[推荐学习]高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系自主训练

3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tan α中的α是使得tan α有意义的值,即α≠k π+2,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根. 三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin .思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究 提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠k π+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tan α(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠k π+2π,k ∈Z.②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值.活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cos α的值最容易求得,在求cos α时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259.又因为α是第二象限角,所以cos α＜0.于是cos α=259-=-53,从而tan α=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan α=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果. 变式训练(2006上海,6)如果cos α=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cos α=51,且α是第四象限的角, ∴sin α=22)51(1cos 1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sin α=562.答案:562 例2 已知cos α=-178,求sin α,tan α的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cos α＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cos α=-1).解:因为cos α＜0,且cos α≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sin α= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tan α=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sin α=-175,tan α=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解. 变式训练已知cos α=1312,求sin α和tan α. 解:因为cos α=1312＞0,且cos α≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sin α＞0. sin α=135)1312(1cos 122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sin α＜0. sin α=125cos sin tan ,135cos12-==-=--αααα例3 已知tan α为非零实数,用tan α表示sin α、cos α.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值.由tan α≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cos α,进而求出sin α.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tan α=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tan α为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cos α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11sin α=cos αtan α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练已知cos α≠0,用cos α表示sin α、tan α. 解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sin α=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tan α=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4. 课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式. 3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=cos α·tan α,cos α=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题. 推进新课 应用示例例1 求证:xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sin α,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x xx x x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边. 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为x x x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+--=x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立. 变式训练求证:x x x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-∙+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x xx x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-∙+=左边.分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x xx x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-∙++ =xxtan 1tan 1-+=右边.例2 化简 440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值. 变式训练化简: 40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sin αcos α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,这是一个很重要的结论.3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化. 解:因为cos θ≠0, 所以,原式=θθθθcos sin cos sin +=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ).点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 知能训练课本本节练习2 1、2 课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法. 作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α. 2.已知tan α=2,求ααααcos sin cos sin -+的值.答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题 1.已知sin α=54,且2π＜α＜π,则tan α的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D. 432.若sin θ-cos θ=2,则sin θ·cos θ=_______,tan θ+θtan 1=______________, sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tan α=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cos α-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α. 参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα. (2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-∙+ααααααααα 5121)21(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β),∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=). ∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。

3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tan α中的α是使得tan α有意义的值,即α≠k π+2,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用.教学难点:课本的三个公式的推导及应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值: (1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin . 思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠k π+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tan α(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠k π+2π,k ∈Z. ②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值. 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cos α的值最容易求得,在求cos α时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259. 又因为α是第二象限角,所以cos α＜0.于是cos α=259-=-53,从而tan α=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan α=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果.变式训练(2006上海,6)如果cos α=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cos α=51,且α是第四象限的角, ∴sin α=22)51(1cos 1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sin α=562. 答案:562 例2 已知cos α=-178,求sin α,tan α的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cos α＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cos α=-1).解:因为cos α＜0,且cos α≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sin α= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tan α=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sin α=-175,tan α=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.变式训练已知cos α=1312,求sin α和tan α. 解:因为cos α=1312＞0,且cos α≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sin α＞0.sin α=135)1312(1cos 122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sin α＜0.sin α=125cos sin tan ,135cos 12-==-=--αααα例3 已知tan α为非零实数,用tan α表示sin α、cos α.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值.由tan α≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cos α,进而求出sin α.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tan α=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tan α为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cos α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11 sin α=cos αtan α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα 点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.变式训练已知cos α≠0,用cos α表示sin α、tan α.解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sin α=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tan α=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4.课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式.3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=cos α·tan α,cos α=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题.推进新课应用示例例1 求证:x x x x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sin α,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x x xx x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边. 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为xx x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+-- =x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.变式训练求证:xx x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-∙+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x x x x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-∙+=左边. 分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x x x x x x x x x x x x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-∙++ =xx tan 1tan 1-+=右边. 例2 化简 440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.变式训练化简: 40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sin αcos α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,这是一个很重要的结论. 3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化.解:因为cos θ≠0,所以,原式=θθθθcos sin cos sin + =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ). 点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简.知能训练课本本节练习2 1、2课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α.2.已知tan α=2,求ααααcos sin cos sin -+的值. 答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题1.已知sin α=54,且2π＜α＜π,则tan α的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D.43 2.若sin θ-cos θ=2,则sin θ·cos θ=_______,tan θ+θtan 1=______________,sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tan α=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cos α-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α.参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα.(2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-∙+ααααααααα5121)21(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β), ∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=).∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。

3.1 同角三角函数的基本关系典题精讲1.同角三角函数的基本关系式.剖析：基本关系式表明三角函数之间存在相互联系，这组联系是通过点P的坐标x，y及r 的比的相互关系和三角函数的定义实现的.同角三角函数的基本关系式反映了事物之间的相互联系和在一定条件下相互转化的辩证唯物主义观点；反映了变换与转化的思想方法.基本关系式表明：角α的一个三角函数在一定的条件下可以转化为同角的其他三角函数的代数式表示，或者说同一个角的三角函数之间在一定条件下可以互相转化.要学会正用、逆用、变形用基本关系式.所谓正用就是从关系式的等号左边向右边用，较为常见；所谓逆用就是从关系式的等号右边向左边用.例如：1=sin2α+cos2α，1=tanα·cotα等；所谓变形用就是根据已知，利用关系式求某一个未知量，如sin2α=等.2.怎样化简或证明三角函数式？剖析：三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价变形形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.三角函数的证明是证明等式两边相等，因此三角函数的证明是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些.化简三角函数式时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：（1）直接法：直接从不等式的一边开始化为等式的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；（2）综合法：由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d”；（3）中间量法，证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；（4）分析法：即从结论出发，逐步证向已知条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立.例如：求证：.证法一（分析法）：要证明原等式成立，只需cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)成立，cos2α=1-sin2α，sin2α+cos2α=1，上式显然成立，所以原等式成立.证法二（综合法）：∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-sin2α.∴cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα).∴.证法三左边：=====右边，即原等式成立.证法四（中间量法）：左边=;右边===.∴左边＝右边，即原等式成立.三角恒等式的证明的关键是选择适当的证明方法，而三角函数式的化简的关键是选择适当的变形手段.典题精讲例1已知cosα=，且角α是第四象限角，求sinα和tanα.思路分析：α是第四象限角，于是可利用平方关系式求出sinα，进而利用商数关系式求出tanα.解：∵cosα=，且α是第四象限角，∴sinα=.∴tanα==.绿色通道：已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先求另一弦函数值，再求切函数值. 变式训练1已知cosα=，求sinα和tanα.思路分析：对α所在象限进行分类讨论.解：∵cosα=＞0，∴α是第一象限角或第四象限角.当α是第一象限角时，sinα=，tanα==；当α是第四象限角时，sinα=，tanα==.变式训练2（2006河南新乡第四次调研卷，理2）已知tanα=，π＜α＜，则cosα-sinα的值为（）A. B. C. D.思路解析：求出α的值，即可得解.∵tanα=，π＜α＜，∴α=.∴cosα-sinα=cos-sin=.答案：C变式训练3已知tanα=2，求sinα和cosα的值.思路分析：应用方程的思想，列方程组求得.解：由题意，得解方程组得或例2已知tanα=-2，求下列各式的值.（1）；（2）sin2α+cos2α.思路分析：先化简再求值，不必求出sinα和cosα的值.解：∵tanα=-2，则cosα≠0.（1）=10.（2）sin2α+cos2α=绿色通道：（1）已知tanα=m求关于sinα,cosα的齐次式之值的问题时，需注意以下几点：①先化简再求值（用tanα来表示）.②一定是关于sinα,cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.③因为cosα≠0，可用cos nα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα=m的值，从而完成求值任务.④对于第（2）小题形式的式子，我们称为sinα,cosα的二次齐次式，此种形式可以添加分母sin2α+cos2α，将式子变成分式的形式，再用cos2α去除.（2）形如，可以利用商数关系分子、分母同时除以cosα、cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.（3）同角三角函数基本关系式的应用：化简三角函数式.黑色陷阱：如果先求出sinα和cosα的值，那么运算量会很大，问题就会变得很烦琐. 变式训练1已知sinα-cosα=，求sin3α-cos3α的值.思路分析：不求sinα和cosα的值，将已知条件两边平方，造出sin2α+cos2α和sinα·cosα，代入利用立方差公式分解获得的式子，即可求出其值.解：将sinα-cosα=两边同时平方，得1-2sinαcosα=，即sinαcosα=.∴sin3α-cos3α=（sinα-cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα）=（1+）=.变式训练2已知θ∈［0,2π)，而sinθ、cosθ是关于x的方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.思路分析：利用一元二次方程根与系数的关系，得到sinθ、cosθ与k的关系式，再结合平方关系式，就可建立k的方程，求出k之后再计算θ的值.解：由题意得Δ＝k2-4(k+1)≥0，解得k≤2-或k≥2+.∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，∴代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ中整理可得k2=1+2（k+1），即k2-2k-3=0.∴k=-1或k=3（舍去）.代回原方程组,得∴或即θ=π或θ=.问题探究问题sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间有什么关系？导思：这三个三角函数式都含有sinα和cosα，因此探究思路是从sinα和cosα的关系式：sin2α+cos2α=1开始讨论.探究：∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+2sinαcosα+co s2α=1+2sinαcosα.∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα.同理，可得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.∴(sinα+cosα)2＋(sinα-cosα)2＝2，sinαcosα=(sinα+cosα)2-=-(sinα-cosα)2.∴sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.例如：已知sinθ＋cosθ=，θ∈(0,π)，求sin2θ-cos2θ的值.解：由sinθ＋cosθ的值求出sinθ-cosθ的值，从而求得sin2θ-cos2θ的值.∵sinθ＋cosθ=，∴sinθcosθ(sinθ+cosθ)2-=×-=＜0，即sinθ和cosθ的符号相反.又∵θ∈（0，π），∴θ∈(,π).∴sinθ＞0,cosθ＜0.∴sinθ-cosθ＞0.∴sinθ-cosθ=.∴sin2θ-cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=×.由此可看出，利用sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间的关系能够解决有关三角函数问题，应引起重视.。

3.1 同角三角函数的基本关系知识梳理1.基本关系式sin 2α+cos 2α=1；tanα=ααcos sin . 2.基本关系式成立的条件当α∈R 时，sin 2α+cos 2α=1成立；当α≠k·180°+90°(k∈Z )时，ααcos sin =tanα成立. 3.基本关系式变形sin 2α+cos 2α=1的变形：1=sin 2α+cos 2α；sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α； sinα=±α2cos 1-；cosα=±α2sin 1-. tanα=ααcos sin 的变形：sinα=cosα·tanα;cosα=ααtan sin . 知识导学学好本节先要复习三角函数的定义；本节重点是同角三角函数的基本关系及其变形的应用，同时也是学习的难点.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

3.1 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________；(2)商数关系：tan α＝______⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 预习交流1同角三角函数的基本关系对任意角都成立吗？ 预习交流2上述两个基本关系式有哪些变形？ 预习交流3如何正确理解同角三角函数的基本关系？ 预习交流4(1)下列四个命题中可能成立的是( )． A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．tan α＝－sin αcos α(α在第二象限)(2)若sin θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos θ＝____，tan θ＝____. (3)化简：cos θ·tan θ＝__________，(1－sin θ)(1＋sin θ)＝__________.答案：(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)sin αcos α预习交流1：提示：平方关系对任意角都成立；商数关系只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立．预习交流2：提示：应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意它们的如下变形形式：如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α；sin α＝tan α·cosα，cos α＝sin αtan α.预习交流3：提示：(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用． (4)在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限来决定，不可凭空猜想．预习交流4：(1)B (2)－45 －34(3)sin θ cos 2θ一、求值问题1．求同一个角的三角函数值(1)已知sin α＝45，且α是第二象限的角，求cos α，tan α.(2)(2011·上海春季高考题改编)在△ABC 中，tan A ＝23，求sin A 和cos A 的值． 思路分析：(1)已知sin α的值，且知道了角α所在的象限，由sin 2α＋cos 2α＝1直接求出cos α，再利用tan α＝sin αcos α求tan α.(2)题中的前提条件“在△ABC 中”实际上暗示了角A ∈(0，π)，又给出tan A ＝23，进一步明确了角A 是锐角，因此，在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值．已知tan α＝－5，且α是第二象限角，求sin α，cos α.利用同角三角函数关系求值可以按以下步骤、方法进行：(1)一看：由题设的条件能否确定角的范围，角的范围直接决定三角函数值解的个数． (2)二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，再列方程(组)，具体如下： ①若已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下变形：②若已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下变形：(3)三算：利用步骤(2)建立方程(组)，并结合步骤(1)确定角的范围，写出该角的三角函数值．2．关于sin α，cos α齐次式的求值(1)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )．A ．0B.34C ．1D.54 (2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )． A ．－43B.54C ．－34D.45思路分析：将待求式(或已知式)中的弦化切，充分利用sin αcos α＝tan α和sin 2α＋cos 2α＝1的代换．(3)已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，求sin θcos θ的值．(2012·山东潍坊高三期末，5)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )．A.25B ．－25C ．－2D ．2关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cos nα(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子． 3．含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．思路分析：欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．已知0＜α＜π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号． 二、化简三角函数式化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.思路分析：本题中需化简的式子既有正弦、余弦，也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简．为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关系”开方化简．化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．三、证明三角恒等式求证：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin 2αtan α.思路分析：所要求证的等式左右两边均比较繁琐时，由一边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较．求证：(1)sin 4α－cos 4α＝2sin 2α－1；(2)tan 2α－sin 2α＝tan 2αsin 2α.证明三角恒等式的策略证明三角恒等式，实际上就是将等式左右两端表面看似存在较大差异的式子，通过巧妙变形后消除差异，使其左右两端相等．为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：(1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左右两边都等于同一个式子．(3)变更论证，采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式． 答案：活动与探究1：解：(1)由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α，因为α是第二象限角，cos α＜0，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－43.(2)由题意知A ∈(0，π)且tan A ＝23， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而sin A ＞0，cos A ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos A ＝23，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝2211，cos A ＝31111. 迁移与应用：解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－5，①②由②得sin α＝－5cos α，代入①得cos 2α＝16.∵α是第二象限的角，∴cos α＝－66，sin α＝－5cos α＝－5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝306. 活动与探究2：(1)B (2)D 解析：(1)分子、分母同时除以cos α(cos α≠0)得，2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.(2)将分母看作1＝sin 2θ＋cos 2θ，原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. (3)解：∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 迁移与应用：A 解析：原式化为tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2.∴sin 2α－sin αcosα＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α1＋tan 2α＝25.活动与探究3：解：将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75.迁移与应用：解：∵0＜α＜π，sin αcos α＝－60169＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－60169＝289169，∴sin α－cos α＝1713. 活动与探究4：解：原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1cos α－11cos α＋1＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1. 迁移与应用：解：原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝－1＋sin αcos α＋1－sin αcos α＝－2sin αcos α＝－2tan α.活动与探究5：证明：左边＝1＋2sin α·cos α，右边＝1＋2sin 2αsin αcos α＝1＋2sin α·cos α＝左边．∴等式成立．迁移与应用：证明：(1)左边＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝右边． ∴等式成立．(2)右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2αcos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2αcos 2α ＝tan 2α－sin 2α＝左边． ∴等式成立．1．化简1－sin2π5的结果是( )． A ．cos π5B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π52．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为( )．A.43B ．－43C.35D ．－343．已知α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A.15B ．－15C.513D ．－5134．化简1＋2sin 4cos 4＝______. 5．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.答案：1．A 解析：原式＝cos2π5＝cos π5. 2．B 解析：∵3π2＜θ＜2π，且cos θ＝35，∴sin θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.3．D 解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513.而α是第四象限的角，∴sin α＝－513.4．－(sin 4＋cos 4)解析：原式＝sin 24＋2sin 4cos 4＋cos 24＝(sin 4＋cos 4)2＝|sin 4＋cos 4|＝－(sin 4＋cos 4)(∵sin 4＜0，cos 4＜0)．5．解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17.(2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

2021年高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系自我小测北师大版必修1．若sin α＝m ，cos α＝3m ，则( )A ．m ∈[－1,1]B ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．m ＝14 D ．m ＝±122．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值是( ) A ．43 B ．－43 C ．35 D ．－343．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－3 4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．85．1－sin 210°＝( )A ．－sin 10° B．－cos 10°C ．sin 10°D ．cos 10°6．若sin x ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝______.7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝__________.8．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．9．已知A 是△ABC 的一个内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A 的值． 10．已知sin θ＋cos θ＝－105， (1)求1sin θ＋1cos θ的值； (2)求tanθ的值．参考答案1．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1，得m 2＋(3m )2＝1，解得m ＝±12. 答案：D2．解析：由3π2＜θ＜2π知sin θ＜0，且sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，故tan θ＝sin θcos θ＝－4535＝－43. 答案：B3．解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋2tan α＋1tan 2α－1＝－13. 答案：C4．解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 答案：C5．解析：原式＝cos 210°＝cos 10°.答案：D6．解析：∵sin x ＋sin 2x ＝1，∴sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x ，∴cos 2x ＋cos 4x ＝sin x ＋sin 2x ＝1.答案：17．解析：∵a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ， ∴3cos α－4sin α＝0.∴tan α＝34.答案：348．分析：由已知求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12， ∴α为第一或第四象限角．若α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.若α为第四象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 9．解：由tan A ＝－54，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则sin A cos A ＝－54，即sin A ＝－54cos A . 又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝－44141， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝54141. 10．解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25， 即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝sin θ＋cos θsin θcos θ＝2103. (2)由(1)得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103， 所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.。

3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+2π,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根. 三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3)οο60cos 60sin ;(4)οο135cos 135sin .思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究 提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tanα(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+2π,k ∈Z.②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sinα=54,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259.又因为α是第二象限角,所以cosα＜0.于是cosα=259-=-53,从而tanα=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tanα=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果. 变式训练(2006上海,6)如果cosα=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cosα=51,且α是第四象限的角, ∴sinα=22)51(1cos 1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sinα=562.答案:562 例2 已知cosα=-178,求sinα,tanα的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cosα＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cosα=-1).解:因为cosα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sinα= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tanα=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sinα=-175,tanα=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解. 变式训练已知cosα=1312,求sinα和tanα. 解:因为cos α=1312＞0,且cosα≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sinα＞0. sinα=135)1312(1cos 122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sinα＜0. sinα=125cos sin tan ,135cos12-==-=--αααα例3 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tanα=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11sinα=cosαtanα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα. 解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sinα=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tanα=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4. 课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式. 3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sinα=cosα·tanα,cosα=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题. 推进新课 应用示例例1 求证:xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x xx x x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边. 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为x x x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+--=x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立. 变式训练求证:x x x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-•+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x xx x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-•+=左边.分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x xx x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-•++ =xxtan 1tan 1-+=右边.例2 化简ο440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值. 变式训练化简:οο40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化. 解:因为cosθ≠0, 所以,原式=θθθθcos sin cos sin +=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ).点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 知能训练课本本节练习2 1、2 课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法. 作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α. 2.已知tanα=2,求ααααcos sin cos sin -+的值.答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题 1.已知sinα=54,且2π＜α＜π,则tanα的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D. 432.若sinθ-cosθ=2,则sinθ·cosθ=_______,tanθ+θtan 1=______________, sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tanα=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cosα-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α. 参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα. (2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-•+ααααααααα 5121)21(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β),∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=). ∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。

3.1 同角三角函数的基本关系课后导练基础达标1.已知cos θ=54-,且θ为第二象限角,则tan θ等于（ ） A.43 B.43- C.34- D.34 解析:∵θ为第二象限角,∴sin θ=53,tan θ=43cos sin -=θθ. 答案:B2.已知tan α=2,则αααααcos sin 2sin cos sin 2+的值是（ ） A.1 B.21 C.-1 D.-21 解析:原式=2322tan 3tan tan 22⨯+=+ααα=1. 答案:A3.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π,则cos α-sin α的值等于（ ） A.23 B.43 C.23- D.±23 解析:(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×81=43,又4π<α<2π,cos α-sin α<0.∴cos α-sin α=23-. 答案:C4.已知αααα22sin 1cos cos 1sin -=-,则α的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第一或第三象限D.第三或第四象限解析:|cos |cos sin 1cos ,|sin |sin cos 1sin 22αααααααα=-=-,若这两部分相等,则sin α与cos α同号.∴α在第一或第三象限.答案:C5.若β∈［0,2π),且ββ22sin 1cos 1-+-=sin β-cos β,则β的取值范围是（ ）A.［0,2π)B.［2π,π］C.［π,23π］D.［23π,2π) 解析:∵ββββ2222cos sin sin 1cos 1+=-+-=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β, ∴sin β≥0,cos β≤0,∴β是第二象限角(包括x 轴负半轴和y 轴正半轴).∵0≤β<2π,∴β∈［2π,π］. 答案：B 6.2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα+=-(0＜α＜2π)=_____________. 解析:要灵活运用“1”,同时注意开方时符号的选取.原式=22)2cos 2(sin )2cos 2(sinαααα++- =|sin 2α-cos 2α|+|sin 2α+cos 2α|. ∵0<α<2π,∴0<2α<4π. ∴sin 2α-cos 2α<0,sin 2α+cos 2α>0. ∴上式=cos 2α-sin 2α+sin 2α+cos 2α=2cos 2α. 答案：2cos 2α 7.已知sin α=135-,并且α是第四象限角,求cos α,tan α. 解析:由sin α,cos α之间的关系式sin 2α+cos 2α=1及第四象限角的余弦cos α>0得cos α=,1312)135(1sin 122=--=-αtan α=1251213135cos sin -=⨯-=αα. 8.已知α是三角形的内角,sin α+cos α=51,求tan α的值. 解析:将sin α+cos α=51两边平方,得sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=251. ∵sin 2α+cos 2α=1,∴2sin αcos α=2524-<0. ∵α是三角形的内角,∴cos α<0.故2π<α<π, ∴sin α-cos α>0. 由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25492524=得sin α-cos α=57.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.53cos ,54sin .57cos sin ,51cos sin αααααα得∴tan α=345354cos sin -=-=αα. 9.求证:θθθθθθcos sin 1sin cos 1sin cos 1+=-+++ 证明:左边=)sin cos 1(cos sin 1)sin 1(cos )sin cos 1(cos cos sin cos cos sin cos 1sin cos 122θθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-++=-+++=-+++ θθθθθθθθcos sin 1)sin cos 1(cos )sin 1)(cos sin 1(+=-+-++==右边. ∴原式成立.10.已知tan α=2,求下列各式的值: (1)ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; (2)αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2-- 解析: (1)9243229tan 43tan 29cos sin 4cos cos 3cos sin 2cos 9sin 4cos 3sin 2-⨯-⨯=--=--=--αααααααααααα=-1. 或∵tan α=ααcos sin =2, ∴sin α=2cos α.∴原式=ααααcos 9cos 24cos 3cos 22-⨯-⨯=-1. (2)759243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. 综合运用11.已知A 为三角形内角，且sinAcosA=81-，则cosA-sinA 的值为（ ） A.23- B.±23 C.±25 D.25- 解析:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ求解.∵A 为三角形内角，则A∈(0,π).。

3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tan α中的α是使得tan α有意义的值,即α≠k π+2,k ∈Z .已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根. 三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin .思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究 提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. 根据三角函数的定义,当α≠k π+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tan α(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠k π+2π,k ∈Z.②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值. 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cos α的值最容易求得,在求cos α时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题. 解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259. 又因为α是第二象限角,所以cos α＜0.于是cos α=259-=-53,从而tan α=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan α=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果. 变式训练(2006上海,6)如果cos α=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cos α=51,且α是第四象限的角, ∴sin α=22)51(1cos1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sin α=562. 答案:562 例2 已知cos α=-178,求sin α,tan α的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cos α＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cos α=-1).解:因为cos α＜0,且cos α≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sin α= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tan α=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sin α=-175,tan α=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解. 变式训练已知cos α=1312,求sin α和tan α. 解:因为cos α=1312＞0,且cos α≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sin α＞0. sin α=135)1312(1cos122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sin α＜0. sin α=125cos sin tan ,135cos 12-==-=--αααα例3 已知tan α为非零实数,用tan α表示sin α、cos α.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值.由tan α≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cos α,进而求出sin α.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tan α=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+=由tan α为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cos α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11sin α=cos αtan α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次. 变式训练已知cos α≠0,用cos α表示sin α、tan α. 解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sin α=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tan α=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4. 课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式. 3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=cos α·tan α,cos α=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题. 推进新课 应用示例例1 求证:xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sin α,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x xx x x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边.所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为x x x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+--=x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xxx x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立. 变式训练求证:x x x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-∙+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x xx x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-∙+=左边. 分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x xx x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-∙++ =xxtan 1tan 1-+=右边.例2 化简 440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值. 变式训练化简: 40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sin αcos α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,这是一个很重要的结论.3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化. 解:因为cos θ≠0, 所以,原式=θθθθcos sin cos sin +=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ).点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 知能训练课本本节练习2 1、2 课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法. 作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α. 2.已知tan α=2,求ααααcos sin cos sin -+的值.答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题 1.已知sin α=54,且2π＜α＜π,则tan α的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D. 432.若sin θ-cos θ=2,则sin θ·cos θ=_______,tan θ+θtan 1=______________, sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tan α=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cos α-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α. 参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα. (2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-∙+ααααααααα 5121)2(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β),∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=). ∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。

3.1 同角三角函数的基本关系自我小测1．若sin α＝m ，cos α＝3m ，则( )A ．m ∈[－1,1]B ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．m ＝14 D ．m ＝±122．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值是( ) A ．43 B ．－43 C ．35 D ．－343．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－3 4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．85．1－sin 210°＝( )A ．－sin 10° B．－cos 10°C ．sin 10°D ．cos 10°6．若sin x ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝______.7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝__________.8．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 9．已知A 是△ABC 的一个内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A 的值． 10．已知sin θ＋cos θ＝－105， (1)求1sin θ＋1cos θ的值； (2)求tan θ的值．参考答案1．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1，得m 2＋(3m )2＝1，解得m ＝±12. 答案：D2．解析：由3π2＜θ＜2π知sin θ＜0，且sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，故tan θ＝sin θcos θ＝－4535＝－43. 答案：B3．解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋2tan α＋1tan 2α－1＝－13. 答案：C4．解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 答案：C5．解析：原式＝cos 210°＝cos 10°.答案：D6．解析：∵sin x ＋sin 2x ＝1，∴sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x ，∴cos 2x ＋cos 4x ＝sin x ＋sin 2x ＝1.答案：17．解析：∵a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0.∴tan α＝34. 答案：34 8．分析：由已知求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12， ∴α为第一或第四象限角．若α为第一象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. 若α为第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 9．解：由tan A ＝－54，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则sin A cos A ＝－54，即sin A ＝－54cos A . 又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝－44141， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝54141. 10．解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25， 即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝sin θ＋cos θsin θcos θ＝2103. (2)由(1)得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103， 所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.。

学 习 资 料 专 题3.1 同角三角函数的基本关系自我小测1．若sin α＝m ，cos α＝3m ，则( )A ．m ∈[－1,1]B ．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．m ＝14 D ．m ＝±122．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值是( ) A ．43 B ．－43 C ．35 D ．－343．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－3 4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．85．1－sin 210°＝( )A ．－sin 10° B．－cos 10°C ．sin 10°D ．cos 10°6．若sin x ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝______.7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝__________.8．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 9．已知A 是△ABC 的一个内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A 的值． 10．已知sin θ＋cos θ＝－105， (1)求1sin θ＋1cos θ的值； (2)求tan θ的值．参考答案1．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1，得m 2＋(3m )2＝1，解得m ＝±12. 答案：D2．解析：由3π2＜θ＜2π知sin θ＜0，且sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，故tan θ＝sin θcos θ＝－4535＝－43.答案：B3．解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋2tan α＋1tan 2α－1＝－13.答案：C4．解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.答案：C5．解析：原式＝cos 210°＝cos 10°.答案：D6．解析：∵sin x ＋sin 2x ＝1，∴si n x ＝1－sin 2x ＝cos 2x ，∴cos 2x ＋cos 4x ＝sin x ＋sin 2x ＝1.答案：17．解析：∵a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0.∴tan α＝34.答案：348．分析：由已知求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12， ∴α为第一或第四象限角．若α为第一象限角， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. 若α为第四象限角， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 9．解：由tan A ＝－54，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则sin A cos A ＝－54，即sin A ＝－54cos A . 又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝－44141， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝54141. 10．解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25， 即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝sin θ＋cos θsin θcos θ＝2103. (2)由(1)得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103， 所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.。