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第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
第十单元 解析几何第52讲 直线的方程1.直线x tan π7＋y ＝0的倾斜角是( ) A ．－π7 B.π7C.5π7D.6π72.已知直线l 过点O (0,0)和点P (2＋3cos α，3sin α)，则直线l 的斜率的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3 3.已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是( )4.直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的范围是( )A ．k ≥－1B ．k ≤1C ．－1≤k ≤1且k ≠0D ．k ≤－1或k ≥15.若直线(a 2＋2a )x －y ＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．6.已知点A (－2,0)，B (1，3)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，经过点B 的直线与该圆交于另一点C ，当△ABC 面积最大时，直线BC 的方程是________．7.直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.8.在△ABC 中，已知点A (5，－2)、B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．9.已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程； (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．第53讲 两直线的位置关系与对称问题1.“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝03.过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝04.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直5.若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝______. 6.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是 .7.已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．8.已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．第54讲 圆的方程1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2.已知倾斜角为60°的直线l 过圆C ：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心，则此直线l 的方程是( ) A.3x ＋y ＋1＝0 B ．x －3y ＋1＝0C ．x ＋3y ＋1＝0 D.3x －y ＋3＝0 3.曲线y ＝－4－x 2(x ≤0)的长度为( )A.2π3B.3π2C ．2πD ．π4.已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，下列结论错误的是( )A ．当a 2＋b 2＝r 2时，圆必过原点B ．当a ＝r 时，圆与y 轴相切C ．当b ＝r 时，圆与x 轴相切D ．当b <r 时，圆与x 轴相交5.设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为______．6.已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝ ，b ＝______.7.已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，则圆的标准方程为______________________．8.已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－32.直线tx ＋y －t ＋1＝0(t ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能3.直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2C ．2 2D ．44.直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－45.设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是 .6.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是 .7.经过点P (2，－3)，作圆x 2＋2x ＋y 2＝24的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为________________________________________________________________________．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．第56讲 椭 圆1.已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 2.已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为( )A ．8B ．16C ．25D ．323.椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则|PF 1|＝( )A.415B.95C ．6D ．74.直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12C.3－1 D ．4－2 35.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．6.若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于 .7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)被围于由4条直线x ＝±a ，y ＝±b 所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若OP →＝m ·OA →＋n ·OB →(m ，n ∈R )，则m ，n 满足的一个等式是__________． 8.设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a|＋|b|＝8.求点M (x ，y )的轨迹C 的方程．9.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,22)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．第57讲 双曲线1.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 2.双曲线x 2m 2＋12＋y 2m 2－4＝1的焦距是( ) A ．2 2 B ．4C ．8D ．与m 有关3.过点(2，－2)且与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y 24＝1 4.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．95.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 6.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，则两条渐近线夹角的取值范围是__________．7.△PF 1F 2的一个顶点P (7,12)在双曲线x 2－y 2b2＝1上，另外两个顶点F 1，F 2为该双曲线的左，右焦点，则△PF 1F 2的内心的横坐标为______．8.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．9.已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为233.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M (0,1)，设P (x 0，y 0)是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求MP →·MQ →的取值范围．第58讲 抛物线1.在抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．42.抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．13.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且该双曲线的离心率为5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x4.抛物线y ＝4x 2上一点到直线l ：y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( )A ．(12，1) B ．(0,0)C ．(1,2)D ．(1,4)5.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．6.直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得线段的中点坐标是________．7.双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为______．8.已知斜率为1的直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点． (1)求直线l 的方程(用p 表示)；(2)若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)若|AB |＝4，求抛物线方程．9.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程．第59讲 直线与圆锥曲线的位置关系1.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 2.在同一坐标系中，方程x 2a 2＋y 2b2＝1与bx 2＝－ay (a >b >0)表示的曲线大致是( )3.过椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)4.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是( )A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.以曲线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是______．6.直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝______.7.已知直线l 1：y ＝kx 和l 2：y ＝k ′x 分别与抛物线W ：y 2＝2x 和抛物线M ：y 2＝4x 交于A ，B ，C ，D 四点(如图)，则S △OACS △OBD＝________.8.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为2 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，且|ME|＝|NE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．9.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：1|AB|＋1|CD|为定值．第60讲 轨迹问题1.若动点P 到定点F (1，－1)的距离与到直线l ：x －1＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线2.方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对3.已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 236＝1 D.y 225－x 236＝1 4.已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝ 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则动点M 的轨迹C 的方程为 .6.已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是 .7.在直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 坐标分别为A (－1,0)，B (1,0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①GA →＋GB →＋GC →＝0； ②MA ＝MB ＝MC ； ③GM →∥AB →.则△ABC 的另一个顶点C 的轨迹方程为__________________________．8.设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P到定点M (0，12)的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．9.已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．第61讲 圆锥曲线的综合应用1.若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－22.与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，而与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1 3.椭圆x 24＋y23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)，F 是右焦点，{|P n F |}组成公差d >1100的等差数列，则n 的最大值为( )A ．99B ．100C ．199D ．2004.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．65.若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围为______________________．6.若F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左，右焦点，点A 在双曲线C 上，点M的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线．则|AF 2|的值为 .7.若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为______．8.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程．(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．9.在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之和为22，设点E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设过点F2(1,0)且斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P纵坐标的取值范围．第十单元 解析几何 第52讲 直线的方程1．D k ＝－tan π7＝tan(π－π7)＝tan 6π7，且6π7∈[0，π)，所以倾斜角为6π7.2．D 因为动点P (2＋3cos α，3sin α)的轨迹方程为圆C ：(x －2)2＋y 2＝3，所以当直线l 与圆C 相切时，斜率取得最值，此时，k max ＝322－(3)2＝3，故选D.3．D4．C 令x ＝0，得y ＝k ；令y ＝0，得x ＝－2k .所以三角形面积S ＝12|xy |＝k 2.又S ≤1，即k 2≤1，所以－1≤k ≤1. 又因为k ＝0时不合题意，故选C. 5．(－2,0) 此题倾斜角为钝角等价于斜率小于0，从而得到a 2＋2a <0，解之得－2<a <0. 6．x ＝1 AB 的长度恒定，故△ABC 面积最大，只需要C 到直线AB 的距离最大即可．此时，C 在AB 的中垂线上，AB 的中垂线方程为y －32＝－3(x ＋12)，代入x 2＋y 2＝4得C (1，－3)或C (－1，3)(舍去)，所以直线BC 的方程是x ＝1.7．－24 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.8．解析：(1)设点C (x ，y )，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是(0，－52)，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1，即5x －2y －5＝0.9．解析：(1)依题意，直线l 的斜率存在．因为直线l 过点M (－2,0)，可设直线l ：y ＝k (x ＋2)． 因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1，因为OP →·OQ →＝－12，所以OP →·OQ →＝|OP →|·|OQ →|·cos ∠POQ ＝－12，所以∠POQ ＝120°，所以O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MQ →＝2MP →.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＝2(x 1＋2)y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2(x 1＋1)y 2＝2y 1，(*)因为P ，Q 两点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1x 22＋y 22＝1，把(*)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝14(x 1＋1)2＋4y 21＝1，所以⎩⎨⎧x 1＝－78y 1＝±158.所以直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159，即k ＝±159. 第53讲 两直线的位置关系与对称问题1．A a ＝3代入⇒直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行，反之直线ax ＋2y ＋2a ＝0和3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行⇒a (a －1)＝2×3≠2a (－a ＋7)，a ＝3或a ＝－2，所以“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的充分而不必要条件．2．A 根据已知直线方程知所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，故选A.3．B 当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y2a＝1再由过点(5,2)即可解出．4．B 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，即－sin A a ·b sin B ＝－1，而－sin A a 与b sin B分别为两条直线的斜率，故两条直线垂直，故选B.5．2 易知，点(0,8)在直线y ＝ax ＋8上，则点(8,0)必在直线y ＝－12x ＋b 上，则b ＝4.同理，(0,4)在直线y ＝－12x ＋b 上，则点(4,0)必在直线y ＝ax ＋8上，则a ＝－2，所以a ＋b＝2.6．2 由已知两条直线平行得－34＝－6m，解得m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，故两平行线间的距离为|－3－7|32＋42＝2.7．[0,10] 由题意得，点到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．8．解析：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，所以l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， 所以l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m，得m ＝－1或m ＝3.由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2；(3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．9．解析：(方法一)直线x ＋my ＋m ＝0恒过点A (0，－1)．k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32，则－1m ≥32或－1m ≤－2，所以－23≤m ≤12且m ≠0.又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，故所求m 的范围是[－23，12]．(方法二)过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)，即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理得x ＝－7mm ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2，解得－23≤m ≤12.第54讲 圆的方程1．D 圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，故选D. 2．D 3．D 化为x 2＋y 2＝4(x ≤0，y ≤0)，表示在第三象限的四分之一圆弧，长度＝14·2π·2＝π.4．D 已知圆的圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的．故选D.5．1 圆心(0,0)到直线3x －4y －10＝0的距离d ＝|－10|5＝2.再由d －r ＝2－1＝1，知最小距离为1.6．－1 1 点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上， 所以2a ＋b ＋1＝0，①点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上， 所以圆心(－a,2)在直线x ＋y －3＝0上， 即－a ＋2－3＝0，②由①②解得a ＝－1，b ＝1.7．(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10 解析：圆心在直线y ＝2x 上，设圆心为(a,2a )，圆心到直线y ＝x 的距离d ＝r 2－(l2)2，得d ＝(10)2－(422)2＝2，2＝|a －2a |12＋12⇒a ＝±2.所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.8．解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆． 设yx ＝k ，即y ＝kx ，由圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3.所以k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，有OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°解之)9．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题意y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2， 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22，又点P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1y 20－x 20＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝3； 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1y 20－x 20＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. 第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．B 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)，由直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心得：a ＝1.2．A 圆心坐标为(1，－2)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|t －2－t ＋1|t 2＋1＝1t 2＋1≤1<3， 所以直线与圆一定相交．3．B 求圆的弦长利用勾股定理，弦心距d ＝2，r ＝3，r 2＝d 2＋l 24，l ＝23－2＝2，选B.4．A 直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A (1，3)，B (2,0)，OA →·OB →＝2.5．±33由条件可知圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离为d ＝4－3＝1，所以|1－2m －1|1＋m 2＝1，所以m ＝±33.6．4 直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，a －b －3＝0， 当点M (a ，b )到圆心距离最小时，切线长最短； |MC |＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝2a 2－8a ＋26， a ＝2时最小，b ＝－1，此时切线长等于4.7．x －y －5＝0 点P 在圆内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又圆心与P 的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为1，且过点P (2，－3)，则所求直线方程是x －y －5＝0.8．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点， 解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34.故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M (x ，y )在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ，由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．9．解析：(1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6,0)，半径为2，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.(方法一)将直线方程代入圆方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0， 整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为(－34，0)．(方法二)直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k －0＋2|k 2＋1<2， 化简得－8k 2－6k >0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为(－34，0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∈(－34，0)，而k ＝－34∉(－34，0)．故没有符合题意的常数k .第56讲 椭 圆1．C 由题意得，c ＝1,2b 2a＝3，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b 2＝3，故选C.2．B 由题知|MN |＋|MF 2|＋|NF 2|＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＝16.故选B. 3．A 因为线段PF 1的中点M 在y 轴上，故可知P (c ，±b 2a )＝(4，±95)，所以|PF 1|＝10－95＝415，选A.4．C 设椭圆的左，右焦点分别为F 1，F 2. 由题意可得OF 2＝OA ＝OB ＝OF 1＝c .又y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3.所以|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以c ＋3c ＝2a ，所以e ＝ca ＝3－1.5．0＜k ＜1 椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1.焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1.又k >0，所以0<k <1.6.32或83 由已知m >0且m ≠2，若0<m <2，e ＝2－m 2＝12，得m ＝32，若m >2，则e ＝m －2m ＝12，得m ＝83. 7．m 2＋n 2＝12设P (x ，y )，由OP →＝m ·OA →＋n ·OB →⇒(x ，y )＝m (a ，b )＋n (－a ，b )＝(am －an ，bm ＋bn )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (m －n )y ＝b (m ＋n )⇒⎩⎨⎧xa ＝m －n y b＝m ＋n⇒(m －n )2＋(m ＋n )2＝x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒m 2＋n 2＝12.8．解析：(方法一)因为a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a|＋|b|＝8， 所以点M (x ，y )到两个定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为8.所以轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆，方程为x 212＋y 216＝1.(方法二)由题知，x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8， 移项，得x 2＋(y ＋2)2＝8－x 2＋(y －2)2，两边平方，得x 2＋(y ＋2)2＝x 2＋(y －2)2－16x 2＋(y －2)2＋64， 整理，得2x 2＋(y －2)2＝8－y ，两边平方，得4[x 2＋(y －2)2]＝(8－y )2，展开，整理得x 212＋y 216＝1.9．解析：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4，又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意，各点的坐标如下图所示．则QG 的直线方程：y －0y 0＝x －8x 0x 0－8x 0，化简得x 0y 0x －(x 20－8)y －8y 0＝0.又x 20＋2y 20＝8，所以x 0x ＋2y 0y －8＝0，代入x 28＋y 24＝1，求得最后Δ＝0，所以直线QG 与椭圆只有一个公共点． 第57讲 双曲线1．C 由题知，c a ＝52，即54＝c 2a 2＝a 2＋b2a2，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.2．C3．A 可设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ，把(2，－2)点坐标代入方程得λ＝－2.4．C 由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，所以a ＝2.据定义有|PF 2|－|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝7.5.3＋1 在Rt △F 1F 2P ，设2c ＝F 1F 2＝2，则PF 2＝1， PF 1＝3⇒2a ＝PF 1－PF 2＝3－1⇒e ＝c a ＝23－1＝3＋1.6．[π3，π2]7．1 因P (7,12)在双曲线x 2－y2b2＝1上，故72－122b2＝1，所以b 2＝3，a 2＝1.如图，|P A |＝|PB |， 2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝|P A |＋|AF 1|－|PB |－|BF 2| ＝|AF 1|－|BF 2|.因为|AF 1|＝|F 1C |，|BF 2|＝|CF 2|， 所以|F 1C |－|CF 2|＝2a ，又|F 1C |＋|CF 2|＝2c ，所以|F 1C |＝a ＋c ，|CF 2|＝c －a ， 所以C (a,0)，所以C 点的横坐标为1.8．解析：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0.所以∠F 1PF 2＝90°.9．解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则c ＝2，又由c a ＝233，得a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝1，故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)依题意有：Q (－x 0，－y 0)，所以MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝(－x 0，－y 0－1)，所以MP →·MQ →＝－x 20－y 20＋1，又x 203－y 20＝1，所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2，由x 203－y 20＝1可得，x 20≥3， 所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2≤－2，故MP →·MQ →的取值范围是(－∞，－2]． 第58讲 抛物线1．C 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由抛物线的定义知4＋p2＝5，解得p ＝2.2．D 抛物线的焦点F (2,0)，则距离d ＝22＝1，故选D.3．C 因为抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，所以c a ＝1a ＝5，所以a ＝55，b ＝255，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .4．A 设平行于直线l 且与抛物线相切的方程为y ＝4x ＋b ，联立y ＝4x 2，令Δ＝0，得b ＝－1，可得交点为(12，1)，故选A.5．－1≤k ≤1 因为y 2＝8x ，所以Q (－2,0)(Q 为准线与x 轴的交点)，设过Q 点的直线l 方程为y ＝k (x ＋2)．因为l 与抛物线有公共点， ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k (x ＋2)有解，即k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0有解． 所以Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0，即k 2≤1.所以－1≤k ≤1.6．(3,2) 将y ＝x －1代入抛物线y 2＝4x ，经整理得x 2－6x ＋1＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.所以所求点的坐标为(3,2)． 7．4 双曲线的左焦点坐标为(－3＋p 216，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，所以p 2＝16，又p ＞0，所以p ＝4.8．解析：(1)因为抛物线的焦点F 的坐标为(p2，0)，又因为直线的斜率为1，所以直线l 的方程为：y ＝x －p2.(2)证明：过点A ，B 分别作准线的垂线AA ′，BB ′，交准线于A ′，B ′，则由抛物线的定义得：|AB |＝|AF |＋|BF | ＝|AA ′|＋|BB ′|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p .(3)由|AB |＝4，得x 1＋x 2＋p ＝4，直线y ＝x －p2与抛物线方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px⇒x 2－3px ＋p 24＝0，由韦达定理，x 1＋x 2＝3p ，解得p ＝1， 抛物线方程为y 2＝2x .9．解析：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝322，解得c ＝1(负根舍去)．所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .所以抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.因为y 1＝14x 21，所以y ＝x 12x －y 1.因为点P (x 0，y 0)在切线l 1上，所以y 0＝x 12x 0－y 1.①同理，y 0＝x 22x 0－y 2.②综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y .因为经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的．所以直线AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.第59讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．A 由y ＝－x 2可得y ′＝－2x ，而直线4x ＋3y －8＝0的斜率为－43，令y ′＝－2x＝－43，得x ＝23.代入y ＝－x 2得y ＝－49，故距离d min ＝|4×23＋3×(－49)－8|32＋42＝43.2．B3．C 由题意B (c ，b 2a )，所以k ＝b 2ac ＋a＝a －c a ＝1－e ，所以13<1－e <12，所以12<e <23.4．C 数形结合法，与渐近线斜率比较． 5．(2,0) 6.27.14 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx y 2＝2x )知x A ＝2k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ′x y 2＝4x)，知x B ＝4k ′2， 所以|OA |＝1＋k 2·x A ，|OB |＝1＋k 2·x B ， 故OA OB ＝x A x B ＝12，同理OC OD ＝x C x D ＝12. 所以S △OAC S △OBD ＝12|OA ||OC |sin ∠AOC12|OB ||OD |sin ∠BOD ＝14.8．解析：(1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则由长轴长等于4，即2a ＝4，所以a ＝2.又e ＝22，所以c ＝ 2.又由于b 2＝a 2－c 2＝2，所以所求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设存在这样的直线l ：y ＝kx ＋m ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为F (x 0，y 0)． 因为|ME |＝|NE |，所以MN ⊥EF ，所以y 0－1x 0·k ＝－1，①(ⅰ)其中若x 0＝0，则k ＝0，显然直线y ＝m (－2<m <2)符合题意； (ⅱ)下面仅考虑k ≠0的情形：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－4)>0， 得4k 2＋2>m 2，②则x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k 2.代入①式，即m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2·k ＝－1，解得m ＝－1－2k 2.代入②式得4k 2＋2>(－1－2k 2)2，得－22<k <22(k ≠0)．综上(ⅰ)(ⅱ)可知，存在这样的直线l ，其斜率k 的取值范围是(－22，22)． 9．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3c ＝1a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)知F 1(－1,0)．当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 24＋y 23＝1)， 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[(－8k 23＋4k 2)2－4×4k 2－123＋4k 2]＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 斜率不存在时，此时|AB |＝3，|CD |＝4， 1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712.第60讲 轨迹问题1．D 因为定点F (1，－1)在直线l ：x －1＝0上，所以轨迹为过F (1，－1)与直线l 垂直的一条直线，故选D.2．C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0xy －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1. 3．A4．C 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2.又因为|PF 1|·|PF 2|＝2，所以a ＝2，b ＝1.故双曲线方程为x 24－y 2＝1. 5.x 24＋y 23＝1 点M (x ，y )到直线x ＝4的距离，是到点N (1,0)的距离的2倍，则 |x －4|＝2(x －1)2＋y 2⇒x 24＋y 23＝1. 所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为x 24＋y 23＝1. 6．y 2－x 248＝1(y ≤－1) 解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，所以|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，所以点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 7．x 2＋y 23＝1(y ≠0) 解析：由①GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为三角形△ABC 的重心．由②MA ＝MB ＝MC ，知M 为三角形△ABC 的外心．设M (x 0，y 0)，C (x ，y )，则G (x 3，y 3)． 由②MA ＝MB ＝MC 知，(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0－1)2＋y 20＝(x 0－x )2＋(y 0－y )2，得x 0＝0,1＋y 20＝x 2＋(y －y 0)2，(*)则M (0，y 0)，GM →＝(－x 3，y 0－y 3)，AB →＝(2,0)， 由GM →∥AB →知2(y 0－y 3)＝0，即y 0＝y 3，将其代入(*)，化简得x 2＋y 23＝1. 又因为C 不能在x 轴上，所以C 的轨迹方程为x 2＋y 23＝1(y ≠0)． 8．解析：(1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知|PM |－|PN |＝12， 而y ≥0，所以|PN |＝y ， 所以x 2＋(y －12)2＝y ＋12， 化简得x 2＝2y (y ≥0)为所求的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝2y ， 得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.9．解析：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，所以动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k，－1)，所以 RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k，y 2＋1) ＝(x 1＋2k )(x 2＋2k)＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. 因为k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， 所以RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.第61讲 圆锥曲线的综合应用1．A 2.A3．D d ＝|P n F |－|P 1F |n －1(n ≥2)． 因为d >1100，所以|P n F |－|P 1F |n －1>1100(n ≥2)， 进而有：n <100(|P n F |－|P 1F |)＋1(n ≥2)，若使n 的值最大，只需100(|P n F |－|P 1F |)＋1(n ≥2)最大，即使|P n F |－|P 1F |最大，而(|P n F |－|P 1F |)max ＝3－1＝2，所以n <201，所以n 的最大值为200，故选D.4．A 双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于r ，则r ＝|2×3－2×0|2＋4＝ 3. 5．(－33，0)∪(0，33) 解析：注意到曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1表示的是以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，曲线C 2：y (y －mx －m )＝0表示的直线y －mx －m ＝0，即y ＝m (x ＋1)，注意到直线y ＝0与曲线C 1有两个不同的交点，因此要使曲线C 1与C 2有4个不同的交点，须要直线y ＝m (x ＋1)与曲线C 1有两个不同的交点，且这两个交点与点(0,0)，(2,0)不重合，结合图形观察分析可知，满足题意的直线y ＝m (x ＋1)的斜率m 应在区间(－33，33)内，且不等于零，即实数m 的取值范围是(－33，0)∪(0，33)．6．6 由双曲线方程知a ＝3，c ＝6.令|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，由AM 为∠F 1AF 2的角平分线，得r 1r 2＝S △AF 1M S △AF 2M ＝|F 1M ||F 2M |＝84＝2 ⇒r 1＝2r 2，而r 1－r 2＝2a ＝6⇒2r 2－r 2＝6⇒r 2＝6. 7.255 根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3(b 2＋c )＝5(c －b 2)a 2＝b 2＋c 2，解得e ＝c a ＝255. 8．解析：(1)抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为(0,1)， 设椭圆C 的标准方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则b ＝1. 所以c a ＝255，所以c 2a 2＝45，所以a 2－b 2a 2＝45，a 2＝5， 所以椭圆C 的标准方程为：x 25＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，则由MA →＝λ1AF →，得x 1＝2λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1， 所以15(2λ11＋λ1)2＋(y 01＋λ1)2＝1，所以λ21＋10λ1＋5－5y 20＝0， 同理可得：λ22＋10λ2＋5－5y 20＝0，所以λ1，λ2是方程x 2＋10x ＋5－5y 20＝0的根，所以λ1＋λ2＝－10.9．解析：(1)由题设知|EF 1|＋|EF 2|＝22>|F 1F 2|， 根据椭圆的定义，E 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长为22的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则c ＝1，a ＝2，b ＝1，所以C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得， (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 设线段MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k 2k 2＋1， 即Q (2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1)． 因为k ≠0，所以直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k (x －2k 22k 2＋1)， 令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k， 当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P ≤24；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以－24≤y P <0. 综上得点P 的纵坐标的取值范围是[－24，0)∪(0，24]．。
第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－32.直线tx ＋y －t ＋1＝0(t ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能3.直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2C ．2 2D ．44.直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－45.设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是 .6.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是 .7.经过点P (2，－3)，作圆x 2＋2x ＋y 2＝24的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为________________________________________________________________________．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．第55讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．B 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)，由直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心得：a ＝1.2．A 圆心坐标为(1，－2)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|t －2－t ＋1|t 2＋1＝1t 2＋1≤1<3， 所以直线与圆一定相交．3．B 求圆的弦长利用勾股定理， 弦心距d ＝2，r ＝3，r 2＝d 2＋l 24，l ＝23－2＝2，选B. 4．A 直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A (1，3)，B (2,0)，OA →·OB →＝2.5．±33由条件可知圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离为d ＝4－3＝1， 所以|1－2m －1|1＋m 2＝1，所以m ＝±33. 6．4 直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心距离最小时，切线长最短；|MC |＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝2a 2－8a ＋26，a ＝2时最小，b ＝－1，此时切线长等于4.7．x －y －5＝0 点P 在圆内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又圆心与P 的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为1，且过点P (2，－3)，则所求直线方程是x －y －5＝0.8．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M (x ，y )在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ，由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]． 9．解析：(1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6,0)，半径为2，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.(方法一)将直线方程代入圆方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为(－34，0)．(方法二)直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k －0＋2|k 2＋1<2， 化简得－8k 2－6k >0，解得－34<k <0， 即k 的取值范围为(－34，0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 由(1)知k ∈(－34，0)，而k ＝－34∉(－34，0)．故没有符合题意的常数k .。
