离散数学试题(A卷答案)

离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。

乙说：王教授不是上海人，是苏州人。

丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。

试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。

则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。

所以，丙至少说对了一半。

因此，可得甲或乙必有一人全错了。

又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。

同理，乙全错则甲全对。

所以丙必是一对一错。

故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。

三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。

证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。

安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。

2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。

3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。

5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。

6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。

离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。

乙说：王教授不是上海人，是苏州人。

丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。

试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。

则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。

所以，丙至少说对了一半。

因此，可得甲或乙必有一人全错了。

又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。

同理，乙全错则甲全对。

所以丙必是一对一错。

故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T因此，王教授是上海人。

三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。

证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。

安徽大学20 xx —20 xx 学年第 2 学期《 离散数学（下） 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．设R 为实数集合，则下列集合关于加法运算不是,R <+>的子代数的是（ ） A.偶数集合； B.奇数集合； C.自然数集合； D.整数集合。

2．下列关于群的说法正确的是（ ）A.质数阶的群必为循环群；B.有限群必为循环群；C.循环群必为质数阶群；D.循环群必为有限群。

3．设R 为实数集合，则20(),0a M R a b R b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭关于矩阵的加法和乘法构成（ ） A.有幺元的交换环； B.无幺元的非交换环； C.无幺元的交换环； D.有幺元的非交换环。

4．设I 为整数集合，则下列关系是代数,I <+>上的同余关系的是（ ）A.||0x y x y ⇔-≤；B.(00)(00)x y x y x y ⇔<∧<∨≥∧≥；C.xy x y ⇔≤； D.(0)(00)xy x y x y ⇔==∨≠∧≠。

5．下列集合关于整除关系构成格的是（ ）A.{1,2,3,4,6}；B.{1,2,3,6}；C.{2,3,6}；D.{1,2,3}。

6．在布尔代数,,,,0,1B '<*⊕>中任取两元素,a b ，下列命题与a b ≤不一定等价的是（） A.a b a *=； B.a b b ⊕=； C.0a b '*=； D.1a b '⊕=。

7．在布尔代数>'⊕*<1,0,,,,B 上定义的n 元布尔表达式所对应的不同主析取范式总个数为（ ） A.n2； B.nBB； C.nB2； D.nB 。

8．设无向图,G V E =<>中{1,2,3,4,5}V =，{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1),(2,5)}E =， 则{2,4}V '=不是图G 的（ ）A.点割；B.支配集；C.点覆盖；D.独立集。

南京邮电大学2016/2017学年第一学期《离散数学》期末试卷（A 卷答案）院(系)班级学号姓名题号一二三四总分得分一、填空题（20分，每空2分）1、A×B={<1,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>,<1,2>,<2,1>}，P (B )是B 的幂集，则P (B )={∅,{1},{2},{1,2}}，|P (P (B ))|=16。

2、设集合A ={x|x 是book 中的字母}，B ={x|x 是black 中的字母}，则A B ={b ,k }，A-B ={o }。

3、设P ：我今天进城，Q ：今天下雨，则命题“我今天进城，除非下雨。

”可符号化为¬Q →P 或P ∨Q 或¬P →Q 。

4、设A={1,2,3}，P (A )是A 的幂集，代数系统(),P A <> 的幺元为∅，零元为A 或{1,2,3}。

5、无向图G =<V ,E >，如图1所示，则该无向图的点连通度()k G =2，边连通度()G λ=2，结点v 1到v 1的长度小于等于3的回路的数目=7。

二、判断题，正确的记“T”，错误的记“F”。

（20分，每题2分）1、Q P P Q ⌝∨⇔→（F ）2、命题函数是命题。

（F）3、{|()()}x P x P x φ=∧⌝，其中()P x 是任意谓词。

（T ）4、A 和B 为两个不相等的非空集合，则一定有A B B A ⨯≠⨯。

（T ）5、若R 为集合A 上的关系，且R 不是对称的，则R 一定是反对称的。

（F ）6、无向完全图K n (n >2)一定是汉密尔顿图。

（T）7、在代数系统中，若元素a 既有左逆元，又有右逆元，则a 一定有逆元。

（F ）8、存在不同构的8元布尔格。

（F ）9、有补格一定是有界格且每个元素都存在一个或多个补元。

（T）得分得分装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊10、结点的度全为偶数的无向简单图一定可以一笔画。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学英才学院2022 -2022学年第 1学期期 末 考试 A 卷离散数学 课程考试题 A 卷 〔 120分钟〕 考试形式：闭卷 考试日期 2022 年 月 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 100 分I.Multiple Choice (15%, 1.5 points each)〔A 〕 1. (p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) p ∧q〔A 〕 2. If P(A) is the power set of A, and A = ∅, what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216〔C 〕 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Today is Monday. ` b) 1+1=2.c) Am I right? d) Go and play with me.〔C 〕 4. Which of these propositions is not logically equivalent to the other three?a) (p → q) ∧ (r → q) b) (p ∨ r) → qc) (p ∧r) → q d) The contrapositive of ¬q → (¬p ^ ¬r)〔B 〕 5. Suppose | A | = 3 and | B | = 8. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 24 b) P (8,3). c) 38 d) 83〔B 〕 6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x is a factor of y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ? a) symmetric, transitiveb) antisymmetric, transitive, reflexive c) antisymmetric, symmetric, reflexive d) symmetric, transitive, reflexive〔C 〕 7. Which of the following are partitions of },,,,,,,{h g f e d c b a U =?a)},,,,,{},,,{},{h g f e d c c b a a . b) },,,,,{},,{},{h g f e d c c b a c) }{},,{},,{},,,{h f e c b g d a . d) },,,,{},,{},,{h g f e d c b b a〔C 〕 8. The function f(x)=x 2log(x 3+78) is big-O of which of the following functions?a) x 2 b) x(logx)3 c) x 2logx d) xlogx〔A 〕 9.If 1010110111101101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , then R is: a) reflexive b) symmetric c) antisymmetric d) transitive.〔B 〕 10. Which of the followings is a function from Z to R ?………密………封………线………以………内………答………题………无………效……a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 21)(2-=n n fII. True or False (10%, 1 point each) 〔T 〕 1. If 1 < 0, then 5 = 6. 〔F 〕 2. (p ∧ q) ∨ r ≡ p ∧ (q ∨ r)〔F 〕 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . 〔T 〕 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).〔F 〕 5.()h x =is defined as a function with domain R and codomain R.〔T 〕 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? 〔T 〕 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .〔F 〕 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .〔T 〕 9. (A - B ) ⋃ (A - C ) = A - (B ⋂ C ).〔T 〕 10. The set{∅,{a },{∅},{a ,∅}} is the power set of some set III. Fill in the Blanks (20%, 2 points each)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal 〞 and “I rob banks 〞. Express in simpleEnglish the proposition “if p then q 〞: If I am a criminal them I rob banks. 2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy 〞, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y )is False .3. T he negation of the statement “No tests are easy.〞 is some tests are easy.4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is ∅.5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is {∅, {x}, {y},{x,y}}.6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg ={(1,2),(2,3),(3,3),(4,2)}.7. The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is 211 - 2 .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is 12 ⋅ 4 + 45 ⋅ (1). 9.There are 5! permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. The two's complement of -13 is 1 0011 . IV. Answer the Questions (32%, 4points each)：1. Determine whether the following argument is valid:………密………封………线………以………内………答………题………无………效……p→rq→rq∨⌝r________∴⌝pAns: Not valid: p true, q true, r true2.Suppose you wish to prove a theor em of the form “if p then q〞.(a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove?(b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove?(c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove? Ans: (a) Assume p, prove q.(b) Assume ⌝q, prove ⌝p.(c) Assume p∧⌝q, show that this leads to a contradiction.3.Prove that A B A B⋂=⋃by giving a proof using logical equivalence.Ans:()()()() A B x x A Bx x A Bx x A Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A B A B ⋂={|∈⋂}={|∉⋂}={|⌝∈⋂}={|⌝∈∧∈}={|⌝∈∨⌝∈}={|∉∨∉}={|∈∨∈}={|∈⋃}=⋃4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T). Ans: (a) {0,1,2,3}(b) [6,12).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).………密………封………线………以………内………答………题………无………效……Ans: 5555322226446410573763n n n n n n n n n n +-+≤==--, if n ≥ 2. 6. Solve the linear congruence 5x ≡ 3 (mod 11).Ans: 5 + 11k .7. Use the Principle of Mathematical Induction to prove that 1311392732n n+-++++...+= for alln ≥ 0.Ans: P (0):13112-= , which is true since 1 = 1. P (k ) → P (k + 1):111211313123311333222k k k k k k ++++++--+⋅-++...+=+==.8．Encrypt the message NEED HELP by translating the letters into numbers, applying the encryption function f(p ) = (3p + 7) mod 26, and then translating the numbers back into letters.Ans: Encrypted form: UTTQ CTOA.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qAns:a) ⌝p ∧(p ∨q)≡(⌝p ∧p)∨(⌝p ∧ q)≡flase[⌝p ∧(p ∨q)]→q ≡ false →q ≡⌝false ∨q ≡true ∨q ≡true (3points)b)[p ∧(p →q)]→q ≡(⌝[p ∧(⌝p ∨q)])∨q ≡(⌝p ∨(p ∧⌝q))∨q ≡((⌝p ∨p)∧(⌝p ∨⌝q))∨q ≡⌝p ∨⌝q ∨q ≡true (3points)VI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst case time………密………封………线………以………内………答………题………无………效……complexity of this algorithm?a) procedure min(a1, a2, …, an: integers)(4points)v := a1 {largest element so far}for i := 2 to n {go thru rest of elems}if ai < v then v := ai {found smaller?}{at this poi nt v’s value is the same as the smallest integer in the list}return vb) the worst case time complexity of this algorithm is O(n). (2points)VII.(5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union of two transitive relations is transitive.Ans: A relation R on a set A is called transitive if only if (a,b)∈R and (b,c)∈R ,then (a,c) ∈R ,for a,b,c ∈A. (2points)The union of two transitive relations may be not transitive. A counter-example:A={1,2,3}, R1= {<1,1>, <2,3>}, R2={<1,2><3,3> }R1∪R2={<1.1>, <2,3><1,2><3,3>}, which is not transitive. (3points)VIII.(6%) Give an argument using rules of inference to show that the conclusion follows from the hypotheses. List all the steps in your argument.Hypotheses: All computer scientists like Star Trek. Sarah does not like Star Trek. Therefore, Sarah is not a computer scientist.Solution:Hypotheses: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek))¬Likes(Sarah, StarTrek)Conclusion: ¬ComputerScientist(Sarah)Step 1: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek)) (Hypothesis)Step 2: ComputerScientist(Sarah) →Likes(Sarah, StarTrek) (Univ. Inst. Step 1)Step 3: ¬Likes(Sarah, StarTrek) (Hypothesis)Step 4: ¬ComputerScientist(Sarah) (Modus Toll. St. 2+3)The argument is sound.Grading rubric: -3 points for making wrong assumptions.-2 points for not being able to complete the proof.-1 to -3 points for illegal usage of inference rules.。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

《离散数学》试卷(A)适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下述哪一个不是命题？（ ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。

C 、若我有空，我就看书。

D 、请勿随地叶痰！2、设A={a,b,c}，B={1,2,3}，以下哪一个关系是从A 到B 的双射函数？（ ） A 、f={<a,2>,<b,2>,<c,1>} B 、f={<a,3>,<b,1>,<c,2>} C 、f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,3>} D 、f={<a,1>,<b,2>,<a,3>}3.设<G, 。

>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 4、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 5.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A 6、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无 7、与一阶公式P(x)→VxQ(x)等值的公式是A.P(y)→VyQ(y)B.P(y)→VxQ(y)C.P(x)→VyQ(y)D.P(z)→VyQ(y)8、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0 C 、A 为1 ，B 为1 D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共7小题，每空3分，共21分）１．.设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)= 。

学年第二学期期末考试《离散数学》试卷（ A ）使用班级：命题教师：主任签字：一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。

离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。

解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。

则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。

因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。

解：论域：所有人的集合。

S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x S((x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。