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立体几何（一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3.2棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。
）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 二 点、直线、平面之间的位置关系 （一） 平面的基本性质1.平面——无限延展，无边界 三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
可编辑修改精选全文完整版第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱及棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱及底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
空间几何体一：棱柱1，定义有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做“棱柱”2，分类斜棱柱棱柱；正棱柱（侧棱垂直于底）其他棱柱面，且底面是正多边形）直棱柱（侧棱与底面垂直3，底面：两个可以重合的多边形4，侧面：平行四边形5，侧面积6，表面积7，体积二：棱锥1，“棱锥”定义有一个面是多边形，锥；2，分类“正棱锥”定义其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱假如一个棱锥的底面是正多边形，棱锥；否就它是斜棱锥；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正PCOBAD三：棱台1，“棱台”定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台；2，分类“正棱台”定义由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积留意：棱台常常补成棱锥讨论四：圆柱1，定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫“圆柱”；五：圆锥1，定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， “圆锥”；该直角边叫圆锥的轴； 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做六：圆台1，定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做“圆台” 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积；七：空间几何体的体积与表面积 1，多面体的面积和体积公式名称 侧面积 (S 侧 ) 全面积 (S 全)体 积 (V)S 底 ·h=S 直截面 ·h 棱柱直截面周长 ×l棱 柱S 侧+2S 底S 底 ·h直棱柱 ch 棱锥 各侧面积之和棱 锥1 底 ·hS 3S 侧+S 12底正棱锥 ch ′ 棱台 各侧面面积之和1 棱 台上底 +S 下底 + h(S 3)侧+S 上底 +S 下底1 2S S 下S 下正棱台(c+c ′h )′表中 S 表示面积， c ′， c 分别表示上，下底面周长， h 表示高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长；2，旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球2πrl πrl π(r1+r2)lS 侧222 2πr(l+r ) πr(l +r ) π(r1+r 2)l+π(r 1+r 2)4πR S 全1 31343222322πr hπh(r 1+r1r 2+r 2)πR πr h( 即πr l)V表中l ，h 分别表示母线，高，r 表示圆柱，圆锥与球冠的底半径，r 1，r 2 分别表示圆台上，下底面半径，R表示半径；八：空间几何体的三视图与直观图1，正视图光线从几何体的前面对后面正投影，得到投影图；2，侧视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；3，俯视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；九，“斜二测”画法.正六面形的斜二测画法示意图xoy 901：在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，（即取）；o ' x ', o' y' ，取x ' o' y ' 45 (or135 ) ，它们确定的平2：画直观图时，把它画成对应的轴面表示水平平面；x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于3：在坐标系x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半；24结论：一般地，采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.。
高中数学空间几何体知识点总结一、空间几何体的基本概念1、空间几何体的定义：在空间中，由一些平面和曲面所围成的封闭图形称为空间几何体。
2、空间几何体的分类：空间几何体可分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由平面多边形围成的立体图形，而旋转体则是由平面图形绕其中一边旋转形成的。
二、空间几何体的表面积和体积1、空间几何体的表面积：表面积是指空间几何体的所有外露平面的面积之和。
对于一些规则的空间几何体，如长方体、圆柱体、球体等，表面积的计算公式相对简单。
对于不规则的空间几何体，一般需要通过拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算表面积。
2、空间几何体的体积：体积是指空间几何体所占空间的大小。
对于一些规则的空间几何体，如长方体、圆柱体、球体等，体积的计算公式相对简单。
对于不规则的空间几何体，一般需要通过拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算体积。
三、空间几何体的视图和直观图1、空间几何体的视图：视图是指从空间几何体的某一个方向看过去所得到的图形。
常见的视图包括主视图、俯视图、左视图等。
在求解空间几何体的体积或表面积时，通过视图可以帮助我们更好地理解空间几何体的形状和结构。
2、空间几何体的直观图：直观图是指用平行投影的方法将空间几何体投影到一个平面上所得到的图形。
直观图可以反映空间几何体的整体结构和相互关系，是求解空间几何问题的重要工具。
四、空间几何体的常见问题1、空间几何体的形状识别：在解决空间几何问题时，首先需要识别空间几何体的形状。
这可以通过观察空间几何体的特征、测量其边长和角度等方法来实现。
2、空间几何体的表面积和体积计算：表面积和体积是空间几何体的两个重要属性。
对于一些规则的空间几何体，其表面积和体积的计算公式相对简单。
对于不规则的空间几何体，需要采用拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算表面积和体积。
3、空间几何体的相交问题：当两个或多个空间几何体相交时，会产生交线或交面的问题。
空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结知识点精讲一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体.2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）表8-1表面积柱体2S ch S=+直棱柱底2(S c l S c''=+斜棱柱底为直截面周长)2222()S r rl r r lπππ=+=+圆锥椎体12S nah S'=+正棱锥底2()S r rl r r lπππ=+=+圆锥台体1()2S n a a h S S'=+++正棱台上下22)S r r r l rlπ''=+++圆台（球24S Rπ=表8-2体积柱体V Sh=柱椎体13V Sh=锥Sh台体 1()3V S SS S h ''=++台球343V R π=题型归纳及思路提示题型1 几何体的表面积与体积 思路提示熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，侧面积分别是6，4，3，则三棱锥的表面积是 ，体积是 .解析 如图8-2所示，设PA a =，PB b =，(PC c a =，b ，0)c >，则624232ab bcca⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得1286ab bc ca =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 三式相乘得2221286a b c =⨯⨯ , 所以24abc = ,因此342a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 又侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 所以2222225513AB a b BC b c CA c a ⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎩由余弦定理可得cba CB A图 8-2222222cos 22BC CA AB BC CA AB BCA BC CA BC CA+-+-∠==()()222251322251365AB +-==⨯⨯ , 所以643611361S =+++=+表 ,体积11V 24466abc ==⨯= . 评注: 若三棱锥P ABC - 的侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有,2222ABC PAB PBC PCA S S S S =++ (本题22264361ABC S =++= ),16P ABC V PA PB PC -=. 变式 1 如图8-3所示,在ABC 中, 45,90ABC BAC ∠=∠= ,AD 是BC 边上的高, 沿AD 把ABD 折起, 使90BDC ∠= . 若1BD = , 求三棱锥D ABC - 的表面积.变式 2 如图8-4(a)所示, 45,3ACB BC ∠== , 过动点A 作AD BC ⊥ , 垂足D 在线段BC 上且异于点B , 连接AB ,沿AD 将ABD 折起, 使90BDC ∠= (如图8-4(b)所示). 当BD 的长为多少时, 三棱锥A BCD - 的体积最大.变式3 已知正四棱锥S ABCD - 中, 23SA = , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ).3 C. 2 D.3D ABCACDB(b)（a ）M E . ·图 8-4P例8.2 如图8-5所示, 在长方体1111ABCD A B C D - 中, 3AB AD cm == ,12AA cm = , 则四棱锥11A BB D D - 的体积为 cm 3.解析 如图8-6所示, 连接AC 交BD 于O , 在该长方体中3AB AD cm == , 故底面ABCD 为正方形, 即AO BD ⊥ , 且322AO cm =, 又显然平面11BB D D ⊥ 平面ABCD ,故AO ⊥ 平面11BB D D .所以()113111323226332A BB D D V BD BB AO cm -=⨯⨯=⨯⨯⨯= . 变式 1 (2012山东理14)如图8-7所示, 正方体1111ABCD A B C D - 的棱长为1, ,E F 分别为线段11,AA B C 上的点, 则三棱锥1D EDF - 的体积为 .思路提示半径为R 的球O , 表面积24S R π= , 体积343V R π=; 球面上,A B 两点的球面距离为R α , 其中AOB α=∠ (弧度制). 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.例8.3 已知三个球的半径123,,R R R 满足12323R R R += , 则他们的表面积123,,S S S 满足的等量关系是 .解析 2114S R π= , 即112S R π=, 同理得222S R π=, 332S R π=, 由12323R R R += 得12323S S S = .变式1 若球12,O O 的表面积之比124S S = ,则他们的半径之比12RR = . 变式2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A. 1:1:题型2 几何体的外接球与内切球思路提示 (1)半径为R 的球O , 表面积24S R π= , 体积343V R π=.(2)设小圆1O 半径为1,r OO d = , 则222d r R += ; 若,A B 是1O 上两点, 则12sin2sin22AO B AOBAB r R ∠∠== .(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.例8.4 已知正方体外接球的体积是323π , 那么正方形的棱长等于( )A.分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线.解析 设正方体的棱长为a , 外接球半径为R ,则324323323R R a R ππ=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩. 故选D.变式1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表面积为 .变式2, 则该正四面体的外接球的表面积为 .例8.5 正三棱柱111ABC A B C - 内接于半径为2的球, 若,A B 两点的球面距离为π , 则正三棱柱的体积为 .解析 设O 为球心, 由题意知2222sin 2AOB AOB AOBAB AB ππ⎧⨯∠=⎧∠=⎪⎪⇒⎨⎨∠=⨯⎪⎪=⎩⎩ , 底面圆的半径为: 32sin 3ABπ== , 则正三棱柱的高为2= , 所以正三棱柱的体积为(2843⨯= . 变式1直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上, 若12,120AB AC AA BAC ===∠= , 则此球的表面积等于 .变式2 直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上, 若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥= , 则球O 的半径为( ).B. 132D. 例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是( )解析 设正三棱锥的底面边长为a , 高为h ,由题意知22sin 311434aa h V V a h π⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=⨯⎪⎪⎩.故选C.变式 1 已知,,,S A B C 是球O 表面上的点, SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于( )A. 4πB. 3πC. 2πD. π变式 2 已知三棱锥S ABC - 的所有顶点都在球O 的球面上, ABC 是边长为1的正三角形, SC 为O 的直径, 且2SC = , 则此棱锥的体积为( ).A.6B. 6C.3D. 2变式3高为4的四棱锥S ABCD - 的底面是边长为1的正方形, 点,,,,S A B C D 均在半径为1的同一球面上, 则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A.4B. 2最有效训练题1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120 , 半径为l 的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).A. 3:2B. 2:1C. 4:3D. 5:3 2. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是, 这个长方体的体对角线长为( ).A.23B. 32C. 6D. 63. 如图8-8所示, 在等腰梯形ABCD 中, 22,60AB DC DAB ==∠= , E 为AB 的中点, 将ADE 与BEC 分别沿ED 和EC 向上折起, 使,A B 重合于点P , 则三棱锥P DCE - 的外接球的体积为( ).A.4327π B. 62π C. 68π D. 624π4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ).A.116 B. 316 C. 112D. 185. 侧棱长为4, 底面边长为3 的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).A. 76πB. 68πC. 20πD. 9π6. 已知在四棱锥,1,1,,02P ABCD AB PA AC ABC πθθ⎛⎫-==∠=<≤ ⎪⎝⎭, 则四棱锥p ABCD - 的体积V 的取值范围是( ).A. 21,63⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B. 21,126⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C. 21,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D.21,126⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆面, 则该圆锥的体积为 . 8. 将圆心角为23π , 面积为3π 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 .9. 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为 .10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长是3cm, 则圆台的母线长为 cm.11. 如图8-9所示, 长方体1111-ABCD A B C D 中, 1,,BB AB a BC b c === , 并且0a b c >>> . 求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线的长.12. 底面半径为1, 高为3 的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为R , 当R 为何值时, 内接圆柱的体积最大?。
《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
知识空间立体几何知识点归纳：1. 空间几何体的类型（ 1）多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。
（ 2） 旋转体： 把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
如圆柱、圆锥、圆台。
2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。
正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。
正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。
正四面体：所有棱都相等的四棱锥。
3. 空间几何体的表面积公式棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r2圆锥的表面积： S rlr2圆台的表面积：Srlr2RlR2球的表面积：S4 R 24．空间几何体的体积公式： VS底 h： V1h柱体的体积锥体的体积S 底3台体的体积：1球体的体积： V43V（ S 上下下hR3S 上 SS )35. 空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
画三视图的原则：长对正、宽相等、高平齐。
即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。
6 . 空间中点、直线、平面之间的位置关系（ 1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。
（3）平面与平面的位置关系：平行；相交。
7.空间中点、直线、平面的位置关系的判断（1）线线平行的判断：①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。
②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
空间几何体[考情分析] 几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度． 考点一 表面积与体积 核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式 V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π解析 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°， 所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形． 设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158.因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SB sin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．答案 233解析 如图，取BC 的中点O ，连接AO .∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2， ∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3. ∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3. 又11BB C S＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233.易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)． (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解． (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．跟踪演练1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．答案327解析 设CD ＝DE ＝x (0<x <1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x )(1－x )＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫33，1时，V ′<0.∴当x ＝33时，V max ＝327. 考点二 多面体与球 核心提炼解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．例2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 答案 64π解析 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面P AB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面P AB 上， 即球心就是△P AB 的外心，根据正弦定理ABsin ∠APB ＝2R ，解得R ＝4，所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案23π 解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ， 故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π.规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心． (3)多面体的内切球可利用等积法求半径．跟踪演练2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 答案 C解析 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°， 所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ， 而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大， 此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知P A ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．答案 20π解析 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3， ∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1， 则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵P A ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝⎛⎭⎫P A 22＋r 21， 可得P A 2＝R 21－r 21＝102，∴P A ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10， ∴r 2＝102， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝⎛⎭⎫P A 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π. 专题强化练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 答案 A解析 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋(3)2＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案 C解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′， 则由已知得h 2＝12ah ′.如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝⎛⎭⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0，解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)．3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A.12B.13C.14D.18 答案 C 解析 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元 答案 B解析 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 答案 B解析 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h (h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 答案 C解析 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3.7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( ) A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 答案 A解析 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a .由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( )A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π 答案 A解析 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2，即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3，∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A.9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27C ．81πD ．128π答案 B解析 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0<h <5)，底面半径为r (0<r <5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h <53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h <5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259×⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.32答案 C解析 ∵在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等， ∴此三棱锥的外接球即以P A ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， ∵球O 的半径为1，∴正方体的边长为233，即P A ＝PB ＝PC ＝233，球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △P AB ×PC ＝13×12×⎝⎛⎭⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形，S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13.二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值 答案 AD解析 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确．12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π 答案 AD解析 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE .由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱P A ，PB ，PC ，PD 的中点，则P A ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12P A 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由P A ＝PC＝4，AC ＝4，得△P AC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×(23)2＋(2)2＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 答案 1解析 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.答案 2 600π解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．15．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．答案82 3π解析将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝22，则球O的体积V＝43πR3＝823π.16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ， 则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P ＝5， ∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
