8.2.2整式除法(1)--2017.3.27

整式的除法（基础）【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷；（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭ 21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 21432n xy z -=-． （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．举一反三：【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．2、金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； （2）()()32271833x x x x -+÷-.【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 54325242323211224111124424482x x x x x x x x x x x x x⎛⎫=++÷ ⎪⎝⎭=÷+÷+÷=++ （2）()()32271833x x x x -+÷- ()()()32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷；（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．举一反三：【变式1】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．【答案】解： （1）原式223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． 【变式2】计算：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ． 解：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ，=（9a 2+6ab+b 2﹣b 2）÷3a ，=（9a 2+6ab ）÷3a ，=3a+2b。

整式除法法则公式(一)整式除法法则公式1. 一次整式除法法则公式一次整式除法法则公式用于两个一次整式相除的情况，其公式为：被除式 = 除数× 商 + 余数例如：将被除式3x+5除以除数x+2。

首先，我们找到被除式中与除数的首项3x相乘后，得到3x2+6x。

然后，我们将其减去被除式，得到(3x2+6x)-(3x+5)=3x2+6x-3x-5=3x2+3x-5。

此时，我们可以继续进行整式除法。

继续整除时，我们发现被除式3x2+3x-5中没有与除数x+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x2+3x-5作为余数。

因此，将被除式3x+5除以除数x+2的结果为商3与余数3x^2+3x-5。

2. 二次整式除法法则公式二次整式除法法则公式用于两个二次整式相除的情况，其公式为：(被除式) = (除数) × (商) + (余数)例如：将被除式2x^2+5x+3除以除数x+3。

我们首先找到与除数首项2x相乘的结果2x3+6x2，然后将其减去被除式，得到(2x3+6x2)-(2x2+5x+3)=2x3+6x2-2x2-5x-3=2x3+4x2-5x-3。

此时，我们可以继续进行整式除法。

继续整除时，我们发现被除式2x3+4x2-5x-3中没有与除数x+3的次数匹配的项，因此将剩余的2x3+4x2-5x-3作为余数。

因此，将被除式2x2+5x+3除以除数x+3的结果为商2x与余数2x3+4x^2-5x-3。

3. 多次整式除法法则公式多次整式除法法则公式用于两个多次整式相除的情况，其公式与二次整式除法法则公式相同。

例如：将被除式3x3+2x2+5x+1除以除数x^2+2。

我们首先找到与除数首项3x相乘的结果3x2，然后将其减去被除式，得到(3x3+2x2)-(3x2+6x)=3x3+2x2-3x2-6x=3x3-x^2-6x。

此时，我们可以继续进行整式除法。

继续整除时，我们发现被除式3x3-x2-6x中没有与除数x2+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x3-x^2-6x作为余数。

整式的除法1. 什么是整式在代数中，整式是由数字常数、变量和运算符组成的代数表达式。

它包括多项式和有理函数。

其中，多项式是整数次幂的变量和常数乘积的代数表达式。

2. 整式的除法概述整式的除法是指对两个或多个整式进行相除的运算。

这种运算在代数中非常常见，是解决实际问题和简化代数表达式的重要方法之一。

在整式的除法中，我们会遇到除数、被除数和商三个概念。

被除数是要被除的整式，除数是用来除被除数的整式，商则是除法运算的结果。

3. 整式的除法步骤整式的除法一般需要按照以下步骤进行：步骤一：整理被除数和除数首先，需要对被除数和除数进行整理，使其按照降幂排列，并且确保各项的变量次数相同。

步骤二：确定商的首项商的首项是指商中的第一项，需要根据被除数和除数的首项来确定。

首先取被除数的首项，然后除以除数的首项，得到商的首项。

步骤三：用商的首项乘以除数，并减去被除数用商的首项乘以除数，并将其结果减去被除数，得到一个新的多项式。

步骤四：重复上述步骤重复步骤二和步骤三，直到无法进行下去为止。

每一次重复都会得到一个新的多项式，其中商的项数增加一项，直到整个被除式被除尽。

步骤五：写出最终的商和余数经过重复步骤四后，最后得到的多项式为商，而剩下的无法再进行除法运算的多项式为余数。

4. 整式的除法示例下面通过一个示例来说明整式的除法步骤：被除数：3x^3 + 5x^2 + 2x + 1除数：x + 1首先，整理被除数和除数，它们都已经按照降幂排列，并且各项的变量次数相同。

然后，确定商的首项，根据被除数的首项3x3和除数的首项x计算得到商的首项为3x2。

接下来，用商的首项乘以除数，在这个例子中，3x^2乘以x + 1得到3x^3 + 3x2。

然后，将得到的结果减去被除数，即(3x3 + 3x^2) - (3x^3 + 5x^2 + 2x + 1)，得到-2x^2 - 2x - 1。

经过第一次除法运算，得到的商为3x2，余数为-2x2 - 2x - 1。

七年级下册整式除法知识点整式除法是七年级下册数学中重要的知识点之一，它在数学中具有极其重要的位置。

整式除法是指将一个整式（多项式）除以另一个整式的运算，下面就来详细了解一下整式除法的知识点。

1. 什么是整式？整式是一类特殊的多项式，多项式是由常数和变量的积以及常数相加减的代数式组成的。

一个多项式中，如果每一项的次数都是一样的，那么这个多项式就是整式。

例如，2x^3-5x^2+3x-7就是一个整式，而3x+2xy-4不是整式。

整式有常数项、一次项、二次项等。

2. 整式的除法整式的除法就是将一个多项式除以另外一个多项式的运算。

除数和被除数一般都是整式，这是整式除法的基础。

整式除法的答案也是一个整式，即商式。

3. 整式的性质（1）整式除法满足唯一性，即对于任意的多项式f和g，存在唯一的商式q和余式r，使得f=gq+r，并且r的次数小于g的次数。

（2）整式除法满足可减性，即如果f=q1g+r1，g=q2h+r2，则f=(q1q2)h+(q2r1+r2)。

在整式的计算过程中，可用可减性使整个过程更加简单。

（3）整式的系数也可以是复数，例如，x^2+(2+3i)x-1除以x+1就是(x+1)+(2+2i)。

4. 整式的除法步骤（1）先将除数与被除数按照次数从高到低排列，确保计算的准确性。

（2）将被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商。

（3）将商乘以除数，然后减去被除数，得到余数。

（4）将余数再次除以除数，得到新的商。

（5）重复上述步骤，直到余数的次数小于等于除数的次数。

（6）最后的商即为整式的商式，而最后的余数即为整式的余式。

5. 一个简单的例子例如，将多项式f(x)=x^3+2x^2+3x+1除以g(x)=x+1。

（1）首先将f(x)和g(x)按照次数排列，得到f(x)=x^3+2x^2+3x+1，g(x)=x+1。

（2）将f(x)的最高次项x^3除以g(x)的最高次项x，得到商x^2。

（3）将x^2乘以g(x)得到x^3+x^2，然后减去f(x)得到x^2+x+1。

整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。

整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。

本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。

一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。

例如，3x^2+2xy-5是一个整式。

整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。

在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。

二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。

下面分别介绍这两种方法的具体步骤。

1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。

其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。

（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。

（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。

（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。

（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。

2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。

其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。

（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。

（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。

（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。

（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。

三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。

例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。

解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。

用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。

将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。

初二数学整式的除法知识点总结①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

希翼同学们认真学习上面的知识点，相信老师对整式的除法知识点的总结一定能很好的匡助同学们的学习的。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希翼同学们很好的掌握下面的.内容。

水平的数轴称为 x 轴或者横轴，竖直的数轴称为 y 轴或者纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④ 原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；普通情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希翼同学们都能考试成功。

《农田里的数学除数是两位数的除法》四年级数学上册教学反思今天我讲了：除数是两位数的除法，感觉教学效果不太好，反思教学过程，感悟颇多。

早就听有经验的老师说过，这堂课不太好上，学生们接受的要慢一些，今天看来确实有一定的难度，本来教学设计就有点生硬、过程无趣，学生迟迟找不到感觉和好的方法，惟独一步一步慢慢引导。

除数是两位数的除法，是小学生学习整数除法的最后阶段，教学重点是确定商的.书写位置，除的顺序及试商的方法，匡助学生解决笔算的算理；难点就是试商。

课上我先让学生回顾除数是一位数除法的计算过程，孩子们能够说出要先从最高位开始除起，最高位不够除，就要看前两位，除到哪一位就把商写在哪一位。

在学习除数是两位数的除法的笔算时，学生已经有了口算的基础，在试商时，学生按老师要求先把想的内容写下来，例如： 24560=？想： 604=240,240 最接近 245，所以商试 4。

初中数学整式的除法规则是什么整式的除法规则是指在代数中，将一个整式除以另一个整式的运算规则。

下面是对整式的除法规则的详细解释：1. 除法的定义：对于两个整式f(x) 和g(x)，其中g(x) ≠ 0，我们可以定义它们的除法为q(x) 与r(x) 的形式，满足f(x) = g(x) * q(x) + r(x)，其中q(x) 是商式，r(x) 是余式，且r(x) 的次数小于g(x) 的次数。

2. 短除法：短除法是一种用来简化整式除法的方法。

它适用于除式为一元一次式的情况。

具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。

b) 将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。

c) 用商式的最高次项乘以除式，然后将结果减去被除式。

d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行短除。

3. 长除法：长除法是一种适用于任意次数的整式除法的方法。

具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。

b) 从被除式的最高次项开始，将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。

c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。

d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行长除。

4. 带余除法：带余除法是整式除法中的一种特殊情况，其中被除式的次数小于等于除式的次数。

具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。

b) 将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。

c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。

d) 当新的多项式的次数小于除式的次数时，此时的新多项式为余式。

以上是整式除法的基本规则和方法。

通过短除法、长除法和带余除法，我们可以将整式除法问题简化，从而更方便地进行计算和求解。

在实际应用中，整式的除法规则经常被用于解决方程、简化表达式等问题。

希望以上内容能够对你的学习有所帮助。

整式除法知识点总结一、整式除法的概念整式是指由字母和数字组成的代数式，包括有理式和无理式。

整式除法是指两个整式相除的运算。

在进行整式除法时，被除数除以除数得到商，商与除数的乘积再与被除数相减后，得到余数为零的整除。

整式除法是代数式的一种运算方法，主要包括多项式的除法和分式的除法。

二、多项式的除法1. 多项式的概念多项式是指由多项式基本运算规律所产生的代数式。

它由有限个单项式相加减而成，如：3x^2+2x-1。

2. 多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要包括以下几个步骤：（1）将被除式按照x的幂次从高到低排列。

（2）将除式按照x的幂次从高到低排列。

（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商。

（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数。

（5）循环进行以上步骤，直至得到余数为零的整除为止。

3. 多项式除法的例子例如：计算多项式的除法（x^3-3x^2+5）÷（x-2）。

（1）将被除数按照x的幂次从高到低排列，得到x^3-3x^2+5。

（2）将除数按照x的幂次从高到低排列，得到x-2。

（3）用被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商，得到x^2-2x。

（4）将得到的商与除数相乘后加减，得到的结果与被除式相减，得到新的被除数，得到了余数为4x+5。

（5）得到余数为零的整除。

三、分式的除法1. 分式的概念分式是指分母式不为零的代数式，它包括真分式和假分式，如：a/b。

2. 分式除法的步骤分式的除法主要包括以下步骤：（1）将除数和被除数化为通分形式。

（2）将被除数改写为乘法的倒数。

（3）将乘法的倒数与除数相乘。

（4）化简分式，得到最简形式。

3. 分式除法的例子例如：计算分式的除法（3/x）÷（2/x-1）。

（1）将除数和被除数化为通分形式，得到3/x÷(2-1x)/x=(3/x)*(x/2-x)（2）将被除数改写为乘法的倒数，得到3/x*(x/2-x)（3）将乘法的倒数与除数相乘，得到3/2-x（4）化简分式，得到最简形式，得到3/2-x。