高中数学第一章三角函数1.3.1三角函数的周期性学业分层测评苏教版必修4

学业分层测评(十三) 三角函数的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150 s.【答案】 150 s2．如图1-3-20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．图1-3-20【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．【答案】 ①③④3．如图1-3-21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．图1-3-21【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】【解析】 依题意，即40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 45．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1-3-22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是________．图1-3-22【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知， T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是第三个关键点，∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π3，∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 6．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]． 【答案】 0,1]，7,12]7．如图1-3-23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．图1-3-23【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为： y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x .【答案】 y ＝－6sin π6x8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1-3-24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．图1-3-24①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6；③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3. 【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈4,16]， 所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为：343－263＝83小时．能力提升]1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1-3-25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．图1-3-25【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )8，y (t )＝－8cos θ＋8.而2π12＝θt ，所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋10. 【答案】 h (t )＝－8cos π6t ＋102．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；③y －46－A＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x .【解】 (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，∴①错误；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6，∴②错误；同理④错误，③正确．。

学业分层测评(六)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos α＋π2＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－265＝265. 【答案】 2652．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为________．【解析】 易知|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45. 【答案】 －453．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13.【答案】 －134．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________. 【导学号：06460017】【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 【答案】 －sin 2α5．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．【解析】 ∵(A ＋45°)＋(45°－A )＝90°，∴sin(45°－A )＝cos(45°＋A )， ∴sin 2(A －45°)＝sin 2(45°－A )＝cos 2(45°＋A )，∴sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)＝1.【答案】 16．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)的值是________．【解析】 由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m ，∴sin θ＝m 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－3m 2. 【答案】 －3m 27．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －28．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________.【解析】 由已知3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又∵A ∈(0，π)∴A ＝π6.又cos A ＝－3·(－cos B )＝3cos B ，由cos A ＝32知cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.【答案】 π2二、解答题9．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值． 【解】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 能力提升]1．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 722．计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°， ∴sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝sin 244°＋cos 244°＝1，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44＋sin 245°＝44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝892.【答案】 8923．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，∴sin(α－15°)＝sin (75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，∴cos(105°－α)＝cos 180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，∴原式＝－13－13＝－23.【答案】 －234．(2016·南京高一检测)已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．【解】 (1)f (α)＝sin α·cos α·cos α(－cos α)·(－sin α)＝cos α.(2)由(1)可知f (A )＝cos A ＝35，又A 是△ABC 的内角，∴0°＜A＜90°，∴sin A＝45，tan A＝43，∴tan A－sin A＝43－45＝815.。

1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)课时目标1．了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．一、填空题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象向左平移________个单位． 2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 3．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是__________．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是________．(填正确图象的代码)5．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象________． ①向左平移π6个单位长度；②向右平移π6个单位长度；③向左平移5π6个单位长度；④向右平移5π6个单位长度．6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________________．7．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数的解析式是________．8．把函数y ＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移π6个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则ω＝________，φ＝________.9．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．10．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________． 二、解答题11．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象间的变换关系．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再 将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为____________________.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条： (1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到． 1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)知识梳理1．向左 向右 |φ|2．缩短 伸长 1ω不变3．伸长 缩短 A [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计 1.23π 2.y ＝cos 2x 3.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是32π.4．①解析 由各图象特点，知可选用－π2和π6这两个特殊值来断定．当x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝32； 当x ＝π6时，y ＝sin 0＝0.符合这两个特点的只有①. 5．③解析 ∵y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2， 又x －π2＋5π6＝π3＋x ，∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度，便可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 6．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 8．2 －π3解析y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴ω＝2，φ＝－π3.9．①③ 10.32解析 向右平移43π得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －43π＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. 因为与原函数图象相同，故－4π3ω＝2n π(n ∈Z )，∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝32.11．解 ∵y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋7π12＋2 先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x 的图象．再将y ＝cos 2x 的图象向左平移7π12个单位，则得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋7π12，即y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象，再将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象． 最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2的图象． 即得到函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象． 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．13．①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．14．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 解析 方法一 正向变换y ＝f (x )y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换 据题意，y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.。

高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝________.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12.【答案】 122．若sin (π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.【答案】 －333．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________.【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.【答案】354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________．【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32. 【答案】325．设ta n(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.【答案】 m ＋1m －16．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)． ①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ； ③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 1－ 38．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝1－cos280°＝1－k2，从而tan 80°＝－1－k2 k.【答案】－1－k2 k二、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．【解】原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.10．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.能力提升]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________． 【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.【答案】 3102．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________． 【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3 a，∴3＝－3a，即a＝－ 3.【答案】－ 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.【解析】cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，①∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1 25，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－3 4.【答案】－3 44．已知tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．【解】因为tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k2－13)＝1，可得k2＝16 3.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k3＝k，所以k＞0，故k＝43 3，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝3 4，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。

学业分层测评(九)正弦、余弦的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________．【解析】 ∵cos x ∈－1,1]，∴y ＝2cos x －1∈－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3.【答案】 1 －32．函数y ＝cos x 在区间－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ＝cos x 在－π，0]上为增函数，在0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】 (－π，0]3．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是________(填“奇函数”或“偶函数”)． 【解析】 f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2 ＝－7cos 23x ，∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数4．y ＝sin x 的定义域为________，单调递增区间为________．【解析】 ∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈0，π]时，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， ∴其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z . 【答案】 2k π，π＋2k π]，k ∈Z ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ＝________.【解析】 由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 k π＋π4(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，则y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.【答案】 328．(2016·连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10]．【答案】 2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在0，π]上单调递减，且0＜π8＜4π9＜π，∴cos π8＞cos 4π9，∴cos 15π8＞cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】 (1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 【解析】 由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωx ≤ωπ3＜π3，f (x )取最大值2sinωπ3＝2时，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 【答案】 342．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈0,2π])是偶函数，则φ＝________.【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈0,2π]，∴φ＝3π2.【答案】 3π23．(2016·南通高一检测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．【解析】 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) 4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．【解】 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。

学业分层测评(二) 弧度制(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________． ①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； ②1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π； ③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关． 【答案】 ④2．下列各式正确的是________． ①－270°＝－3π2；②405°＝9π4； ③335°＝23π12；④705°＝47π12. 【解析】 －270°＝－270×π180＝－3π2； 405°＝405×π180＝9π4； 335°＝335×π180＝67π36；705°＝705×π180＝47π12.故①②④正确． 【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z. 【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1-1-10所示，图中公路弯道处AB 的弧长l ＝________(精确到1 m)．图1-1-10【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝π3×45≈47(m)． 【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 【答案】 1或46．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足题意． 【答案】 π9，79π，139π7．(2016·扬州高一检测)如图1-1-11，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1-1-11【解析】 ∵40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36. 【答案】175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR ＝ 3. 【答案】 3二、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈0,2π))的形式． (2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ. 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝469π.10．如图1-1-12所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1-1-12【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π＜α＜4π3＋2k π，k ∈Z. (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α⎪⎪⎪－π6＋2k π＜α≤5π12＋2k π，k∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z. (4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋k π＜α＜5π6＋k π，k ∈Z. 能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.【答案】 2π32．若角α的终边与π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 【答案】 －113π，－53π，π3，73π3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝－4，－π]∪0，π]． 【答案】 －4，－π]∪0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad ，∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254 cm 2.。

高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.3.2 含解析学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0，∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4.【答案】 －π42．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验．【答案】 ①②④3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π34．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增．【解析】由题意，⎩⎨⎧－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】236．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±38．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________． 【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． 【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.能力提升]1．方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。

第1章 三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性A 级 基础巩固一、选择题1．(2014·陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案：B2．下列函数中，周期为π的函数是( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 解析：根据公式T ＝2π|ω|可知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最小正周期是T ＝2π|－2|＝π. 答案：D3．f (x )是以2π为周期的奇函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2的值为( )A ．1B ．－1 C.π2 D ．－π2解析：因为f (x )是以2π为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 答案：B4．函数y ＝4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是____________． 答案：π35．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：由于y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π6．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________．解析：因为T ＝2π|ω|＝2π ω＝π，所以ω＝2. 答案：27．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________．解析：因为f (x )是在R 上以4为周期的奇函数．所以f (2 015)＝f (504×4－1)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝－1，故f (2 015)＝－f (1)＝1.答案：18．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 4＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：由于y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 4＋π3(k >0)的最小正周期T ＝8πk . 依题意，得8πk≤2，所以k ≥4π. 由k ∈N *，知k 的最小值为13.答案：139．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π5，则ω＝______． 解析：因为2πω＝π5，所以ω＝10. 答案：1010．求下列函数的最小正周期：(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. B 级 能力提升11．设函数f (x )是周期为2T 的函数，若f (x )定义域为R ，且其图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：因为f (x )的图象关于x ＝T 对称，所以f (T －x )＝f (T ＋x )．①又f (x )的周期为2T ，所以f (T ＋x )＝f (T ＋x －2T )＝f (x －T )．②由①②有f (T －x )＝f (x －T )．令x －T ＝t ，则f (－t )＝f (t )对一切t ∈R 都成立，所以f (x )是偶函数．答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.答案：013．已知f (n )＝cos n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝________．解析：因为f (n )＝cos n π4的周期T ＝8.且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin π4＋cos π2＋cos 3π4＋cos π＝－1. 答案：－114．若函数f (x )的定义域为R ，对一切实数x ，都有f (5＋x )＝f (5－x )，f (7＋x )＝f (7－x )，试判断f (x )是否是周期函数，若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．解：因为f (5＋x )＝f (5－x )，f (7＋x )＝f (7－x )，所以f (10－x )＝f (x )，f (14－x )＝f (x )．所以f (14－x )＝f (10－x )．令t ＝10－x ，则f (4＋t )＝f (t )，所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．15．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从点O 算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点A 算起呢？(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从点O 算起，到曲线上的点D 表示完成了一次往复运动；若从点A算起，到曲线上的点E表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.。

[学业水平训练]1．函数y ＝sin 4x 的周期是________．解析：T ＝2π4＝π2. 答案：π22．函数y ＝2cos(π3－ωx )(ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝________． 解析：T ＝2π|－ω|＝4π，∴|ω|＝12，∵ω<0，∴ω＝－12. 答案：－123．函数f (x )＝cos 2x ＋|cos 2x |的最小正周期为________．解析：由f (x )＝cos 2x ＋|cos 2x |＝⎩⎨⎧2cos 2x ，x ∈（k π－π4，k π＋π4]（k ∈Z ），0，x ∈（k π＋π4，k π＋3π4]（k ∈Z ）， 故所求最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π4．函数f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，且f (1)＝2，则f (5)＝________．解析：因为f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，所以f (x ＋3)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，又f (1)＝2，所以f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.答案：－25．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋4)＝－f (x )，且f (4)＝5，则：f (－20)＝________，f (2 012)＝________．解析：由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x )＝－f (x ＋4)＝－[－f (x ＋4＋4)]＝f (x ＋8)，所以T ＝8，f (－20)＝f (－24＋4)＝f (4)＝5，f (2 012)＝f (251×8＋4)＝f (4)＝5.答案：5 56．已知函数f (x )＝sin(kx 10＋π3)，其中k ≠0，当自变量x 在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k 为________．解析：由正弦函数的周期公式，得T ＝2πk 10＝20πk， 由题意知：0<20πk≤1. 解得k ≥20π≈62.8.∴正整数k 的最小值为63.答案：637．设f (x )是定义在R 上的最小正周期为5π3的函数，且在[－2π3，π]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[－2π3，0），cos x ，x ∈[0，π）.求f (－16π3)的值．解：因为f (x )的最小正周期为5π3，所以f (x ＋5π3)＝f (x )，f (－163π)＝f (－16π3＋5π3)＝f (－11π3)＝f (－11π3＋5π3)＝f (－6π3)＝f (－6π3＋5π3)＝f (－π3)， 又－π3∈[－2π3，0)， 所以f (－π3)＝sin(－π3)＝－sin π3＝－32， 所以f (－163π)＝－32. 8．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，求f (5π3)的值． 解：由题意，得f (53π)＝f (π＋2π3)＝f (23π) ＝f (π－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)． 因为当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ， 所以f (53π)＝－sin π3＝－32. [高考水平训练]1．已知函数f (x )＝sin(k 3x ＋π4)(k 为正整数)，要使f (x )的周期在(23，43)内，则正整数k 的最小值为________，最大值为________．解析：由周期公式，得T ＝2πk 3＝6πk ，由题意知23＜6πk ＜43.因为k ＞0，所以19π＜1k ＜29π，即9π2＜k ＜9π，所以k min ＝15，k max ＝28. 答案：15 282．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，f (1)＝2，则f (2)＋f (7)＝________． 解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)得T ＝4，由f (x －2)＝f (x ＋2)得f (－2)＝f (2)，即－f (2)＝f (2)，所以f (2)＝0，f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故f (2)＋f (7)＝0＋(－2)＝－2.答案：－23．已知f (k )＝sin k π4，k ∈Z . (1)求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)的值．解：(1)证明：∵sin k π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋k π4＝sin k ＋84π(k ∈Z )， ∴f (k )＝f (k ＋8)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)．(2)∵f (k )是以8为一个周期的周期函数，而2 014＝251×8＋6，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝251[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)． 又∵f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝sin π4＋sin 2π4＋…＋sin 8π4＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sin 4π4＋sin 5π4＋sin 6π4＝22. 4．已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝3x ＋49.求f (log 135)．解：∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )是周期为2的函数．∵log 135∈(－2，－1)，∴log 135＋2＝log 1359∈(0，1)，又∵f (x )为偶函数，且x ∈[－1，0]，f (x )＝3x ＋49，∴当x ∈[0，1]时，f (x )＝3－x ＋49，∴f (log 135)＝f (log 1359)＝3－log 1359＋49＝3log 359＋49＝59＋49＝1.。

三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性预习课本P24～25，思考并完成下列问题1．周期函数的定义是什么？2．什么是最小正周期？3．y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的周期的计算公式是什么？[新知初探]1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.3．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.[点睛] (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期．[小试身手]1．函数y ＝5sin 25x 的最小正周期是________．★答案★：5π2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． ★答案★：π33．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π. ★答案★：π4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是最小正周期为1的函数； ②f (x )是最小正周期为2的函数； ③f (x )是最小正周期为12的函数；④f (x )是最小正周期为π的函数．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2ππ＝2.★答案★：②求三角函数的周期[典例] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4；(3)f (x )＝14sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [解] (1)∵T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)∵T ＝2π|－3|＝2π3，∴最小正周期为2π3.(3)∵T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)∵T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|； (2)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|. [活学活用]1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为________． 解析：∵T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为4. ★答案★：42．若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k 的值． 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10. 利用周期求函数值[典例] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． [解] f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－f ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3 ＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1.(1)利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x 的函数值，从而可解决求值问题． 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数，又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：∵ƒ(x )是周期函数，且最小正周期为π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3. 又∵ƒ(x )是偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3. ∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.周期性质的应用[)＝x ，求f (7)的值．[解] 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. [一题多变]1．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)， 又∵f (x )在R 上是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2， ∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，求f (7)的值．解：函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． 又函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.3.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，满足f (x )·f (x ＋2)＝－13，若函数f (x )是增函数，求f (7)的值．解：由f (x )·f (x ＋2)＝－13，得f (x ＋2)＝－13f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－13f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (－1)·f (1)＝－13，所以f 2(1)＝13， ∵函数f (x )是增函数，∴f (1)＝13， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－13.由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得： (1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x (f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .层级一 学业水平达标1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． ★答案★：π2．函数y ＝cos (1－3x )π2的最小正周期为________．解析：y ＝cos (1－3x )π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－3π2x ＝sin 3π2x ，故T ＝2π3π2＝43. ★答案★：433．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________. 解析：由题意T ＝2πω＝π4，∴ω＝2π×4π＝8.★答案★：84．函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3，得ω＝3，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， ∴f (π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－3cos π3＝－32.★答案★：－325．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. ★答案★：－16．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝____________.解析：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n ＋126π＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. ★答案★：2＋ 37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 解析：∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. ★答案★：138．下列说法中，正确的是____________(填序号)． ①∵sin(π－x )＝sin x ，∴π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②∵tan(2π＋x )＝tan x ，∴2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③∵当x ＝π4时，等式sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin x 成立，∴π2是函数y ＝sin x 的一个周期； ④∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≠cos x ，∴π3不是函数y ＝cos x 的一个周期． 解析：根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．★答案★： ④9．求下列函数的最小正周期． (1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 10．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 因为x ∈0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又ƒ(x )是以π为周期的偶函数， 所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.层级二 应试能力达标1．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. ★答案★：32．若函数f (x )＝cos ωx (0＜ω＜5)满足f (x ＋π)＝f (x )，则ω＝________. 解析：∵f (x ＋π)＝f (x )，∴π为函数f (x )的最小正周期的整数倍． 又∵T ＝2πω，0＜ω＜5， ∴ω＝2或4. ★答案★：2或43．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝________.解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， 所以f (1)＋f (7)＝0，又f (4)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. ★答案★：04．函数y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x 的最小正周期是________．解析：y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x ＝sin x (sin 2x ＋cos 2x )＝sin x ，周期T ＝2π. ★答案★：2π5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. ★答案★：226．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．解析：∵1<2πω<3，∴2π3<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.★答案★：67．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值．解：∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3的最小正周期为 T ＝2π⎪⎪⎪⎪k 10＝20π|k |.由题意知T ≤1，即20π|k |≤1，|k |≥20π≈62.8. ∴最小正整数k 的值为63.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值． 解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1) ＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。