与圆锥曲线（AB课时作业）22．H5、H8、H9、H10一种画椭圆的工具如图1­5所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB 所在的直线为x轴建立如图1­6所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1­5图1­622．解：(1)由题知|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4. ① 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得 S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2. ②将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.。

H 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程12．H1、H7、H8 在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．12. 3 本题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想．抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l 的斜率为tan600＝3，所以直线l 的方程为y ＝3x －3，将直线l 的方程和抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由点A 在x 轴上方，所以A 点在第一象限，则x 1＝3，y 1＝2 3.法一：|AF |＝x 1＋1＝4，O 点到直线AB 的距离为d ＝32，所以S ΔFOA ＝12×4×32＝ 3. 法二： A (3,23)，所以S ΔFOA ＝12×1×23＝ 3.16．H1、H 7 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.16.94 本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查综合运用知识的能力以及函数与方程和数形结合的数学思想．求出曲线C 1到直线l 的距离和曲线C 2到直线l 的距离，建立等式，求出参数a 的值. 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d －r ＝||－42－2＝2，由y ＝x 2＋a 可得y ′＝2x ，令y ′＝2x ＝1，则x ＝12，在曲线C 1上对应的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a ，所以曲线C 1到直线l 的距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a 直线l 的距离，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，a ＝－74或a ＝94，当a ＝－74时，曲线C 1：y ＝x 2－74与直线l ：y ＝x 相交，两者距离为0，不合题意，故a ＝94.19．H1、H5、H8 已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )． (1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B (点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G .求证：A ，G ，N 三点共线．19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m －2>0，85－m >8m －2，解得72<m <5，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，5. (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24>0，即k 2>32.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k2. 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 1y 1＋2，1.因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1， 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋x 1＋x 2x 1x 2＝43k ＋2×－16k 1＋2k 2241＋2k2＝0，。

2018年高考数学解析几何文科试题分类汇编
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21．[2018 福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线＝－3的距离小2
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线＝3分别与直线l及轴交于点，N以N为直径作圆c，过点A作圆c的切线，切点为B试探究当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解方法一(1)设S(x，)为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下
由(1)知抛物线Γ的方程为＝14x2
设P(x0，0)(x0≠0)，则0＝14x20，
由′＝12x，得切线l的斜率＝′|x＝x0＝12x0，
所以切线l的方程为－0＝12x0(x－x0)，即＝12x0x－14x20
由＝12x0x－14x20，＝0，得A12x0，0
由＝12x0x－14x20，＝3，得12x0＋6x0，3
又N(0，3)，所以圆心c14x0＋3x0，3，
半径r＝12|N|＝14x0＋3x0，
|AB|＝|Ac|2－r2
＝12x0－14x0＋3x02＋32－14x0＋3x02
＝6
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．
方法二(1)设S(x，)为曲线Γ上任意一点，
则|－(－3)|－（x－0）2＋（－1）2＝2。

2018年全国高考试题分类汇编免费教育资源网解析几何部分参考答案、选择题二、填空题1．22x2y2411．用代数的方法研究图形的几何性质2 152 .2x y2 112． 5 23 1 13．44．5 14．[－1，3]15．455(0,-1) 1 2 a 1 216．2x－ y+4=06．x 2+(y+1) 2=1 1－2 ≤ a≤1+ 2 17．213 18．11[ ,0) (0, ]7( ,13)10 1048．(5,0) 19．22(x 1)2 (y 1)2 259．22(x－ 2)2+(y+3) 2=520．12210． (x－ 2)2+(y+3) 2=5三、解答题1．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，综合解题能力 .满分 14 分 .解：（ I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组x2y2 1,2y21,a x y 1.平面向量的运算等解析几何的基本思想和有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ⋯⋯ 2 分双曲线的离心率即离心率 e 的取值范围为 ( 6, 2) ( 2, ). 6分II)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), P 1(0,1)2. 本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和 综合解题能力。

满分 12 分。

解：(Ⅰ) C 的焦点为 F(1， 0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为y x 1.22将 y x 1代入方程 y 2 4x ，并整理得 x 26x 1 0.设A (x 1, y 1),B (x 2,y 2),则有 x 1 x 2 6,x 1x 2 1.OA OB (x 1, y 1) (x 2,y 2) x 1x 2 y 1y 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 1 3. | OA ||OB | x 12y 12x 22y 22x 1x 2[x 1x 2 4(x 1 x 2) 16] 41.OA OB 3 14 cos(OA, OB) . |OA| |OB | 41314 所以 OA 与OB 夹角的大小为 arccos3 14. 41(Ⅱ)由题设 FB AF 得 (x 2 1,y 2)(1 x 1, y 1),即x 2 1 (1 x 1), ①y2y1.②所以 21 a 20. 4 2 24a 4 8a 2(1 a 2) 0.解得 0 a 2且a 1.e1 a 212 1. 0 a 2且 a 1, a 255 PA 5 PB, (x 1,y 1 1) 5(x 2,y 2 1). 12 12由此得 x 1 152x 2. 8分 由于 x 1，x 2 都是方程①的根，且 所以 17 x 2 12 22 1a12 17.13.14分 5 x 222a 2 2a 2 2891 a2 .消去, x 2 ,得 1 a 2 60 由 a 0,所以 a2a 2y12 4x1,y22 4x2, ∴ x22x1. ③联立①、③解得x2 ，依题意有0.∴B（ ,2 ）,或B（ , 2 ）,又 F（1，0），得直线 l方程为( 1)y 2 (x 1)或( 1)y 2 (x 1),当[4,9]时，l 在方程 y轴上的截距为2或 1由②得y22 2y12，2 2 2 11 可知2在[4，9]上是递减的，4,4 23,3 134,4直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为[ 43 3] [3,4].4] [4,3]. 以及综合. 满分 14 分 .解：（ 1）由题设有m 0,c m.设点 P的坐标为（x0,y0），由PF1 PF2，得y0x0 cy0x0 c1，化简得x02y02m. ①2 将①与x0 m1y021联立，解得 2x02m 1 2,y0由m 0,x021 0,得 m 1. 所以 m 的取值范围是1.2）准线 L 的方程为m 1.设点 Q的坐标为（x1,y1），则m x1m 1.mm1m |QF2 | x1 c m|PF| c x m x2 m1 |QF2| 22m m 1.将x0 代入②，化简得.满分 12 分 .2m1代入②，化简得由题设 |QF 2| | PF 2 |2 3 ，得 mm 21 2 3 ，无解 .将 x.满分 12 分 .m|QF 2 | 1m m 2 1.|PF 2 | m m 21由题设 ||QPF F22 || 2 3 ，得 m m 21 2 3.解得 m=2.从而 x 03, y 02,c 2, 得到 PF 2 的方程22y ( 3 2)(x 2).4．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力 满分 12 分 . 解： y ′ =2x+1.直线 l 1 的方程为 y=3 x － 3.设直线 l 2过曲线 y=x 2+x －2 上 的点 B( b, b 2+b －2),则 l 2的方程为y=(2b+1) x －b 2－2 1因为 l 1⊥ l 2，则有 2b+1= ,b 1 231 x所以直线 l 2的方程为 y2 322II )解方程组 y 3x 3,1 22yx391 x, 6 5 y2(1, 5).(6, 2).221，0)、 ( ,0).3所以直线 l 1和 l 2 的交点的坐标为 l 1、l 2与 x 轴交点的坐标分别为(2 32 125．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力 解：直线 l 的方程为 x y1，即 bx ay ab 0.aba 1ly 1 2(y 2 2),∴y 1 y 24d1b(a 1)a 2b 2同理得到点(－ 1， 0) b(a 1)2到直线 l 的距离 d 2a2 bs d 1 d 22ab2aba 2b 2由 s4c,得 2ab 4c,5 c 5即 5a c 2 a 2 2c 2.于是得 5 e 2 1 2e 2,即4e 425e 225 0.解不等式，得 54 e 25.由于 e 1 0,所以 e 的取值范围是25 e 5.26．(Ⅰ)由已知条件 ,可设抛物线的方程为 y 2∵点 P(1,2) 在抛物线上 , ∴ 222p 1, 得 p =2.2故所求抛物线的方程是 y 2准线方程是 x=-- 1.(Ⅱ ) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB , ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ,∴k PA k PB .由 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上 ,得2 y14x 1, ① 4x 2, ②2 y 2 221221 y2 14 2 y2y 1 1 4 y 1由① --②得直线 AB 的斜率y2 y1 4 4kAB1（x1 x2）. （14 分）x2 x1 y1 y2 47．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分 14 分。

重组六平面向量测试时间:120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题,每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合题意)1．2016·江南十校联考］设D是△ABC所在平面内一点,错误!＝2错误!,则（）A。

错误!＝错误!错误!－错误! B.错误!＝错误!－错误!错误!C。

错误!＝错误!错误!－错误!D。

错误!＝错误!－错误!→AB答案D解析错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!－错误!＝错误!－错误!错误!－错误!＝错误!－错误!错误!，故选D.2．2016·衡水高三大联考］平面向量a与b的夹角为30°,a＝（1,0）,｜b|＝错误!，则｜a－b|＝（) A．2错误!B．1 C.错误! D.错误!答案B解析因为|a｜＝1，所以|a－b｜＝错误!＝错误!＝错误!＝1。

故选B.3．2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝｜b｜”是“｜a＋b｜＝|a－b｜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析取a＝－b≠0，则|a｜＝|b｜≠0，｜a＋b|＝|0｜＝0，|a－b｜＝｜2a|≠0，所以｜a＋b｜≠｜a－b|,故由|a|＝｜b|推不出|a＋b|＝｜a－b｜。

由｜a＋b|＝｜a－b｜，得｜a＋b|2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0,所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝|b|,故由｜a＋b|＝｜a－b｜推不出｜a|＝｜b｜.故“｜a｜＝｜b｜"是“｜a＋b｜＝｜a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.4．2017·河北武邑期末]在边长为1的正△ABC 中,D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则错误!·错误!等于（）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!答案C解析因错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，故错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!2＋错误!错误!2＋错误!·错误!＝1＋错误!＋1×1×错误!＝错误!，故应选C.5．2017·江西九江十校联考]已知｜a ｜＝2，（2a －b )⊥a ，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 D解析 由(2a －b )⊥a 知(2a －b )·a ＝0，即2a 2－a ·b ＝0，又|a ｜＝2，所以2|a ｜2－｜a ｜|b |cos 〈a ,b >＝8－2|b ｜cos 〈a ，b 〉＝0，得|b |cos 〈a ，b 〉＝4，即b 在a 方向上的投影为4，故选D.6．2017·吉林长春质检]△ABC 是边长为1的等边三角形，已知向量a ，b ,满足错误!＝2a ,错误!＝2a ＋b ，则下列结论正确的是（ )A ．｜b |＝2B ．a ⊥bC ．a ·b ＝错误!D 。

训练一：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第4题：已知椭圆14:222=+y a x C 的一个焦点为)0,2(，则C 的离心率为（ ） A.31 B.21C.22D.322本题解答：椭圆14:222=+y a x C 42=⇒b ；焦点为)0,2(2=⇒c 。

⇒==⇒=⇒=+=+=2222222844222a c a c b a 椭圆的离心率为22。

训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第15题：直线1+=x y 与圆03222=-++y y x 交于A 、B 两点，则=||AB 。

本题解答：圆4)1(131********2222222=++⇒+=+⋅⋅++⇒=++⇒=-++y x y y x y y x y y x 。

直线011=+-⇒+=y x x y 。

如下图所示：根据点到直线的距离公式得到：222)1(1|1)1(0|||22==-++--=CD 。

在ACD Rt ∆中：根据勾股定理得到：2||2)2(2||||||22222=⇒=-=-=AD CD AC AD22||2||==⇒AD AB 。

训练三：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第20题：设抛物线x y C 2:2=，点)0,2(A ，)0,2(-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点。

（Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （Ⅱ）证明：ABN ABM ∠=∠。

本题解答：（Ⅰ）直线x l ⊥轴，过)0,2(A ⇒直线l ：2=x 。

联立2=x 和x y 22=得到：)2,2(242222M y y y ⇒±=⇒=⇒⨯=或)2,2(-M 。

分类讨论：①当)2,2(M 时：121)2(21:21)2(202)0,2(+=⇒+=⇒=---=⇒-x y x y BM k B BM 。

②当)2,2(-M 时：121)2(21:21)2(202)0,2(--=⇒+-=⇒-=----=⇒-x y x y BM k B BM 。

重组十二 大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2017·安徽皖江联考](本小题满分15分)如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，现将△ACD 沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D ′，此时ED ′＝102.(1)求证：D ′H ⊥AE ；(2)求三棱锥B －AED ′的体积．解 (1)证明：在矩形ABCD 中，∵CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，∴tan ∠EDC ＝CE CD ＝33，tan ∠ACB ＝AB BC ＝33， ∴∠EDC ＝∠ACB .∵∠DCA ＋∠ACB ＝π2，∴∠EDC ＋∠DCA ＝π2，∴∠DHC ＝π2，∴AC ⊥DE ，∴D ′H ⊥AC .(4分)又△CHE ∽△AHD ，且CE ∶AD ＝1∶3， ∴D ′H ＝DH ＝34DE ＝32，HE ＝14DE ＝12.(7分)∵ED ′＝102，∴D ′H 2＋HE 2＝D ′E 2，∴D ′H ⊥HE . ∵直线AC 与HE 是平面ABC 内的两条相交直线，∴D ′H ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，∴D ′H ⊥AE .(10分) (2)由(1)知D ′H ⊥平面ABC ，又V B －AED ′＝V D ′－ABE ，V D ′－ABE ＝13S △ABE ×D ′H ＝13×12×2×3×32＝32， ∴V B －AED ′＝32.(15分)2．[2017·南昌检测](本小题满分15分)已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD ＝120°，PA ＝b .(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 的中点，若点M 到平面POD 的距离为14b ，求a ∶b 的值．解 (1)证明：(2)因为V M －POD ＝V P －OMD ，在Rt △OMD 中，有S △OMD ＝12×14a ×32a ＝316a 2.(8分)在Rt △POD 中，有OD ＝32a ，PO ＝b 2＋14a 2⇒S △POD ＝12×32a ×b 2＋14a 2.(11分)所以13×a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋34a 24×14b ＝13×316a 2×b ⇒3a 2＝4b 2，(13分) 即a ∶b ＝2∶ 3.(15分)3．[2017·沈阳质检](本小题满分20分)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝3.E 为PD 的中点，F 在棱PA 上，且AF ＝1.(1)求证：CE ∥平面BDF ； (2)求点P 到平面BDF 的距离．解 (1)证明：如图所示，取PF 的中点G ，连接EG ，CG .连接AC 交BD 于O ，连接FO . 由题可得F 为AG 的中点，O 为AC 的中点，∴FO ∥GC ， ∵FO ⊄平面GEC ，GC ⊂平面GEC ， ∴FO ∥平面GEC .又G 为PF 的中点，E 为PD 的中点，∴GE ∥FD . ∵FD ⊄平面GEC ，GE ⊂平面GEC ， ∴FD ∥平面GEC ，又∵FO ∩FD ＝F ， ∴平面GEC ∥平面BDF .∵CE ⊂平面GEC ，∴CE ∥平面BDF .(9分) (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA 是三棱锥P －ABD 的高，又S △ABD ＝12×3×3×32＝934，∴V P －ABD ＝13×S △ABD ×PA ＝934，同理V F －ABD ＝13×S △ABD ×FA ＝334，∴V P －BDF ＝V P －ABD －V F －ABD ＝332.∵S △BDF ＝12×BD ×DF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝12×33×32＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝3394，(16分)设点P 到平面BDF 的距离为h ，则V P －BDF ＝13S △BDF h ＝332，∴13×3394h ＝332， 解得h ＝61313，即点P 到平面BDF 的距离为61313.(20分)4．[2017·石家庄二中调研](本小题满分20分)如图所示，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，O 为AC ，BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝6，点M 为侧棱PD 上一点，且满足PD ⊥平面ACM .(1)若在棱PD 上存在一点N ，且BN ∥平面AMC ，确定点N 的位置，并说明理由； (2)求点B 到平面MCD 的距离．解 (1)当点N 为PM 的中点时，BN ∥平面AMC .理由如下： △ACD 中可得OD ＝3，OC ＝1， ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥OC ，PO ⊥OD . Rt △POC 中，PO ＝6，OC ＝1，∴PC ＝7， 同理可得，PD ＝3.△PCD 中，由余弦定理可得cos ∠CDP ＝12，∴∠CDP ＝π3，Rt △CDM 中，DM ＝1，∴M 为边PD 的三等分点．(6分) ∵N 为PM 的中点，且M 为边PD 的三等分点，∴MO 为△BND 的中位线， ∴MO ∥BN ，MO ⊂面AMC ，BN ⊄面AMC ， ∴BN ∥面AMC .(10分)(2)∵PO ⊥面ABCD ，M 为边PD 的三等分点，∴M 到平面ABCD 的距离＝PO 3＝63，(14分)S △BCD ＝3，V M －BCD ＝13×3×63＝23＝V B －MCD .(18分) 又∵S △MCD ＝12CM ×DM ＝32，∴B 到面MCD 的距离为263.(20分)5．[2017·河北百校联盟联考](本小题满分20分)在如图所示的三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC 1A 1；(2)若△ABC 为正三角形，且AB ＝AA 1，M 为AB 上的一点，AM ＝14AB ，求直线DE 与直线A 1M所成角的正切值．解 (1)证明：取AB 的中点F ，连接DF ，EF ，(2分) 在△ABC 中，因为D ，F 分别为BC ，AB 的中点， 所以DF ∥AC ，DF ⊄平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以DF ∥平面ACC 1A 1.(4分)在矩形ABB 1A 1中，因为E ，F 分别为A 1B 1，AB 的中点，所以EF ∥AA 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.(6分) 因为DF ∩EF ＝F ，所以平面DEF ∥平面ACC 1A 1.(8分) 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ACC 1A 1.(10分)(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，连接CF ，因为△ABC 为正三角形，F 为AB 中点，所以CF ⊥AB ，所以CF ⊥平面ABB 1A 1. 取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，可得DG ∥CF ，故DG ⊥平面ABB 1A 1. 又因为AM ＝14AB ，所以EG ∥A 1M ，所以∠DEG 即为直线DE 与直线A 1M 所成角．(16分)设AB ＝4，在Rt △DEG 中，DG ＝12CF ＝3，EG ＝16＋1＝17，所以tan ∠DEG ＝317＝5117.(20分) 6．[2017·湖北武汉质检](本小题满分20分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°，AB ＝AD ＝2CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点．(1)试问：直线DM 与平面PCB 是否有公共点？并说明理由； (2)若CD ＝1，求三棱锥B －CDM 的体积． 解 (1)直线DM 与平面PCB 没有公共点． 证明如下：取PB 的中点F ，连接MF ，CF ，如图．∵M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴MF ∥AB ，且MF ＝12AB .(3分)∵四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ， ∴MF ∥CD 且MF ＝CD ， ∴四边形CDMF 是平行四边形， ∴DM ∥CF .∵CF ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB ，∴DM ∥平面PCB ，即直线DM 与平面PCB 没有公共点. (10分)(2)由AB ＝AD ＝2CD ，CD ＝1，得AB ＝AD ＝2. 又底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°， 可知BC ⊥CD 且BD ＝2，得BC ＝BD cos30°＝3，从而S △BCD ＝12·CD ·BC ＝12×1×3＝32. (14分)又△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝ 90°且AD ＝2，作PG ⊥AD ，垂足为G ，则PG ＝1. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥平面ABCD . (16分) 又M 为PA 的中点，故V B －CDM ＝V M －BCD ＝13·S △BCD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12PG ＝13×32×12＝312. (20分)7．[2017·吉林质检](本小题满分20分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 、AC 、AA 1三条棱两两互相垂直，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，E 、F 分别是BC 、BB 1的中点．(1)求证：C 1E ⊥平面AEF ； (2)求F 到平面AEC 1的距离．解 (1)证明：连接FC 1、AC 1，由已知可得BC ＝22，CC 1＝2，C 1E ＝6，AE ＝2，AC 1＝22，EF ＝3，FC 1＝3，(2分)∴FC 21＝EF 2＋EC 21，AC 21＝AE 2＋EC 21，(5分) ∴EF ⊥EC 1，AE ⊥EC 1，(6分)又∵EF 、AE ⊂面AEF ，EF ∩AE ＝E ，(8分) 故C 1E ⊥平面AEF .(10分)(2)解法一：由已知得AF ＝5，∴AF 2＝EF 2＋AE 2， ∴EF ⊥AE .(12分)由(1)知C 1E ⊥平面AEF ，则C 1E 为三棱锥C 1－AEF 的高，设点F 到平面AEC 1的距离为d ， 由等体积法V F －AEC 1＝V C 1－FAE ，(14分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×C 1E ×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×EF ×C 1E ，(16分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×6×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×6，(18分) ∴d ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)解法二：C 1E ＝6，AE ＝2，AF ＝5，EF ＝3，FC 1＝3，(12分) ∴EF 2＋AE 2＝(3)2＋(2)2＝(5)2＝AF 2，∴EF ⊥AE ，(14分) ∴EF 2＋C 1E 2＝(3)2＋(6)2＝32＝C 1F 2，∴EF ⊥C 1E .(16分)又∵C 1E 、AE ⊂面AEC 1，C 1E ∩AE ＝E ，∴EF ⊥面AEC 1， ∴EF 即为点F 到面AEC 1的距离，(18分)EF ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)8．[2017·江西师大模拟](本小题满分20分)如图1所示，在矩形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝25，BD 是对角线，过A 点作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到达点P 的位置(图2)，且PB ＝217.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ；(2)过点C 作一平面与平面PAE 平行，作出这个平面，写出作图过程； (3)在(2)的结论下，求出四棱锥P －ABCE 介于这两平行平面间部分的体积．解 (1)证明：在图1中，AB ＝45，AD ＝25，则BD ＝10， 又AD 2＝DO ·BD ⇒DO ＝2，OB ＝8.在图2中，PO ＝DO ＝2，PO 2＋OB 2＝22＋82＝68＝PB 2， 则PO ⊥OB ，又因为PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ， 所以PO ⊥平面ABCE .(7分)(2)过点C 作AE 的平行线交AB 于点F ，过点F 作PA 的平行线交PB 于点G ，连接CG ，则平面CFG 为所求的平面．(11分)(3)在图1中，△DOE ∽△DCB ⇒DE ＝5，则 S △ADE ＝5，S 梯形ABCE ＝S ABCD －S △ADE ＝35，S △BCF ＝S △ADE ＝5，设CF 交OB 于H ，连接GH ，则GH PO＝BH OB ⇒GH ＝12，(15分) 所求的几何体的体积V ＝V P －ABCE －V G －BCF ＝13S 梯形ABCE ·PO －13S △BCF ·GH＝13×35×2－13×5×12＝1356＝452.(20分)。

H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1，H5，H8 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值． 20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 33，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝4 63.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 33<n<3，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0，于是x 3，4＝－2n±2（9－n 2）3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|²|AB|＝8 699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63.9．E5，H1 已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a（x －3）.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．29．B 直线y ＝a(x －3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y ＝－2x ，平移易知直线过A 点时直线在y 轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1 a ＝12.答案为B.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离8．H2 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )图1－1A ．2B ．1 C.83 D.438．D 不妨设AP ＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB 为x 轴，AC 为y 轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(x Q ，y Q )，R(0，y R )，P(m ，0)，可知△ABC 的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，根据反射性质，可知P 关于y 轴的对称点P 1(－m ，0)在直线QR 上，P 关于x ＋y ＝4的对称点P 2(4，4－m)在直线RQ 上，则QR 的方程为y －04－m ＝x ＋m 4＋m ，将G ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43代入可得3m 2－4m ＝0，即m ＝43或m ＝0(舍)，选D.12．H2，E1 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1212．B 方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－22；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13.故选B. 方法二：(直接法)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b y ＝a ＋b a ＋1 ，y ＝ax ＋b 与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形与a>0 ，12³a ＋b a ＋1³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12 (a ＋b)2＝a(a ＋1)>0 a ＝b 21－2b.∵a>0，∴b 21－2b >0 b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B.7．H2，H4 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5 2－4 B. 17－1C ．6－2 2 D.177．A 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝5 2－4，故选A.图1－3H3 圆的方程20．H3，H10，H8，H5 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2， 当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.21．F2、F3、H3、H5，H8 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →²QP →′＝(x 1－x 0，y 1)²(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系9．H4 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 9．B AB ：y ＝k(x －2)，k<0，圆心到直线的距离d ＝|－k 2|k 2＋1<1，得－1<k<0，|AB|＝21－d 2＝21－k 21＋k 2，S △AOB ＝12|AB|d ＝2（1－k 2）k2（1＋k 2）2，－1<k<0，可得当k ＝－33时，S △AOB 最大．故选B. 9．H4 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y －3＝0.11．H7，H4 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x11．C 抛物线焦点为F p 2，0 ，由抛物线的定义，设M5－p2，2p5－p2，设N 点坐标为(0，2)．因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM 2－p 2³2p5－p 2－25－p 2＝－1，① 设p5－p 2＝t ，则①式可化为t 2－4 2t ＋8＝0 t ＝2 2 p 2－10p ＋16＝0 p ＝2或p ＝8 .图1－521．H4，H5 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB|＝2 4－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|PD|＝8 k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12²|AB|²|PD|＝8 4k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3²134k 2＋3＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 7．H2，H4 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5 2－4 B. 17－1 C ．6－2 2 D.177．A 如图，作圆C 1关于x 轴的对称圆C′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C 2，N ，P ，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C 2|－1－3＝5 2－4，故选A.图1－3H5 椭圆及其几何性质20．H3，H10，H8，H5 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.20．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2， 当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.10．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y29＝1 10．D 由题意知k AB ＝12，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）a ＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0. 由AB 的中点是(1，－1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴b 2a 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，联立a 2－b 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 18．H5、H8、H9 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q.证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)设P(x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ， 则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c ，故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c)． x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ²kF 1Q ＝y 0x 0＋c ²y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P(x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．14．H5，H8 椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14.3－1 如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．H5 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx＋cy －bc ＝0.于是d 1＝|－bc|b 2＋c2＝bca， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c.由d 2＝6d 1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2，化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33. 20.图1－7H5，H8 如图1－7所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P)，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4（k 2－3）4k 2＋3，④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4，3k)． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12，注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ，所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32²x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1，⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32²8k24k 2＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．方法二：设B(x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：y ＝y 0x 0－1(x －1)．令x ＝4，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1. 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12（x 0－1），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1），直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32（x 0－1），所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1）＋2y 0－32（x 0－1）＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．19．H5，H10 已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 19．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB|²|AC|＝12³2³2|m|＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m(k≠0，m≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k²x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k²⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．15．H5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________．15.57 设椭圆的右焦点为Q ，在三角形ABF 中利用余弦定理可以得到|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，则△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，得e ＝57.15．H5 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC 及其内部，直线y＝a(x ＋1)是过点(－1，0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA 的斜率等于1－01－（－1）＝12，MB 的斜率等于4－00－（－1）＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4.8．H5、H8 椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 8．B 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x 0，y 0)，则kPA 1kPA 2＝y 0x 0＋2²y 0x 0－2＝y 20x 20－4，而x 204＋y 203＝1，即y 20＝34(4－x 20)，所以kPA 1kPA 2＝－34，所以kPA 1＝－34kPA 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34. 22．H5 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b2a.由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2. 又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 2＋（x 0－3）2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1，所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0.所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 3，12或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3， 所以m ＝3 34.若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22. 因为x 204＋y 20＝1，并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 24（x 0－3）2＋4－x 20 ＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16 ＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2，即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3， 所以3＋m3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04，故0≤m＜32且m≠3 34.综合①②可得0≤m＜32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0， 故k ＝－x 04y 0.由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0²2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q 的轨迹方程． 20．解：(1)由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝22.所以a ＝2， 又由已知，c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y)．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－3 55.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM|2＝(1＋k 2)x 21，|AN|2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ|2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4³(2k 2＋1)³6>0，得k 2>32.由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得 x 2＝1810k 2－3.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎪⎫0，2－3 55满足10(y －2)2－3x 2＝18，故点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，62. 18．H5，H8 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →²DB →＋AD →²CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆的方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y22＝1.(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →²DB →＋AD →²CB →＝(x 1＋3，y 1)²(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)²(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.20．H1，H5，H8 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值． 20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a （y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 33，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝4 63.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n －5 33<n<3，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0，于是x 3，4＝－2n±2（9－n 2）3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|²|AB|＝8 699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD 面积的最大值为8 63.图1－521．H4，H5 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取得最大值时直线l 1的方程．21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB|＝2 4－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0. 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|PD|＝8 k 2＋14＋k2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12²|AB|²|PD|＝8 4k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3²134k 2＋3＝16 1313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 图1－29．H5，H6 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.21．F2、F3、H3、H5，H8 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)．又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈)． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取得最小值．又因x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取得最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x 1，－y 1)，所以QP →²QP →′＝(x 1－x 0，y 1)²(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163.H6 双曲线及其几何性质4．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．C 离心率c a ＝52，所以ba ＝c 2－a2a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝12.由双曲线方程知焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±12x.6．H6 若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x6．B 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴c 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b＝2a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x.3．H6 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.2 55D.4 553．C 取一顶点(2，0)，一条渐近线x ＋2y ＝0，d ＝212＋22＝25 5，故选C. 7．H6 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y25＝1 7．B 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题知：c ＝3，e ＝c a ＝32，解得a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故C 的方程是x 24－y25＝1.5．H6 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x2sin 2 θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 5．D e ＝ca＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2θ，故e 1＝e 2，选D. 14．H6 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．14. 3 若最小角为∠F 1PF 2，由对称性设|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，此时|PF 2|<|F 1F 2|，故∠F 1PF 2不可能为最小角．由双曲线对称性，不妨记最小角为∠PF 1F 2＝30°，则|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由余弦定理可得4a 2＝16a 2＋4c 2－2³4a³2c³cos 30°，即3a 2－2 3ac ＋c 2＝0，解得c ＝3a ，即e ＝c a＝ 3.3．H6 双曲线x 216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x.14．H6 抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．6 由题知三角形边长为23p ，得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ，－p 2，代入双曲线方程得p ＝6.21．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．21．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|²|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|²|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．11．H6、H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′错误!错误!＝错误!.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．11．H6 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 6．H6，H7 抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 6．B 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x 2－y23＝1的渐近线为3x ±y ＝0，故点F 到3x ±y ＝0的距离d ＝|3|1＋3＝32. 5．H6，H7 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．35．C 双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2，解得ba ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，x ＝－p2，得y ＝bp2a .又因为S △OAB ＝p 2³bp 2a ＝3，将ba＝3代入解得p ＝2.图1－29．H5，H6 如图1－2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.629．D 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62，选择D.H7 抛物线及其几何性质13．H7 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．13． 方法一：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以a ≤a ，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a>0，所以a≥1.方法二：设C(m ，m 2)，由已知可令A(a ，a)，B(－a ，a)，则AC →＝(m －a ，m 2－a)，BC →＝(m ＋a ，m 2－a)，因为AC →⊥BC →，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a)(m 2＋1－a)＝0，解得m 2＝a>0且m 2＝a －1≥0，故a∈ 如图1－5所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10，0)，点C 的坐标为(0，10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，联结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i∈N *，1≤i≤9)．(1)求证：点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程； (2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．图1－518．解：(1)方法一：依题意，过A i (i∈N *，1≤i≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i)，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x.设P i 的坐标为(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ， 得y ＝110x 2，即x 2＝10y.所以点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y. 方法二：点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上． 证明如下：过A i (i∈N *，1≤i≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i)，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x 解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210， 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i∈N *，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y. (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ， 得x 2－10kx －100＝0.此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1²x 2＝－100，②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1²x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32. 所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.11．H6、H7 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12p x2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′⎪⎪⎪ )x ＝a ＝ap.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．20．H7，H8 已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y)，由题意， |O 1A|＝|O 1M|， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M|＝x 2＋42，又|O 1A|＝（x －4）2＋y 2， ∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42. 化简得y 2＝8x(x≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k≠0)，。

数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.① C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k ，x 3x 4＝－649＋8k .⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4³649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162³9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16³9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55. (1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程． 19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2c c＝2. (2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )． (i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3. 因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21. 又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78. (ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．。