二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质

二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。

本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。

一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。

3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。

4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。

5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。

当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。

1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。

当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。

2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。

b的符号改变时，平移方向也会相应改变。

二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。

利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向 向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小； 最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。

它们之间的关系如下：系数 图象的特征 系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号 对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。

本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。

教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。

二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。

三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。

能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。

情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。

教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。

四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。

让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。

先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。

它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。

二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。

一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。

二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。

从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。

以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。

二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与性质【课时安排】4课时【第一课时】【教学目标】（一）知识技能目标。

1．使学生会运用描点法画二次函数21y x =+的图象，了解函数的性质；2．让学生通过观察，自主发现一般二次函数k ax y +=2图象的性质；3．让学生通过观察比较，发现二次函数k ax y +=2与2ax y =图象之间的关系。

（二）过程性目标。

经历二次函数k ax y +=2的画图和发现二次函数k ax y +=2图象性质过程，注重探索过程的参与和体验。

【教学重难点】理解y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响。

【教学过程】一、创设情境（一）上一课我们学习了二次函数2ax y =的图象及性质，请大家回答下列问题。

说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大（小）值。

2221.2,2.2,3.y x y x y ax ==-=思考：二次函数k ax y x y x y +=+-=+=222,12,12的图象及性质是怎么样的呢？这就是本课要学习研究的内容。

二、探究归纳仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质。

在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与122+=x y 的图象。

解：列表：x－3－2－10123......22x y =188202818 (1)22+=x y 199313919……描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。

观察。

当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？答：当自变量取同一数值时，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1，反映在图象上，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的点向上移动了一个单位。

观察。

这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？答：函数122+=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。

《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。

在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。

二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。

使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。

这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。

从而提高课堂教学的效率。

三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。

二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。

四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。