2017高考数学(理)试题汇编 第十四章 推理与证明

专题 24 推理与证明一、选择题1. 【2014山东.文 4】用反证法证明命题“设 a ,b 为实数，则方程 x 2 ax b 0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程 x 2 ax b 0 没有实根B.方程 x 2 ax b 0 至多有一个实根C.方程 x 2 ax b 0 至多有两个实根D.方程 x 2ax b 0 恰好有两个实根【答案】 A考点：反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是 一个也没有.本题属于基础题，难度较小.2. 【2014山东.文 9】 对于函数 f (x ) ，若存在常数 a 0 ，使得取定义域内的每一个值，都有 f (x ) f (2a x ) ，则称 f (x ) 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）A f (x )xBf (x ) x 2 C f (x ) tan x D f (x ) cos(x 1)【答案】 D【解析】由 f (x ) 为准偶函数的定义可知，若 f (x ) 的图象关于 x a 对称，则 f (x ) 为准偶函数.在 D 中， f (x )cos(x 1) 的图象关于 xk 1,k z 对称，故选 D .考点：新定义，函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的基本解法是紧扣 新定义，研究各个函数的图象及特性，得出结论.本题是一道新定义问题，属于基础题，在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础 知识的同时，考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想. 3. 【2015高考浙江，文 8】设实数 a ，b ，满足 a 1 sin b t （）A ．若确定，则b 2 唯一确定B ．若确定，则 a 2 2a 唯一确定C ．若确定，则sinb 2唯一确定 D ．若确定，则 a 2a 唯一确定1【答案】B【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理，通过对比选项，确定最终正确结论的能力.本题属于中等题，重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4. 【2015高考广东，文10】若集合p,q,r,s0p s4,0q s4,0r s4p,q,r,s且，F t,u,v,w0t u4,0v w4且t,u,v,w，用card表示集合中的元素个数，则card card F（）A．50B．100C．150D．200【答案】D【解析】当s4时，p，，都是取，，，中的一个，有44464种，当s3时，p，，都是取，，中的一个，有33327种，当s2时，p，，都是取，中的一个，有2228种，当s1时，p，，都取，有种，所以card642781100，当t0时，取，，，中的一个，有种，当t1时，取，，中的一个，有种，当t2时，取，中的一个，有种，当t3时，取，有种，所以、的取值有123410种，同理，、w的取值也有10种，所以card F1010100，所以card card F100100200，故选D．【考点定位】推理与证明．【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2014高考广东卷.文.10】对任意复数w.w,定义12w w w w,其中1212w是2w的共轭22复数.对任意复数z.1z.2z,有如下四个命题：3①z z zz zz z ；②zz zz zzz ；12313231231213③z z z z zz ；④123123z z zz.1221则真命题的个数是( )A. B. C.D.【答案】B对于命题④,取z11i,z i,则z z ii i,2212123z2z12i 1i 3i,命题④错误.故选B.【考点定位】本题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是新符号，属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新符号问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，1计算其体积V的近似公式v L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.36那么近似公式22vL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）752225157355A. B. C. D.7850113【答案】B3【解析】1 2， 试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意， L 2r ， r 2h (2 r )2 h3 751，即 的近似值为 258所以2，故选 B.3 75 8考点：《算数书》中的近似计算，容易题.【名师点睛】以数学史为背景，重点考查圆锥的体积计算问题，其解题的关键是读懂文字材料， 正确理解题意，建立方程关系.充分体现了方程思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生 运用基础知识的能力和简单近似计算能力.7. 【 2015高 考 湖 北 ， 文 10】 已 知 集 合 A {(x , y ) x 2 y 2 1, x , y Z }，B {(x , y ) | x | 2 , | y | 2, x , y Z }，定义集合A B {(xx , yy ) (x , y )A , (x ,y ) B }，12121122则 A B 中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体 现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能 力、知识迁移能力和科学计算能力.8.【2014福建,文 12】在平面直角坐标系中，两点P 1 x 1, y 1 , P 2 x 2, y 2 间的“L -距离”定义 为P 1P 2x 1 x 2 y 1y 2 . 则平面内与轴上两个不同的定点 F F 的“L -距离”之和等于定1, 2值（大于|| F F |）的点的轨迹可以是（ ）124【答案】 A 【解析】 试题分析：不妨设F 1(1, 0), F 2 (1, 0), P (x , y ) 是平面内符合条件的点，则由“L-距离”定义得| x 1| | y | | x 1| | y | 2a （ a 0 ， 2a || F F | 2 ）.1 2x 1 即时， x y a0；y 0 x1时， x y a0；y 01 x 1时， y a10 ；y 011x 时， y 1a ；y 01 x y 0x 1 时， x y a0；y 0时， x y a 0 .故选 A .考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.【名师点睛】本题是一道信息迁移题，通过定义“L -距离”，考查学生对新定义的理解能力及 处理绝对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类，做到不重不漏，并准确 进行运算是求解本题的关键. 二、填空题1.【2016高考新课标 2文数】有三张卡片，分别写有 1和 2，1和 3，2和 3.甲，乙，丙三人 各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和 3考点：逻辑推理.5【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2. 【2016高考山东文数】观察下列等式：π2π4(sin)(sin)1222；333π2π3π4π4(sin)(sin)(sin)(sin)232222；55553π2π3π6π 4(sin)(sin)(sin)(sin)3 4777732222；π2π3π8π4(sin)(sin)(sin)(sin)452222；99993……照此规律，(sinπ)2(sin2π)2(sin3π)2(sin2π)2n_________．2n12n12n12n 1 4【答案】n n13考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3. 【2015高考山东，文14】定义运算“”：x y22x y（x，y R,xy 0）.当xyx 0，y 0时， x y (2y ) x 的最小值是.【答案】 2【解析】由新定义运算知，(2y )x 4yx 2222(2y ) x ，因为， x0，y0， (2y )x2xy6所以， x 2 y 2 4y 2 x 2x 22y 22 2xyx y (2y ) x2 ，当且仅当 xy 2xy2xy2xyx 2y 时， x y (2y ) x 的最小值是 2 .【考点定位】1.新定义运算；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解 新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.本题属于小综合题，也是一道能力题，在考查考生学习能力的基础上，考查考生的计算能力及 应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备，因此，不会对此 感到陌生.4. 【2015高考陕西，文 16】观察下列等式： 1－ 1－ 1－ 1 12 21 1 1 1 12 3 4 3 411 1 1 1 1 112 3 4 5 6 4 5 6…………据此规律，第 n 个等式可为______________________.1 1 11 1 1 1 1 【答案】12 3 4 2n 1 2n n 1 n 22n【考点定位】归纳推理.【名师点睛】本题考查的是归纳推理，解题关键点在于发现其中的规律，要注意从运算的过程 中去寻找.本题属于基础题，注意运算的准确性.5．【2014四川，文 15】以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数(x ) 组成的集合：对于函数(x ) ，存在一个正数 M ，使得函数(x ) 的值域包含于区间[M ,M ]。

1。

【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数(假设：单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等）,则20，30；35,30；55，50 ( ）A 。

123x x x >>B.132xx x >>C 。

231xx x >> D 。

321xx x >>【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点",那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点"C ．直线l 上的所有点都不是“点”[］D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“点"【答案】A试题分析：本题采作数形结合法易于求解,如图,设()(),,,1A m n P x x -，则()2,22B m x n x ---，∵2,A B y x =在上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩ 消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1）∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A 。

考点：创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀"“合格”“不合格"。

若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”。

如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【答案】B考点：合情推理,中等题.4。

2017 年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老 成 的成 ．老：你 四人中有2 位 秀， 2 位良好，我 在 甲看乙、丙的成 ， 乙看丙的成 ，丁看甲的成 ．看后甲 大家 ：我 是不知道我的成 ．根据以上信息， （ ）.A ．乙可以知道四人的成B ．丁可以知道四人的成C ．乙、丁可以知道 方的成D ．乙、丁可以知道自己的成1．解析 四人所知只有自己看到，老 所 及最后甲 的 ．甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一 一良（若 两 ，甲会知道自己成 ；两良亦然） .乙看了丙成 ，知道自己的成→ 丁看甲，甲、丁中也 一 一良，丁知道自己的成 ．故D.2.（ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响 国家的 号召，开 了一款 用 件 . 激大家学 数学的 趣，他 推出了 “解数学 取 件激活”的活 . 款 件的激活下面数学 的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2，4， 1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16 ， ⋯ ，其中第一 是20 ，接下来的两 是20 ， 21 ，再接下来的三 是 20 ， 21 ， 22 ，依此 推 .求 足如下条件的最小整数 N ： N100 且 数列的前 N 和 2的整数 .那么 款 件的激活 是（ ） .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析 首 第1 ，接下来两 第2 ，再接下来三 第3 ，以此 推．n 1 nn 1 n100第 n 的 数 n ， n的 数和2，由 意得，N100 ，令2，1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后，第 n 的和 122，即 N出 在第， n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n，若要使前 N和 2 的整数 ， 2的和 2k12与2 n互相反数， 即2k12n kN *，n ≥ 14， k log2n 3 ，得 n 的最小 n 29 ，k 5 ，29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

山东省2017年高考数学（理科）专题练习算法初步、复数、推理与证明[A 组高考题、模拟题重组练] 一、程序框图(流程图)1．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图21-1是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的22x n ＝，＝，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝ ( )图21-1 A ．7 B ．12 C ．17D ．342．(2016·全国乙卷)执行如图21-2所示的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ＝＝＝，则输出x ，y 的值满足( )图21-2 A ．2y x ＝ B ．3y x ＝ C ．4y x ＝D ．5y x ＝3．(2016·全国丙卷)执行如图21-3所示的程序框图，如果输入的46a b ＝，＝，那么输出的n ＝ ( )图21-3 ．4 ．6所示的程序框图，若输入的a图21-4 在复平面内对应的点在第四象限，B ．(13)－， D ．()3∞－，－图21-5B．2 015D．2 017所示，则输出的S的值为(图21-6B．3 2D．32 -所示的程序框图，若输出的S＝图21-7B．7k＞？D．8k＜？56789}，，，，，，，，，在集合Aa，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为219129I A D＝，则（）＝，（图21-8B．693D．495的所有正约数之和可按如下方法得到：因为22＋＝＋＋⨯23122)(图21-92013B．图21-10丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，学生了解考试情况．四名学生回答如下：”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．观察下列等式：图21-11从第2行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，。

第十四章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.（2017全国2卷理科7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）.A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 1．解析 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知道自己的成绩．故选D.2.（2017 全国1卷理科12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A.440B.330C.220D.110 2. 解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212nn n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，， 则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.题型149 归纳推理——暂无题型150 类比推理——暂无题型151 演绎推理第二节证明。

2017高考题数学理真题分类汇编专题1 集合与常用逻辑用语1．(2017·高考全国卷乙)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅2．(2017·高考全国卷甲)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}3．(2017·高考全国卷丙)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．(2017·高考北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2017·高考江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a的值为________．专题2 函 数1．(2017·高考全国卷乙)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]2．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C.12D ．13．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[23，＋∞)B ．(0，1]∪[3，＋∞ )C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)5．(2017·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关6．(2017·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－4716，2 B ．⎣⎡⎦⎤－4716，3916C ．[－23，2]D ．⎣⎡⎦⎤－23，3916 7．(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．8．(2017·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D x ，x ∉D ，其中集合D ＝{x |x ＝n －1n ，n ∈N *}，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．9．(2017·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．专题3 导数及其应用1．(2017·高考全国卷甲)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．12．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．3．(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．4．(2017·高考全国卷甲)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2. 5．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． 6．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．专题4 三角函数与解三角形1．(2017·高考全国卷乙)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减3．(2017·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A4．(2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π245．(2017·高考全国卷甲)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 6．(2017·高考浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．7．(2017·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．8．(2017·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .9．(2017·高考全国卷丙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．专题5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．(2017·高考全国卷乙)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 42．(2017·高考全国卷甲)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 3．(2017·高考全国卷甲)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－14．(2017·高考全国卷丙)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A ．12B ．22C. 2 D ．25．(2017·高考全国卷丙)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．26．(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．(2017·高考山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3D ． 38. (2017·高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 39．(2017·高考全国卷乙)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ .10．(2017·高考山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________11．(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．12．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．专题6 数 列1．(2017·高考全国卷乙)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．(2017·高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏3．(2017·高考全国卷丙)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．84．(2017·高考全国卷甲)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则k ＝1n1S k ＝__________．5．(2017·高考全国卷丙)设等比数列{a n }满足a 1 ＋ a 2 ＝－1, a 1－a 3 ＝－3，则a 4 ＝ ________．6．(2017·高考山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .7．(2017·高考天津卷)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．8．(2017·高考北京卷)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．专题7 不等式、推理与证明1．(2017·高考全国卷甲)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．92．(2017·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．93．(2017·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．64．(2017·高考浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)5．(2017·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．23B ．1 C.32D ．36．(2017·高考全国卷乙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．7．(2017·高考全国卷丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．专题8 立体几何1. (2017·高考全国卷乙)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．162．(2017·高考全国卷甲)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π3．(2017·高考全国卷丙)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π44．(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C.3π2＋1 D ．3π2＋35．(2017·高考全国卷丙)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)6．(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．7. (2017·高考全国卷乙)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值．8．(2017·高考全国卷甲)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45° ，求二面角M -AB -D 的余弦值．9．(2017·高考全国卷丙)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．专题9 平面解析几何1．(2017·高考全国卷乙)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．102．(2017·高考全国卷甲)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3 C. 2D ．2333．(2017·高考全国卷丙)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝14．(2017·高考全国卷丙)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C.23 D ．135．(2017·高考全国卷乙)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．6．(2017·高考全国卷甲)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．7．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．8．(2017·高考全国卷乙)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．9．(2017·高考全国卷甲)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．(2017·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．11. (2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．12．(2017·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2017·高考全国卷乙)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C.12D ．π42．(2017·高考全国卷乙)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．353．(2017·高考全国卷甲)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种4．(2017·高考全国卷丙)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80B ．－40C ．40D ．805．(2017·高考山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A ．518B ．49C.59D ．796．(2017·高考全国卷甲)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________．7．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)8．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________． 9．(2017·高考全国卷乙)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116（x i －x ）2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.10．(2017·高考全国卷丙)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15)[15，20) [20，25) [25，30) [30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？11．(2017·高考山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 12．(2017·高考天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．专题11 统计、统计案例及算法初步1．(2017·高考全国卷乙)下面程序框图是为了求出满足3n －2n >1 000的最小偶数n ，那么在和 两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋22．(2017·高考全国卷甲)执行如图的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．53．(2017·高考全国卷丙)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(2017·高考全国卷丙)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4C．3 D．25．(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1C．2 D．36．(2017·高考江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件．7．(2017·高考全国卷甲)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)(精确到0.01)． 附：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.8．(2017·高考北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)专题12 选考部分 选修4-4：坐标系与参数方程1．(2017·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t ，(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .2．(2017·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 3．(2017·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k ，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．4．(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．选修4—5：不等式选讲1．(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围． 2．(2017·高考全国卷甲)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.3．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．4．(2017·高考江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.数学理·参考答案与解析 专题1 集合与常用逻辑用语1．解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A.2．解析：选C.因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C.3．解析：选B.A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．解析：选A .因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ，n 〉<0的充要条件是cos 〈m ，n 〉<0.因为λ<0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉<0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n <0”；而由“m ·n <0”，可推得“cos 〈m ，n 〉<0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件，故选A.5．解析：选C.因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C.6．解析：选A.法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6，故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故选A. 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故选A. 7．解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1专题2 函 数1．解析：选D.因为函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3，故选D.2．解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.3．解析：选A.因为f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x－3x＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．故选A.4．解析：选B.当0＜m ≤1时，需满足1＋m ≥(m －1)2，解得0≤m ≤3，故这时0＜m ≤1.当m ＞1时，需满足(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0，故这时m ≥3.综上可知，正实数m 的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．5．解析：选B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.6．解析：选A.根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝⎛⎭⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x ＞1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4716，2. 7．解析：当x >0时，f (x )＝2x >1恒成立，当x －12>0，即x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x －12>1，当x－12≤0，即0<x ≤12时， f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋12>12，则不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1恒成立．当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，所以－14<x ≤0.综上所述，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 8．解析：由于f (x )∈[0，1)，因此只需考虑1≤x <10的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0，1)，可设lg x ＝nm，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m＝q p ，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点， 因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：89．解析：因为x ∈[1，4]，所以x ＋4x∈[4，5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，所以a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 专题3 导数及其应用1．解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 3．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0，1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0，1)． 4．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0.因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x .当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0.综上，a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x . 设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0.所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增．又h (e －2)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)． 由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12得f (x 0)<14. 因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.5．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n 得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3.6．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a. 因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b3.列表如下：故f (12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .(3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )，因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3，6]．专题4 三角函数与解三角形1．解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 2．解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D. 3．解析：选A.由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．解析：选A.由f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，① 由f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z )，② 由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )，又最小正周期T ＝2πω＞2π，所以0＜ω＜1，ω＝23，又|φ|＜π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．5．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：16．解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝cos ∠ABC ＋12＝104.。

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。