余弦定理与解三角形【自主学习】

第一篇 正弦定理和余弦定理【知识清单】一、三角形有关性质（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b <c ；a>b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ；（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1sin 2bc A ；（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或2A B π+=⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sinA ＋B 2＝cos C2. 定理 正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C === 2222sin a b c bc A =+-2222sin b a c ac B =+- 2222sin c a b ab C =+-变形形式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc+-=；222cos 2a c b B ac+-= ；222cos 2a b c C ab+-= 解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中， A 为锐角 A 为钝角或直角图 形关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b >解个数无解 一解 两解 一解 一解上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.【典例归纳】考点1 利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）在△ABC 中：（1）10c =，75A =o，45C =o，求b ； （2）20a =，28c =，30A =o ，求sin B ； （3）)::21a b c =，求角A 、B 、C ；（4）7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状.解：（1）由正弦定理得sin sin b cB C =，又()()180180754560B A C =-+=-+=o o o o o得，10sin sin 2c Bb C===（2）由正弦定理得，sin sin b aB A=，故sin 28sin 307sin 2010b A B a ===o （3）令2a k =，b =，)1c k =+()0k >，由余弦定理的推论得2222222614cos 22k k k b c aA bc+-+-===45A ∴=o ，同理60B =o ，18075C A B =--=o o ，45A ∴=o ，60B =o ，75C =o .（4）b a c >>Q ，∴ B 最大由余弦定理的推论得22222276105cos 0227628a c b B ac +-+-===-<⨯⨯ 90180B ∴<<o o ，∴ ABC ∆为钝角三角形.【变式1】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c .已知90A C -=o，a c +=，求C .【变式2】ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-. （1）求B ∠的大小；（2）若72b =，ABC ∆的面积332S =，求a c +的值.【变式3】已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos 3sin a C a C b +-- 0c =.（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆3b ，c .方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.考点2 三角形解的情况的判定【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =o； （2）5a =，10b =，150A =o； （3）9a =，10b =，60A =o ； （4）18a =，24b =，44A =o .解：（1）a b >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解； （2）b a >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）sin 102b A =⨯=Q ∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；（4）sin 24sin 4424sin 45b A =<=o oQ ，又1824<，故有两解.【变式1】ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且60A =o，a =4b =，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定【变式2】在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ． 10=b ，ο45=A ，ο70=C B ．60=a ，48=c ，ο60=B C ． 7=a ，5=b ，ο80=A D ．14=a ，16=b ，ο45=A【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A. 7a =，14b =，30A =o有两解 B. 28a =，24b =，150A =o有两解 C. 6a =，9b =，45A =o有两解 D. 9b =，10c =，60B =o有两解方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()0180o o :有几个，它与已知角的和是否小于180o.考点3 三角形形状的判定【例3】在ABC ∆中，cos cos cos a A b B c C +=，试判断三角形的形状.解：由余弦定理代入已知条件得2222222220222b c a a c b a b c a b c bc ac ab+-+-+-⋅+⋅-⋅=， 整理，得()()()2222222222220a b c a b a c b c c a b +-++-+--=， 即()2224a bc -=，222a b c ∴-=±，即222a b c =+或222b a c =+根据勾股定理知ABC ∆是直角三角形.【变式1】在ABC ∆中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.【变式2】在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，试判断ABC ∆的形状.方法总结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．考点4 正、余弦定理与其他知识的综合应用【例4】ABC ∆中，已知45A =o，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 解：（1）4cos 5B =Q ，且()0,B ∈π，3sin 5B ∴== ()()cos cos cos 135C A B B =π-+=-⎡⎤⎣⎦ocos135cos sin135sin B B =+oo43252510=-⨯+=- （2）由（1）得sin 10C ===， 由正弦定理得sin sin BC ABA C ==，解得14AB =. 在BCD ∆中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，CD ∴=【变式】在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三个内角，且其对边分别为a 、b 、c .若()2cos23,2m A =+u r ，()2cos ,1n A =r，且//m n u r r .（1）求角A ；（2）若a =3b c +=，求ABC ∆的面积.方法总结：正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.考点5 三角形的范围与最值问题【例5】在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于_________，AC 的取值范围为____________. 解：由正弦定理知sin 2sin AC BC A A =，即12sin cos sin AC A A A =，∴ 2cos ACA=ABC ∆Q 是锐角三角形，02A π∴<<，022A π<<，032A π<π-<解得，64A ππ<<.由2cos AC A =得AC 的取值范围为.【变式1】锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则ca的取值范围是（ ）A. ()1,2B. (C.)2 D.【变式2】在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦【变式3】设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.方法总结：（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题. （2）求正弦定理有关的三角函数最值的求法：①利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量； ②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.。

专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。

例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈，所以3sin 5A =．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD =AB D==例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

利用余弦定理解三角形
余弦定理，又称余弦公式，是一条几何定理，用以求解三角形内三角形
角和两边之间的关系。

它是利用两条边长度和一夹角求得三角形第三角度的
公式。

由田馥会1806年提出，并得到演绎证明，从此开始扮演重要角色，
应用于几何中。

余弦定理的公式：
a^2=b^2+c^2-2bc CosA
其中，a,b,c分别是三角形三边的长度，A是夹角。

使用余弦定理，我们可以解决三角形的种种问题，比如给定三条边，求
缺失的角度；给定两边和一角，求缺失的边长；如果仅知道三角形的三条边，求该三角形的三个角；还可以求三角形的外接圆半径等。

余弦定理对绘图有很大帮助。

在实际中，我们不可能知道三角形的三个
角度，但我们可以知道三角形的三边长度。

通过余弦定理，我们就可以计算
出三角形的三角度，从而得到一个完整的三角形，给我们的绘图活动带来了
极大的便利。

在求解数学问题方面，余弦定理也是非常有用的，它可以帮助我们求解
各种三角形涉及的数学问题。

例如，我们可以使用它来解决分线段长度问题，从而帮助学生掌握这部分知识。

余弦定理可以帮助我们更好地理解三角形，是几何学中十分重要的定理。

它可以帮助我们在解决三角形问题时取得更大的成就，更好地绘制三角形，
并在解决数学问题时取得更大的进展。

它的重要性不言而喻，能够使现实的
几何图形更有晰度，更有形式。

三角形的余弦定理认识余弦定理的应用三角形是几何学中一个重要的概念，而在解决三角形相关问题的过程中，余弦定理是一个十分有效且广泛应用的工具。

本文将介绍余弦定理的定义及其应用，并通过实例进行详细解析。

余弦定理是一种关于三角形边长和角度之间的定量关系。

对于一个任意三角形ABC，假设它的三个边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c为斜边长度，a和b分别是其它两个边长，C为斜边对应的内角。

应用余弦定理，我们可以解决一些涉及三角形边长和角度的问题。

下面通过实例来详细说明余弦定理的应用。

实例一：已知三角形两边长及夹角，求第三边长假设三角形ABC中，边AB长度为10cm，边AC长度为7cm，内角B为60度。

我们需要求出边BC的长度。

根据余弦定理，我们可以利用以下公式进行计算：BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(B)将已知条件带入计算，得到：BC^2 = 10^2 + 7^2 - 2 * 10 * 7 * cos(60°)BC^2 = 100 + 49 - 140 * 0.5BC^2 = 100 + 49 - 70 = 79因此，边BC的长度约为8.89cm。

实例二：已知三角形两边长及一个角度，求另外两个角度假设三角形DEF中，边DE长度为5cm，边DF长度为6cm，内角D为90度。

我们需要求出角度E和角度F的大小。

根据余弦定理，我们可以利用以下公式进行计算两个角的余弦值：cos(E) = (DE^2 + EF^2 - DF^2) / (2 * DE * EF)cos(F) = (DF^2 + DE^2 - EF^2) / (2 * DF * DE)将已知条件带入计算，得到：cos(E) = (5^2 + 6^2 - 6^2) / (2 * 5 * 6)cos(E) = 25 / 60 = 0.4167E = arccos(0.4167) ≈ 65.78°cos(F) = (6^2 + 5^2 - 6^2) / (2 * 6 * 5)cos(F) = 25 / 60 = 0.4167F = arccos(0.4167) ≈ 114.22°因此，角度E约为65.78度，角度F约为114.22度。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

如何用余弦定理解决三角形问题余弦定理是解决三角形问题中的重要工具，它可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

在本文中，我将详细介绍如何使用余弦定理解决三角形问题。

三角形是由三条边和三个角组成的平面图形。

通常情况下，我们可以根据给定的条件来求解三角形的未知量。

余弦定理可以帮助我们解决以下三种情况的问题：1. 已知三边求角度：假设三角形的三边分别为a、b和c，我们可以使用余弦定理来求解任意一个角度。

根据余弦定理的公式，我们可以得到以下等式：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c)cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b)其中A、B和C分别表示三角形的角度。

2. 已知两边一角求第三边：如果我们已知两条边和夹角的大小，我们可以使用余弦定理来求解第三条边的长度。

根据余弦定理的公式，我们可以得到以下等式：c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(C)其中c表示第三条边的长度，A和B分别表示已知两边，C表示这两边的夹角。

3. 已知两边和一个对角线求夹角：如果我们已知两条边和它们之间的夹角，我们可以使用余弦定理来求解另外一个夹角。

根据余弦定理的公式，我们可以得到以下等式：cos(C) = (a^2 + b^2 - d^2) / (2 * a * b)其中C表示要求解的夹角，a和b分别表示已知两边的长度，d表示对角线的长度。

通过余弦定理，我们可以灵活地解决各种三角形问题。

下面我将通过几个实例来展示如何应用余弦定理解决三角形问题。

例一：已知一个三角形的两边分别为5和8，夹角为30°，我们需要求解第三边的长度。

根据余弦定理的公式，我们有：c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(C)c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos(30°)c^2 = 25 + 64 - 80 * cos(30°)c^2 = 89 - 80 * cos(30°)通过计算可知，cos(30°) ≈ 0.866，代入计算可得：c^2 ≈ 89 - 80 * 0.866c^2 ≈ 89 - 69.28c^2 ≈ 19.72c ≈ √19.72c ≈ 4.44因此，第三边的长度约为4.44。

初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。

它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。

本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。

1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。

简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。

这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。

【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。

从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。

2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。