2017-2018学年江苏省常州市武进区高三(上)期中数学试卷(文科)

江苏省常州高级中学2017-2018学年第一学期期中高三年级一．填空题(每小题5分，共70分)1. 集合{}{}52|,7,5,3,1≤≤==x x B A ，则=⋂B A ____________. 2. 命题“02,≥∈∃x R x ”的否定是__________.3. 执行如图所示的流程图，则输出的S 值为 .4. 已知i 是虚数单位，且复数,21,221i z bi z -=+=若21z z 是实数，则实数=b ____________. 5. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若46822,1a a a a +==，则6a 的值是____________.6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n,则=-n m _________.7. 已知3,2==b a ，b a ,的夹角为︒120，则=+b a 2___________.8. 在锐角三角形ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知b a ,是方程02322=+-x x 的两个根，且03)sin(2=-+B A ,则=c ___________.9. 在正三棱柱111C B A ABC -中，已知6,41==AA AB ,若F E ,分别是棱1BB 和1CC 上的点，则三棱锥EF A A 1-的体积値是____________.10. 已知)6sin(3sin παα+=，则=+)12tan(πα_____________. 11. 已知函数⎩⎨⎧<≤-+>=04,30,log )(x x x x x f a ，其中0>a 且1≠a ，)(x f y =的图像上有且只有一对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是______________.12. 在等差数列{}n a 中，27,6632=+=a a a ，前n 项和为n S ，且123-⋅=n n n S T ，若对一切正整数n ，总有m T n ≤成立，则实数m 的取值范围是_______________.13. 设R a a ∈21,,且22sin 21sin 2121=+++αα，则2110ααπ--的最小值为__________.14.若()()+∞∈∃+∞∈∀,2,,021x x 总使得()0ln 12111=---x x x a x x 成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分。

江苏省常州市武进区2018届高三数学上学期期中试卷文（含解析）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）1。

已知集合，，则等于________．【答案】【解析】综上所述,答案为2。

函数的最小正周期为________。

【答案】【解析】函数的周期故答案为3。

若，共线，则实数的值为________．【答案】-6【解析】共线,解得故答案为4。

设,则“”是“”的________条件。

(用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空)【答案】充分不必要【解析】,解得当时,当时，是的充分不必要条件.5. 在等差数列中，若，，则________．【答案】【解析】在等差数列中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6. 已知在中,内角、、的对边分别为、、，若，，,则角为________．【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得故答案为7．7. 设实数，满足约束条件，则的最小值为________。

【答案】1【解析】,当，时，故的最小值为8。

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为________。

【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，正方体的表面积为，解得一个正方体的所有顶点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径,即，则球的表面积为9. 若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】的定义域是的定义域是则的定义域为故答案为10. 在中，，，.若,（），且，则实数的值为________。

【答案】3【解析】,则，AC原式故实数的值为11。

若集合中恰有唯一的元素，则实数的值为________.【答案】2【解析】集合中恰有唯一的元素当时，则故答案为12。

已知，,,则的最小值为________。

【答案】【解析】原式故答案为13。

中,若、、依次成等比数列，则的取值范围为________。

2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15=．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=（﹣1，2）．【解答】解：∵P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，∴P∪Q=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的必要不充分条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【解答】解：“3﹣x≥0”⇔“x≤3”，“|x﹣1|≤2”⇔“﹣1≤x≤3”故“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”必要不充分条件，故答案为：必要不充分4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．【解答】解：根据题意，，则a2==，则a3==，a4==，分析可得：a1=a3=a5=…a2n﹣1=，a2=a4=a6=…a2n=，则a2018=；故答案为：．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为3．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=（﹣2）m+6=6﹣2m=0，解可得m=3；故答案为：3．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于30°．【解答】解：∵，，B=120°，由正弦定理：，可得sinC=∵c＜b，0＜C＜π∴B＞C，则C=30°．故答案为：30°．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15= 31．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，∴=1，解得a1=，∵其前n项的和为S n，∴S15===31．故答案为：31．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=40°．【解答】解：∵锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则tanα===tan40°，∴锐角α=40°．故答案为：40°．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，由偶函数将f（a）≤f（2）等价于f（|a|）≤f（2），∴|a|≥2，解得a≤﹣2或a≥2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．【解答】解：∵，且sinx﹣cosx=，①两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，解得：2sinxcosx=，∴sinx+cosx===，②∴由①②解得：sinx=，cosx=，∴4sinxcosx﹣cos2x=4×﹣（）2=．故答案为：．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．【解答】解：∵函数，满足f（x）+f（x﹣1）≥2，当x≤0时，x﹣1≤﹣1，f（x）+f（x﹣1）=2x+1+2（x﹣1）+1=4x≥2，解得x，不成立；当，即0＜x≤1时，f（x）+f（x﹣1）=4x+2（x﹣1）+1=4x+2x﹣1≥2，解得；当x﹣1＞0时，f（x）+f（x﹣1）=4x+4x﹣1≥2，解得x＞1．综上，x的取值范围是[）．故答案为：．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．【解答】解：根据题意，=2x﹣+=（2x+y+1）﹣（+）﹣2=1﹣（+），而+=（+）（2x+y+1）=（3++）=1+（+）≥1+（2）=1+，即+≥1+，则≤1﹣（1+）=；故答案为：．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设P（x，y），A（0，b），B（a，b），C（a，0）；由，，，得x2+（y﹣b）2=1①；（x﹣a）2+（y﹣b）2=4②；（x﹣a）2+y2=9③；②﹣①得，（x﹣a）2﹣x2=3④；③﹣④得，x2+y2=6；∴==．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为80．【解答】解：在BC上取点D，使得BD=2CD，则P n在线段AD上．∵，∴﹣a n+1=b n+（3a n+2）=b n（﹣）+（3a n+2）（﹣），∴（﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2）=﹣b n﹣（3a n+2）=﹣b n﹣（3a n+2），∵A，P n，D三点共线，∴﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2=﹣b n﹣（3a n+2），即a n+1=3a n+2．∴a2=3a1+2=8，a3=3a2+2=26，a4=3a3+2=80．故答案为：80．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2，…（2分）又，∴，；…（4分）又∵点是函数图象y=f（x）的一个最高点，则，∴，∵|φ|＜π，∴，…（6分）∴；…（7分）（2）由（1）得，，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到，…（9分）再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到，…（11分）由，解得，∴g（x）的单调增区间是．…（14分）16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．【解答】解：（1）由题设知：，，…（2分）∵m=1，所以：，…（4分）又∵，，∴2+3n=﹣1，得n=﹣1，所以，满足题意的实数n=﹣1．…（6分）（2）设P（x，y），…（8分）∴令：，∴，∴m+3n=x﹣y，…（11分）令z=x﹣y，由图知，当直线y=x﹣z过点C（2，0）时，z取得最大值2，故m+3n的最大值为2．…（14分）17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=x3+x2，故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，由于f（x）是奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，…（3分）又f（0）=0，…（4分）故当x∈R时，．…（6分）（2）∵当x＞0时，f（x）=x3+x2，∴f'（x）=3x2+2x＞0，∴f（x）在[m，n]上单调递增，…（8分）∴∴，∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，…（10分）∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），∴m，n为x2﹣3x+1=0的两个正实数根，…（12分）又由题意可知：0＜m＜n，∴，．…（14分）18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，所以．（2）花坛的面积为，装饰总费用为4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令t=x+10，t∈（10，24），则，当且仅当t=12取等号，此时x=2，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且y的最大值为．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴数列{b n}是公差为1的等差数列；（2）由（1）可知，，故b n=n．因为，所以T n=c1+c2+…+c n=，当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则=b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）=，要使对n∈N*且n为偶数恒成立，只要使对n∈N*且n为偶数恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∵，∴t≥1，故实数t的取值范围是[1，+∞）；（3）由（1）得，∴，∴，∴，设，∴，∴=，∴当n=1时，，即M1＜M2，当n≥2时，M n﹣M n＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴+1，因此数列{S2n﹣S n}的最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，代入点（2，11），得a=2．（2）∵，∴若函数f（x）在区间（2，3）上单调递增，则y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴，得；若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，则y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴，得，综上，实数a的取值范围为；（3）由题意得，f min（x）+g max（x）≥2，∵，∴，即，由，当a≤0时，∵f（1）＜0，则不合题意；当a＞0时，由f'（x）=0，得或x=﹣1（舍去），当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．∴，即，整理得，，设，∴，∴h（x）单调递增，∵a∈Z，∴2a为偶数，又∵，，∴2a≥4，故整数a的最小值为2．。

江苏省武进高级中学2010届高三上学期期中考试（数学文）一 填空题 （每题5分共70分，把答案写到答案卷上） 1.函数y 的定义域是 。

2.设P 、Q 是两个集合，定义{}P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2log 1P x x =<，{}21Q x x =-<，那么P Q -等于 。

3.已知1cos()63πα-=-。

且(0,)απ∈，则sin α得值为 。

4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 。

5.有一边长为1的正方形ABCD ，设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r，则 。

6.计算下列式子：①tan 25tan 3525tan 35+o o o o，②2(sin 35cos 25sin 55cos 65)+oooo，③1tan151tan15+-oo，④2tan61tan6ππ-，结果为的是 。

7.函数12()log 3f x x =-的单调减区间是 。

8.若不等式1420xx a +--≥在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是 。

9.直线l 经过点(2,1)A ，2(1,)()B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 。

10.若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是 。

11.等比数列{}n a 中， 123480a a a a +++=，56786480a a a a +++=，则1a 为 。

12.函数2lg[(3)4]y x k x =+++的值域为R ，则实数k 的取值范围是 。

13.已知实数,x y满足x y ，则x y +得最大值为 。

14.由曲线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 。

二 解答题（六大题共90分，把解答过程写到答案卷上）15.（14分）设124()lg 3x x af x ++⋅=，如果(,1]x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围。

2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15=．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=（﹣1，2）．【解答】解：∵P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，∴P∪Q=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的必要不充分条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【解答】解：“3﹣x≥0”⇔“x≤3”，“|x﹣1|≤2”⇔“﹣1≤x≤3”故“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”必要不充分条件，故答案为：必要不充分4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．【解答】解：根据题意，，则a2==，则a3==，a4==，分析可得：a1=a3=a5=…a2n﹣1=，a2=a4=a6=…a2n=，则a2018=；故答案为：．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为3．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=（﹣2）m+6=6﹣2m=0，解可得m=3；故答案为：3．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于30°．【解答】解：∵，，B=120°，由正弦定理：，可得sinC=∵c＜b，0＜C＜π∴B＞C，则C=30°．故答案为：30°．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15= 31．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，∴=1，解得a1=，∵其前n项的和为S n，∴S15===31．故答案为：31．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=40°．【解答】解：∵锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则tanα===tan40°，∴锐角α=40°．故答案为：40°．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，由偶函数将f（a）≤f（2）等价于f（|a|）≤f（2），∴|a|≥2，解得a≤﹣2或a≥2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．【解答】解：∵，且sinx﹣cosx=，①两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，解得：2sinxcosx=，∴sinx+cosx===，②∴由①②解得：sinx=，cosx=，∴4sinxcosx﹣cos2x=4×﹣（）2=．故答案为：．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．【解答】解：∵函数，满足f（x）+f（x﹣1）≥2，当x≤0时，x﹣1≤﹣1，f（x）+f（x﹣1）=2x+1+2（x﹣1）+1=4x≥2，解得x，不成立；当，即0＜x≤1时，f（x）+f（x﹣1）=4x+2（x﹣1）+1=4x+2x﹣1≥2，解得；当x﹣1＞0时，f（x）+f（x﹣1）=4x+4x﹣1≥2，解得x＞1．综上，x的取值范围是[）．故答案为：．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．【解答】解：根据题意，=2x﹣+=（2x+y+1）﹣（+）﹣2=1﹣（+），而+=（+）（2x+y+1）=（3++）=1+（+）≥1+（2）=1+，即+≥1+，则≤1﹣（1+）=；故答案为：．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设P（x，y），A（0，b），B（a，b），C（a，0）；由，，，得x2+（y﹣b）2=1①；（x﹣a）2+（y﹣b）2=4②；（x﹣a）2+y2=9③；②﹣①得，（x﹣a）2﹣x2=3④；③﹣④得，x2+y2=6；∴==．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为80．【解答】解：在BC上取点D，使得BD=2CD，则P n在线段AD上．∵，∴﹣a n+1=b n+（3a n+2）=b n（﹣）+（3a n+2）（﹣），∴（﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2）=﹣b n﹣（3a n+2）=﹣b n﹣（3a n+2），∵A，P n，D三点共线，∴﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2=﹣b n﹣（3a n+2），即a n+1=3a n+2．∴a2=3a1+2=8，a3=3a2+2=26，a4=3a3+2=80．故答案为：80．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2，…（2分）又，∴，；…（4分）又∵点是函数图象y=f（x）的一个最高点，则，∴，∵|φ|＜π，∴，…（6分）∴；…（7分）（2）由（1）得，，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到，…（9分）再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到，…（11分）由，解得，∴g（x）的单调增区间是．…（14分）16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．【解答】解：（1）由题设知：，，…（2分）∵m=1，所以：，…（4分）又∵，，∴2+3n=﹣1，得n=﹣1，所以，满足题意的实数n=﹣1．…（6分）（2）设P（x，y），…（8分）∴令：，∴，∴m+3n=x﹣y，…（11分）令z=x﹣y，由图知，当直线y=x﹣z过点C（2，0）时，z取得最大值2，故m+3n的最大值为2．…（14分）17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=x3+x2，故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，由于f（x）是奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，…（3分）又f（0）=0，…（4分）故当x∈R时，．…（6分）（2）∵当x＞0时，f（x）=x3+x2，∴f'（x）=3x2+2x＞0，∴f（x）在[m，n]上单调递增，…（8分）∴∴，∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，…（10分）∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），∴m，n为x2﹣3x+1=0的两个正实数根，…（12分）又由题意可知：0＜m＜n，∴，．…（14分）18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，所以．（2）花坛的面积为，装饰总费用为4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令t=x+10，t∈（10，24），则，当且仅当t=12取等号，此时x=2，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且y的最大值为．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴数列{b n}是公差为1的等差数列；（2）由（1）可知，，故b n=n．因为，所以T n=c1+c2+…+c n=，当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则=b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）=，要使对n∈N*且n为偶数恒成立，只要使对n∈N*且n为偶数恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∵，∴t≥1，故实数t的取值范围是[1，+∞）；（3）由（1）得，∴，∴，∴，设，∴，∴=，∴当n=1时，，即M1＜M2，当n≥2时，M n﹣M n＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴+1，因此数列{S2n﹣S n}的最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，代入点（2，11），得a=2．（2）∵，∴若函数f（x）在区间（2，3）上单调递增，则y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴，得；若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，则y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴，得，综上，实数a的取值范围为；（3）由题意得，f min（x）+g max（x）≥2，∵，∴，即，由，当a≤0时，∵f（1）＜0，则不合题意；当a＞0时，由f'（x）=0，得或x=﹣1（舍去），当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．∴，即，整理得，，设，∴，∴h（x）单调递增，∵a∈Z，∴2a为偶数，又∵，，∴2a≥4，故整数a的最小值为2．。

2017-2018学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（文科）（二）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y=的定义域是．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1﹣i），则复数z的模|z|=．3．“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为．5．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为．6．若等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为．8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是．9．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．12．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则mn的最大值为．13．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是．14．已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2，∠CBA=30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长．17．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．19．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；①设直线l 与直线l 1相交于点M ，直线l 与直线l 2相交于点N ，证明恒为定值，并求此定值．②若连接F 1P 并延长与直线l 2相交于点Q ，椭圆C 的右顶点A ，设直线PA 的斜率为k 1，直线QA 的斜率为k 2，求k 1•k 2的取值范围．20．设数列{a n }的前n 项和S n ＞0，a 1=1，a 2=3，且当n ≥2时，a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ． （1）求证：数列{S n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令b n =，记数列{b n }的前n 项和为T n ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式T n +成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．21．已知a 为实常数，函数f （x ）=lnx ﹣ax +1．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：＜x 1＜1，且x 1+x 2＞2．（注：e 为自然对数的底数）2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y=的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1，故函数的定义域是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1﹣i），则复数z的模|z|=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．3．“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行，可得，解出即可判断出结论．【解答】解：由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行，可得，解得a=3或﹣2．∴“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为=16，故答案为16．5．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为4．【考点】循环结构．【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论．【解答】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；第四次循环，i=4，a=4×16+1=65＞50，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：6．若等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】把a2，a4用a1和常数表示，再由a1，a2，a4成等比数列列式求得a1．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=a1+2，a4=a1+6，又a1，a2，a4成等比数列，∴，解得：a1=2．故答案为：2．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球中有黄球包含的基本事件个数，由此能求出这2只球中有黄球的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，这2只球中有黄球包含的基本事件个数m==5，∴这2只球中有黄球的概率为p==．故答案为：．8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，列出关系式，即可求出l，r，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知=π，且•2πr•l=2π，解得l=2，r=，所以圆锥高h===1，则体积V=πr2h=π．故答案为：π．9．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x﹣θ），即cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a 2+b 2=c 2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC=3BE ，DC=λDF ，若•=1，则λ的值为 2 ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：∵BC=3BE ，DC=λDF ，∴=， =，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2， •=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2， 故答案为：2．12．如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ． 【考点】二次函数的性质．【分析】函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，则f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x +n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x +n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn 的最大值．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即，由②得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn的最大值为18．故答案为：18．13．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是[，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：[，）．14．已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围[﹣1， +1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，求出AC的中点的轨迹方程，求出AC的最大值与最小值，即可得出它的取值范围．【解答】解：设AC的中点为P（x，y），则OP⊥AC，|PA|=|PM|∴=，∴=，∴|PM|max=，∴|PM|min=，∴|AC|max=+1，|AC|min=﹣1，故答案为：[﹣1， +1]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．【考点】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理及其推论，求出BC，cosB，再由同角三角函数基本关系公式，求出sinB，结合两角和的正弦公式，可得答案；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD 的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．由余弦定理得：BC===3，故cosB===，则sinB==，故sin（B+）=（+）=；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===16．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2，∠CBA=30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出PC⊥AC，AC=2，从而AC⊥BC，进而AC⊥平面PBC，由此能证明AC⊥PB．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM的值．【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA=30°，BC=2，AB=4，∴AC==，∴AC2+BC2=4+12=16=AB2，∴∠ACB=90°，故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．7分解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，﹣，0），设M（0，b，c），，（0≤λ≤1），即（0，b，c﹣2）=（0，2，﹣2λ），∴b=2，c=2﹣2λ．M（0，2，2﹣2λ），∴=（0，2λ，2﹣2λ），设平面PAD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1）∵CM∥平面PAD，∴•=﹣2λ+2﹣2λ=0，解得λ=，∴M（0，，1），∴BM==2.14分17．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．19．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；①设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值．②若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a，解得a=2．又e==，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；（2）①直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值．②由由，解得=．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），由于﹣1＜x0＜2，可得∈（，+∞），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e==，求得c=1，b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为．；（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1： +=1，解得y=，∴M，把x=4代入直线1： +=1方程，解得y=，∴N，∴②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），令x=4，可得y Q═．点Q，∵，k2=，∴k1•k2==．∵点P 在椭圆C 上，∴，∴k 1•k 2==．∵﹣1＜x 0＜2，∴∈（，+∞），∴k 1•k 2＜﹣．∴k 1•k 2的取值范围是k 1k 2∈（﹣∞，﹣）．20．设数列{a n }的前n 项和S n ＞0，a 1=1，a 2=3，且当n ≥2时，a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ． （1）求证：数列{S n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令b n =，记数列{b n }的前n 项和为T n ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式T n +成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，a n +1=S n +1﹣S n ，代入a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ，通过S 1=1，S 2=4，S 3=16，满足，而S n 恒为正值，即可证明数列{S n }是等比数列；（2）利用（1）求出S n ，然后求数列{a n }的通项公式；（3）化简b n =，利用裂项法求出数列{b n }的前n 项和为T n ．通过n=1，推出λ不是整数，不符合题意，n ≥2，是整数，从而λ=4是整数符合题意．然后得到结论 【解答】解：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，a n +1=S n +1﹣S n ，代入a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n 并化简得（n ≥3），…a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ，又由a 1=1，a 2=3得S 2=4，代入a 2a 3=（a 3﹣a 2）S 2可解得a 3=12，∴S 1=1，S 2=4，S 3=16，也满足，而S n 恒为正值，∴数列{S n }是等比数列．…（2）由（1）知．当n ≥2时，，又a1=S1=1，∴…（3）当n≥2时，，此时=，又∴．…故，当n≥2时，=，…若n=1，则等式为，不是整数，不符合题意；…若n≥2，则等式为，∵λ是整数，∴4n﹣1+1必是5的因数，∵n≥2时4n﹣1+1≥5∴当且仅当n=2时，是整数，从而λ=4是整数符合题意．综上可知，当λ=4时，存在正整数n=2，使等式成立，当λ≠4，λ∈Z时，不存在正整数n使等式成立．…21．已知a为实常数，函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：＜x1＜1，且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，求出f'（x），分a≤0，a＞0两种情况讨论，通过解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，当a≤0时f（x）单调，不存在两个零点；当a＞0时，可求得f（x）有唯一极大值，令其大于零，可得a的范围，再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可；（ⅱ）由（i）知可判断f（x）的单调性，根据零点存在定理可判断＜1；分析：由0，得，故只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），利用导数可判断g（x）在区间（0，]上为减函数，从而可得g（x1）＞g（）=0，再由f（x1）=0可得结论；【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．（ii）由（Ⅱ）（i）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．f（x）=lnx﹣ax+1，∴f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（1）=1﹣a＞0．故＜1；第二部分：分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，由（1）可知，即．2016年12月7日。

2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15=．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=（﹣1，2）．【解答】解：∵P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，∴P∪Q=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的必要不充分条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【解答】解：“3﹣x≥0”⇔“x≤3”，“|x﹣1|≤2”⇔“﹣1≤x≤3”故“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”必要不充分条件，故答案为：必要不充分4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．【解答】解：根据题意，，则a2==，则a3==，a4==，分析可得：a1=a3=a5=…a2n﹣1=，a2=a4=a6=…a2n=，则a2018=；故答案为：．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为3．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=（﹣2）m+6=6﹣2m=0，解可得m=3；故答案为：3．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于30°．【解答】解：∵，，B=120°，由正弦定理：，可得sinC=∵c＜b，0＜C＜π∴B＞C，则C=30°．故答案为：30°．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15= 31．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，∴=1，解得a1=，∵其前n项的和为S n，∴S15===31．故答案为：31．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=40°．【解答】解：∵锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则tanα===tan40°，∴锐角α=40°．故答案为：40°．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，由偶函数将f（a）≤f（2）等价于f（|a|）≤f（2），∴|a|≥2，解得a≤﹣2或a≥2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．【解答】解：∵，且sinx﹣cosx=，①两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，解得：2sinxcosx=，∴sinx+cosx===，②∴由①②解得：sinx=，cosx=，∴4sinxcosx﹣cos2x=4×﹣（）2=．故答案为：．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．【解答】解：∵函数，满足f（x）+f（x﹣1）≥2，当x≤0时，x﹣1≤﹣1，f（x）+f（x﹣1）=2x+1+2（x﹣1）+1=4x≥2，解得x，不成立；当，即0＜x≤1时，f（x）+f（x﹣1）=4x+2（x﹣1）+1=4x+2x﹣1≥2，解得；当x﹣1＞0时，f（x）+f（x﹣1）=4x+4x﹣1≥2，解得x＞1．综上，x的取值范围是[）．故答案为：．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．【解答】解：根据题意，=2x﹣+=（2x+y+1）﹣（+）﹣2=1﹣（+），而+=（+）（2x+y+1）=（3++）=1+（+）≥1+（2）=1+，即+≥1+，则≤1﹣（1+）=；故答案为：．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设P（x，y），A（0，b），B（a，b），C（a，0）；由，，，得x2+（y﹣b）2=1①；（x﹣a）2+（y﹣b）2=4②；（x﹣a）2+y2=9③；②﹣①得，（x﹣a）2﹣x2=3④；③﹣④得，x2+y2=6；∴==．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为80．【解答】解：在BC上取点D，使得BD=2CD，则P n在线段AD上．∵，∴﹣a n+1=b n+（3a n+2）=b n（﹣）+（3a n+2）（﹣），∴（﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2）=﹣b n﹣（3a n+2）=﹣b n﹣（3a n+2），∵A，P n，D三点共线，∴﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2=﹣b n﹣（3a n+2），即a n+1=3a n+2．∴a2=3a1+2=8，a3=3a2+2=26，a4=3a3+2=80．故答案为：80．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2，…（2分）又，∴，；…（4分）又∵点是函数图象y=f（x）的一个最高点，则，∴，∵|φ|＜π，∴，…（6分）∴；…（7分）（2）由（1）得，，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到，…（9分）再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到，…（11分）由，解得，∴g（x）的单调增区间是．…（14分）16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．【解答】解：（1）由题设知：，，…（2分）∵m=1，所以：，…（4分）又∵，，∴2+3n=﹣1，得n=﹣1，所以，满足题意的实数n=﹣1．…（6分）（2）设P（x，y），…（8分）∴令：，∴，∴m+3n=x﹣y，…（11分）令z=x﹣y，由图知，当直线y=x﹣z过点C（2，0）时，z取得最大值2，故m+3n的最大值为2．…（14分）17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=x3+x2，故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，由于f（x）是奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，…（3分）又f（0）=0，…（4分）故当x∈R时，．…（6分）（2）∵当x＞0时，f（x）=x3+x2，∴f'（x）=3x2+2x＞0，∴f（x）在[m，n]上单调递增，…（8分）∴∴，∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，…（10分）∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），∴m，n为x2﹣3x+1=0的两个正实数根，…（12分）又由题意可知：0＜m＜n，∴，．…（14分）18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，所以．（2）花坛的面积为，装饰总费用为4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令t=x+10，t∈（10，24），则，当且仅当t=12取等号，此时x=2，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且y的最大值为．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴数列{b n}是公差为1的等差数列；（2）由（1）可知，，故b n=n．因为，所以T n=c1+c2+…+c n=，当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则=b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）=，要使对n∈N*且n为偶数恒成立，只要使对n∈N*且n为偶数恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∵，∴t≥1，故实数t的取值范围是[1，+∞）；（3）由（1）得，∴，∴，∴，设，∴，∴=，∴当n=1时，，即M1＜M2，当n≥2时，M n﹣M n＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴+1，因此数列{S2n﹣S n}的最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，代入点（2，11），得a=2．（2）∵，∴若函数f（x）在区间（2，3）上单调递增，则y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴，得；若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，则y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴，得，综上，实数a的取值范围为；（3）由题意得，f min（x）+g max（x）≥2，∵，∴，即，由，当a≤0时，∵f（1）＜0，则不合题意；当a ＞0时，由f'（x ）=0，得或x=﹣1（舍去），当时，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增．∴，即，整理得，，设，∴，∴h （x ）单调递增，∵a ∈Z ，∴2a 为偶数， 又∵，，∴2a ≥4，故整数a 的最小值为2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

常州数学高三期中考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号涂黑。

）1. 函数y=f(x)是奇函数，则下列说法正确的是：A. f(-x)=-f(x)B. f(-x)=f(x)C. f(0)=0D. f(x)=x2. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则其第10项为：A. 19B. 20C. 21D. 223. 若直线y=kx+b与曲线y=x^2+1相切，且切点在第一象限，则k的取值范围为：A. (-∞, -1]B. (-1, 0)C. (0, 1)D. [1, +∞)4. 已知复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为：A. 1B. √2C. √3D. 25. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增6. 已知向量a=(2, -3)，b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角为：A. π/4B. π/3C. π/2D. 5π/67. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {1, 3}C. {2, 3}D. {1}8. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心为(2, 3)，半径为5，则圆C的切线方程为：A. x+y-5=0B. x-y+1=0C. x+y-1=0D. x-y-5=09. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，x∈[2, 5]，则f(x)的最大值为：A. 3B. 8C. 9D. 1010. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，a>0，b>0，且双曲线C的一条渐近线方程为y=x，则b与a的关系为：A. b=aB. b=2aC. b=√2aD. b=a√2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

请将答案直接写在横线上。

）11. 已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，则其第5项为_____________。