2017年春季新版湘教版八年级数学下学期1.4、角平分线的性质同步练习3

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm知识点角平分线的性质1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )A.5B.4C.3D.22.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.43.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( ) A.3对 B.2对 C.1对 D.没有4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D 出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.求证：OB=OC.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B=∠C.9.如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD 是∠ABC 的平分线，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1∶S 2等于( )A.2∶1B.2∶1C.3∶2D.2∶310.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，如果PC=6，那么PD 等于( )A.4B.3C.2D.111.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F.S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是( )A.3B.4C.5D.612.如图所示，若AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=3 cm ，则AB 与CD 之间的距离为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF ⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.参考答案要点感知角的两边预习练习 B1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.87.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE=OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△OBE≌△OCD(ASA).∴OB=OC.8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.515.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∴BC=BD+CD=BD+DE.∵AC=BC，∴AC=BD+DE.16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC.又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA.∴AD⊥EF.18.相等.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.第2课时角平分线的判定要点感知角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.预习练习如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.知识点角平分线的判定1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=( )A.20°B.25°C.30°D.50°2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是( )A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.6.如图：在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上.7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.8.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，在△ABC 中，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BPR ≌△QSP 中( )A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确10.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )A.1处B.2处C.3处D.4处11.点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=__________.12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF.求证：AD 是△ABC 的角平分线.13.如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P.14.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.参考答案要点感知角的平分线预习练习角平分线定理的逆定理1.B2.D3.A4.PC=PD5.27°6.证明：∵DF⊥AB，∠C=90°，∴∠DFB=∠C=90°.在Rt△CED和Rt△FBD中，DE=DB,CE=FB,∴△CED≌△FBD(HL).∴DC=DF.∵DF⊥AB，DC⊥AC，∴点D在∠CAB的角平分线上.7.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE.∴AD是∠BAC的平分线.8.B 9.B 10.D 11.115°12.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△DCF是直角三角形.∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线.13.作法：(1)作出∠BAC的平分线AD；(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.∴点P就是所求的点.图略.14.(1)AM平分∠DAB.证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E. ∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC. 又∵MC=MB，∴ME=MB.∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB.(2)AM⊥DM.理由：∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB.∴CD∥AB.∴∠CDA+∠DAB=180°.又∵∠1=12∠CDA，∠3=12∠DAB，∴2∠1+2∠3=180°.∴∠1+∠3=90°.∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.。

1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等. 预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D 到AC的距离是( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm知识点角平分线的性质1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )A.5B.4C.3D.22.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第2题图第3题图第4题图3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )A.3对B.2对C.1对D.没有4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD 的面积之比为__________.5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.第5题图第6题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F.求证：∠B=∠C.9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于( )A.2∶1B.2∶1C.3∶2D.2∶3第9题图第10题图第11题图10.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于( )A.4B.3C.2D.111.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )A.3B.4C.5D.612.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定第12题图第13题图第14题图13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC 的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.参考答案要点感知角的两边预习练习 B1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.87.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE=OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△OBE≌△OCD(ASA).∴OB=OC.8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.515.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∴BC=BD+CD=BD+DE.∵AC=BC，∴AC=BD+DE.16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC.又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA.∴AD⊥EF.18.相等.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。

角的平分线性质及应用我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．（A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对．解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C）．例2．如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，试问：P到AB、BC、CA的距离相等吗？解：相等．理由如下：过P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F，∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE，同理PE=PF，∴PD=PE=PF，即点P到边AB、BC、CA的距离相等．例3．如图2，△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BD=4，BC=7，则D到AB的距离是．分析：∵∠C=900，∴DC⊥CA，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD平分∠BAC，∴DE=DC=BC－BD=7－4=3，即点D到AB的距离是3．例4．如图3，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）．BDC图2D图１（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．分析：由例2知点O 到△ABC 的三边距离相等，因此点在∠BAC 的平分线上，即AO 平分∠BAC，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线， 若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE⊥BC，垂足为E ，∵BD 是角平分线， AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE=AD=m， ∴mn DE BC S ABC2121=⨯⨯=∆． 例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC，DE⊥BC，BC=8，求△BED 的周长．分析：△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8．例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，求∠B 的度数．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE=DC ，∠1=∠2， 在△AED 和△BED 中，AE=BE ，∠AED=∠BED，ED=ED ，∴△AED 和△BED，∠1=∠B， ∴∠B=∠1=∠2，又∵在Rt△ABC 中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．例8．如图6，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭，供人们小憩，而且要使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）．BC图３ ABCD E图４1 A BCDE2图５分析：到三马路的距离相等的点在每两条马路所成角的平分线上，可作任意两个角的平分线，其交点即为所求小亭的中心位置．解：（略）．图6。

湘教版八年级数学下册《1.4角平分线的性质》同步测试题带答案知识点1角平分线的性质定理1.(2024·娄底期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=12AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于( )A.1B.43C.2D.832.如图,OP平分∠MON,P A⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若P A=2,则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.43.(2024·广东中考)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.知识点2角平分线的判定定理4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三个角的平分线的交点.在上述结论中,正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2024·湘潭期末)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC的度数为( )A.100°B.120°C.125°D.130°6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AE,DE⊥AB,若∠BDE=46°,则∠DAE=.7.(2024·张家界质检)如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.【B层能力进阶】8.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P.则下列结论正确的是( )A.P A平分∠CPBB.AP平分BCC.AP⊥BCD.AP平分∠CAB9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是( )A.6B.5C.4D.310.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据为.11.(2024·牡丹江中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=.12.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.【C层创新挑战】(选做)13.已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.参考答案【A层基础必会】知识点1角平分线的性质定理1.(2024·娄底期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=12AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(B)A.1B.43C.2D.832.如图,OP平分∠MON,P A⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若P A=2,则PQ的最小值为(B)A.1B.2C.3D.43.(2024·广东中考)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.【证明】∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,在Rt△OPD和Rt△OPE中,{OP=OPPD=PE,∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).知识点2角平分线的判定定理4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三个角的平分线的交点.在上述结论中,正确结论的个数有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2024·湘潭期末)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC的度数为(C)A.100°B.120°C.125°D.130°6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AE,DE⊥AB,若∠BDE=46°,则∠DAE= 23°.7.(2024·张家界质检)如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.【解析】略【B层能力进阶】8.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P.则下列结论正确的是(D)A.P A平分∠CPBB.AP平分BCC.AP⊥BCD.AP平分∠CAB9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是(D)A.6B.5C.4D.310.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据为在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.11.(2024·牡丹江中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= 3.12.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.【解析】过点O作OF⊥AB于点F,作OG⊥CD于点G,∵O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC,∴OE=OF,OE=OG,∴OE=OF=OG=2,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠EOF+∠EOG=(180°-∠BAC)+(180°-∠ACD)=180°,∴F,O,G三点共线,∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4.【C层创新挑战】(选做)13.已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.【解析】略。

八年级下册数学期末测试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，113．（3分）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）4．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm5．（3分）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm6．（3分）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm7．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．四条边相等8．（3分）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ．10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．（3分）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= ．12．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是．（写一种即可）13．（3分）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是．14．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是．15．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC 长为cm．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．18．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．19．（8分）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．21．（10分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．23．（10分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；（2）货车的平均速度是km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s 的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．2016-2017学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）（2017春•永定区期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2017春•永定区期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵12+12=2=（）2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32=25≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+82=100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3．（3分）（2017春•永定区期末）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：A、（2，3）第一象限，B、（﹣2，﹣3）第三象限，C、（﹣2，3）第二象限，D、（2，﹣3）第四象限，故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（3分）（2017春•永定区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC=8cm，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵点D为AB的中点，∴CD=4cm，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（3分）（2017春•永定区期末）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm【分析】根据题意得出平行四边形的邻边长的和为13cm，进而利用△ABC的周长是18cm求出AC即可．【解答】解：如图所示：∵▱ABCD的周长是26cm，∴AB+BC=13cm，∵△ABC的周长是18cm，∴AC=18﹣13=5（cm）．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出AB+BC=13cm是解题关键．6．（3分）（2017春•永定区期末）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5．即这个菱形的周长为：20．故选B．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．7．（3分）（2017春•博兴县期末）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．四条边相等【分析】根据正方形和菱形的性质容易得出结论．【解答】解：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：C．【点评】本题考查了正方形和菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键；注意区别．8．（3分）（2004•四川）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．【分析】先根据题意列出s、t之间的函数关系式，再根据函数图象的性质和实际生活意义进行选择即可．【解答】解：根据题意可知s=400﹣100t（0≤t≤4），∴与坐标轴的交点坐标为（0，400），（4，0）．要注意x、y的取值范围（0≤t≤4，0≤y≤400）．故选C．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，首先确定此函数为一次函数，然后根据实际意义，函数图象为一条线段，再确定选项即可．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2017春•永定区期末）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ﹣1 ．【分析】直接把点P（3，2）代入一次函数y=x+b即可．【解答】解：∵P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，∴3+b=2，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．（3分）（2016•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．11．（3分）（2017春•永定区期末）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= 8 ．【分析】首先根据y与x成正比例列出函数关系式，然后代入x、y的值即可求解．【解答】解：∵y与x成正比例，∴y=kx（k≠0）．∵当x=1时，y=2，∴k=2，∴y与x之间的函数解析式是y=2x，∴当x=4时，y=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将一对未知数的值代入解析式，利用方程解决问题．12．（3分）（2017春•永定区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是AC=BD ．（写一种即可）【分析】根据“HL”添加AC=BD或BC=AD均可．【解答】解：可添加AC=BD，∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），故答案为：AC=BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．13．（3分）（2017春•永定区期末）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是（﹣1，1）．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：根据题意，知点Q的坐标是（﹣3+2，4﹣3），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．（3分）（2017春•永定区期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16 ．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．故答案为16．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．15．（3分）（2017春•永定区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为 5 cm．【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理求解即可．【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm 2，AD=4cm ，则AD ×CD=×4×CD=6，CD=3，在直角三角形ACD 中AD=4，CD=3，由勾股定理得AC=5， ∴对角线AC 长为5cm ． 故答案为5．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，是基础知识比较简单．16．（3分）（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n+1（n 为自然数）的坐标为 （2n ，1） （用n 表示）．【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A 4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A 5（2，1）， n=2时，4×2+1=9，点A 9（4，1）， n=3时，4×3+1=13，点A 13（6，1）， 所以，点A 4n+1（2n ，1）． 故答案为：（2n ，1）．【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1如图所示；（3）A1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．【点评】本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF ⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【分析】根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB≌△CFD就可以得出结论．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEB=90°，CE=CF．在Rt△CEB和Rt△CFD中，∴△CEB≌△CFD（HL），∴BE=DF．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△CEB≌△CFD是关键．19．（8分）（2017春•永定区期末）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．【分析】（1）由一次函数图象经过原点，可得出m﹣3=0，解之即可得出结论；（2）由一次函数图象经过一、三、四象限，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，∴m﹣3=0，解得：m=3．（2）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过一、三、四象限，∴，解得：﹣＜m＜3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，找出m﹣3=0；（2）根据一次函数图象与系数的关系，找出关于m的一元一次不等式组．20．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，=AB•BC+AC•CD，∴S四边形ABCD=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．21．（10分）（2017春•永定区期末）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？【分析】（1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案；（2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整；（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8=14人，然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数；【解答】解：（1）a=50﹣（6+8+18+6）=12；（2）频数分布直方图如图所示：（3）抽样调查中不合格的频率为：=0.28，估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2017春•永定区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形OAB即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；【解答】解：（1）菱形ABCD的周长为32cm，∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8cm，∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，∴BO=4cm，∴BD=8cm；（2）菱形的面积=AC•BD=×8×8=32（cm2）．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．23．（10分）（2017春•永定区期末）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5 h；（2）货车的平均速度是60 km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．【分析】（1）根据点C、D的横坐标，即可求出轿车在途中停留的时间；（2）根据速度=路程÷时间，即可求出货车的平均速度；（3）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE对应的函数解析式．【解答】解：（1）2.5﹣2=0.5（h）．故答案为：0.5．（2）300÷5=60（km/h）．故答案为：60．（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），将点D（2.5，80）、点E（4.5，300）代入y=kx+b，，解得：．∴线段DE对应的函数解析式为y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用点D的横坐标﹣点C的横坐标，求出停留时间；（2）根据数量关系，列式计算；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出线段DE的函数解析式．24．（12分）（2017春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s 的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．【分析】（1）先判断出AD∥BC，AD=BC=3，再由运动知，AQ=PC=t，即可得出结论；（2）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（3）利用勾股定理表示出BQ，再由BQ=BP建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=3，由运动知，AQ=t，PC=t，∴AQ=PC，∴AD﹣AQ=BC﹣PC，∴DQ=BP，∵AD∥BC，∴四边形BQDP为平行四边形，（2）由（1）知，四边形BQDP是平行四边形，∵PC=t，∴BP=BC﹣PC=3﹣t，∴S=BP×AB=（3﹣t）×1=﹣t+3（3）如图，在Rt△ABQ中，AQ=t，AB=1，根据勾股定理得，BQ==，由运动知，CP=t，∴BP=3﹣t，∵平行四边形BQDP是菱形，∴BQ=BP，∴=3﹣t，∴t=，当时，四边形BQDP为菱形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解（1）的关键是得出AQ=PC，解（2）的关键是利用平行四边形的面积公式求解，解（3）的关键是表示出BQ，用BQ=BP建立方程求解，是一道中等难度的题目．湘教版八年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等. 预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm知识点角平分线的性质1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )A.5B.4C.3D.22.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第2题图第3题图第4题图3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )A.3对B.2对C.1对D.没有4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.第5题图第6题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：∠B=∠C.9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于( )A.2∶1B.2∶1C.3∶2D.2∶3第9题图第10题图第11题图10.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于( )A.4B.3C.2D.111.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )A.3B.4C.5D.612.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3cm，则AB与CD之间的距离为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定第12题图第13题图第14题图13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC 于E,F两点.求证：AD⊥EF.18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.参考答案要点感知角的两边预习练习 B1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.87.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE=OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△OBE≌△OCD(ASA).∴OB=OC.8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.515.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∴BC=BD+CD=BD+DE.∵AC=BC，∴AC=BD+DE.16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC.又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA.∴AD⊥EF.18.相等.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。

21D A PO EB l 2l 1l 3E DC B A 《角平分线的性质（二）》一、选择题1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图（1），∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD3、如图（2），直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 4、如图（3）在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm（1） （2） （3）二、填空题1、如图（4），∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.2、如图（5），在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

4、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． （4） （5）5、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.三、解答题1、如图（6），已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF2、如图（7），已知O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，O E⊥AC于E，若OE=2求O到AB 与O到CD的距离之和．3、如图（8），BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，∠BDP+∠BEP=180°且∠BDP、∠BEP都不是直角，求证：PD=PE（6）（7）（8）参考答案：一、1、D；2、D；3、A；4、B；二、1、30°；2、8cm；3、三边的距离；4、120°；5、14；三、1、连接AD，可证得：△ABD ≌△ACD，得：AD是∠EAF的平分线。

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1.4 角平分线的性质 （1）
1. 如图（1）所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________．
2. 如图（2）所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝
__________，∠CDA ＝__________．
3. 如图（3）所示，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD ＝
PE 时，必须满足的条件是____________________．
4. 如图（4）所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C 在__________．
5. 如图所示，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于
点D ．
（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．
（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为
__________．
6.如图（1）， PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，PB=PC ， D 是AP 上一点。

求证：∠BDP=∠CDP 。

7.如图（2），在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE
⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是EF ， 且BE ＝CF 。

求证：AD 是△ABC 的角平分线。

A
M
D C B。

N T Q P M E D C B A E D C BA F 《角平分线的性质（一）》一、选择题1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定第1题 第2题 第3题 第4题2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、TQ ＝PQ B 、∠MQT ＝∠MQP C 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQT3．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm4．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ） A ．① B ．② C ．①和② D ．①②③二、填空题1、如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，且BD =DC ，求证：BE =CF 。

（提示：证明线段相等的常见方法有： ① ②③ 而本题只能用：2、如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是： 。

3、如图，在AC =4，BC =3，AB =5，点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的距离是： 。

三、解答题1、已知：如图点C 在∠A 的内部，B 、D 分别 是∠A 两边上的点，且AB =AD ，CB =CD ，CE ⊥AB 边于点E ，CF ⊥AD 于点F ，求证：CE =CF 。