2012全国高中联赛全真模拟(二)答案陶平生

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知i 为虚数单位，则102i r r ==∑ ▲ ．2． 在区间[]12-, 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲． 3． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为 ▲ ．4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ ．5． 运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．6． 在△ABC 中，a b c ,, 分别是角A B C , , 的对边，若222a b c , , 成等差数列，则cos B 的最小值为 ▲ ．7． 若定义在R 上的函数23()f x ax =（a 为常数）满足(2)(1)f f ->，则()f x 的最小值是 ▲ ．8． 已知双曲线22221y x a b-=（00a b >>,）的两个焦点为()1302F -, 、()2302F , ，点P400 500 12501400 32000 12000频率组距100 200 300 寿命（h ）600 （第3题图）开始S ←2，i ←1 i ≥201111S S←-i ←i +1结束输出S YN（第5题图）是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ▲ ．9． 函数e x y =的图象在点()ekak a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a+，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ ．10．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ,b ,c 满足x +y =c a b （,R ∈x y ），则x y += ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ ．12．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ▲ ．13．定义在[)1+∞, 上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈,时，()13f x x =--，则集合{}()(36)x f x f =中的最小元素是 ▲ ．14．已知关于x 的实系数一元二次不等式20 ()a x b x c a b ++<≥的解集为R ，则24a b cM b a++=-的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合{}2280A x x x =--≤，{}22(23)30B x x m x m m m =--+-∈R ≤, ． （1）若[]24A B = ,，求实数m 的值； （2）设全集为R ，若A B ⊆R ð，求实数m 的取值范围．acb（第10题图）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABC D -中，PD ⊥平面ABC D ，AD C D BC C D ⊥⊥, ，且2B C A D =．（1）若点E 为线段PC 的中点，求证：//D E 平面PAB ； （2）若二面角P BC A --的大小为π4，求证：平面PAB ⊥平面PBC ．17．（本题满分15分）如图，点P 在A B C ∆内，23A B C P B C ===,, πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长； （2）求四边形A B C P 的面积的最大值，并写出此时α的值．18．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -, 恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；（3）设过圆心2(10)C -, 的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．19．（本题满分16分）ABCDPE（第16题图）α ABCP（第17题图）已知整数列．．．{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本题满分16分）已知函数2()f x x =，()ln g x a x =，a ∈R ．（1）若1x ∃≥，()()f x g x <，求实数a 的取值范围；（2）证明：“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，以正方形ABC D 的顶点C 为圆心，C A 为半径的圆交BC 的延长线于点E 、F ，且点B 为线段C G 的中点． 求证：2G E G F BE BF ⋅=⋅．B ．（矩阵与变换）若直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线过点(41)P ,，求实数k 的值． C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．ABDCEGF（第21 —A 题）D ．（不等式选讲）设a b , 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P A C λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）是否存在实数λ，使得直线1A C ⊥平面PBD ？并说明理由．23．我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法——“算两次”（G.Fubini 原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高⋅⋅⋅请结合二项式定理，利用等式2(1)(1)(1) (*)n n n x x x n +⋅+=+∈N 证明：（1）220(C )C nrn nnr ==∑； （2）20(C C )C mr m r mn nn r -==∑．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二参考答案1．1-； 2．23； 3．300； 4．1515； 5．2； 6．12； 7．0；8．355； 9．-6； 10．197； 11．14； 12．622a +； 13．12； 14．8．答案解析：1． 102i r r ==∑i 2+(i 3+i 4+i 5+i 6)+(i 7+i 8+i 9+i 10)=i 2=1-；ABCD1A1B 1C1DP（第22题）2． 易得正数的取值区间长度是2，总长度是3，由几何概型得所求概率为23；3． 寿命在100~300小时的电子元件的频率是()1311002002005+⨯=，故样本容量是140020005÷=，从而寿命在500~600小时的电子元件的数量为()320001003002000⨯⨯=； 4． 易得锐角α满足1sin 2cos 2αα=，即12s i n c o s c o s 2ααα=，所以151sin cos 44αα==，，于是15tan 15α=．5． 变量i 的值分别取1，2，3，4，…时，变量S 的值依次为111 2 22-，，，，…，不难发现变量S 的值是以3为周期在变化，当i 的取值为2010时，2S =，而后i 变为2011退出循环．6． 易得222222222212 cos 222a c b b b b a c B ac ac a c+-=+===+，≥（当且仅当a c =时等号成立）． 7． 由(2)(1)f f ->得23(2)a a ->，即0a >，所以偶函数()f x 在[)0 +∞，上是单调增函数，在(] 0-∞，上是单调减函数，所以min ()(0)0f x f ==； 8． sin ∠PF 1F 2==55，sin ∠PF 1F 2==255，由正弦定理得122P FP F =，又易得tan ∠F 1PF 2=34，所以cos ∠F 1PF 2=45，由利用余弦定理得122151533PF PF ==，，所以12153PF PF -=，故1523a =，又23c =，所以离心率355e =；9． 易求得切线方程为()e e kka a k y x a -=-，令y =0得，x =1k a -，即11k k a a +-=-，故数列{}k a 是等差数列，所以1356a a a ++=-；10．由向量坐标的引入可以认为()()()1 2 2 3 3 4a b c ==-=，，，，，，代入x +y =c a b 得17277x y ==，， 故197x y +=；11．易观察出A =16，对于5S ，可令n =1得51S =，即有11516212B +++=，所以112B =；12．如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC 的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得222622cos1502BC a a a a +=+-=；13．易得()()991(36)2(18)4(9)816164244f f f f f =====⨯=， 由条件可知，[][][]()2 4 4 8 8 16f x ⋅⋅⋅在，，，，，上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，结合图象 不难发现()=4f x 时x 的最小值是12；14．由题意得240 0b ac a ->≤，，所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a++++=--≥()2121b ba ab a+⋅+=-，令 (1)b t t a =>，，则()22+1414244811t t M t t t +=-+++=--≥≥（当且仅当3 3t b a ==，即时等号成立）．15．命题立意：本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）易得集合{}24A x x =-≤≤，集合{}3B x m x m =-≤≤，（4分）由[]2 4A B = ，得32 4 m m -=⎧⎨⎩，≥，所以m =5．（7分）（2）由（1）得{}3 R B x x m x m =<->，或ð，（10分）因为A B ⊆R ð，所以342m m -><或，解得72m m ><-或．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识，考查空间想象、推理论证能力． 证明：（1）取BP 得中点F ，连结AF ，EF ， 又点E 为线段PC 的中点，且AD C D BC C D ⊥⊥,，且2BC AD =， 所以EF //12BC //AD ，所以四边形ADEF 是平行四边形，(2分) 故ED //AF ，ABCDPE（第16题图）FABC（第12题图）又因为D E ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ，所以//D E 平面PAB ．(5分) （2）因为PD ABC D ⊥平面，且BC ABC D ⊂平面， 所以PD BC ⊥，又C D BC ⊥， PD CD D PD CD PCD =⊂ ，、平面， 所以B C P C D ⊥平面． 于是P C D P B C A ∠--是二面角的平面角，即有π4PC D ∠=，(7分)此时，P C D △是等腰三角形， 又E P C 是的中点，故D E PC ⊥，(9分)因为B C P C D ⊥平面， 又D E PC D ⊂平面， 所以D E BC ⊥， 又//D E AF ， 所以AF PC ⊥，且AF BC ⊥，又 PC BC C = ，P C B C P B C ⊂、平面， 所以A F P B C ⊥平面，(12分) 又A F P A B ⊂平面， 所以P A B P B C ⊥平面平面．(14分)17．命题立意：本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⨯⨯π-，②（4分） 由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34cos AP α=-；（7分）（2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π,， 由（1）得4si n cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，（13分）所以当4απ=时，max 2S =．（15分）18． 命题立意：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力． 解：（1）由题意得121124PC PC PC PS C C +=+=>，故P 点的轨迹是以C 1、C 2为焦点，4为长轴长的椭圆，则24 1a c ==，，所以2a =，3b =， 故P 点的轨迹方程是22143y x +=．（5分）（2）法1（几何法） 四边形SMC 2N 的面积=211222SC M N SM M C SM ⋅=⋅⨯=，所以222222212cos 21sin 21SM M N M SC M SC SC SC ==∠=-∠=-，（9分）从而SC 2取得最小值时，MN 取得最小值， 显然当(3 0)S -，时，SC 2取得最大值2， 所以min 12134M N =-=．（12分）法2（代数法） 设S (x 0，y 0)，则以SC 2为直径的圆的标准方程为()()()()22220000112222x y x y x y -+-+-=+，该方程与圆C 2的方程相减得，()00010x x y y x +++=，（8分） 则圆心2C 到直线MN 的距离()220011d x y ==++22000121x y x +++，因为()2200116x y -+=，所以22000152x y x +=+， 从而01164d x =+，[]03 5x ∈-，，故当03x =-时d max 12=，因为221MN d =-，所以()2m in1212M N =-=3．（12分）（3）设( )Q m n ，，则“切点弦”AB 的方程为()1(1)16m x ny --+=，将点（-1，0）代入上式得7m =-， R n ∈， 故点Q 在定直线7x =-上．（16分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+，d 为整数． 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以()()231421d d -=-，解得1d =，当n ≤6时，4n a n =-，（3分）由此51a =，62a =，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，52n n a -=. 故54 4 25.n n n n a n --⎧=⎨⎩≤，，，≥（7分）（2）由（1）知，数列{}n a 为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即-3-2-1=-6=(-3)⨯(-2)⨯(-1)；当m =3时等式成立，即-1+0+1=0；（11分） 当m =2或4时，等式均不成立；（13分）当m ≥5时，312122m m m m a a a -++=，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯， 因为31227522772m m m ---=⨯，而5m m ∈Z ≥，，所以272m -是偶数，所以3125272m m --≠⨯，于是1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠，故m =1，或m =3．（16分）20．命题立意：本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力．解：（1）记()()()F x f x g x =-，则22()2a x a F x x x x -'=-=，1x ≥，当0a ≤时，()0F x '>恒成立，故()F x '为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（2分）当0a >时，由()0F x '=得2ax =（负值已舍），若12a≤，即20a <≤时，()0F x '≥恒成立，故()F x 为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（4分）若12a >，即2a >时，()F x '在)12a ⎡⎢⎣,上恒小于0，在()2a∞, +上恒大于0，所以()F x 在)12a ⎡⎢⎣, 上的单调递减，在)2a ⎡∞⎢⎣, +上的单调递增，故()()min ()1ln 222a a a F x F ==-， 综上所述，()min 21()1ln 222a F x a a a ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤,, , , （6分）所以()1ln <22a a -0, 且2a >,解得2ea >．（8分）（2）1 充分性：当1a =时，方程2ln x x x -=，即2ln 0x x x --=，记2()ln G x x x x =--，x >由2(1)(21)121()210x x x x G x x xxx-+--'=--===得1x =（负值已舍），所以()G x 在(01), 上单调递减，在[)1+∞,上单调递增， 故min ()(1)0G x g ==，即2()ln G x x x x =--在(0)+∞, 有唯一解1x =，即证．（11分）2 必要性：因为方程2ln x a x ax -=(0)a >有唯一解，记2()ln h x x a x ax =--，0x > 由22()20a x ax a h x x a x x--'=--==得2084a a ax ++=（负值已舍），所以()h x 在0(0)x , 上单调递减，在[)0x +∞, 上单调递增，故min 0()()0h x h x ==，且0()0h x '=（13分）即2000200ln 020x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩,,②-①⨯2得002ln 10x x +-=，00x >，记000()2ln 1s x x x =+-，00x >，则函数0()s x 为(0)+∞, 上的单调增函数，且(1)0s =，所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，将01x =代入②式得1a =，即证．由1 、2 得，“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．（16分） 21．A ．命题立意：本题主要考查相似三角形、圆的相关几何知识，考查推理论证能力． 证明：连结AG ，AE 、AF ， 因为AB 垂直且平分CG ，所以AG =AC ，由切割线定理得2AG GE GF =⋅ ①，（3分） 由R t R t ABE FBA △∽△得到2AB BE BF =⋅ ②，（5分）因为2AG AB =，所以222AG AB = ③，（7分） 由①②③得，2G E G F BE BF ⋅=⋅．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦， 则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（5分） 即 x x y y '=⎧⎨'=⎩，，代入直线y kx =得x ky ''=， 将点(41)P , 代入得k =4．（10分） （注：本题亦可将点(41)P , 在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线y kx =，从而求出k 的值．）C ．命题立意：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力．解：将直线cos 1ρθ=与圆2sin ρθ=分别化为普通方程得， 直线1x =与圆22(1)1x y +-=，① ②（6分）易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，， 所以交点Q 的极坐标是()π24，．（10分） D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a >0，b >0， 所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a a b b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+，（5分）只需证()230a b ->， 而a ≠b ，故()230a b ->成立．（10分） （注：本题亦用“作差法”证明．）22．命题立意：本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力．解：（1）如图，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，，， 所以1111444cos 33322PB PD --+⋅==-⋅，所以，直线PB 与PD 所成角的正弦值为223．（5分）（2）假设存在符合条件的实数λ，因为()()11 1 1 1 1 0A C BD =--=--，，，，，， 所以10A C BD ⋅=，故1A C BD ⊥．要使1A C P B D ⊥平面，只需1B P A C⊥， 由11(1 1 1)A P A C λλ==--，，得(1 1)P λλλ--，，，此时( 1 1)BP λλλ=---，，，由10A C BP ⋅=得23λ=．（10分）23．命题立意：本题主要考查二项式定理等基础知识，考查推理论证能力．证明：（1）考虑等式()()()2111nnnx x x +⋅+=+， 等式左边n x 的系数是A BCD 1A 1B 1C 1D P（第xy zO()()()22201122001C C C C C C C C C C C nn n nnnn n n nnn nnnn --++++=+++ =()2C nrn r =∑， 等式右边nx 的系数是2C nn， 根据对应项系数相等得，()2C n r n r =∑=2C n n．（5分） （2）仍考虑等式()()()2111n n nx x x +⋅+=+， 等式左边mx 的系数是011220C C C CC CC C m m m m nnnnn nnn--++++ =()0C C mrm rn nr -=∑，等式右边mx 的系数是2C mn， 根据对应项系数相等得，()0C C mr m r n n r -=∑=2C mn ．（10分）。

2012年全国高中物理竞赛模拟测试1.在折射率为n 的介质A 中有一半经为R 的球形气泡，气体的折射率为n 0.现在在气泡中再放一个与气泡同心的由透明介质B 构成的球，并令一均匀平行光束射向气泡1）如果任意一条在介质A 中射向气泡表面的入射光线，在通过各介质界面时的入射角和折射角都满足sin θ=θ的条件，且该光线再进入介质A 时能沿原入射光线方向行进，如图，则介质B 的折射率n ’和B 球的半径R ’必须满足什么样的关系式2）如果两球间的介质不是气体而是一种透明液体（折射率n 0），并要求任何入射角和折射角的数值都不大于0.1rad ，则符合此条件的入射光束占射至外球面上的光束的百分比为多少1. n ’=n 0n/[n-(R ’/R)(n-n 0)]2. n>n 0 ,0.01(n 0R ’/nR)2 n<n 0 ,0.01{n 0R ’/[nR-R ’(n-n 0)]}22.半径为R 的细圆环上分布有不能移动的电荷，总电量为Q ，若已知环内某直径AOB 上的场强处处为零，试求圆环上电荷线密度λ的分布。

λ=Qsin θ/4R3.一根绳的一端连接于A 点，绳上距A 端为a 处系有一个质量为m 的质点B ，绳的另一端通过固定在C 点的滑轮，A 、C 位于同一水平线上．某人握住绳的自由端，以恒定的速率v 收绳，当绳收至图所示的位置时，质点B 两边的绳与水平线的夹角分别为a 和β，求这时人收绳的力．忽略绳与滑轮的质量以及滑轮的摩擦．F=[mgcos θ/sin(α+β)]+[cos(α+β)/sin 4(α+β)][1+sin βcos(α+β)/si n α]mv 2/a4.一台激光器发出的激光功率为N=1000W ，出射的光束截面积为A=1cm 2, ○1当该光束垂线光射出线光射入'R R 'n 0n n BA直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少○2这束光垂直射到温度T为273K，厚度d为2cm的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到的那一小部分铁板所吸收，并使其溶化成与光束等面积的直圆孔，这需要多少时间？已知，对于波长为λ的光束，其每一个光子的动量为p=h/λ,铁：热容量C=26.6J/mol·k,密度ρ=7.9×103kg/m3,熔点Tm=1798k,溶解热Lm=1.49×104J/mol,摩尔质量μ=56×10-3kg1. 0.0667Pa2. 19.56s5. 直立的气缸内装有一定质量的理想气体。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t , 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+Y πx ,2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增,所以,221+≥y 或221-≤y , 即值域),221[]221,(+∞+--∞Y . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0, 解得(m , n )=(cbc a --,), 所以m 2+n 2最小值是1. 3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n 解：由924339242222-++=--+n n n n 知92422-++n n 可能为1,3, 11, 33,从而解得.5=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______。

2012届高三年级第二次模拟考试卷语文Ⅰ试题（满分160分，时间150分钟）一、语言文字运用（15分）1. 下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分）A．粮囤/囤积居奇觊觎/坚贞不渝坍圮/杞人忧天B．玷污/拈轻怕重信笺/流水浅浅弩弓/呶呶不休C．委曲/曲高和寡埋没/阴霾密布时髦/耄耋之年D．蹊跷/独辟蹊径喑哑/深谙此道咋呼/令人咋舌2. 下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（3分）A．一些医学书刊称每天喝八杯八盎司的水对健康很有益，于是此说成了许多人养身的金科玉律，但《美国肾脏学会期刊》重申：目前无明确证据显示多饮水有益健康。

B．这个老者生得一副吉人天相：浑身没有多余的肉，精瘦得像一只老鱼鹰，脸色黑红且很有光泽，短短的花白胡子特别有精神，而那一对深陷的眼睛尤其明亮。

C．别看这位教授口若悬河、振振有辞的演讲只有半个小时，讲稿却是以几十年的学养做根基，在做了大量的社会调研，研究了几十个经典案例后，数易其稿写成的。

D．入冬以来，剧烈降温并没有影响年轻人快乐的情绪，上海衡山路一些酒吧用新潮的文艺演出吸引顾客，即使不是周末，这些娱乐场所也天天爆满，一片歌舞升平。

3.阅读下面的文字，找出人造生命诞生过程的四个关键性词语。

（4分）美国科学家将一种丝状支原体细菌的染色体解码，生成DNA的4个碱基A、G、C 和T，并利用化学方法将碱基拼接成新的DNA。

再将人工合成的DNA放入酵母液中使之聚合，聚合后的人造DNA被植入一个受体细菌中。

通过生长，受体细菌分裂成两个细胞，一个带人造DNA，另一个带天然DNA。

接着，利用抗生素杀死带天然DNA的细胞，筛选出带人造DNA的细胞，这就是人造的新生命。

随后，新的生命不断繁殖，越来越多。

4.这一话题，分别以赞成者和反对者的不同口吻，选择某一角度，简要陈述理由。

（5分）赞成的理由：反对的理由：二、文言文阅读（19分）阅读下面的文言文，完成5～8题。

通议大夫都察院左副都御史李公行状归有光公讳宪卿，字廉甫。

PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________ 8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

2012年全国高中数学联赛全真模拟卷一：填空题（每题8分，共8题）1、直线l 在x 轴与y 轴上的截距相等，且到点P （5，6）的距离为6，则这样的直线共 条．2、()n μ表示n 的个位数，()()n n a n μμ-=2，则数列{}n a 的前2006项之和S 2006＝ ． 3、已知m 2cos cos =+βα，n 2sin sin =+βα，则βαcot cot ＝ ．4、曲线122=-my x ，焦点F 1、F 2及准线1 、2 与x 轴交点K 1、K 2，这四个点在x 轴上等距排列，则m 的值为 ．5、二次项三项式()x f 满足对任意a 、b ∈R ，()()()1f a f b f a b ab +=+--，则抛物线()y f x =的顶点的轨迹方程为 ．6、方程y y y y x x +++=+2342的整数解为 ．7、若数列{}n a 满足n n n n a a a 22312=+-++，且01=a ，12=a ，则2006a ＝ ． 8．若实数a ，b ，x ，y 满足：3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=， 则55ax by +=__ ____． 二：解答题：9、（16分）已知：定义在(],4-∞上的减函数()f x ，使得())27sin cos 4f m x f x-≤+对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．10、（20分）数列{}n a 中，()9923221n i a n n i ==⋅-∏，求该数列前n 项和n S ．11、（20分）椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = ⑴求椭圆1C 的离心率e 的取值范围；⑵设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由． 二试：一、（40分）圆O 是△ABC 的内切圆．D 、E 、F 是BC 、CA 、AB 上的切点，DD '，EE '，FF '都是圆O 的直径．求证：AD '，BE '，CF '共点．二、（40分）若x ，y ，z 是正实数，且xy yz zx xyz ++=，求777(1)(1)(1)x yz y zx z xy -+-+-的最小值．三、（50分）证明：对于大于2的任意正整数a ，存在无限多个*N n ∈．使得|1n n a -．四、（50分）设*∈N n ，把集合{1，2，…，n }分拆为两个非空集合A 与B （即有A ∩B ＝Φ，A ∪B ＝{1，2，…，n }），使得对A 中任意两个不同的元素a 、b ，有A b a ∉+；对B 中任意两个不同的元素c 、d ，有B cd ∉．求n 的最大可能值，使得存在满足题意的分拆．2012年全国高中数学联赛全真模拟答案1、简解：y ＝0，y ＋x ＝11±62，共3条2、10．解析：∵a n 是一个以10为周期的数列，而=∑=101i ia0，故S 2006＝S 6＝=∑=61i i a 10．3、()()22222222mnmn n m -+-+．简解：令A ()ααsin ,cos ，B ()ββsin ,cos ，则知A ，B 在圆122=+y x 上，AB中点C （m ，n ），()βαc o s c o s 21+=m ，()βαsin sin 21+=n ，且k oc ＝m n ，k AB ＝－nm ，AB ⊥OC ，由射影定理及C （m ，n ），知AB ：n n m x n m y 22++-=，并代入圆的方程，得()()=-+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222222221n n m n x n n m m x n m 0． αcos ，βcos 为此方程两根，∴有()222222cos cos nm n m n+-+=βα， 以y 为主元，同理有()222222sin sin n m m n m+-+=βα，∴()()22222222cot cot m n m n n m-+-+=βα．4、当21=m 、23-．简解：当m ＞0，曲线为双曲线，显然点F 1、F 2与点K 1、K 2分别关于原点0对称，且2OF ＞2OK ，不妨设点K 2、F 2在y 轴右侧．由已知点K 1、K 2 、F 1、F 2等距排列，可得d F K K K K F ===222111， ∴221212d K K O K ==，22323OK d OF ==⇒由曲线方程推得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,112m F ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0,1112m K 21111311=⇒+⋅=+⇒m m m 。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(二十二)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________2012年全国高中数学联赛模拟卷(二十二)加试(考试时间：150分钟满分：180分)一试答案一、填空题（将正确的答案写在相应的题号的空格线上，每题8分，共64分）1．解：令()2u x ax x =-，log a y u =()0a u x >∴ 的图象如图．当1a >时，由复合函数的单调性可知，区间[]34，落在102a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，或1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以142a ≤或13a>，所以有1a >． 当01a <<时，同理可得1164a ≤<． 2．解：设第n 个等边三角形的边长为n a ．则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为：（2121nn a a a a ++++- ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-223121n n a a a a ）． 再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为n n na a a 232122=⎪⎭⎫⎝⎛-．从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-22323121n n n a a a a a ， 即有2211212n n n a a a a a ++++=- ．由此可得221212n n n a a a a a +=+++ （1） 以及211121212---+=+++n n n a a a a a（2）（1）－（2）即得))((21)(21111---+-+-=n n n n n n n a a a a a a a ． 变形可得0))(1(11=+----n n n n a a a a ．由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a ．在（1）式中取n =1，可得 2112121a a =，而01≠a ，故11=a ．因此第2012个等边三角形的边长为 20122012a =3．解：设∠APB=2θ，∠APO=∠BPO=θ，则：PA PB ⋅=2()PA ·cos2θ=cot 2θcos2θ=2221sin (12sin )sin θθθ--=2212sin 3sin θθ+-≥3-+当且仅当2212sin sin θθ=，即2sin 2θ=时取等号． 4．解：若0=a ，()x b b x f 2242-+-=，则()x f 无最大值，故0≠a ，∴()x f 为二次函数， 要使()x f 有最大值，必须满足⎩⎨⎧≥-+<02402b b a ，即0<a 且5151+≤≤-b ，此时，ab b x x 2024-+==时，()x f 有最大值．又()x g 取最小值时，a x x ==0，依题意，有Z a ab b ∈=-+224，则()2221524--=-+=b b b a ，∵0<a 且5151+≤≤-b ，∴()Z a a ∈≤<502，得1-=a ，此时1-=b 或3=b ．∴满足条件的实数对()a b ，是()()1113---，，，．5．解：取3个球的方法数为4060330=C 2分 设“3个球全红色”为事件A ，“3个全蓝色”为事件B ，“3个球全黄色”为事件C ，则： 406010)(3035==C C B P ，4060120)(30310==C C C P 4分 ∵A 、B 、C 为互斥事件 ∴P(A ＋B ＋C)= P(A)＋P(B)＋P(C)即 4060120406010)(40613++=A P ⇒ P (A )＝0 6分∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n =26．解：若记第k 行的第n 个数为()k n b ，，则有298(1)(11)(12)(11)(1001)(991)2222k k k k k b b b b b b ----=+=+∴=+，，，，，，，，(1001)(991)(981)(21)98979612983981012222b b b b ∴=+=+==+=+= ，，，，，98(1001)1012b ∴=⨯，，即此表最后一个数是981012⨯． 7．解：设点A 、B 、C 、D 在x 轴上的射影分别是11121314(0)(0)(0)(0)A x B x C x D x ，，，，，，，，则：)(m f =|)(2)(2|3412x x x x ---，且041=+x x ，∴)(m f =||232x x +．又由已知易得椭圆的左焦点为1(10)F -，．∴过点1F 的直线方程为1+=x y ，把它代入1122=-+m y m x ，得022)12(22=-++-m m mx x m ．∴121112232---=--=+m m m x x)(m f =||232x x +=12112-+m =1222-+m (2≤m ≤5)．∵当[25]m ∈，时，121-=m y 为增函数， ∴)(m f =1222-+m 为[25]，减函数． ∴)(m f 最大值=324)2(=f ；)(m f 最小值=9210)5(=f ．8．解：123n =，，时，]5[2n 都不是质数；4=n 时，3]5[2=n 是质数；5=n 时5]5[2=n 是质数；6=n 时，7]5[2=n 是质数．当8≥n 时，可设r k n ±=5（其中k 为不小于2的正整数，01r =，，或2）则 )25(51)5(5152222r kr k r k n +±=±=251)25(r r k k +±=，所以)25(]5[2r k k n ±=，因为2≥k ，所以225>±r k ，所以)25(]5[2r k k n ±=不是质数．因此，能使]5[2n 为质数的正整数n 只有4，5，6，它们的倒数和为6037615141=++．二、解答题（解答题共56分）9．解（1）：设M (m ，0)为椭圆1522=+y x 的左特征点，椭圆的左焦点为(20)F -，， 设直线AB 的方程为)0(2≠-=k ky x将它代入1522=+y x 得：55)2(22=+-y ky ，即4)5(22-+ky y k 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则54221+=+k k y y ，51221+-=k y y ∵∠AMB 被x 轴平分， ∴0=+BM AM k k 即02211=-+-mx y m x y ，⇒ 0)()(1221=-+-m x y m x y ⇒ 0)()2()2(211221=+--+-m y y ky y ky y∴0)2)((22121=++-m y y y ky ，于是0)2(54)51(222=++-+-⋅m k kk k∵0≠k ，∴0)2(21=++m ，即25-=m ∴M (25-，0)解（2）：对于椭圆1522=+y x ，5=a ，b = 1，c = 2，∴252=-c a ．于是猜想：椭圆12222=+by a x 的“左特征点”是椭圆的左准线与x 轴的交点．证明：设椭圆的左准线l 与x 轴相交于M 点，过A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为C 、D 据椭圆第二定义：BD BF AC AF =，即BD ACBF AF =∵BD FM AC ////，∴DMCM BFAF =．于是DMCM BDAC =，即DMBD CMAC =．∴BMD AMC ∠=∠tan tan ，又BMD AMC ∠∠与均为锐角， ∴BMD AMC ∠=∠，∴BM F AM F ∠=∠ ∴MF 为∠AMB 的平分线，故M 为椭圆的“左特征点”．10．解：（1）由于3211(1)1nnn n a a a a +++-+=，则321211n n n na a a a +++=+， ∴2322122213()11240111n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +-+++-+-=-==>+++， ∴1n n a a +>（2）由于2211(1)n n n n a b a a +=-，由（1）1n n a a +>，则2211n n a a +<，22110n n a a +->， 而1110n n a a a +>>=> ，则0n b >，∴1210nkn k bb b b ==+++>∑ ．又2221111122221111()()2()1(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a a a a a a a a +++++++++-+--=-==<∴112()n n n n n a a b a a ++-<，1112()n n n b a a +<- 1122311111112[()()()]nk k n n b a a a a a a =+∴<-+-++-∑ ∴12111112()nk nk n b b b b a a =+=+++<-∑ ，而1n n a a +>，且11a =，故10n a +>． ∴112n k k b a =<∑，因此12n k k b =<∑，从而102nk k b =<<∑． 11．解：（1）()()1f x f x =恒成立⇔()()12f x f x ≤⇔12323x p x p --≤ ⇔123log 233x p x p ---≤⇔1232x p x p log ---≤（*）因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=-， 所以，故只需12p p -32log ≤（*）恒成立．综上所述，()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是12p p -32log ≤． （2）1°如果12p p -32log ≤，则的图象关于直线1x p =对称． 因为()()f a f b =，所以区间[]a b ，关于直线1x p = 对称． 因为减区间为[]1a p ，，增区间为[]1p b ，，所以单调增区间的长度和为2b a-． 2°如果12p p -32log >．（1）当12p p -32log >时．()[][]1111133x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[][]2323log 222log 2233x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，当[]1x p b ∈，，()()213log 2102331p p f x f x --=<=，因为()()1200f x f x >>，，所以()()12f x f x <，故()()1f x f x ==13x p -．当[]2x a p ∈，，()()123log 2102331p p f x f x --=>=，因为()()1200f x f x >>，，所以()()12f x f x >，故()()2f x f x ==23log 23p x -+．因为()()f a f b =，所以231log 233p a b p -+-=，所以123log 2b p p a -=-+，即123log 2a b p p +=++． 当[]21x p p ∈，时，令()()12f x f x =，则231log 233x p p x-+-=，所以123log 22p p x +-=，当1232log 22p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23x p -+， 1231log 22p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13p x -．()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度和：12312log 22p p b p p +--+-=123log 2222p p a b b ab b +++--=-=．（2）当21p p -32log >时．()[][]1111133x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[][]2323log 222log 2233x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，当[]2x p b ∈，，()()213log 2102331p p f x f x --=>=，因为()()1200f x f x >>，，所以()()12f x f x >，故()()2f x f x ==23log 23x p -+．当[]1x a p ∈，，()()123log 2102331p p f x f x --=<=，因为()()1200f x f x >>，，所以()()12f x f x <，故()()1f x f x ==13p x-．因为()()f a f b =，所以231log 233b p p a-+-=，所以123log 2a b p p +=+-．当[]12x p p ∈，时，令()()12f x f x =，则231log 233p x x p -+-=，所以123log 22p p x ++=，当1231log 22p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时， ()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13x p -； 1231log 22p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23p x -+；()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度和：12321log 22p p b p p ++-+-=123log 2222p p a b b ab b +-+--=-=．综上得()f x 在区间[]a b ，上的单调增区间的长度和为2b a-．二试答案一．解答题（本大题共4小题，每小题的分值见各题所标，共180分．简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．证明（1）因为123O O O ，，分别为边BC CA AB ，，的中点，所以11112122BO A OCA IBC ABC O OC ∠=∠=∠=∠=∠，于是有211O O A ，，三点共线．同理可得221B O O ，，三点共线，即2211B O O A ，，，四点共线．同理可得2321C O O B ，，，四点共线，2131A O O C ，，，四点共线．设123O O O ∆的内切圆半径为r ，其内心为K ，K 在12O O 上的投影为P ，由于111112224AB CA BC BC AB BC CAPA PO O A +-++=+=+= ，则1KA =．同理K 到21212A B B C C ，，，，的距离也均为121212A A B B C C ，，，，，六点共圆，且K 为该圆的圆心．（2）由于K 就是六边形121212A A B B C C 的外接圆的圆心，于是K S =．设ABC ∆的重心为G ，则G 是ABC ∆和123O O O ∆的位似中心．由于ABC ∆和123O O O ∆的内心分别为I S ，，ABC ∆和123O O O ∆垂心分别为H O ，，则//IH SO ，且2IH SO =．2．解 因为k px q k ≤-+≤，所以线段L 夹在椭圆弧1Γ与2Γ之间，其中:L y px q =-+；1:y k Γ=，2:y k Γ=，)6015x ≤≤．将2Γ化为)())()22221624115y k x -+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，且设))()6102415A kB k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，，，则AB的方程为)20241y x k =-+-+，于是2Γ在AB 的上面，其中A B ，两点为椭圆弧2Γ和线段AB 的公共点． 若1Γ与AB 相切或不交，则AB 即为满足条件的一条线段，即存在())(),20,221p q k=-+．将)202421y k =-+-+代入3225y x k =--，可得)())22200201212410x k x kk -+++=．由判别式)())()2222012142002410kk k ∆=+-⨯+≤，可得(123k ≥-，从而有({}123S k k =≥-．当1Γ与AB 相切时，满足条件的线段L 与AB 重合，此时存在唯一的实数对()00p q ，满足条件，即(0123k =-，AB 的方程为2012y x =-+，从而可得()()002012p q =，，． 3．解（1）若1k =，由()()12012n n n m +++++= ，可得()()325032201212m m n ⨯=⨯=++．因为112m m n <+<+，且1,2m m n ++的奇偶性不同，所以18,2503m m n +=+=，于是7,248m n ==，即2012248249255=+++ ，从而()248,7,1为满足条件的一组解．（2）若2k =，由()()22212012n n n m +++++= ，可得()()()323250316621m n nm m m ⨯⨯=++++，其中()216621m n nm m m ++++，奇偶性不同，且()2116621m n nm m m <+<+++．若13m +=，即2m =，则2612104024n n ++=，即226690n n +-=，无正整数解； 若18m +=，即7m =，则26421051509n n ++=，即272340n n +-=，无正整数解；若124m +=，即23m =，则261381081503n n ++=，无正整数解．（3）若3k =，由()()33312012n n n m +++++= ，可得()()()()()224250311n m n m n n ⨯=+++--．设()()()11A n m n m B n n =+++=-，，则A B ，同为偶数，且()()42503A B A B +-=⨯．若()32503221n n ⨯-=-，则()12011n n -=为奇素数，无正整数解； 若()222503221n n ⨯-=-，则210040n n --=，无正整数解；若()32503221n n ⨯-=-，则24990n n --=，无正整数解．（4）若4k =，由于44720126>>，则6n m +≤．当6n m +=时，44444456201256++>>+，无解；当5n m +≤时，44444123452012++++<，无解．（5）若5k =，由于55520124>>，则4n m +≤，555512342012+++<，无解．（6）若6k =，由于66420123>>，则3n m +≤，6661232012++<，无解．（7）若7k ≥，由于32012k>，则2n m +≤，由于2012和2011均不是2的k 次幂，无解． 综上所述，()()24871n m k =，，，，．4．证明 （1）若存在整点正六边形123456A A A A A A ，设()126k k k A x y k = ，，，，，，其中 k k x y ∈ ，，且123456A A A A A A ，，，，，按逆时针排列，则232123i A A A A e π= ，即()()()()()1122332222cossin 33x iy x iy x iy x iy i ππ⎛⎫+-+=+-++ ⎪⎝⎭，比较实部，可得)32123222x x x x y y --=---，矛盾． （2）设正六边形123456A A A A A A 的坐标分别为()()()()()()1234560022A a A a A a A a A a A a ---，，，，，，，，其中a 为待定的正整数，由对称性，只要证明存在整点34B B ，，使得33441120122012A B A B <<，．下面证明存在正整数a n ，，使得122012n -<⨯．对于124025j = ，，，，因为[)112402301014024402440244024⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎡-∈=⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎣⎭⎣⎭⎣⎭，，，，，所以存在 {}1212124025j j j j ∈< ，，，，，，使得()()122012j j j ⎡⎡--<⎣⎣⨯，即(()21122012j j j j ⎡⎡--<⎣⎣⨯．设21a j j n j j ⎡⎡=-=-⎣⎣，，则有122012n -<⨯．设()()3422B a n B a n ，，，，则3311220122012A B n =-<<⨯，44212220122012A B n =-<=⨯．。

2012年全国高中数学联赛全真模拟（二）答案北京清北学堂内部资料（清北学堂教研部特邀奥赛名师陶平生教授命制，内部资料，禁止翻印。

）第一试答案一、填空题1、设1()lg ,||1,1x f x x x -=<+则323()13()x x f x f x ++= .答案：3.解：3323322313113()lg()lg()3()3131113x xx x x x f f x x x x x x +-+-+===+++++. 2、正三棱柱ABC A B C '''-的侧棱及底面边长都是1，则四面体,,A ABC B ABC C ABC '''的公共部分的体积是 ．答案：36． 解：据对称性，面111,,C AB A BC B AC 的交点O 在底面ABC 上的射影H 为正三角形ABC 的中心H ，设,AB BC 的中点分别为,D E ，则OH 是11,EAA DCC ∆∆的交线，113OH DH C C DC ==，所以13OH =，从而四面体,,A ABC B ABC C ABC '''公共部分，即四面体OABC 的体积为：111333ABC V OH S ∆=⋅⋅=⋅=．3、设{}1,2,,2012M = ，若n M ∈，使得()333112n S n n=+++ 的值为一平方数，则这种n 共有 个． 答案：44个．解：()()2211124n n n n n S n ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，由于,1n n +互质，故若n S 为平方数时，n 必为平方数，当n 为偶平方数时，4n为平方整数；当n 为奇平方数时，()214n +为平方整数，因此，1n 可取M 中的所有平方数，这种数有44个．4、设()4231148f x x x x =--+，则cos 7f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．答案：1516． 解：记cos 7x π=，则222422221cos12cos cos 777cos 724x ππππ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2434cos cos 778ππ++=； 2233cos 3748x π---=； cos788x π-=-； 所以42311241246cos cos cos cos cos cos 4887778777x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫--=-++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112108cos cos cos 8777πππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭661012121cos cos 16716716k k k k ππ====-∑∑116=-． 则423111511481616x x x --+=-+=，即15cos 716f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．5、如果三位数abc 满足19a b c ≤≤≤≤，则称abc 为“上坡数”，则上坡数的个数为 ．答案：165．解：对于确定的b ，数c 可取,1,,9b b + ，共10b -个值；而对于确定的数a ，数b 可取,1,,9a a + ，故三位上坡数的个数为()()()99910911111011102a ab aa k a a ab k -=====---==∑∑∑∑∑()921119101991021110219901652262a a a =⋅⋅⋅⎛⎫=-+=-⋅+= ⎪⎝⎭∑． 6、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{}1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S 表示圆周上所有十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有 种． 答案：9种．解：对于圆周上相邻的三个数{}12,,k k k a a a ++，12k k k a a a ++++可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，{}12,,k k k a a a ++可以取{}1,2,4或{}1,1,5或{}2,2,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为123,,,k k k k a a a a +++，由于12k k k a a a ++++和123k k k a a a +++++都是7的倍数，那么必有37k k a a +-，于是k a 与3k a +或者相等，或者相差7；又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到{}28,35,42,49,56,63,70,77,84中的任一个值，总共九种情况．（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．7、函数()f x =的最小值是 ．答案：574．解：()13f x =…① 令23x y =，此为抛物线方程，其焦点为30,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34y =-，记点()3,4A ，则①可以改写为 ()13f x =它表示为抛物线上的点(),M x y 到点A与到焦点F 的距离之和：13f MA MF =+，注意点A 在抛物线的上方，由于点M 到焦点的距离等于其到准线的距离：MF MH =，故当点M 移至1M 使在垂线1AH 上时，MA MH +的值最小，为111319444AM MH AH +==+=，即11934f ≥，所以574f ≥． 8、设{}1,2,,17M = ，若有四个互异数,,,a b c d M ∈，使得()mod17a b c d +≡+，就称{},a b 与{},c d 是集M 的一个“平衡对”，则集M 中“平衡对”的个数是 ． 答案：476．解：将圆周17等分，其分点按顺时针方向顺次记为1217,,,A A A ，则()mod17m n k l +≡+当且仅当弦m n A A ∥k l A A ．注意如下事实：圆周17等分点的任一对分点连线都不是直径，因此全部弦共有17个方向（分别与过i A 的切线平行，1,2,,17i = ）．与过i A 的切线平行的弦有8条，共形成2828C =个“平行弦对”，若考虑所有17个方向，共得 2817476⨯=个“平行弦对”．即M 中有476个平衡对． 二、解答题（共3题，合计44分）9、在平面上给定不共线的三点,,A B C ，以线段AB 为一条轴（长轴或者短轴）作一个不经过点C 的椭圆，与另两条直线,AC BC 分别交于点,E F ，过,E F 分别作椭圆的切线，设这两条切线交于0C 点；类似地，再以线段,BC CA 为一条轴各作椭圆，分别相应地得到切线的交点0A 与0B ；证明：不论每个椭圆的另一条轴的长度如何选择，三条直线000,,AA BB CC 都经过一个定点．解：先考虑以边AB 为一条轴的椭圆，适当选择坐标系如图，设该椭圆的方程为()22221x y a b a b +=≠，它与直线,AC BC 分别交于点,E F ，过,E F 分别作椭圆的两条切线交于0C 点；设诸点坐标为：()(),0,,0A a B a -，()()cos ,sin ,cos ,sin E a b F a b ααββ，则直线AE 方程为：()sin 1cos y b x a a αα=++； 直线BF 方程为：()sin 1cos y b x a a ββ-=--，解得点C 的横坐标cos2cos2c a x αββα+=； 椭圆过E 的切线方程为：cos sin 1x y a bαα+=； 椭圆过F 的切线方程为：cos sin 1x y a b ββ+=，由此解得点0C 的横坐标0cos2cos 2a x αββα+=-， 由0c x x =知，0CC AB ⊥．同理可知，00,AA BC BB AC ⊥⊥，故直线000,,AA BB CC 分别重合于ABC ∆的三条高线，因此它们都经过ABC ∆的垂心．10、在ABC ∆中，证明：1cot cot cot (cot cot cot )3222A B CA B C ++≥++．证：令tan 2A x =，tan 2B y =，tan 2Cz =，则1xy yz zx ++=，即要证 2221111111()2223x y z x y z x y z---++≥++．也就是11111()()62x y z x y z ++≥++，即13()x y z xyz≥++． 故只要证13()xyz x y z ≥++，由于21()xy yz xz =++，因此只要证222()()()222333xy yz xz xy yz xy xz xz yz xy yz xy xz xz yz +++⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅，即222()()()xy yz xz xy yz xy xz xz yz ++≥⋅+⋅+⋅，此为显然．11、数列{}n a 定义如下：11a =，对每个n N ∈，414243,,n n n a a a +++成等差数列，其公差为2；而434445,,n n n a a a +++成等比数列，其公比为12；求数列的最小上界（即上确界）．解：易得数列开初一些项为：5513212121538585852133411,3,5,,,,,,,,,,,,2444816161632646464； 改记43,n k a b k N +=∈，则05b =，123232185341,,444b b b ===，一般地，若4kk kx b =，则 111141114444k k k k k k k k x x b b +++++==+=+，所以，1114k k k b b ++-=．因此 112100()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+11111615444334n n n -=++++=-⋅ ，即43161334n na +=-⋅． 所以数列{}43n a +严格单增；由于对每个n ，43n a +是414243,,n n n a a a +++及434445,,n n n a a a +++中的最大数，故得：当45k n ≤+时，43k n a a +≤，而43163n a +<，所以对所有n ，163n a <． 此上界163是最小的，因为当n →+∞时，431610334n na +-=→⋅．第二试答案一、对于正整数n ，如果存在集{}1,2,,M n = 的元素的某个排列12,,,n a a a ，使得对任何{},1,2,,,i j n i j ∈< ，都有i j a i a j -≠-，则称n 为好数； 试确定，2011,2012是否为好数？证明你的结论．解：0(1)、2011不是好数．若集{}1,2,,2011M = 有满足条件的排列122011,,,a a a ，则,1,2,,2011k a k k -= 互不相同，由于02010k a k ≤-≤，所以数列1220111,2,,2011a a a --- 应是0,1,2,,2010 的一个排列；因此20112010120102011100520112k k k a k k ==⨯-===⨯=∑∑奇数．另一方面，对任何整数,x y ，x y -与x y -同奇偶，因此20111kk ak =-∑与()2011201120111110k k k k k a k a k ===-=-=∑∑∑同奇偶，即20111k k a k =-∑为偶数，矛盾！(2)、2012是好数．由于42012，并且满足201220111201120122k k k a k k ==⨯-===∑∑偶数的必要条件；我们来证明，条件4n 也是充分的，即集合{}1,2,,4M n = 存在满足条件的排列124,,,n a a a ；特别是，集合{}1,2,,2012M = 存在满足条件的排列122012,,,a a a ．我们对一般的前4n 个数的集合{}1,2,,4M n = 作构造性证明；先考虑简单情况：1n =时，可将前四个正整数{}1,2,3,4排成数列：(4,1,3,2)：序号 1 2 3 4 项值 4 1 3 2 项序差 3122n =时，将前八个正整数{}1,2,3,4,5,6,7,8排成数列：(8,7,5,3,2,6,1,4)：序号 1 23 4 5 6 7 8 项值 8 7 5 3 2 6 1 4 项序差 7 521364再将以上情况拓展至一般：（下表中，对于k a b =，称下标k 为“序号”，k b a =为项值，而k b k a k -=-为项序差）当3n ≥时，我们给出一般情形下，集{}1,2,,4M n = 中元素的一个排列124,,,n a a a ：（表格下面两行在粗线处填数有跳跃，每行位于相邻两粗线间的填数则按等差顺序排列） 在上表中，若取3n =，就得到集合{}1,2,,12M = 中元素的一个排列1212,,,a a a ：5312493457898765412310111212111110216697812序号项值项序差于是在表中取503n =，将得到集{}1,2,,2012M = 中元素的一个排列122012,,,a a a ． 因此结论成立．二、ABC ∆中，,,D E F 分别是其三条边,,BC CA AB 的中点，边,AC AB 的中垂线分别交中线AD 于,M N ，（,,M N D 互异），若直线EM FN K = ，BN CM P = ； 证明：AP KP ⊥．证：如图，易知AEKF 共圆，AK 为此圆直径，且点K 是ABC ∆的外心．设,BAD CAD αβ∠=∠=，用∆表示三角形面积，则因D 是BC 中点，ABD ACD ∆=∆，即ABCDEFMNPK11sin sin 22AB AD AC AD αβ⋅=⋅，所以sin sin AB AC αβ= … ①， 由于点K 是ABC ∆的外心，02(180)3602BKC A A ∠=-=- … ②又在PMN ∆中，0180M MPN MNP ∠+∠+∠=，01802MNP ANB α∠=∠=-，01802M β∠=-，所以00221802180MPB MPN A αβ∠=∠=+-=-，001803602BPC MPB A BKC ∠=-∠=-=∠，因此,,,B C P K 共圆；在APB ∆中，sin sin sin sin AB AP AP AP APB ABP ABN α===∠∠∠，即sin sin AB APB APα∠=，在APC ∆中，sin sin sin sin AC AP AP AP APC ACP ACM α===∠∠∠，即sin sin AC APC APβ∠= 由①得sin sin APB APC ∠=∠，又据,,,B C P K 共圆，BPK BCK ∠=∠，且0180APB APC BPC BKC ∠+∠=∠=∠<， 所以，1122APB APC BPC BKC BKD CKD ∠=∠=∠=∠=∠=∠ … ③ ， 因此，090APK APB BPK CKD BCK CKD DCK ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=． 即有AP KP ⊥．三、设,,0x y z >，证明：241x y zy z z x x y ⎛⎫≥⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭． 证： 注意两边皆为变元,,x y z 的零次齐次对称函数，因此可以令()()()1x y y z z x +++=，化为证2()4()()()xyz x y y z z x ≥++++ … ①由于32()()()x x y x z x y z x xyz ++=+++，32()()()y y x y z y z x y xyz ++=+++，32()()()z z x z y z x y z xyz ++=+++，而由柯西不等式，=22x y xy xyz xyz=≥+++222x y xy xyz =++，同理有222y z yz xyz ≥++，222x z xz xyz ≥++，所以2()333222222315x y z x y xy y z yz x z xz xyz ≥+++++++++ … ②．又由()222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz x z xz xyz +++=++++++于是，()4()()()xyz x y y z z x ++++()222222412x y xy y z yz x z xz xyz =++++++ … ③据①②③得，241x y zy z z x x y ⎛⎫-⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭ ()3332222223x y z x y xy y z yz x z xz xyz ≥++-++++++ … ④据对称性，不妨设0x y z ≥≥>，则()()333222222323()x y z x y xy y z yz x z xz xyz x x y z xyz ++-++++++=-++ ()()3232()()y y z x xyz z z x y xyz +-+++-++，()()()()()()x x y x z y y x y z z z x z y =--+--+-- ()()()()x x y x z y y x y z ≥--+--()222()()()0x y x xz y yz x y x y z =---+=-+-≥．因此所证的不等式成立．四、数列{}n x 定义如下：121,x x a ==，其中a 是给定的大于1的实数；若对某个1n ≥，数列的前2n 项已定义，则对于1212n n k ++≤≤，定义2n k k x ax -=．（于是数列{}n x 的各项为22231,,,,,,,,a a a a a a a ），用n S 表示数列的前n 项和，证明：若数n 的二进制表达式为12222rk k k n =+++ ，()120r k k k >>>≥ ，则0(1)j rkj n j S a a ==+∑．证明：记(),()k k x X k S S k ==，若数n 在二进制表示中1的数目为()E n ，则有0(1)、对于任意正整数n ，有(1)()E n X n a -=．事实上，(0)(1)(2)(1)1,(2),(3)E E E X aX a a X a a ======，2(3)(4)E X a a ==，今对n分段归纳，若在12kn ≤≤时，有(1)()E n X n a -=，当n 满足1212k k n ++≤≤时，令12k n n =+，有11(1)(1)1(1)1()()E n E n E n X n aX n a a a a --+-==⋅==．0(2)、对于任意正整数n ，有(21)(1),(2)()X n X n X n aX n +=+=．事实上，因为n 与2n 在二进制中1的个数相同，则(2)()(21)(1)E n E n X n aa X n +===+．对于偶数2n ，先用归纳法证明，(2)(21)X n aX n =-；事实上，1n =时，(2)(1)X a aX ==，若结论对于[1,2]k内的所有偶数2n 都成立，则当12122k k n ++<≤，记1222kn n =+，有211(2)(2)(21)(21)X n aX n a X n aX n ==-=-，故()()(2)(21)2(1)1(1)1()X n aX n aX n aX n aX n =-=-+=-+=．0(3)、对任意正整数n ，有(2)(1)(),(21)()(1)S n a S n S n aS n S n =++=++．事实上，1111(2)(21)(2)()()n n n nk k k k S n X k X k X k a X k =====-+=+∑∑∑∑1(1)()(1)()nk a X k a S n ==+=+∑；类似地，11(21)(21)(2)(1)()()(1)n n n nk k k k S n X k X k X k a X k aS n S n ====+=++=++=++∑∑∑∑．0(4)、回到本题，今证明，若12222r k k k n =+++ ，()120r k k k >>>≥ ，则有0(1)j rkj n j S a a ==+∑．对n 归纳，1n =时，由于012=，0(1)(1)1(1)S X a ===+；即2n <时结论成立；若在(2)n r r <≥时结论已成立，再考虑n r =的情况，若2r m =，而m 的二进制表达式为01222tk k k m =+++ ，则由0(3)，0()(2)(1)()(1)(1)j tkj j S r S m a S m a a a ===+=++∑1(1)j tk j j a a +==+∑，因为01111122222j t tk k k k j r m ++++===+++=∑ ，即2r m =时成立；11 若21r m =+，而m 的二进制表达式为01222t k k k m =+++ ，则10022j t k j r +==+∑，故10()(21)(2)(21)(1)(1)j tk j j S r S m S m X m a a X m +==+=++=+++∑11()1000(1)(1)(1)j j ttk k j E m j t j j a a a a a a a +++===++=+++∑∑．因此，当21r m =+时结论也成立．即n r =时结论成立．于是由归纳法，命题得证．。

2012年高考模拟系列试卷（二） 数学试题（理）【新课标版】 题 号一二三得 分 第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．如图，已知点是边长为1的等边的中心，则等于（ ） A．B． C．D． 5．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A．420 B．560 C．840 D．20160 6．已知，则函数的零点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 8．设函数，对于任意不相等的实数，代数式的值等于（ ） A． B． C．、中较小的数 D．、中较大的数 9．由方程确定的函数在上是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．减函数 D．增函数 10．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．32 11．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（ ） A．B．C．D． 12．已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．计算的值等于 ； 14．已知圆的圆心与点关于直线对称，并且圆与相切，则圆的方程为______________。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(10)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、设a , b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是24·33·72·11, 那么这样的有序正整数对(a , b )有 _ 组.2、方程16sin πx cos πx ＝16x ＋1x的解集合为3、三棱锥S ABC -是三条侧棱两两垂直的三棱锥，O 是底面ABC ∆内的一点， 那么tan tan tan W OSA OSB OSC =∠⋅∠⋅∠的最小值是______________4、对任意,x y R ∈，代数式M =________5、计算：232010sinsinsin sin 2011201120112011ππππ= _______________ 6、篮球场上有5个人在练球，其战术是由甲开始发球（第一次传球），经过六次传球跑动后（中途每人的传球机会均等）回到甲，由甲投3分球，其中不同的传球方式为___________种． 7、对,x y R ∀∈，函数(,)f x y 都满足：①(0,)1f y y =+；②(1,0)(,1)f x f x +=； ③(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+；则(3,2011)f =__________________8、设2n 个实数122,,,n a a a 满足条件21211()1n i i i aa -+=-=∑则12212()()n n n n a a a a a a μ++=+++-+++ 的最大值为________________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设由不超过1000的两个正整数组成的数对(,)m n满足条件：11m m n n+<<+． 试求所有这样的数对(,)m n 的个数．10. P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，12,F F 是椭圆的焦点，12,PF PF 分别交椭圆与,A B 两点，求证：1212||||||||PF PF F A F B +是定值．11. 给定大于2011的正整数n ，将21,2,3,,n 分别填入n n ⨯的棋盘的方格中，使每个方格恰有一个数，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格内所填的数，且大于它所在列至少2011个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”，求棋盘中“优格”个数的最大值．(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）设D 为ABC ∆内的一点，作DP ⊥BC 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，DR ⊥AB 于R求证：QR PQ =是DCDABC BA =的充要条件。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)仿真模拟（二）物 理 试 题 枣庄11年4月模拟16．如图所示，倾角为30°的斜面固定于竖直墙上，一质量分布均匀的光滑球，在水平推力F作用下静止在如图所示的位置，F 的作用线通过球心。

设球所受的重力为G ，竖直墙对球的弹力为FN1，斜面对球的弹力为F N2。

下列说法正确的是A ．F N1一定等于FB ．F N2一定大于F N1C ．F N2一定大于GD ．F 一定小于G 17．物体在xOy 平面内做曲线运动，从t=0时刻起，在x 方向的位移图象和y 方向的速度图象分别如图所示。

以下说法正确的是A ．物体的初速度沿x 轴正方向B ．物体在t=2s 时的速度大小为3m/sC ．物体的加速度大小为3m/s 2D ．物体所受合力沿y 轴正方向18．2011年3月11日，日本东北地区发生里氏9.0级大地震，并引发海啸。

某网站发布了日本地震前后的卫星图片，据了解该组图片是由两颗卫星拍摄得到的。

这两颗卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为v ，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，两卫星与地心的连线间的夹角为60°，如图所示。

若卫星均沿顺时针方向运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

下列判断正确的是A ．这两颗卫星的加速度大小均为22r g RB ．卫星2向后喷气就一定能追上卫星1C ．卫星1由位置A 第一次运动到位置B 所用的时间为g r R r 3πD ．卫星l 由位置A 运动到位置B 的过程中，它所受的万有引力做功为零19．如图所示，一理想变压器原、副线圈匝数比为n 1：n 2=4：1，原线圈ab 间加交变电压u= 2202sin100πt( V)，灯炮L 标有“36 V．18 W”。

当滑动变阻器R 的滑动触头处在某位置时，理想电流表示数为0. 25 A ，灯泡L 刚好正常发光，则A．滑动变阻器R的耗电功率为18 WB．定值电阻R0的阻值为19C．流过灯泡L的交变电流频率为25 HzD．将滑动变阻器R的滑动触头向下滑动的过程中，灯泡L的亮度变暗20．如图所示，实线为不知方向的三条电场线，虚线1和2为等势线，从电场中M点以相切于等势线1的相同速度飞出a、b两个带电粒子，粒子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。

2012年全国高中数学联赛全真模拟（二）答案（清北学堂教研部特邀奥赛名师陶平生教授命制，内部资料，禁止翻印。

）第一试一、填空题1、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任三个连续项11,,n n n a a a -+,都有:11(1)(1)2n n n n a n a a n-+-++=.则 2012a = ．答案：30171006．解：由条件得，112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，所以，11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--，故1111n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=；1132121112211231()1113n n n n n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a a a a a n n n +-+----------=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅---+-2(1)n n =+；于是12112()(1)1n n a a n n n n --==---； 由此得，11221112()()()2(1)13n n n n n a a a a a a a a n n---=-+-++-+=-+=- . 所以201213017310061006a =-=． 2、设正整数2n ≥，用n A 表示分母为n 的全体真分数所组成的集合，则集合201120121k k A A =⎛⎫⎪⎝⎭的元素个数为 ．答案：1007．解：由于220122503=⨯，（503为质数），则在1,2,,2011 中，与2012不互质的数有其中的全体偶数，以及奇数503,3503⨯，共计100521007+=个，对于每个这样的数a ，真分数2012a在化为既约分数后，都将在集合20111k k A = 中出现，因此201120121k k A A =⎛⎫⎪⎝⎭ 的元素个数为1007．3、将棱长为1的正方体的八个顶点按红、蓝间隔染色，使得每条棱上的两顶点不同色；那么，由红色顶点连成的四面体与由蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积是 ．答案：16． 解：12A BDS ==，设1AC 与1A BD ∆所在 平面交于M ，AM h =，据四面体1A ABD 的体积关系得11323h ⋅=，所以h =1AC =，则1C M =，正四面体11AB CD 与11A BC D 中，面1A BD ∥面11CB D ，其余三对底面也相平行，则11AB CD 位于正四面体11A BC D 外侧部分是四个全等的正四面体，1111111333A BC D A BD V C M S =⋅== ,1131128A A BC DV V ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故1111111114826A BC D A BC D A BC D V V V V =-⋅==公共．4、设偶函数()f x 满足：()12f =，且当0xy ≠时，()()()()f x f y ff x f y =+，则()5f = ． 答案：225．()()11f x f y =+，由于()()f x f x -=，只须考虑,x y R +∈的情况，A1令x y ===(), 00,0f g t f ≠=⎪=⎪⎩，则化为 ()()()g u v g u g v +=+ (1)据○1，()()()22g u g u u g u =+=，()()()()()3223g u g u u g u g u g u =+=+=， 归纳得，()()g ku kg u =，令25,1k u ==，得()()25251g g ==，因此()2525f =． （注：若看出○1为柯西方程，则可以直接得到()g u cu =，所以()12c f x x =，取1x =得12c =，()22f x x =，()2525f =．） 5、计算003tan10+= ．．解：03tan10+=()0000003sin1030103sin1020cos10cos10+-+=)0000003sin10sin 30cos10cos30sin10cos10+-==6、抛物线22y x =上两点()()1122,, ,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m = . 答案：32．解：由121212121211, , 222y y y y x x m x x x x -++=-=+=--以及2211222, 2y x y x == 得 ()222112121212,2x x y y x x x x -=-=-⇒+=-， ()()()221212121222m y y x x x x =+-+=++ ()2121211124223242x x x x =+-+=⋅++=，所以32m =．7、设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则在平面上，由所有满足[][]2250x y +=的点所形成的图形面积是 ．答案：12．解：先考虑第一象限情况，因为22222250177155=+=+=+，得[][]()(),1,7x y =，()7,1，()5,5，而由[][]1,7x y ==，得单位正方形12,78x y ≤<≤<，其面积为1，类似由[][]()(),7,1x y =与()5,5也各得到一个单位正方形，并且这三个正方形互不重叠；若考虑四个象限，共得12个互不重叠的单位正方形，总面积为12．8、对于正整数n ，将其各位数字之和记为()s n ，各位数字之积记为()p n ，若成立()()s n p n n +=，就称n 为巧合数，则所有巧合数的和为 ．答案：531．解：设121,0k n a a a a =≠ ，由()()n s n p n -=得，()()()1212112101101101k k k k a a a a a a ----+-++-=⋅⋅⋅ ，即()11231010k k a a a a m ---⋅⋅⋅+= ……○1，其中()221010k m a -=-+≥ ，若3k ≥，由于1112310110190k k k k a a a -----⋅⋅⋅≥--> ，与○1矛盾，故2k ≤，又当1k =时，()n s n =，不合条件，因此2k =，从而可设121210n a a a a ==+，再由12121210a a a a a a ++=+，得1129a a a =，所以{}219,1,2,,9a a =∈ ，即全体巧合数为19,29,,99 ，其和为531．二、解答题9、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面BCD 切于F ，证明：∠AEB=∠CFD.证明：为叙述方便，将内切球O 在面,,,BCD ACD ABD ABC 上的切点分别改记为0000,,,A B C D ，于是，00,E C F A ==，设球O 的半径为r ,棱BD ⊥面00OA C ，设垂足为P ，则000C P A P C P ===， 因为00,A P BD C P BD ⊥⊥， 则 00,BA BC =00DA DC =，故0B A D 0B CD ≅ ，所以00BA D BC D ∠=∠，即是说，棱BD 关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。