2017高考数学(理)试题汇编 第十四章 推理与证明
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专题 24 推理与证明一、选择题1. 【2014山东.文 4】用反证法证明命题“设 a ,b 为实数,则方程 x 2 ax b 0 至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程 x 2 ax b 0 没有实根B.方程 x 2 ax b 0 至多有一个实根C.方程 x 2 ax b 0 至多有两个实根D.方程 x 2ax b 0 恰好有两个实根【答案】 A考点:反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义,明确至少有一个的反面是 一个也没有.本题属于基础题,难度较小.2. 【2014山东.文 9】 对于函数 f (x ) ,若存在常数 a 0 ,使得取定义域内的每一个值,都有 f (x ) f (2a x ) ,则称 f (x ) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )A f (x )xBf (x ) x 2 C f (x ) tan x D f (x ) cos(x 1)【答案】 D【解析】由 f (x ) 为准偶函数的定义可知,若 f (x ) 的图象关于 x a 对称,则 f (x ) 为准偶函数.在 D 中, f (x )cos(x 1) 的图象关于 xk 1,k z 对称,故选 D .考点:新定义,函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的基本解法是紧扣 新定义,研究各个函数的图象及特性,得出结论.本题是一道新定义问题,属于基础题,在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础 知识的同时,考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想. 3. 【2015高考浙江,文 8】设实数 a ,b ,满足 a 1 sin b t ()A .若确定,则b 2 唯一确定B .若确定,则 a 2 2a 唯一确定C .若确定,则sinb 2唯一确定 D .若确定,则 a 2a 唯一确定1【答案】B【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理,通过对比选项,确定最终正确结论的能力.本题属于中等题,重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4. 【2015高考广东,文10】若集合p,q,r,s0p s4,0q s4,0r s4p,q,r,s且,F t,u,v,w0t u4,0v w4且t,u,v,w,用card表示集合中的元素个数,则card card F()A.50B.100C.150D.200【答案】D【解析】当s4时,p,,都是取,,,中的一个,有44464种,当s3时,p,,都是取,,中的一个,有33327种,当s2时,p,,都是取,中的一个,有2228种,当s1时,p,,都取,有种,所以card642781100,当t0时,取,,,中的一个,有种,当t1时,取,,中的一个,有种,当t2时,取,中的一个,有种,当t3时,取,有种,所以、的取值有123410种,同理,、w的取值也有10种,所以card F1010100,所以card card F100100200,故选D.【考点定位】推理与证明.【名师点晴】本题主要考查的是新符号,属于难题.在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决,这是解决新符号问题的一个基本方向,要注意准确理解试题中给出的新符号的含义.解决新符号这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合情推理.5.【2014高考广东卷.文.10】对任意复数w.w,定义12w w w w,其中1212w是2w的共轭22复数.对任意复数z.1z.2z,有如下四个命题:3①z z zz zz z ;②zz zz zzz ;12313231231213③z z z z zz ;④123123z z zz.1221则真命题的个数是( )A. B. C.D.【答案】B对于命题④,取z11i,z i,则z z ii i,2212123z2z12i 1i 3i,命题④错误.故选B.【考点定位】本题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是新符号,属于难题.在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决,这是解决新符号问题的一个基本方向,要注意准确理解试题中给出的新符号的含义.解决新符号这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合情推理.6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高,1计算其体积V的近似公式v L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.36那么近似公式22vL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为()752225157355A. B. C. D.7850113【答案】B3【解析】1 2, 试题分析:设圆锥底面圆的半径为,高为,依题意, L 2r , r 2h (2 r )2 h3 751,即 的近似值为 258所以2,故选 B.3 75 8考点:《算数书》中的近似计算,容易题.【名师点睛】以数学史为背景,重点考查圆锥的体积计算问题,其解题的关键是读懂文字材料, 正确理解题意,建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用,能较好的考查学生 运用基础知识的能力和简单近似计算能力.7. 【 2015高 考 湖 北 , 文 10】 已 知 集 合 A {(x , y ) x 2 y 2 1, x , y Z },B {(x , y ) | x | 2 , | y | 2, x , y Z },定义集合A B {(xx , yy ) (x , y )A , (x ,y ) B },12121122则 A B 中元素的个数为()A .77B .49C .45D .30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题,属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域,以新定义为背景,涉及分类计数原理,体 现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性,能较好的考查学生知识间的综合能 力、知识迁移能力和科学计算能力.8.【2014福建,文 12】在平面直角坐标系中,两点P 1 x 1, y 1 , P 2 x 2, y 2 间的“L -距离”定义 为P 1P 2x 1 x 2 y 1y 2 . 则平面内与轴上两个不同的定点 F F 的“L -距离”之和等于定1, 2值(大于|| F F |)的点的轨迹可以是( )124【答案】 A 【解析】 试题分析:不妨设F 1(1, 0), F 2 (1, 0), P (x , y ) 是平面内符合条件的点,则由“L-距离”定义得| x 1| | y | | x 1| | y | 2a ( a 0 , 2a || F F | 2 ).1 2x 1 即时, x y a0;y 0 x1时, x y a0;y 01 x 1时, y a10 ;y 011x 时, y 1a ;y 01 x y 0x 1 时, x y a0;y 0时, x y a 0 .故选 A .考点:新定义,绝对值的概念,分类讨论思想.【名师点睛】本题是一道信息迁移题,通过定义“L -距离”,考查学生对新定义的理解能力及 处理绝对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类,做到不重不漏,并准确 进行运算是求解本题的关键. 二、填空题1.【2016高考新课标 2文数】有三张卡片,分别写有 1和 2,1和 3,2和 3.甲,乙,丙三人 各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和 3考点:逻辑推理.5【名师点睛】逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2. 【2016高考山东文数】观察下列等式:π2π4(sin)(sin)1222;333π2π3π4π4(sin)(sin)(sin)(sin)232222;55553π2π3π6π 4(sin)(sin)(sin)(sin)3 4777732222;π2π3π8π4(sin)(sin)(sin)(sin)452222;99993……照此规律,(sinπ)2(sin2π)2(sin3π)2(sin2π)2n_________.2n12n12n12n 1 4【答案】n n13考点:合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理,本题以三角函数式为背景材料,突出了高考命题注重基础的原则.解答本题,关键在于分析类比等号两端数学式子的特征,找出共性、总结规律,降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3. 【2015高考山东,文14】定义运算“”:x y22x y(x,y R,xy 0).当xyx 0,y 0时, x y (2y ) x 的最小值是.【答案】 2【解析】由新定义运算知,(2y )x 4yx 2222(2y ) x ,因为, x0,y0, (2y )x2xy6所以, x 2 y 2 4y 2 x 2x 22y 22 2xyx y (2y ) x2 ,当且仅当 xy 2xy2xy2xyx 2y 时, x y (2y ) x 的最小值是 2 .【考点定位】1.新定义运算;2.基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力,解答本题的关键,首先是理解 新定义运算,准确地得到不等式,然后根据其特征,想到应用基本不等式求解.本题属于小综合题,也是一道能力题,在考查考生学习能力的基础上,考查考生的计算能力及 应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备,因此,不会对此 感到陌生.4. 【2015高考陕西,文 16】观察下列等式: 1- 1- 1- 1 12 21 1 1 1 12 3 4 3 411 1 1 1 1 112 3 4 5 6 4 5 6…………据此规律,第 n 个等式可为______________________.1 1 11 1 1 1 1 【答案】12 3 4 2n 1 2n n 1 n 22n【考点定位】归纳推理.【名师点睛】本题考查的是归纳推理,解题关键点在于发现其中的规律,要注意从运算的过程 中去寻找.本题属于基础题,注意运算的准确性.5.【2014四川,文 15】以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数(x ) 组成的集合:对于函数(x ) ,存在一个正数 M ,使得函数(x ) 的值域包含于区间[M ,M ]。
1。
【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口,,A B C的机动车辆数如图所示,图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50 ( )A 。
123x x x >>B.132xx x >>C 。
231xx x >> D 。
321xx x >>【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点,且|||PA AB =,则称点P 为“点",那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点”B .直线l 上仅有有限个点是“点"C .直线l 上的所有点都不是“点”[]D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点"【答案】A试题分析:本题采作数形结合法易于求解,如图,设()(),,,1A m n P x x -,则()2,22B m x n x ---,∵2,A B y x =在上,∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩ 消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= (1)∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立,∴方程(1)恒有实数解,∴应选A 。
考点:创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀"“合格”“不合格"。
若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”。
如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2人B .3人C .4人D .5人【答案】B考点:合情推理,中等题.4。
2017 年高考数学理科真题汇编解析:第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.( 2017 全国 2 卷理科 7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老 成 的成 .老:你 四人中有2 位 秀, 2 位良好,我 在 甲看乙、丙的成 , 乙看丙的成 ,丁看甲的成 .看后甲 大家 :我 是不知道我的成 .根据以上信息, ( ).A .乙可以知道四人的成B .丁可以知道四人的成C .乙、丁可以知道 方的成D .乙、丁可以知道自己的成1.解析 四人所知只有自己看到,老 所 及最后甲 的 .甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一 一良(若 两 ,甲会知道自己成 ;两良亦然) .乙看了丙成 ,知道自己的成→ 丁看甲,甲、丁中也 一 一良,丁知道自己的成 .故D.2.( 2017 全国 1 卷理科 12)几位大学生响 国家的 号召,开 了一款 用 件 . 激大家学 数学的 趣,他 推出了 “解数学 取 件激活”的活 . 款 件的激活下面数学 的答案:已知数列 1, 1, 2, 1, 2,4, 1, 2, 4, 8,1, 2, 4, 8, 16 , ⋯ ,其中第一 是20 ,接下来的两 是20 , 21 ,再接下来的三 是 20 , 21 , 22 ,依此 推 .求 足如下条件的最小整数 N : N100 且 数列的前 N 和 2的整数 .那么 款 件的激活 是( ) .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析 首 第1 ,接下来两 第2 ,再接下来三 第3 ,以此 推.n 1 nn 1 n100第 n 的 数 n , n的 数和2,由 意得,N100 ,令2,1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后,第 n 的和 122,即 N出 在第, n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n,若要使前 N和 2 的整数 , 2的和 2k12与2 n互相反数, 即2k12n kN *,n ≥ 14, k log2n 3 ,得 n 的最小 n 29 ,k 5 ,29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.B.C.D.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+29.(5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= .14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为 .15.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC ,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【专题】35:转化思想;4O:定义法;5I:概率与统计.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S=,则对应概率P==,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【考点】2K:命题的真假判断与应用;A1:虚数单位i、复数;A5:复数的运算.【专题】2A:探究型;5L:简易逻辑;5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解:若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题;p2:复数z=i满足z2=﹣1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题;p 3:若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p4:若复数z∈R,则=z∈R,故命题p4为真命题.故选:B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【考点】84:等差数列的通项公式;85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的公差.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1化为﹣1≤x﹣2≤1,解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.若f(1)=﹣1,则f(﹣1)=1,又∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1,∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),∴﹣1≤x﹣2≤1,解得:x∈[1,3],故选:D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【考点】DA:二项式定理.【专题】35:转化思想;4R:转化法.【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)=(1+x﹣2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x﹣2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得.可知r=2时,可得展开式中x2的系数为.可知r=4时,可得展开式中x2的系数为.(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5Q:立体几何.【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解:由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,S梯形=×2×(2+4)=6,∴这些梯形的面积之和为6×2=12,故选:B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;38:对应思想;49:综合法;5K:算法和程序框图.【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A>1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选:D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11:计算题;35:转化思想;57:三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x+)=cos(2x+)=sin(2x+)的图象,即曲线C2,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;34:方程思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】方法一:根据题意可判断当A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二:设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为+θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解:如图,l1⊥l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,又直线l2过点(1,0),则直线l2的方程为y=x﹣1,联立方程组,则y2﹣4y﹣4=0,∴y1+y2=4,y1y2=﹣4,∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为+θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16,故选:A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题. 11.(5分)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【考点】72:不等式比较大小.【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用;59:不等式的解法及应用.【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【考点】8E:数列的求和.【专题】35:转化思想;4R:转化法;54:等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{a n},设b n=+…+=2n+1﹣1,(n∈N+),则=a i,由题意可设数列{a n}的前N项和为S N,数列{b n}的前n项和为T n,则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为S n:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100,∴该款软件的激活码440.故选:A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= 2 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】31:数形结合;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形=+=+2;在△OAC中,由余弦定理得||==2,即|+2|=2.故答案为:2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;5T:不等式.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(﹣1,1).∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案为:﹣5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为:bcos30°=,可得:=,即,可得离心率为:e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC ,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 4cm3 .【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】法一:由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=,求出S△ABC=3,V==,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.法二:设正三角形的边长为x,则OG=,FG=SG=5﹣,SO=h===,由此能示出三棱锥的体积的最大值.【解答】解法一:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h===,=3,则V===,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤=4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为:4cm3.解法二:如图,设正三角形的边长为x,则OG=,∴FG=SG=5﹣,SO=h===,∴三棱锥的体积V===,令b(x)=5x4﹣,则,令b'(x)=0,则4x3﹣=0,解得x=4,∴(cm3).故答案为:4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11:计算题;33:函数思想;4R:转化法;56:三角函数的求值;58:解三角形.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=,∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC=•===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】15:综合题;31:数形结合;41:向量法;5G:空间角.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB ⊥AD,则四边形ABCD为矩形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos<>==.由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11:计算题;35:转化思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计.【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(﹣3+3)=(9.334,10.606),进而需剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,因为P(X=0)=×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(﹣3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(﹣3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(﹣3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97﹣9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.【考点】K3:椭圆的标准方程;KI:圆锥曲线的综合.【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(﹣1,)代入椭圆C,求出a2=4,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),联立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,﹣1).【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,P3(﹣1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(﹣1,)代入椭圆C,得:,解得a2=4,b2=1,∴椭圆C的方程为=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,y A),B(m,﹣y A),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,∴===﹣1,解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,,x1x2=,则=====﹣1,又t≠1,∴t=﹣2k﹣1,此时△=﹣64k,存在k,使得△>0成立,∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1,当x=2时,y=﹣1,∴l过定点(2,﹣1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【考点】52:函数零点的判定定理;6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4R:转化法;53:导数的综合应用.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2)由(1)可知:当a>0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min<0,g(a)=alna+a﹣1,a>0,求导,由g(a)min=g(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1,g(1)=0,即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x﹣1。
山东省2017年高考数学(理科)专题练习算法初步、复数、推理与证明[A 组高考题、模拟题重组练] 一、程序框图(流程图)1.(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图21-1是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的22x n =,=,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s = ( )图21-1 A .7 B .12 C .17D .342.(2016·全国乙卷)执行如图21-2所示的程序框图,如果输入的0,1,1x y n ===,则输出x ,y 的值满足( )图21-2 A .2y x = B .3y x = C .4y x =D .5y x =3.(2016·全国丙卷)执行如图21-3所示的程序框图,如果输入的46a b =,=,那么输出的n = ( )图21-3 .4 .6所示的程序框图,若输入的a图21-4 在复平面内对应的点在第四象限,B .(13)-, D .()3∞-,-图21-5B.2 015D.2 017所示,则输出的S的值为(图21-6B.3 2D.32 -所示的程序框图,若输出的S=图21-7B.7k>?D.8k<?56789},,,,,,,,,在集合Aa,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为219129I A D=,则()=,(图21-8B.693D.495的所有正约数之和可按如下方法得到:因为22+=++⨯23122)(图21-92013B.图21-10丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,学生了解考试情况.四名学生回答如下:”结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了.观察下列等式:图21-11从第2行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,。
第十四章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.(2017全国2卷理科7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ).A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩 1.解析 四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然).乙看了丙成绩,知道自己的成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知道自己的成绩.故选D.2.(2017 全国1卷理科12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,再接下来的三项是02,12,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >:且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ).A.440B.330C.220D.110 2. 解析 设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,则n 组的项数和为()12n n +,由题意得,100N >,令()11002n n +>,得14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后,第n 组的和为122112nn -=--,n 组总共的和为()12122212nn n n +--=---,若要使前N 项和为2的整数幂,则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数,即()*21214k n k n -=+∈N ,≥,()2log 3k n =+,得n 的最小值为295n k ==,, 则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.题型149 归纳推理——暂无题型150 类比推理——暂无题型151 演绎推理第二节证明。
2017高考题数学理真题分类汇编专题1 集合与常用逻辑用语1.(2017·高考全国卷乙)已知集合A ={x |x <1},B ={x |3x <1},则( ) A .A ∩B ={x |x <0} B .A ∪B =R C .A ∪B ={x |x >1}D .A ∩B =∅2.(2017·高考全国卷甲)设集合A ={1,2,4},B ={x |x 2-4x +m =0}.若A ∩B ={1},则B =( )A .{1,-3}B .{1,0}C .{1,3}D .{1,5}3.(2017·高考全国卷丙)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( )A .3B .2C .1D .04.(2017·高考北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m·n <0”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.(2017·高考天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.(2017·高考江苏卷)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a的值为________.专题2 函 数1.(2017·高考全国卷乙)函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x -2)≤1的x 的取值范围是( )A .[-2,2]B .[-1,1]C .[0,4]D .[1,3]2.(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点,则a =( )A .-12B .13C.12D .13.(2017·高考北京卷)已知函数f (x )=3x-⎝⎛⎭⎫13x,则f (x )( ) A .是奇函数,且在R 上是增函数 B .是偶函数,且在R 上是增函数 C .是奇函数,且在R 上是减函数 D .是偶函数,且在R 上是减函数4.(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时,函数y =(mx -1)2 的图象与y =x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( )A .(0,1]∪[23,+∞)B .(0,1]∪[3,+∞ )C .(0,2]∪[23,+∞)D .(0,2]∪[3,+∞)5.(2017·高考浙江卷)若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0, 1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关6.(2017·高考天津卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +3,x ≤1,x +2x ,x >1.设a ∈R ,若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2+a 在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A .⎣⎡⎦⎤-4716,2 B .⎣⎡⎦⎤-4716,3916C .[-23,2]D .⎣⎡⎦⎤-23,3916 7.(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.8.(2017·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ∈D x ,x ∉D ,其中集合D ={x |x =n -1n ,n ∈N *},则方程f (x )-lg x =0的解的个数是________.9.(2017·高考浙江卷)已知a ∈R ,函数f (x )=⎪⎪⎪⎪x +4x -a +a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是________.专题3 导数及其应用1.(2017·高考全国卷甲)若x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x-1的极值点,则f (x )的极小值为( )A .-1B .-2e -3 C .5e -3D .12.(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.3.(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )=a e 2x +(a -2)e x -x . (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.4.(2017·高考全国卷甲)已知函数f (x )=ax 2-ax -x ln x ,且f (x )≥0. (1)求a ;(2)证明:f (x )存在唯一的极大值点x 0,且e -2<f (x 0)<2-2. 5.(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )=x -1-a ln x . (1)若f (x )≥0,求a 的值;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,⎝⎛⎭⎫1+12⎝⎛⎭⎫1+122…⎝⎛⎭⎫1+12n <m ,求m 的最小值. 6.(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +1(a >0,b ∈R )有极值,且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b 2>3a ;(3)若f (x ),f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a 的取值范围.专题4 三角函数与解三角形1.(2017·高考全国卷乙)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( )A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 22.(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )=cos(x +π3),则下列结论错误的是( )A .f (x )的一个周期为-2πB .y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称C .f (x +π)的一个零点为x =π6D .f (x )在(π2,π)单调递减3.(2017·高考山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A .a =2bB .b =2aC .A =2BD .B =2A4.(2017·高考天津卷)设函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,f ⎝⎛⎭⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( )A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24D .ω=13,φ=7π245.(2017·高考全国卷甲)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的最大值是________. 6.(2017·高考浙江卷)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接CD ,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC =________.7.(2017·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.8.(2017·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2B 2.(1)求cos B ;(2)若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b .9.(2017·高考全国卷丙)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A +3cos A =0,a =27,b =2.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.专题5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1.(2017·高考全国卷乙)设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为( ) A .p 1,p 3 B .p 1,p 4 C .p 2,p 3D .p 2,p 42.(2017·高考全国卷甲)3+i1+i =( )A .1+2iB .1-2iC .2+iD .2-i 3.(2017·高考全国卷甲)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则P A →·(PB →+PC →)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-14.(2017·高考全国卷丙)设复数z 满足(1+i)z =2i ,则|z |=( ) A .12B .22C. 2 D .25.(2017·高考全国卷丙)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →=λAB →+μAD →,则λ+μ的最大值为( )A .3B .2 2 C. 5D .26.(2017·高考北京卷)若复数(1-i)(a +i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(-∞,-1)C .(1,+∞)D .(-1,+∞)7.(2017·高考山东卷)已知a ∈R ,i 是虚数单位.若z =a +3i ,z ·z =4,则a =( ) A .1或-1 B .7或-7 C .- 3D . 38. (2017·高考浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O .记I 1=OA →·OB →,I 2=OB →·OC →,I 3=OC →·OD →,则( )A .I 1<I 2<I 3B .I 1<I 3<I 2C .I 3 < I 1<I 2D .I 2<I 1<I 39.(2017·高考全国卷乙)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2 b |= ________ .10.(2017·高考山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________11.(2017·高考浙江卷)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是________,最大值是________.12.(2017·高考天津卷)在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2.若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.专题6 数 列1.(2017·高考全国卷乙)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .82.(2017·高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏3.(2017·高考全国卷丙)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( )A .-24B .-3C .3D .84.(2017·高考全国卷甲)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则k =1n1S k =__________.5.(2017·高考全国卷丙)设等比数列{a n }满足a 1 + a 2 =-1, a 1-a 3 =-3,则a 4 = ________.6.(2017·高考山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3-x 2=2. (1)求数列{x n }的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1, 1),P 2(x 2, 2),…,P n +1(x n +1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n +1,求由该折线与直线y =0,x =x 1,x =x n +1所围成的区域的面积T n .7.(2017·高考天津卷)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和(n ∈N *).8.(2017·高考北京卷)设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n =n ,b n =2n -1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,c nn >M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列.专题7 不等式、推理与证明1.(2017·高考全国卷甲)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z =2x +y 的最小值是( )A .-15B .-9C .1D .92.(2017·高考北京卷)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x +2y 的最大值为( )A .1B .3C .5D .93.(2017·高考山东卷)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +3≤0,3x +y +5≤0,x +3≥0,则z =x +2y 的最大值是( )A .0B .2C .5D .64.(2017·高考浙江卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +y -3≥0,x -2y ≤0,则z =x +2y 的取值范围是( )A .[0,6]B .[0,4]C .[6,+∞)D .[4,+∞)5.(2017·高考天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≥0,x +2y -2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数z =x +y 的最大值为( )A .23B .1 C.32D .36.(2017·高考全国卷乙)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,则z =3x -2y 的最小值为________.7.(2017·高考全国卷丙)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z =3x -4y 的最小值为________.专题8 立体几何1. (2017·高考全国卷乙)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A .10B .12C .14D .162.(2017·高考全国卷甲)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A .90πB .63πC .42πD .36π3.(2017·高考全国卷丙)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A .πB .3π4C.π2D .π44.(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A .π2+1B .π2+3C.3π2+1 D .3π2+35.(2017·高考全国卷丙)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°;其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)6.(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________.7. (2017·高考全国卷乙)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP =∠CDP =90°.(1)证明:平面P AB ⊥平面P AD ;(2)若P A =PD =AB =DC ,∠APD =90°,求二面角A PB C 的余弦值.8.(2017·高考全国卷甲)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD ,∠BAD =∠ABC =90°,E 是PD 的中点.(1)证明:直线CE ∥平面P AB ;(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45° ,求二面角M -AB -D 的余弦值.9.(2017·高考全国卷丙)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD =∠CBD ,AB =BD .(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D –AE –C 的余弦值.专题9 平面解析几何1.(2017·高考全国卷乙)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .102.(2017·高考全国卷甲)若双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x -2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( )A .2B . 3 C. 2D .2333.(2017·高考全国卷丙)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为( ) A .x 28-y 210=1B .x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1 D .x 24-y 23=14.(2017·高考全国卷丙)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( )A .63B .33C.23 D .135.(2017·高考全国卷乙)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为________.6.(2017·高考全国卷甲)已知F 是抛物线C :y 2=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则|FN |=____________.7.(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为________.8.(2017·高考全国卷乙)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.9.(2017·高考全国卷甲)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22+y 2=1上,过M 作x轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP →=2NM →.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x =-3上,且OP →·PQ →=1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10.(2017·高考全国卷丙)已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程.11. (2017·高考浙江卷)如图,已知抛物线x 2=y ,点A ⎝⎛⎭⎫-12,14,B ⎝⎛⎭⎫32,94,抛物线上的点P (x ,y )⎝⎛⎭⎫-12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|P A |·|PQ |的最大值.12.(2017·高考天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62,求直线AP 的方程. 专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布1.(2017·高考全国卷乙)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C.12D .π42.(2017·高考全国卷乙)⎝⎛⎭⎫1+1x 2(1+x )6展开式中x 2的系数为( ) A .15 B .20 C .30D .353.(2017·高考全国卷甲)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种4.(2017·高考全国卷丙)(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A .-80B .-40C .40D .805.(2017·高考山东卷)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A .518B .49C.59D .796.(2017·高考全国卷甲)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX =________.7.(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)8.(2017·高考山东卷)已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n =________. 9.(2017·高考全国卷乙)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x =116∑i =116x i =9.97,s =116∑i =116(x i -x )2=116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i =116x 2i -16x 2≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^,用样本标准差s 作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ<Z <μ+3σ)=0.997 4.0.997 416≈0.959 2,0.008≈0.09.10.(2017·高考全国卷丙)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15)[15,20) [20,25) [25,30) [30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?11.(2017·高考山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望EX . 12.(2017·高考天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.专题11 统计、统计案例及算法初步1.(2017·高考全国卷乙)下面程序框图是为了求出满足3n -2n >1 000的最小偶数n ,那么在和 两个空白框中,可以分别填入( )A .A >1 000和n =n +1B .A >1 000和n =n +2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+22.(2017·高考全国卷甲)执行如图的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2 B.3C.4 D.53.(2017·高考全国卷丙)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(2017·高考全国卷丙)执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4C.3 D.25.(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0 B.1C.2 D.36.(2017·高考江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.7.(2017·高考全国卷甲)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg ”,估计A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)(精确到0.01). 附:P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828K 2=n (ad -bc )(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ).8.(2017·高考北京卷)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)专题12 选考部分 选修4-4:坐标系与参数方程1.(2017·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos θ,y =sin θ,(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a +4t ,y =1-t ,(t 为参数).(1)若a =-1,求C 与l 的交点坐标; (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a .2.(2017·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值. 3.(2017·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =kt ,(t 为参数),直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+m ,y =m k ,(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.4.(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-8+t y =t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2s 2,y =22s(s 为参数).设p 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.选修4—5:不等式选讲1.(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )=-x 2+ax +4,g (x )=|x +1|+|x -1|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 2.(2017·高考全国卷甲)已知a >0,b >0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a +b )(a 5+b 5)≥4; (2)a +b ≤2.3.(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )=|x +1|-|x -2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x +m 的解集非空,求m 的取值范围.4.(2017·高考江苏卷)已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明:ac +bd ≤8.数学理·参考答案与解析 专题1 集合与常用逻辑用语1.解析:选A.集合A ={x |x <1},B ={x |x <0},所以A ∩B ={x |x <0},A ∪B ={x |x <1}.故选A.2.解析:选C.因为A ∩B ={1},所以1∈B ,所以1是方程x 2-4x +m =0的根,所以1-4+m =0,m =3,方程为x 2-4x +3=0,解得x =1或x =3,所以B ={1,3},选择C.3.解析:选B.A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2.4.解析:选A .因为m ,n 是非零向量,所以m ·n =|m |·|n |cos 〈m ,n 〉<0的充要条件是cos 〈m ,n 〉<0.因为λ<0,则由m =λn 可知m ,n 的方向相反,〈m ,n 〉=180°,所以cos 〈m ,n 〉<0,所以“存在负数λ,使得m =λn ”可推得“m ·n <0”;而由“m ·n <0”,可推得“cos 〈m ,n 〉<0”,但不一定推得“m ,n 的方向相反”,从而不一定推得“存在负数λ,使得m =λn ”.综上所述,“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件,故选A.5.解析:选C.因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d ,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5,故选C.6.解析:选A.法一:由⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12,得0<θ<π6,故sin θ<12.由sin θ<12,得-7π6+2k π<θ<π6+2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”.故选A. 法二:⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12,而当sin θ<12时,取θ=-π6,⎪⎪⎪⎪-π6-π12=π4>π12.故选A. 7.解析:因为a 2+3≥3,所以由A ∩B ={1}得a =1,即实数a 的值为1. 答案:1专题2 函 数1.解析:选D.因为函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且f (1)=-1,所以f (-1)=-f (1)=1,由-1≤f (x -2)≤1,得-1≤x -2≤1,所以1≤x ≤3,故选D.2.解析:选C.由f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1),得f (2-x )=(2-x )2-2(2-x )+a [e 2-x -1+e-(2-x )+1]=x 2-4x +4-4+2x +a (e 1-x +e x -1)=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1),所以f (2-x )=f (x ),即x =1为f (x )图象的对称轴.由题意,f (x )有唯一零点,所以f (x )的零点只能为x =1,即f (1)=12-2×1+a (e 1-1+e-1+1)=0,解得a =12.故选C.3.解析:选A.因为f (x )=3x-⎝⎛⎭⎫13x,且定义域为R ,所以f (-x )=3-x -⎝⎛⎭⎫13-x=⎝⎛⎭⎫13x-3x=-⎣⎡⎦⎤3x -⎝⎛⎭⎫13x =-f (x ),即函数f (x )是奇函数.又y =3x 在R 上是增函数,y =⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数,所以f (x )=3x-⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数.故选A.4.解析:选B.当0<m ≤1时,需满足1+m ≥(m -1)2,解得0≤m ≤3,故这时0<m ≤1.当m >1时,需满足(m -1)2≥1+m ,解得m ≥3或m ≤0,故这时m ≥3.综上可知,正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).5.解析:选B.f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a 24+b ,①当0≤-a 2≤1时,f (x )min =m =f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a24+b ,f (x )max =M =max{f (0),f (1)}=max{b ,1+a +b },所以M -m =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24,1+a +a 24与a 有关,与b 无关;②当-a2<0时,f (x )在[0,1]上单调递增,所以M -m =f (1)-f (0)=1+a 与a 有关,与b 无关;③当-a2>1时,f (x )在[0,1]上单调递减,所以M -m =f (0)-f (1)=-1-a 与a 有关,与b 无关.综上所述,M -m 与a 有关,但与b 无关,故选B.6.解析:选A.根据题意,作出f (x )的大致图象,如图所示.当x ≤1时,若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2+a 恒成立,结合图象,只需x 2-x +3≥-⎝⎛⎭⎫x 2+a ,即x 2-x 2+3+a ≥0,故对于方程x 2-x2+3+a =0,Δ=⎝⎛⎭⎫-122-4(3+a )≤0,解得a ≥-4716;当x >1时,若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2+a 恒成立,结合图象,只需x +2x ≥x 2+a ,即x 2+2x ≥a .又x 2+2x ≥2,当且仅当x 2=2x,即x =2时等号成立,所以a ≤2.综上,a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-4716,2. 7.解析:当x >0时,f (x )=2x >1恒成立,当x -12>0,即x >12时,f ⎝⎛⎭⎫x -12=2x -12>1,当x-12≤0,即0<x ≤12时, f ⎝⎛⎭⎫x -12=x +12>12,则不等式f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1恒成立.当x ≤0时,f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12=x +1+x +12=2x +32>1,所以-14<x ≤0.综上所述,x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 8.解析:由于f (x )∈[0,1),因此只需考虑1≤x <10的情况, 在此范围内,x ∈Q 且x ∉Z 时,设x =qp ,q ,p ∈N *,p ≥2且p ,q 互质,若lg x ∈Q ,则由lg x ∈(0,1),可设lg x =nm,m ,n ∈N *,m ≥2且m ,n 互质,因此10n m=q p ,则10n =⎝⎛⎭⎫q p m ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此lg x ∉Q ,故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等, 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点.画出函数草图(如图),图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x ∉D 的部分,且x =1处(lg x )′=1x ln 10=1ln 10<1,则在x =1附近仅有一个交点, 因此方程f (x )-lg x =0的解的个数为8.答案:89.解析:因为x ∈[1,4],所以x +4x∈[4,5],①当a ≤92时,f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5,符合题意;②当a >92时,f (x )max =|4-a |+a =2a -4=5,所以a =92(矛盾),故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,92. 答案:⎝⎛⎦⎤-∞,92 专题3 导数及其应用1.解析:选A.因为f (x )=(x 2+ax -1)e x -1,所以f ′(x )=(2x +a )e x -1+(x 2+ax -1)e x -1=[x 2+(a +2)x +a -1]e x -1.因为x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x-1的极值点,所以-2是x 2+(a+2)x +a -1=0的根,所以a =-1,f ′(x )=(x 2+x -2)·e x -1=(x +2)(x -1)e x -1.令f ′(x )>0,解得x <-2或x >1,令f ′(x )<0,解得-2<x <1,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x =1时,f (x )取得极小值,且f (x )极小值=f (1)=-1,选择A.2.解析:由f (x )=x 3-2x +e x -1e x ,得f (-x )=-x 3+2x +1e x -e x =-f (x ),所以f (x )是R 上的奇函数,又f ′(x )=3x 2-2+e x +1ex ≥3x 2-2+2e x ·1ex =3x 2≥0,当且仅当x =0时取等号,所以f (x )在其定义域内单调递增,所以不等式f (a -1)+f (2a 2)≤0⇔f (a -1)≤-f (2a 2)=f (-2a 2)⇔a -1≤-2a 2,解得-1≤a ≤12,故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-1,12. 答案:⎣⎡⎦⎤-1,12 3.解:(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f ′(x )=2a e 2x +(a -2)e x -1=(a e x -1)(2e x +1). (ⅰ)若a ≤0,则f ′(x )<0,所以f (x )在(-∞,+∞)单调递减. (ⅱ)若a >0,则由f ′(x )=0得x =-ln a .当x ∈(-∞,-ln a )时,f ′(x )<0;当x ∈(-ln a ,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-∞,-ln a )单调递减,在(-ln a ,+∞)单调递增.(2)(ⅰ)若a ≤0,由(1)知,f (x )至多有一个零点.(ⅱ)若a >0,由(1)知,当x =-ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (-ln a )=1-1a +ln a .①当a =1时,由于f (-ln a )=0,故f (x )只有一个零点;②当a ∈(1,+∞)时,由于1-1a +ln a >0,即f (-ln a )>0,故f (x )没有零点;③当a ∈(0,1)时,1-1a+ln a <0,即f (-ln a )<0.又f (-2)=a e -4+(a -2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f (x )在(-∞,-ln a )有一个零点. 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a -1,则f (n 0)=e n 0(a e n 0+a -2)-n 0>e n 0-n 0>2n 0-n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a -1>-ln a ,因此f (x )在(-ln a ,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). 4.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞).设g (x )=ax -a -ln x ,则f (x )=xg (x ),f (x )≥0等价于g (x )≥0.因为g (1)=0,g (x )≥0,故g ′(1)=0,而g ′(x )=a -1x,g ′(1)=a -1,得a =1.若a =1,则g ′(x )=1-1x .当0<x <1时,g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x >1时,g ′(x )>0,g (x )单调递增.所以x =1是g (x )的极小值点,故g (x )≥g (1)=0.综上,a =1.(2)由(1)知f (x )=x 2-x -x ln x ,f ′(x )=2x -2-ln x . 设h (x )=2x -2-ln x ,则h ′(x )=2-1x.当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,h ′(x )<0;当x ∈⎝⎛⎭⎫12,+∞时,h ′(x )>0.所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0,12单调递减,在⎝⎛⎭⎫12,+∞单调递增.又h (e -2)>0,h ⎝⎛⎭⎫12<0,h (1)=0,所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0,12有唯一零点x 0,在⎣⎡⎭⎫12,+∞有唯一零点1,且当x ∈(0,x 0)时,h (x )>0;当x ∈(x 0,1)时,h (x )<0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )>0.因为f ′(x )=h (x ),所以x =x 0是f (x )的唯一极大值点. 由f ′(x 0)=0得ln x 0=2(x 0-1),故f (x 0)=x 0(1-x 0). 由x 0∈⎝⎛⎭⎫0,12得f (x 0)<14. 因为x =x 0是f (x )在(0,1)的最大值点,由e -1∈(0,1),f ′(e -1)≠0得f (x 0)>f (e -1)=e -2. 所以e -2<f (x 0)<2-2.5.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞).①若a ≤0,因为f ⎝⎛⎭⎫12=-12+a ln 2<0,所以不满足题意; ②若a >0,由f ′(x )=1-a x =x -a x 知,当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,a )单调递减,在(a ,+∞)单调递增.故x =a 是f (x )在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f (1)=0,所以当且仅当a =1时,f (x )≥0. 故a =1.(2)由(1)知当x ∈(1,+∞)时,x -1-ln x >0. 令x =1+12n 得ln ⎝⎛⎭⎫1+12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1+12+ln ⎝⎛⎭⎫1+122+…+ln ⎝⎛⎭⎫1+12n <12+122+…+12n =1-12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1+12⎝⎛⎭⎫1+122…⎝⎛⎭⎫1+12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1+12⎝⎛⎭⎫1+122⎝⎛⎭⎫1+123>2,所以m 的最小值为3.6.解:(1)由f (x )=x 3+ax 2+bx +1,得f ′(x )=3x 2+2ax +b =3⎝⎛⎭⎫x +a 32+b -a 23. 当x =-a 3时,f ′(x )有极小值b -a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点,所以f ⎝⎛⎭⎫-a 3=-a 327+a 39-ab 3+1=0,又a >0,故b =2a 29+3a. 因为f (x )有极值,故f ′(x )=0有实根,从而b -a 23=19a (27-a 3)≤0,即a ≥3.当a =3时,f ′(x )>0(x ≠-1),故f (x )在R 上是增函数,f (x )没有极值;当a >3时,f ′(x )=0有两个相异的实根x 1=-a -a 2-3b 3,x 2=-a +a 2-3b3.列表如下:故f (12从而a >3.因此b =2a 29+3a ,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知,b a =2a a 9+3a a.设g (t )=2t 9+3t ,则g ′(t )=29-3t 2=2t 2-279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362,+∞时,g ′(t )>0,从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362,+∞上单调递增. 因为a >3,所以a a >33, 故g (a a )>g (33)=3,即ba> 3. 因此b 2>3a .(3)由(1)知,f (x )的极值点是x 1,x 2,且x 1+x 2=-23a ,x 21+x 22=4a 2-6b 9.从而f (x 1)+f (x 2)=x 31+ax 21+bx 1+1+x 32+ax 22+bx 2+1=x 13(3x 21+2ax 1+b )+x 23(3x 22+2ax 2+b )+13a (x 21+x 22)+23b (x 1+x 2)+2=4a 3-6ab 27-4ab 9+2=0.记f (x ),f ′(x )所有极值之和为h (a ),因为f ′(x )的极值为b -a 23=-19a 2+3a ,所以h (a )=-19a 2+3a ,a >3.因为h ′(a )=-29a -3a2<0,于是h (a )在(3,+∞)上单调递减. 因为h (6)=-72,于是h (a )≥h (6),故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6].专题4 三角函数与解三角形1.解析:选D.易知C 1:y =cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2的图象,再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度,可得函数y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π12+π2=sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3的图象,即曲线C 2,故选D. 2.解析:选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A 正确;当x =8π3时,x +π3=3π,所以cos ⎝⎛⎭⎫x +π3=-1,所以B 正确;f (x +π)=cos ⎝⎛⎭⎫x +π+π3=cos ⎝⎛⎭⎫x +4π3,当x =π6时,x +4π3=3π2,所以f (x +π)=0,所以C 正确;函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3在⎝⎛⎭⎫π2,23π上单调递减,在⎝⎛⎭⎫23π,π上单调递增,故D 不正确.所以选D. 3.解析:选A.由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b .4.解析:选A.由f ⎝⎛⎭⎫5π8=2,得5π8ω+φ=π2+2k π(k ∈Z ),① 由f ⎝⎛⎭⎫11π8=0,得11π8ω+φ=k ′π(k ′∈Z ),② 由①②得ω=-23+43(k ′-2k ),又最小正周期T =2πω>2π,所以0<ω<1,ω=23,又|φ|<π,将ω=23代入①得φ=π12.选项A 符合.5.解析:依题意,f (x )=sin 2x +3cos x -34=-cos 2x +3cos x +14=-⎝⎛⎭⎫cos x -322+1,因为x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,所以cos x ∈[0,1],因此当cos x =32时,f (x )max =1. 答案:16.解析:在△ABC 中,AB =AC =4,BC =2,由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =42+22-422×4×2=14,则sin ∠ABC =sin ∠CBD =154,所以S △BDC =12BD ·BC sin ∠CBD =152.因为BD =BC =2,所以∠CDB =12∠ABC ,则cos ∠CDB =cos ∠ABC +12=104.。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)一、单选题1.记凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+( ) A .2π B .πC .32π D .2π2.用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ,在验证1n =时,左边的代数式为( ) A .111234++ B .1123+C .12D .13.两个正方体1M 、2M ,棱长分别a 、b ,则对于正方体1M 、2M 有:棱长的比为a:b ,表面积的比为22:a b ,体积比为33:a b .我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”,下列给出的几何体中是“相似体”的是( ) A .两个球B .两个长方体C .两个圆柱D .两个圆锥4.用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时,从n k =到1n k =+,不等式左边需添加的项是( ) A .111313233k k k +++++ B .11113132331k k k k ++-++++ C .131k + D .133k + 5.现有下列四个命题: 甲:直线l 经过点(0,1)-; 乙:直线l 经过点(1,0); 丙:直线l 经过点(1,1)-; 丁:直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题,则假命题是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁6.用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈,则当1n k =+时,等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A .21k +B .2(1)k +C .2(2)k +D .222(1)(2)(1)k k k ++++++7.已知数列{}n a 中,11a =,()*111nn na a n a +=+∈+N ,用数学归纳法证明:1n n a a +<,在验证1n =成立时,不等式右边计算所得结果是( )A .12B .1C .32D .28.设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为()f k ,则()1f k +与()f k 的关系是( ) A .()()11f k f k k +=++ B .()()11f k f k k +=+- C .()()1f k f k k +=+D .()()12f k f k k +=++9.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为 ( ) A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲D .甲、丙、乙10.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数列中第2 020个数是( ) A .3976 B .3974 C .3978D .3973二、填空题11.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++(n 为正整数)时,第一步应验证的等式是______.12.用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +,且n ≥2)”时,第一步要证明的结论是________.13.用反证法证明“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”时,假设应为_______.14.已知等差数列{}()*n a n N ∈中,若10100a =,则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立;运用类比思想方法,可知在等比数列{}()*n b n N ∈中,若1001b =,则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15.(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理;(2)把(1)中的定理写成“已知:...,求证:...”的形式,并用反证法证明.16.把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应,类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中,有没有错误?如果有错误,错在哪里? (1)求证:当N*n ∈时,1=+n n .证明:假设当(*)n k k N =∈时,等式成立,即1k k =+. 则当1n k =+时,左边1(11)k k =+=++=右边. 所以当1n k =+时,等式也成立.由此得出,对任何N*n ∈,等式1=+n n 都成立. (2)用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=. 证明,∈当1n =时,左边=11S a =,右边1a =,等式成立. ∈假设当(*)n k k N =∈时,等式成立,即1()2k k k a a S +=.则当1n k =+时, 11231k k k S a a a x a a ++=+++++, 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++.上面两式相加并除以2,可得 111(1)()2k k k a a S ++++=,即当1n k =+时,等式也成立.由∈∈可知,等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18.一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+? 其中问号处由于年代久远,只能看出它是关于n 的二次三项式,具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式,并用数学归纳法证明.参考答案与解析:1.B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形,从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k +1边形时, 增加了一个三角形,故f (k +1)=f (k )+π. 故选:B 2.A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解:1111231n n n ++++++代入1n =为:111234++. 故选:A 3.A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ,r . 这两个球的半径比为::R r , 表面积比为:22224:4:R r R r ππ=, 体积比为:333344::33R r R r ππ=, 所以,两个球是相似体. 故选:A . 4.B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项,从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时,所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++, 当1n k =+时,要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++, 故需添加的项为:11113132331k k k k ++-++++, 故选:B.【点睛】本题考查数学归纳法,应用数学归纳法时,要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系,必要时和式的开端和结尾处需多写几项,便于寻找差异.本题属于基础题. 5.C【分析】设(0,1)A -,(1,0)B ,(1,1)C -,计算AB k 和BC k ,可判断三点共线,可知假命题是甲、乙、丙中的一个,再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -,(1,0)B ,(1,1)C -则10101AB k --==-,101112BC k -==---,因为AB BC k k ≠,所以,,A B C 三点不共线,所以假命题必是甲、乙、丙中的一个,丁是真命题,即直线l 的斜率大于0, 而0AB k >,0BC k <,0AC k <,故丙是假命题. 故选:C. 6.D【分析】由n =k+1时,等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时,等式左端2123k =++++,当n =k+1时,等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++,增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++.故选:D . 7.C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时,不等式右边为1211311122a a a =+=+=+. 故选:C. 8.C【分析】考虑当1n k =+时,任取其中1条直线,记为l ,由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行,任何三条不共点,所以要多出k 个交点,从而得出结果. 【详解】当1n k =+时,任取其中1条直线,记为l , 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k , 因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点); 又因为任何三条直线不过同一点, 所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同, 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+, 故选:C 9.A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A .【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查. 10.A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数,前n 次共取(1)2n n +个数,且第n 次取的最后一个数为n 2,然后算出前63次共取了2016个数,从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得,奇数次取奇数个数,偶数次取偶数个数,前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数,且第n 次取的最后一个数为n 2, 当63n =时,()6363120162⨯+=, 即前63次共取了2016个数,第63次取的数都为奇数,并且最后一个数为2633969=, 即第2 016个数为3 969,所以当n =64时,依次取3 970,3 972,3 974,3 976,…,所以第2 020个数是3 976. 故选:A. 11.11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤,令1n =即可得出结论. 【详解】依题意,当1n =时, 1112121-=⨯⨯, 即11122-=, 故答案为:11122-=.12.1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立,即1+111222342+++>. 故答案为:1112212342++++> 13.a ,b ,c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是,应先假设命题的否定成立,所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是,应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”的否定是:“a ,b ,c 中至少有两个偶数”,所以用反证法证明“自然数a ,b ,c 中至多有一个偶数”时,假设应为“a ,b ,c 中至少有两个偶数”, 故答案为:a ,b ,c 中至少有两个偶数. 14.()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==,等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=,类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中,12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得, 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈,且1001b =,有等比数列的性质得,211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈,可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为:()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质,结合类比的规则,和类比积,加类比乘,得出结论,属于中档题.15.(1)见解析; (2)见解析.【分析】(1)将判定定理用文字表述即可;(2)根据(1)中的前提和结论可得定理的形式,利用反证法可证该结论.【详解】(1)异面直线的判定定理:平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. (2)(1)中的定理写成“已知:...,求证:...”的形式如下: ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉,求证:,PQ l 为异面直线.证明:若,PQ l 不为异面直线,则,PQ l 共面于β,故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉,故,αβ为同一平面,而P β∈,故P α∈, 这与P α∉矛盾,故,PQ l 为异面直线.16.正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面,从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应,类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为:正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17.(1)有错误,理由见解析;(2)有错误,理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步,∈证明当1n =时,结论成立,∈假设当n k =时,结论成立,当1n k =+时,应用归纳假设,证明1n k =+时,命题也成立,根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】(1)有错误,错误在于没有证明第(1)步,即没有证明1n =时等式成立;(2)有错误,错误在于证明1n k =+时,没有应用n k =时的假设,而是应用了倒序相加法,这不符合数学归纳法的证明过程. 18.222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++,证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f (1),f (2),f (3);假设存在常数a ,b ,c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立,由f (1),f (2),f (3)的值可求得a ,b ,c ;再用数学归纳法证明即可.【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++, f ∴(1)2124=⋅=,f (2)22122322=⋅+⋅=, f (3)22212233470⋅+⋅+⋅=; 假设存在常数a ,b ,c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立, 则f (1)12()412a b c ⨯=++=, 24a b c ∴++=∈,同理,由f (2)22=得4244a b c ++=∈, 由f (3)70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈,解得3a =,11b =,10c =.2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++. 证明:1︒当1n =时,显然成立;2︒假设n k =时,2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=, 则1n k =+时,2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=,即1n k =+时,结论也成立.综合1︒,2︒知,存在常数3a =,11b =,10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
第十四章推理与证明高考导航考纲要求备考策略1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用;2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的基本模式:“三段论”;能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法;了解分析法与综合法的思考过程、特点.4.了解反证法的思考过程、特点.5.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.推理与证明是数学的基本思维过程,高考中一般以选择或填空的形式考查归纳推理和类比推理,有时也以解答题的形式考查演绎推理、反证法、数学归纳法等.复习时采用以下应对策略:1.归纳和类比是两种重要的合情推理模式,故在复习中,以掌握基础知识、基本方法为出发点,切不可盲目加大难度;要夯实基础,努力完善自己的认知结构.2.演绎推理是数学中严格证明的工具.在完成详细的证明之前,先要推测证明的思路.复习时要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升,用推理方法培养自己解决问题的意识.3.养成良好思维习惯,要重视对合情推理的训练,加强合情推理与演绎推理的综合应用.4.结合立体几何证明深刻理解综合法的思考过程、特点和论证格式,通过不等式的证明领会分析法、数学归纳法的原理等.,知识网络14.1 合情推理与演绎推理考点诠释重点:利用归纳与类比进行推理,利用“三段论”进行推理与证明. 难点:利用归纳与类比推理来发现结论并形成猜想命题.典例精析题型一 运用归纳推理发现一般性结论【例1】观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( )A.28B.76C.123D.199 【思路分析】先观察各等式的变化规律,再归纳出一般结论.【解析】C.记a n +b n =f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7; f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现,f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76; f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.【方法归纳】归纳分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.归纳推理的一些常见形式:一是具有共同特征型,二是递推型,三是循环型(周期性).【举一反三】1.将正整数1,2,3,……,n ,……,排成数表如图所示,即第一行3个数,第二行6个数,且后一行比前一行多3个数,若第i 行、第j 列的数可用(i ,j )表示,则2 016可表示为 (37,18) .【解析】因为第一行有a 1=3个数,第二行有a 2=6个数, 所以每一行的数字个数组成以3为首项,3为公差的等差数列,所以第n 行有a n =3+3(n -1)=3n 个数,由求和公式可得前n 行共n (3+3n )2个数,经检验可得第36行的第1个数为36×(3+3×36)2=1 998,按表中的规律可得第37行共3×37=111个数,第一个为1999,所以2016为第37行的第18个数,故答案为(37,18).题型二 运用类比推理拓展新知识【例2】(1)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①若“a ,b ∈R ,则a -b =0⇒a =b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b =0⇒a =b ”; ②若“a ,b ,c ,d ∈R ,则复数a +b i =c +d i ⇒a =c ,b =d ”类比推出“若a ,b ,c ,d ∈Q ,则a +b 2=c +d 2⇒a =c ,b =d ”;③若“a ,b ∈R ,则a -b >0⇒a >b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b >0⇒a >b ”.其中类比得到的结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为P a ,P b ,P c ,我们可以得到结论:P a h a +P b h b +P ch c=1.把它类比到空间,写出三棱锥中的类似结论.【思路分析】(1)利用实数、复数、有理数的特点可作出判断;(2)三角形类比空间中的四面体(三棱锥),三条边上的高类比四个面上的高,点到三边的距离类比点到平面的距离,根据此类比情况求解.【解析】(1)C.当a ,b ∈R 时,a -b =0得a =b ;当a ,b ∈C 时,a -b =0,即两个复数相等,故有a =b 成立,故①正确.对于②中,a +b i =c +d i 显然有实部相等,虚部也相等成立,当a ,b ∈Q 时,a +b 2=c +d 2,则(a -c )+(b -d )2=0是有理数.故a -c =0同时b -d =0,即a =c ,b =d ,故②正确.③显然错误,因为两个复数如果不全是实数显然不能比较大小.(2)设h a ,h b ,h c ,h d 分别是三棱锥ABCD 四个面上的高,P 为三棱锥ABCD 内任一点,P 到相应四个面的距离分别为P a ,P b ,P c ,P d .于是我们可以得到结论:P a h a +P b h b +P c h c +P dh d=1.【方法归纳】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下:【举一反三】2.椭圆中有如下结论:椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2+y b 2=0上.类比上述结论得到正确的结论:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)上斜率为1的弦的中点在直线上.【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为双曲线上斜率为1的弦的两端点,则y 1-y 2x 1-x 2=1,且x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1, 两式相减得:(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2-(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0,即x 1+x 2a 2-y 1+y 2b2=0,设A ,B 的中点为(x ,y ),则x a 2-yb2=0.题型三 运用“三段论”进行演绎推理【例3】(1)证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数; (2)当x ∈[-5,-2]时,f (x )是增函数还是减函数?【思路分析】(1)证明本题的大前提是增函数的定义,即增函数f (x )满足:在给定区间内任取自变量的两个值x 1,x 2,且x 1< x 2,f (x 1)<f (x 2),小前提是函数f (x )=-x 2+2x ,x ∈(-∞,1],结论是满足增函数定义;(2)关键是[-5,-2]与f (x )的增区间或减区间的关系.【解析】(1)证明:任取x 1,x 2∈(-∞,1],且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=(x 2-x 1)(x 2+x 1-2), 因为x 1<x 2≤1,所以x 2+x 1-2<0, 因为f (x 1)-f (x 2)<0,f (x 1)<f (x 2), 于是,根据“三段论”可知, f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数. (2)因为f (x )在(-∞,1]上是增函数, 而[-5,-2]是区间(-∞,1]的子区间, 所以f (x )在[-5,-2]上是增函数.【方法归纳】演绎推理是推理证明的主要途径,而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式,在高考中以证明题出现的频率较大.用“三段论”进行证明的关键是找出正确的大前提与小前提.【举一反三】3.已知函数f (x )=ln ax -x -a x(a ≠0).(1)求此函数的单调区间及最值;(2)求证:对于任意正整数n ,均有1+12+13+…+1n ≥ln e nn !.【解析】(1)由题意f ′(x )=x -ax 2. 当a >0时,函数f (x )的定义域为(0,+∞),此时函数在(0,a )上是减函数,在(a ,+∞)上是增函数, f min (x )=f (a )=ln a 2,无最大值.当a <0时,函数f (x )的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,a )上是减函数,在(a,0)上是增函数, f min (x )=f (a )=ln a 2,无最大值.(2)证明:取a =1,由(1)知,f (x )=ln x -x -1x ≥f (1)=0,故1x ≥1-ln x =ln ex,取x =1,2,3,…,n ,则1+12+13+…+1n ≥ln e +ln e 2+…+ln e n =ln e nn !.体验高考(2015山东)观察下列各式:C 01=40; C 03+C 13=41; C 05+C 15+C 25=42;C07+C17+C27+C37=43;……照此规律,当n∈N*时,=.C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+C n-12n-1【解析】4n-1.由题知C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+C n-1=4n-1.2n-1【举一反三】(2015福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1 101 101,那么利用上述校验方程组可判定k等于5.【解析】设a,b,c,d∈{0,1},在规定运算法则下满足:a b c d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1111=0,②2个1:1100=0,③0个1:0000=0,因此,错码1 101 101通过校验方程组可得:x5x6x7=1101≠0;xx3x6x7=1001=0;xx 1x3x5x7=1011≠0.所以错码可能出现在x1,x4,x5上.若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x1为错码,或x4为错码,经检验均不合题意.综上分析,x5为错码,故k=5.14.2 直接证明与间接证明考点诠释重点:能运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题.难点:根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题.典例精析题型一运用综合法证明【例1】证明不等式:x2+y2+z2≥xy+yz+xz.【思路分析】所要证明的不等式左右两边是和的形式,利用不等式a2+b2≥2ab,然后再求和即可.【证明】因为x 2+y 2≥2xy ,y 2+z 2≥2yz ,x 2+z 2≥2xz , 所以2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2yz +2xz , 所以x 2+y 2+z 2≥xy +yz +xz .【方法归纳】在用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从已知逐渐引出结论.【举一反三】1.已知x +y +z =1,求证:x 2+y 2+z 2≥13.【证明】因为x 2+y 2≥2xy ,x 2+z 2≥2xz ,y 2+z 2≥2yz , 所以2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz .所以3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz .所以3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z )2=1.所以x 2+y 2+z 2≥13.题型二 运用分析法证明【例2】已知函数f (x )=tan x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,若x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且x 1≠x 2,求证:12[f (x 1)+f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22. 【思路分析】利用分析法.【证明】要证12[f (x 1)+f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22, 即证明12(tan x 1+tan x 2)>tan x 1+x 22,只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1+sin x 2cos x 2>tan x 1+x 22,只需证明sin(x 1+x 2)2cos x 1cos x 2>sin(x 1+x 2)1+cos(x 1+x 2).由于x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0,π2,故x 1+x 2∈(0,π). 所以cos x 1cos x 2>0,sin(x 1+x 2)>0,1+cos(x 1+x 2)>0, 故只需证明1+cos(x 1+x 2)>2cos x 1cos x 2, 即证1+cos x 1cos x 2-sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2, 即证cos(x 1-x 2)<1. 由x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0,π2,x 1≠x 2,知上式显然成立, 因此,12[f (x 1)+f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22成立. 【方法归纳】(1)应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径;(2)应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 【举一反三】2.设a ,b 为正数,且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b +ab 2.【证明】要证a 3+b 3>a 2b +ab 2成立, 只需证(a +b )(a 2-ab +b 2)>ab (a +b )成立. 又因为a +b >0,只需证a 2-ab +b 2>ab 成立.只需证a 2-2ab +b 2>0成立, 即需证(a -b )2>0成立.而依题设a ≠b ,则(a -b )2>0显然成立,由此命题得证. 题型三 运用反证法证明【例3】已知a >0,b >0,a +b >2,求证:1+a b ,b +1a 中至少有一个小于2.【思路分析】用反证法证明.【证明】假设1+b a ,1+a b 都不小于2,则1+b a ≥2,1+ab ≥2.因为a >0,b >0,所以1+b ≥2a,1+a ≥2b , 所以1+1+a +b ≥2(a +b ),即2≥a +b . 这与已知a +b >2矛盾,故假设不成立. 即1+b a ,1+ab中至少有一个小于2. 【方法归纳】一般以下题型用反证法:①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;②否定命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题,由于已知或结论涉及无限个元素,用直接证明形式比较困难而往往用反证法.【举一反三】3.已知数列{a n }满足:a 1=12,3(1+a n +1)1-a n =2(1+a n )1-a n +1,a n a n +1<0(n ≥1);数列{b n }满足:b n =a 2n +1-a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)证明:数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.【解析】(1)由题意可知,1-a 2n +1=23(1-a 2n ).令c n =1-a 2n ,则c n +1=23c n . 又c 1=1-a 21=34,则数列{c n }是首项为c 1=34,公比为23的等比数列,即c n=34·⎝⎛⎭⎫23n -1,故1-a 2n =34·⎝⎛⎭⎫23n -1⇒a 2n =1-34·⎝⎛⎭⎫23n -1. 又a 1=12>0,a n a n +1<0,故b n =a 2n +1-a 2n ==(2)证明:假设数列{b n }存在三项b r ,b s ,b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列,由于数列{b n }是首项为14,公比为23的等比数列,于是有b r >b s >b t ,则只可能有2b s =b r +b t 成立.所以2·14·⎝⎛⎭⎫23s -1=14·⎝⎛⎭⎫23r -1+14·⎝⎛⎭⎫23t -1,两边同乘3t -121-r ,化简得3t -r +2t -r =2·2s -r 3t -s .由于r <s <t ,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列.体验高考(2015福建)已知函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=kx (k ∈R ).(1)证明:当x >0时,f (x )<x ;(2)证明:当k <1时,存在x 0>0,使得对任意的x ∈(0,x 0),恒有f (x )>g (x );(3)确定k 的所有可能取值,使得存在t >0,对任意的x ∈(0,t ),恒有|f (x )-g (x )|<x 2. 【解析】(1)证明:令F (x )=f (x )-x =ln(1+x )-x ,x ∈[0,+∞), 则有F ′(x )=11+x -1=-x x +1, 当x ∈(0,+∞)时,F ′(x )<0, 所以F (x )在(0,+∞)上单调递减.故当x >0时,F (x )<F (0)=0,即当x >0时,f (x )<x . (2)证明:令G (x )=f (x )-g (x )=ln(1+x )-kx ,x ∈[0,+∞), 则有G ′(x )=1x +1-k =-kx +(1-k )x +1. 当k ≤0时,G ′(x )>0,故G (x )在(0,+∞)上单调递增,G (x )>G (0)=0,故任意正实数x 0均满足题意.当0<k <1时,令G ′(x )=0,得x =1-k k =1k-1>0,取x 0=1k -1,对任意x ∈(0,x 0),有G ′(x )>0,从而G (x )在(0,x 0)上单调递增,所以G (x )>G (0)=0, 即f (x )>g (x ).综上,当k <1时,总存在x 0>0,使得对任意x ∈(0,x 0), 恒有f (x )>g (x ).(3)当k >1时,由(1)知,∀x ∈(0,+∞),g (x )>x >f (x ), 故|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=kx -ln(1+x )>kx -x =(k -1)x . 令(k -1)x >x 2,解得0<x <k -1.从而得到,当k >1时,对于x ∈(0,k -1),恒有|f (x )-g (x )|>x 2,故满足题意的t 不存在.当k <1时,取k 1=k +12,从而k <k 1<1,由(2)知,存在x 0>0,使得对任意的x ∈(0,x 0),f (x )>k 1x >kx =g (x ),此时|f (x )-g (x )|=f (x )-g (x )>(k 1-k )x =1-k2x .令1-k 2x >x 2,解得0<x <1-k2,此时f (x )-g (x )>x 2.记x 0与1-k 2中的较小者为x 1,当x ∈(0,x 1)时,恒有|f (x )-g (x )|>x 2,故满足题意的t 不存在.当k =1时,由(1)知,x >0时,|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=x -ln(1+x ), 令M (x )=x -ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞), 则有M ′(x )=1-11+x -2x =-2x 2-x x +1.当x >0时,M ′(x )<0,所以M (x )在[0,+∞)上单调递减,故M (x )<M (0)=0. 故当x >0时,恒有|f (x )-g (x )|<x 2,此时,任意正实数t 均满足题意. 综上,k =1.【举一反三】(2015湖北)已知数列{a n }的各项均为正数,b n =n ⎝⎛⎭⎫1+1n na n (n ∈N *),e 为自然对数的底数.(1)求函数f (x )=1+x -e x 的单调区间,并比较⎝⎛⎭⎫1+1n n与e 的大小; (2)计算b 1a 1,b 1b 2a 1a 2,b 1b 2b 3a 1a 2a 3,由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式,并给出证明;(3)令c n =(a 1a 2…a n ),数列{a n },{c n }的前n 项和分别记为S n ,T n ,证明:T n <e S n . 【解析】(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f ′(x )=1-e x . 当f ′(x )>0,即x <0时,f (x )单调递增; 当f ′(x )<0,即x >0时,f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当x >0时,f (x )<f (0)=0,即1+x <e x .令x =1n ,得1+1n<e ,即⎝⎛⎭⎫1+1n n <e.① (2)b 1a 1=1×⎝⎛⎭⎫1+111=1+1=2; b 1b 2a 1a 2=b 1a 1·b 2a 2=2×2×⎝⎛⎭⎫1+122=(2+1)2=32; b 1b 2b 3a 1a 2a 3=b 1b 2a 1a 2·b 3a 3=32×3×⎝⎛⎭⎫1+133=(3+1)3=43. 由此推测:b 1b 2…b na 1a 2…a n =(n +1)n .②下面用数学归纳法证明②.(Ⅰ)当n =1时,左边=右边=2,②成立.(Ⅱ)假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时,②成立,即b 1b 2…b ka 1a 2…a k=(k +1)k .当n =k +1时,b k +1=(k +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k +1k +1a k +1,由归纳假设可得b 1b 2…b k b k +1a 1a 2…a k a k +1=b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k +1a k +1=(k +1)k(k +1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k +1k +1=(k +2)k +1, 所以当n =k +1时,②也成立.根据(Ⅰ)(Ⅱ),可知②对一切正整数n 都成立.(3)证明:由c n 的定义,②,算术-几何平均不等式,b n 的定义及①得≤b 11×2+b 1+b 22×3+b 1+b 2+b 33×4+…+b 1+b 2+…+b n n (n +1)=b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2+12×3+…+1n (n +1)+b 2⎣⎡12×3+13×4+…+⎦⎥⎤1n (n +1)+…+b n ·1n (n +1)=b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1+b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1n +1+…+b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1<b 11+b 22+…+b n n=⎝⎛⎭⎫1+111a 1+⎝⎛⎭⎫1+122a 2+…+⎝⎛⎭⎫1+1n n a n <e a 1+e a 2+…+e a n =e S n ,即T n <e S n .14.3 数学归纳法考点诠释重点:数学归纳法的基本思想与证明步骤;运用数学归纳法证明与自然数n (n ∈N *)有关的数学命题.难点:理解数学归纳法的思维实质,特别是第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.典例精析题型一 用数学归纳法证明等式或不等式【例1】是否存在常数a ,b ,c ,使等式12+22+32+…+n 2+(n -1)2+…+22+12=an (bn 2+c )对于一切n ∈N *都成立?若存在,求出a ,b ,c 并证明;若不存在,试说明理由.【思路分析】对于存在性问题,先假设存在,对n 取特殊数值1,2,3时得三个方程,解出a ,b ,c ,然后利用数学归纳法证明.【解析】假设存在a ,b ,c 使12+22+32+…+n 2+(n -1)2+…+22+12=an (bn 2+c )对于一切n ∈N *都成立.当n =1时,a (b +c )=1; 当n =2时,2a (4b +c )=6;当n =3时,3a (9b +c )=19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a (b +c )=1,a (4b +c )=3,3a (9b +c )=19,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =13,b =2,c =1.证明如下:当n =1时,显然成立; 假设n =k (k ∈N *,k ≥1)时等式成立,即12+22+32+…+k 2+(k -1)2+…+22+12=13k (2k 2+1); 则当n =k +1时,12+22+32+…+k 2+(k +1)2+k 2+(k -1)2+…+22+12=13k (2k 2+1)+(k +1)2+k 2=13k (2k 2+3k +1)+(k +1)2=13k (2k +1)(k +1)+(k +1)2=13(k +1)(2k 2+4k +3)=13(k +1)[2(k +1)2+1].因此存在a =13,b =2,c =1,使等式对一切n ∈N *都成立. 【方法归纳】 用数学归纳法证明等式(或不等式),关键点在于“先看项”,弄清等式(或不等式)两边各有多少项,初始值n 是多少.同时观察由n =k 到n =k +1,等式(或不等式)两边变化的项,并利用归纳假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.【举一反三】1.函数f (x )=x 2-2x -3.定义数列{x n }如下:x 1=2,x n +1是过两点P (4,5),Q n (x n ,f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标.(1)证明:2≤x n <x n +1<3;(2)求数列{x n }的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明:2≤x n <x n +1<3.①当n =1时,直线PQ 1的方程为y -5=f (2)-52-4(x -4),令y =0,解得x 2=114,又x 1=2,所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时,结论成立,即2≤x k <x k +1<3.当n =k +1时,x k +1=3+4x k 2+x k. 直线PQ k +1的方程为y -5=f (x k +1)-5x k +1-4(x -4),令y =0,解得x k +2=3+4x k +12+x k +1. 由归纳假设知x k +2=3+4x k +12+x k +1=4-52+x k +1<4-52+3=3; x k +2-x k +1=(3-x k +1)(1+x k +1)2+x k +1>0,即x k +1<x k +2. 所以2≤x k +1<x k +2<3,即当n =k +1时,结论成立.所以,对任意的正整数n,2≤x n <x n +1<3.(2)由(1)及题意得x n +1=3+4x n 2+x n. 设b n =x n -3,则1b n +1=5b n +1,1b n +1+14=5⎝⎛⎭⎫1b n +14, 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n +14是首项为-34,公比为5的等比数列. 因此1b n +14=-34·5n -1,即b n =-43·5n -1+1, 所以数列{x n }的通项公式为x n =3-43·5n -1+1. 题型二 用数学归纳法证明整除性问题【例2】 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,是否存在自然数m ,使得对任意的n ∈N *,都有m 整除f (n )?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.【思路分析】首先取n =1,2,3,计算出f (1),f (2),f (3),观察猜想出最大的m 值,然后利用数学归纳法证明.【解析】由f (1)=36,f (2)=108,f (3)=360,猜想:f (n )能被36整除,下面用数学归纳法证明.①当n =1时,结论显然成立;②假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时结论成立,即f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除.则当n =k +1时,f (k +1)=(2k +9)·3k +1+9=3[(2k +7)·3k +9]+18(3k -1-1),由假设知3[(2k +7)·3k +9]能被36 整除,又3k -1-1是偶数,故18(3k -1-1)也能被36 整除.即n =k +1时结论也成立.故由①②可知,对任意正整数n 都有f (n )能被36整除.由f (1)=36知,36是整除f (n )的最大值,即存在自然数m ,使得对任意的n ∈N *,都有m 整除f (n ),且最大的m 值是36.【方法归纳】与正整数n 有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明.在证明n =k +1结论也成立时,要注意“凑形”,即凑出归纳假设的形式,以便于充分利用归纳假设的条件.【举一反三】2.用数学归纳法证明:(3n +1)·7n -1(n ∈N *)能被9整除.【证明】(1)当n =1时,(3×1+1)×7-1=27能被9整除,命题成立;(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时命题成立,即(3k +1)·7k -1能被9整除,则当n =k +1时,[3(k +1)+1]·7k +1-1=(3k +1)·7k +1-1+3·7k +1=(3k +1)·7k -1+6(3k +1)·7k +3·7k +1=(3k +1)·7k -1+9·(2k +3)·7k .由于(3k +1)·7k -1和9·(2k +3)·7k 都能被9整除,所以(3k +1)·7k -1+9·(2k +3)·7k 能被9整除,即当n =k +1时,命题也成立,故(3n +1)·7n -1(n ∈N *)能被9整除.题型三 数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】在各项为正的数列{a n }中,数列的前n 项和S n 满足S n =12⎝⎛⎭⎫a n +1a n . (1)求a 1,a 2,a 3;(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.【思路分析】(1)数列{a n }的各项均为正数,且S n =12⎝⎛⎭⎫a n +1a n ,所以可根据解方程求出a 1,a 2,a 3;(2)观察a 1,a 2,a 3,猜想出{a n }的通项公式a n ,然后再证明.【解析】(1)由S 1=a 1=12⎝⎛⎭⎫a 1+1a 1,得a 21=1. 因为a n >0,所以a 1=1,由S 2=a 1+a 2=12⎝⎛⎭⎫a 2+1a 2,得a 22+2a 2-1=0, 所以a 2=2-1.又由S 3=a 1+a 2+a 3=12⎝⎛⎭⎫a 3+1a 3, 得a 23+22a 3-1=0,所以a 3=3- 2.(2)猜想a n =n -n -1(n ∈N *).证明:①当n =1时,a 1=1=1-0,猜想成立.②假设当n =k (k ∈N *,且k ≥1)时猜想成立,即a k =k -k -1,则当n =k +1时,a k +1=S k +1-S k =12⎝⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-12⎝⎛⎭⎫a k +1a k , 即a k +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-12⎝ ⎛ k -k -1+ ⎭⎪⎫1k -k -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k +1+1a k +1-k , 所以a 2k +1+2ka k +1-1=0,所以a k +1=k +1-k . 即n =k +1时猜想成立.由①②知,a n =n -n -1(n ∈N *).【方法归纳】解“归纳—猜想—证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础;(2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论;(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【举一反三】3.已知等差数列{a n }的公差d 大于0,且a 2,a 5是方程x 2-12x +27=0的两根,数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n =1-12b n . (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试比较1b n与S n +1的大小,并说明理由.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 5=12,a 2a 5=27. 又因为{a n }的公差大于0,所以a 5>a 2,所以a 2=3,a 5=9.所以d =a 5-a 23=9-33=2,a 1=1. 因为T n =1-12b n ,b 1=23, 当n ≥2时,T n -1=1-12b n -1, 因为b n =T n -T n -1=1-12b n -⎝⎛⎭⎫1-12b n -1, 化简得b n =13b n -1, 所以{b n }是首项为23,公比为13的等比数列, 即b n =23·(13)n -1=23n . 所以a n =2n -1,b n =23n . (2)因为S n =1+(2n -1)2·n =n 2, 所以S n +1=(n +1)2,以下比较1b n与S n +1的大小: 当n =1时,1b 1=32,S 2=4,所以1b 1<S 2; 当n =2时,1b 2=92,S 3=9,所以1b 2<S 3; 当n =3时,1b 3=272,S 4=16,则1b 3<S 4; 当n =4时,1b 4=812,S 5=25,得1b 4>S 5. 猜想:当n ≥4时,1b n>S n +1. 下面用数学归纳法证明:①当n =4时,不等式成立;②假设当n =k (k ∈N *,k ≥4)时,1b k>S k +1, 即3k 2>(k +1)2,那么,当n =k +1时, 1b k +1=3k +12=3·3k 2>3(k +1)2=3k 2+6k +3=(k 2+4k +4)+2k 2+2k -1>[(k +1)+1]2=S (k +1)+1, 所以n =k +1时,1b n>S n +1也成立. 由①②可知,n ∈N *,n ≥4时,1b n>S n +1成立. 综上所述,当n =1,2,3时,1b n<S n +1; 当n ≥4时,1b n >S n +1.体验高考(2015江苏)已知集合X ={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n },令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.【解析】(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n +2+⎝⎛⎭⎫n 2+n 3,n =6t ,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -13,n =6t +1,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -23,n =6t +2,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n 3,n =6t +3,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -13,n =6t +4,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -23,n =6t +5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明: ①当n =6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立; ②假设n =k (k ≥6)时结论成立,那么n =k +1时,S k +1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k +1),(2,k +1),(3,k +1)中产生,分以下情形讨论:1)若k +1=6t ,则k =6(t -1)+5,此时有f (k +1)=f (k )+3=k +2+k -12+k -23+3=(k +1)+2+k +12+k +13,结论成立; 2)若k +1=6t +1,则k =6t ,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k 3+1 =(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-13,结论成立; 3)若k +1=6t +2,则k =6t +1,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k -12+k -13+2 =(k +1)+2+k +12+(k +1)-23,结论成立; 4)若k +1=6t +3,则k =6t +2,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k 2+k -23+2=(k +1)+2+(k +1)-12+k +13,结论成立; 5)若k +1=6t +4,则k =6t +3,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k -12+k 3+2 =(k +1)+2+k +12+(k +1)-13,结论成立; 6)若k +1=6t +5,则k =6t +4,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k -13+1 =(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-23,结论成立. 综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.【举一反三】(2015北京)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n =1,2,…).记集合M ={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M 的元素个数的最大值.【解析】(1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数.所以不妨设a k 是3的倍数.由a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n =1,2,…)可归纳证明对任意n ≥k ,a n 是3的倍数. 如果k =1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k >1,因为a k =2a k -1或a k =2a k -1-36,所以2a k -1是3的倍数,于是a k -1是3的倍数.类似可得,a k -2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18,可归纳证明a n ≤36(n =2,3,…). 因为a 1是正整数,a 2=⎩⎪⎨⎪⎧2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数, 从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 是3的倍数,因此,当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}.这时M 的无素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}.这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.。
三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析第十四章 推理与证明一、选择题1. 【2015高考某某,理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( )A .大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C .【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的,即3n =或4n =时命题成立,由此可排除A 、B 、D ,故选C .【考点定位】空间想象能力,推理能力,含有量词命题真假的判断.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,推理求解能力和含有量词命题真假的判断,此题属于中高档题,如果直接正面解答比较困难,考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ,由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ,又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D .2. 【2014某某,理10】用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球,面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 【答案】A考点:1.新定义.2.二项式展开式.【名师点睛】解决本题的关键是读懂题意,盯住关键字眼,就可以快速破解,如5个无区别的篮球都取出或都不取出,有()51b +种不同取法,看选项没有()51b +这一项的,直接排除,由此可排除B ,C ,D ,故选A.3.【2014某某.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数,则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A 【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义,明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题,难度较小.4.【2015高考某某,理6】设A ,B 是有限集,定义(,)()()d A B card A B card A B =-,其中()card A 表示有限集A 中的元素个数,命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+,( )A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立,命题②不成立D. 命题①不成立,命题②成立【答案】A.【解析】命题①显然正确,通过如下文氏图亦可知),(C A d 表示的区域不大于),(),(C B d B A d +的区域,故命题②也正确,故选A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合,即可知命题①正确,同时注重数形结合思想的运用,若用韦恩图表示三个集合A ,B ,C ,则可将问题等价转化为比较集合区域的大小,即可确定集合中元素个数大小的比较.5. 【2014年.某某卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩,,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩,设,a b 为平面向量,则( )A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 答案:D 考点:向量运算的几何意义.【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将a b a b a b +-,,,放在同一个平行四边形中进行比较判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有有效的方法.6. 【2014高考理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人 B.3人 C.4人 D.5人【答案】B【解析】试题分析:用A、B、C分别表示优秀、及格和不及格,依题意,事件A、B、C中都最多只有一个元素,所以只有AC,BB,CA满足条件,故选B.考点:合情推理,中等题.【名师点睛】本题考查计数问题,本题属于基础题,但要求学生对题目中“学生甲比学生乙成绩好”这个定义要读懂,还考查学生的分析问题的能力.7. 【2015高考,理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D .某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A 中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A 错误;B 中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B 错误,C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ,消耗8升汽油,C 错误,D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点:本题考点定位为函数应用问题,考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力,本题属于中等题,有能力要求,贴近学生生活,要求按照“燃油效率”的定义,汽车每消耗1升汽油行驶的里程,可以断定“燃油效率”高的车省油,相同的速度条件下,“燃油效率”高的汽车,每消耗1升汽油行驶的里程必然大,需要学生针对四个选择只做出正确判断.8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试某某卷6】若函数)(x f 、)(x g 满足⎰-=110)()(dx x g x f ,则称)(x f 、)(x g 在区间]1,1[-上的一组正交函数,给出三组函数:①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==;②1)(,1)(-=+=x x g x x f ;③2)(,)(x x g x x f ==. 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C考点:新定义题型,微积分基本定理的运用,容易题.【名师点睛】以高等数学中的正交函数为载体,重点考查微积分基本定理的应用,充分体现了数学基础知识的应用能力,能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力、基础知识在实际问题中的运用能力以及较强的数学计算能力.9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试某某卷8】《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113【答案】B【解析】试题分析:设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,依题意,r L π2=,h r h r 22)2(75231ππ=, 所以275831ππ=,即π的近似值为258,故选B. 考点:《算数书》中π的近似计算,容易题.【名师点睛】以数学史为背景,重点考查圆锥的体积计算问题,其解题的关键是读懂文字材料,正确理解题意,建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用,能较好的考查学生运用基础知识的能力和简单近似计算能力.10. 【2015高考某某,理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )A .77B .49C .45D .30【答案】C【考点定位】1.集合的相关知识,2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.二、填空题1. 【2014课标Ⅰ,理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市.丙说:我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C 中的一个城市,由甲说可知,甲去过A,C 且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市,且没去过C 城市,故乙只去过A 城市.【考点定位】推理.【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙,解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题,解决问题的能力.2. 【2014某某.理15】已知函数R x x f y ∈=),(,对函数I x x g y ∈=),(,定义)(x g 关于)(x f 的对称函数为函数I x x h y ∈=),(,)(x h y =满足:对于任意I x ∈,两个点))(,()),(,(x g x x h x 关于点()),(x f x 对称,若)(x h 是24)(x x g -=关于b x x f +=3)(的“对称函数”,且)()(x g x h >恒成立,则实数b 的取值X 围是_________.【答案】(210,).+∞【名师点睛】本题考查阅读理解能力、学习能力、运算能力、直线与圆的位置关系.解答本题的关键,是理解新定义运算,将问题转化成234x b x +-恒成立,利用数形结合思想,再将问题转化成直线与圆的位置关系问题.本题属于新定义问题,是一道创新能力题,中等难度之上.在考查阅读理解能力、学习能力、运算能力、直线与圆的位置关系等的同时,考查转化与化归思想及数形结合思想.3. 【2015高考某某,理11】观察下列各式:0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律,当n ∈N 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++=.【答案】14n -【考点定位】1、合情推理;2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数,重点考查了学生对归纳推理的理解与运用,意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力,关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律,从而得到结论.此题属基础题.4. 【2016高考新课标2理数】有三X 卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一X 卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【答案】1和3【解析】试题分析:由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3,乙的卡片上数字为2和3,丙卡片上数字为1和2.考点:逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.5. 【2014高考某某版理第14题】观察分析下表中的数据:多面体面数(F ) 顶点数(V ) 棱数(E ) 三棱锥5 6 9 五棱锥6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中,E V F ,,所满足的等式是_________.【答案】2F V E +-=考点:归纳推理.【名师点晴】本题主要考查的是归纳推理,属于中档题,解题时注意观察,归纳三棱锥、五棱锥、立方体等几何体面数(F )、顶点数(V )、棱数(E )之间的关系,归纳猜想一般凸多面体中,E V F ,,所满足的等式.当然,如果平时能够记忆这个关系,则可以得到事半功倍的效果6.【2014某某,理15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合:对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如,当31()x x ϕ=,2()sin x x ϕ=时,1()x A ϕ∈,2()x B ϕ∈.现有如下命题: ①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈,a D ∃∈,()f a b =”; ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值;③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉;④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++(2x >-,a R ∈)有最大值,则()f x B ∈. 其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【考点定位】1、新定义;2、函数的定义域值域.【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解,这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用,如在某些条件下,满足新定义的函数有某些新的性质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质.三是考查综合分析能力,主要将新性质有机应用在“旧”性质,创造性证明更新的性质.7. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试某某卷14】设()x f 是定义在()+∞,0上的函数,且()0>x f ,对任意0,0>>b a ,若经过点))(,(a f a ,))(,(b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ,则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数,记为),(b a M f ,例如,当())0(1>=x x f 时,可得2),(b a c b a M f +==,即),(b a M f 为b a ,的算术平均数. (1)当())0_____(>=x x f 时,),(b a M f 为b a ,的几何平均数;(2)当())0_____(>=x x f 时,),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab +2; (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)【答案】(1))0()(>=x x x f ;(2))0()(>=x x x f .考点:两个数的几何平均数与调和平均数,难度中等.新定义型试题是高考的热点试题,考生错误往往有二,其一为不能正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二,不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力.但纵观某某近四年高考试题,新定义型试题是必考试题,在专题复习中应加强训练.【名师点睛】以新定义为背景,以函数为依托,重点考查两个数的几何平均数与调和平均数,涉及构造函数,充分体现了函数思想在高中数学中的重要地位,其易错点有二,其一为不能正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二,不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力.8.【2015高考某某,理15】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ,其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0),已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组:4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为:000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于.【答案】5.【解析】由题意得相同数字经过运算后为0,不同数字运算后为1.由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错;由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错,即出错的是第4个或第5个;由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个,综上,第5位发生码元错误.【考点定位】推理证明和新定义.【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题,解决时候要耐心读题,并分析新定义的特点,按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的,.三、解答题1. 【2014高考理第20题】(本小题满分13分)对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ,记111()T P a b =+,112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++≤≤,其中112{(),}k k Max T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数. (1)对于数对序列:(2,5),(4,1)P ,求12(),()T P T P 的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b ',试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使5()T P 最小,并写出5()T P 的值.(只需写出结论).【答案】(1)7,8;(2)无论a m =还是d m =,都有)()(22P T P T '≤成立;(3)10)(1=P T ,26)(2=P T ,42)(3=P T ,50)(4=P T ,52)(5=P T .【解析】试题分析:根据条件中的定义,对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ,记111()T P a b =+,112(){(),}(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++≤≤,其中112{(),}k k Max T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数,求解. 试题解析:依题意,752)(1=+=P T ,8}6,7{1}42),({1)(12=+=++=Max P T Max P T .(3)数对序列:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的)(5P T 值最小.10)(1=P T ,26)(2=P T ,42)(3=P T ,50)(4=P T ,52)(5=P T .考点:新定义题型.【名师点睛】近年卷理科压轴题一直为新信息题,本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力,本题属于偏难问题,反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力,题目给出新的定义:1()()k T P T P 、并对定义中max{T k -1(P ),a 1+a 2+…+a k }做出解释,第一步尝试对于数对序列P :(2,5),(4,1)使用定义,求得T 1(P ),T 2(P ),初步使用定义,加深对定义的理解,第二步中的比较大小及第三步中的求最值就是在第一步的基础上的深化研究,毕竟是一个新的信息题,在一个全新的环境下进行思维,所以学生做起来还是很费力的.2. 【2015高考,理20】已知数列{}n a 满足:*1a ∈N ,136a ≤,且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩,≤,,()12n =,,…. 记集合{}*|n M a n =∈N .(Ⅰ)若16a =,写出集合M 的所有元素;(Ⅱ)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (Ⅲ)求集合M 的元素个数的最大值.【答案】(1){6,12,24}M =,(2)证明见解析,(3)8 (Ⅲ)由于M 中的元素都不超过36,由136a ≤,易得236a ≤,类似可得36n a ≤,其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由n a 的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M 中的数除以9的余数,由定义可知,1n a +和2n a 除以9的余数一样,①若n a 中有3的倍数,由(2)知:所有的n a 都是3的倍数,所以n a 都是3的倍数,所以n a 除以9的余数为为3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只有36,则M 中的数从第三项起最多2项,加上前面两项,最多4项. ②n a 中没有3的倍数,则n a 都不是3的倍数,对于3a 除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个,从3a 起,n a 除以9的余数是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不断的6项循环(可能从2,4,8,7或5开始),而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M 中的项加上前两项最多8项,则11a =时,{1,2,4,8,16,32,28,20}M =,项数为8,所以集合M 的元素个数的最大值为8.考点定位:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列(分段形函数)求值,又考查了归纳法证明和对数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题,特别是第二、三两步难度较大,适合选拔优秀学生.3. 【2014某某,理22】(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中,对于直线l :0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++(若η<0,则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔; ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,某某数k 的取值X 围;⑶动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分割线.【答案】(1)证明见解析;(2)11(,][,)22k ∈-∞-+∞;(3)证明见解析.【解析】试题分析:本题属于新定义问题,(1)我们只要利用题设定义求出η的值,若0η<,则结论就可得证;(2)直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,首先直线与曲线无交点,即直线方程与曲线方程联立方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩,方程组应无实解,方程组变形为22(14)10k x --=,此方程就无实解,注意分类讨论,按二次项系数为0和不为0分类,然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧.则可得到所求X 围;(3)首先求出轨迹E 的方程22(2)1x y x +-⋅=,化简为2221(2)x y x+-=,过原点的直线中,当斜率存在时设其方程为y kx =,然后解方程组2221(2)x y x y kx ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩,变形为2221(1)44k x kx x +-+=,这个方程有无实数解,直接判断不方便,可转化为判断函数22()(1)44F x k x kx =+-+与21()G x x =的图象有无交点,而这可利用函数图象直接判断.()y F x =是开口方向向上的二次函数,()y G x =是幂函数,其图象一定有交点,因此直线y kx =不是E 的分隔线,过原点的直线还有一条就是0x =,它显然与曲线E 无交点,又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧,故它是分隔线,结论得证.(3)由题得,设(,)M x y 22(2)1x y x +-=,化简得,点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅=①当过原点的直线斜率存在时,设方程为y kx =.联立方程,2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩. 令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-,因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<,所以方程()0F x =有实解,直线y kx =与曲线E 有交点.直线y kx =不是曲线E 的分隔线. ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点,又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<,即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔.所以直线0x =是E 分隔线.综上所述,仅存在一条直线0x =是E 的分割线.【考点】新定义,直线与曲线的公共点问题.【名师点睛】判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程.即⎩⎪⎨⎪⎧ Ax +By +C =0,F x ,y =0,消去y ,得ax 2+bx +c =0.(1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C 相切;Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a =0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.。
2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第17部分:推理与证明一、填空题: 1.(2010年高考陕西卷理科12)观察下列等式:,104321,6321,321233332333233=+++=++=+,根据上述规律,第五个等式.....为____________.【解析】(方法一)∵所给等式左边的底数依次分别为2,1;3,2,1; ;4,3,2,1,右边的底数依次分别为 ,10,6,3(注意:这里1046,633=+=+),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1,右边的底数为216510=++.又左边为立方和,右边为平方的形式,故第五个等式为233333321654321=+++++.(方法二)∵易知第五个等式的左边为333333654321+++++,且化简后等于441,而221441=,故易知第五个等式为233333321654321=+++++.二、解答题:1.(2010年高考数学湖北卷理科20) (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11312111n n n n a a a a ++++=--,()101nn n a a+≥;数列{}nb 满足:nb=21n a +-2n a (n ≥1). (Ⅰ)求数列{}na ,{}nb 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列{}nb 中的任意三项不可能成等差数列.2. (22)(2010年高考全国卷I理科22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答.......无效..)已知数列{}n a 中,1111,n na a c a +==-. (Ⅰ)设51,22n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】(Ⅱ)12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得 用数学归纳法证明:当2c >时1n n a a +<. (ⅰ)当1n =时,2111a c a a =->,命题成立;3.(2010年高考四川卷理科22)(本小题满分14分)设11x xa f (x )a +=-(0a >且1a ≠),g (x )是f (x )的反函数.(Ⅰ)设关于x 的方程求217a tlog g(x )(x )(x )=--在区间[2,6]上有实数解,求t 的取值范围;(Ⅱ)当a =e (e 为自然对数的底数)时,证明:2221nk g(k )n(n )=>+∑;(Ⅲ)当0<a ≤12时,试比较1nk f (k )n=∣-∣∑与4的大小,并说明理由.4.(2010年高考江苏卷试题23)(本小题满分10分)已知△ABC 的三边长都是有理数。
算法初步、复数、推理与证明算法初步、复数、推理与证明6.D[∵z =4+3i ,∴z =4-3i ,|z |=42+32=5,∴z |z |=4-3i 5=45-35i .]7.A[由1+z 1-z =i ,得z =-1+i 1+i =-1+i1-i 2=2i 2=i ,所以|z |=|i|=1,故选A .] 8.B[∵(2+a i)(a -2i)=-4i ,∴4a +(a 2-4)i =-4i .∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =0,a 2-4=-4,解得a =0.故选B .] 9.B[法一:设z =a +b i(a ,b ∈R),则2z +z =2a +2b i +a -b i =3a +b i =3-2i .由复数相等的定义,得3a =3,b =-2,解得a =1,b =-2,∴z =1-2i .法二:由已知条件2z +z =3-2i ①,得2z +z =3+2i ②,解①②组成的关于z ,z 的方程组,得z =1-2i .故选B .]三、合情推理10.B[由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛.由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛,分类讨论如下:(1)当a <60时,a -1<59,此时2号和8号不能入选,即入选的只有1,3,4,5,6,7号; (2)当a =60时,a -1=59,此时2号和4号同时入选或同时都不入选,均不符合题意;(3)当a =61时,a -1=60,此时8号和4号不能入选,即入选的只有1,2,3,5,6,7号;(4)当a =62或63时,相应的a -1=61或62,此时8号和4号不能入选,即入选的只有1,2,3,5,6,7号;(5)当a ≥64时,此时a -1≥63,不符合题意.综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛.]11.1和3[法一:由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.]12.43n (n +1)[通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的43是个固定数,43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,43后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为43×n ×(n+1),即43n (n +1).][B 组“10+5”模拟题提速练]一、选择题1.D[z =1-2i a +i =1-2i a -i a +ia -i =a -2-2a +1i a 2+1. 由题意知a -2=2a +1,解得a =-3.] 2.D[x 1+i =12(x -x i)=1-y i ,所以x =2,y =1,故选D .]3.D[⎪⎪⎪⎪z 1+2z 2=⎪⎪⎪⎪3+2i +21-i=|3+2i +(1+i)|=|4+3i|=5.]4.B[∵复数z =11-i =1+i 1-i 1+i =12+12i , ∴z -|z |=12+12i -⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫122=1-22+12i ,其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22,12所在的象限为第二象限.故选B .] 5.D[由程序框图得第一次循环,i =2 014,S =2 017;第二次循环,i =2 013,S =2 016;第三次循环,i =2 012,S =2 017;……,依此类推得最后一次循环为i =0,S =2 017,此时循环结束,输出S =2 017,故选D .]6.C[由程序框图知S =sin π3+sin 2π3+sin 33π+…+sin 2 0153π.因为y =sin x 的周期为2π,且sin π3+sin 23π+…+sin 63π=0,所以S =sin π3+sin 23π+sin 33π+sin 43π+sin 53π=0.所以S =sin π3+sin 23π+…sin 2 0153 π=0.]7.D[模拟执行程序框图,可得:S =0,k =0,满足条件,k =2,S =12,满足条件,k =4,S =12+14,满足条件,k =6,S =12+14+16,满足条件,k =8,S =12+14+16+18=2524.由题意,此时应不满足条件,退出循环,输出S 的值为2524.结合选项可得判断框内填入的条件可以是k <8.]8.D[对于选项A ,如果输出b 的值为792,则a =792,I (A )=279,D (A )=972,b =D (A )-I (A )=972-279=693,不满足题意.对于选项B ,如果输出b 的值为693,则a =693,I (A )=369,D (A )=963,b =D (A )-I (A )=963-369=594,不满足题意.对于选项C ,如果输出b 的值为594,则a =594,I (A )=459,D (A )=954,b =D (A )-I (A )=954-459=495,不满足题意.对于选项D ,如果输出b 的值为495,则a =495,I (A )=459,D (A )=954,b =D (A )-I (A )=954-459=495,满足题意.]9.C[200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465,所以200的所有正约数之和为465.]10.C[每条边有n 个点,所以三条边有3n 个点,三角形的3个顶点都被重复计算了一次,所以减3个顶点,即a n =3n -3,那么9a n a n +1=93n -3×3n =1n -1n =1n -1-1n ,则9a 2a 3+9a 3a 4+9a 4a 5+…+9a 2 015a 2 016=⎝⎛⎭⎫11-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫12 014-12 015=1-12 015=2 0142 015,故选C .]二、填空题11.-1[∵z =1-i(i 为虚数单位),∴zz+z2=1+i1-i+(1-i)2=1+i21-i1+i-2i=2i2-2i=-i,故其虚部为-1.]12.24[由程序框图得第一次循环,n=6,S=3sin 60 °≈2.598<3.10;第二次循环,n=12,S=6sin 30 °=3<3.10;第三次循环,n=24,S=12sin 15 °≈3.105 6>3.10,此时循环结束,输出n的值为24.] 13.乙丙[甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙.]14.1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n∈N*)[根据式子中的规律可知,等式右侧为15×4×3×2×1n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n∈N*).]15.2 017×22 014[由题意知数表的每一行都是等差数列,且第1行数的公差为1,第2行数的公差为2,第3行数的公差为4,……,第2 015行数的公差为22 014,第1行的第一个数为2×2-1,第2行的第一个数为3×20,第3行的第一个数4×21,……第n行的第一个数为(n+1)×2n-2,第2 016行只有一个数M,则M=(1+2 016)×22 014=2 017×22 014.]。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标III)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.02.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.23.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为()A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.805.(5分)已知双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=16.(5分)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.28.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.9.(5分)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.810.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=()A.﹣B.C.D.112.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3 B.2C.D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
第十四章 推理与证明
第一节 合情推理与演绎推理
1.(2017全国2卷理科7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ).
A .乙可以知道四人的成绩
B .丁可以知道四人的成绩
C .乙、丁可以知道对方的成绩
D .乙、丁可以知道自己的成绩 1.解析 四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然).乙看了丙成绩,知道自己的成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知道自己的成绩.故选D.
2.(2017 全国1卷理科12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,再接下来的三项是02,12,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >:且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ).
A.440
B.330
C.220
D.110 2. 解析 设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.
设第n 组的项数为n ,则n 组的项数和为()12n n +,由题意得,100N >,令()1100
2n n +>,
得14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后,第n 组的和为122112n
n -=--,n 组总共的和
为
()12122212n
n n n +--=---,若要使前N 项和为2的整数幂,则()12n n N +-项的和21k -应
与2n --互
为相反数,即
()*21214k n k n -=+∈N ,≥,()2log 3k n =+,得n 的最小值为295n k ==,, 则()
2912954402N ⨯+=+=.故选A.
题型149 归纳推理——暂无
题型150 类比推理——暂无
题型151 演绎推理
第二节证明。