下载文档原格式
第一节 三角形的内角与外角【知识要点】1．三角形的概念及其基本要素．三角形：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 如图示：记作“”，读作：“三角形ABC ”． 三角形的基本要素：三条边、三个内角、三个顶点． 2．三角形的内角（1）三角形的内角和等于． （2）直角三角形两锐角互余． 3. 三角形的外角（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；问：三角形的外角和是多少度?（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【典型例题】例1. 如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数.例2．如图所示，中，的平分线交于点P ，且，求的度数．ABC ∆180︒ABC ∆,B C ∠∠130BPC ∠=︒BAC∠BA例3. 如图，已知BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，∠BDC=140°， ∠BGC=110°，求∠A 的度数.例4. 如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 的度数为多少？例5． 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.【初试锋芒】一．填空题1．（1）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，如果∠C=65°，∠ADC=86°，那么∠B= （2）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的外角的度数的比是4﹕3﹕2，那么∠A= （3）如图1所示，在△ABC 中，AI 和CI 分别平分∠BAC 和∠BCA ，如果∠B=40°，那么∠AIC=(4) 如图2所示，已知∠1=80°，∠F=15°，∠B=35°，那么∠A= ，∠DEA=CEBFADA CA2．如图3所示，写出∠1、∠2、∠3的度数：∠1= ，∠2= ，∠3=3. 直角△ABC 中，∠C=90°则∠A,∠B 的角平分线相交所成的角为___________4．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C=二．解答题1.如图，已知△ABC 中，AD BC ，AE 平分∠BAC ，∠B=42°，∠C=70°，求∠AEC 和∠DAE 的度数.2．三角形的第一个角是第二个角的倍，第三个角比这两个角的和大，求这三个角的度数．3. 如图所示，中，D 是BC 边上的一点，并且， 试证明：．1213⊥3230︒ABC ∆DAC B ∠=∠ADC BAC ∠=∠ ACA图1AFC1 DBE 图245° 3115°12图3C4．如图所示，已知△ABC 中，AC=AD ，BC=BE ，∠ACB=100°，求∠ECD 的度数.【大展身手】1．如图1所示，在中，，CD 是AB 边上的高，求与互余的角有（ ） A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．如图2所示，在锐角三角形ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P ，若则的度数是（ ） A 、B 、C 、D 、3．如图3所示，AB ∥CD ，，图中与互余的角有（ ） A 、1个 B 、2个C 、3个D 、4个4．如图4所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=5．如图5所示，△ABC 的两个外角的角平分线都交于D ，若∠B=50°，则∠D 等于（ ） A ．60 B ．80° C ．65° D ．40° 6．如图6所示，AD ⊥DC ，∠BAD=30°，∠BCD=18°，∠B=7．如图7所示，有一底角为35°的等腰三角形纸片.现过底边上一点，沿与底边垂直的ABC ∆90ACB ∠=︒A ∠50,A ∠=︒BPC ∠150︒130︒120︒100︒AC BC ⊥CAB ∠BCDA图5BCD图6AB图2图1ACB 1图3方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大的度数是_________.8． 如图8所示，在直角三角形ABCD 中，，为上一点，则可能是（ ）A 、B 、C 、D 、第二节 三角形的三边关系【知识要点】1．三角形的三边关系是指：三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边．2．三角形的分类：①按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ②按边分为：等腰三角形和不等边三角形；等边三角形是等腰三角形中的特殊三角形．【典型例题】例1. 已知等腰三角形一边长为12cm ，腰长是底边长的，求这个三角形的周长.例2．若a 、b 、c 为△ABC 的三边之长，化简：︒=∠90D C AD x ︒10︒20︒30︒4034.a b c b c a c a b --+--+--图7A图8例3．一个三角形有两边相等,周长为18cm,其中不相等的边长为4cm,求其它两边的长;若把“不相等的边长为4cm”改为“其中一边长为4cm”，其它条件不变，求其它两边的长 .例4．（1）小明从家C点去学校B点，有两条路可走，C→O→B；C→A→B，可小明每回上学都走C→O→B，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？（2）若还有一条路C→E→D→B，走哪一条路更近？为什么？【初试锋芒】一.选择题BAC1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）A 、1cm ，2cm ，4cmB 、8cm ，6cm ，4cmC 、12cm ，5cm ，6cmD 、2cm ，3cm ，6cm 2．有长度分别为10cm ，7cm ，5cm 和3cm 的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（ ） A 、共有4种选法B 、只有3种选法C 、只有2种选法D 、只有1种选法3．已知三角形三条边的长分别是5，6和，则的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、D 、4．在一个三角形中，两条边长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（ ）A 、不存在B 、只有一个C 、只有两个D 、有三个 5．的三边，且，那么中（ ） A 、 B 、 C 、 D 、不能确定其边的关系 6．某等腰三角形的两条边长分别为3和6，则它的周长为（ ） A ．9B.C.D. 12或157．三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长的取值范围是（ ） A 、 B 、C 、D 、无法确定二.解答题1．三角形的两条边长分别为3cm 和4cm ．①求第三边的取值范围．②当周长为偶数时，求第三边的长．2.已知△ABC 的周长为18cm ，且a +b =2c ,b =2a ，求a 、b 、c【大展身手】1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）a a 111<<a 62<<a 2>a 51<<a ABC ∆cb a ,,()()0=-⋅-+c a c b a ABC ∆c b a >>c b a =+c a =cm cm cm cm 12cm 15cm cm t 73<<t 129<<t 1410<<t cA 、3,3,6B 、3,7,11C 、2.5,4.5,2D 、2．等腰三角形的一边长为2cm ，另一边长为6cm ，则其第三边长（ ） A 、2cmB 、5cmC 、7cmD 、6cm3. 已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 4．已知三角形三条边的长分别是2，3和，则的取值范围是（ ） A 、B 、C 、D 、5.一棵9m 高的大树从离地面4m 高的地方折断,则树顶与地面的接触点距离树根可能是( )A ．1mB ．3mC ．9mD ．13m 6．已知三角形的三边长分别是3，8，，若的值为偶数，则的值为（ ） A ．6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个二.解答题1.设a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简2．已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？第三节 三角形中的重要线段【知识要点】1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交41,31,21a a 32<<a 50<<a 2>a 51<<a x x x a b c a b c +++--点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线交于三角形内一点） 2．三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的三条中线交于三角形内一点）3．三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.（三角形的三条高交于一点）【典型例题】例1.在中，的平分线交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，求和的度数．例2．如图，在中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且BC=12，AC=8，AD=6，求BE 的长？例3.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm,AB 与AC 的和为11cm,求AC 的长.ABC ∆ACB B A ∠︒=∠︒=∠,70,60BDC ∠EDC ∠ABC ∆ D例4.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，且∠B=3∠BAD ，求∠ADC 的度数.例5． 如图的周长为18cm ，BE 、CF 、AD 分别为AC 、AB 、BC 边上的中线，且AF=3cm ，AE=2cm ，求BD 的长．【初试锋芒】一．选择题1．三角形的三条高所在直线的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．以上都不对ABCC尖子训练营11 2．三角形的三条中线的交点在三角形的（ ）A ．内部B ．外部C ．一边上D ．以上情况都有可能 3．三角形的角平分线是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．射线或线段 4．三条高所在的直线的交点在三角形的外部，此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定5. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 6．下面说法错误的是（ ）A ．三角形的三条角平分线交于一点B ．三角形的三条中线交于一点C ．三角形的三条高交于一点D ．三角形的三条高所在的直线交于一点 7．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ） A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 二．解答题8．如图，已知AD 、AE 分别是的中线、高线，且AB=5cm ，AC=3cm ，求的周长之差为多少？说明的面积关系．9．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AB 、DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ，试问：DO 是不是△DEF 的角平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.ABC ∆ACD ABD ∆∆与ACD ABD ∆∆与尖子训练营1210. 如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 边和AC 边的中点.求证：【大展身手】1．如图1，△ABC 中，AD ⊥BC ，E 、F 是BC 上的点，则以AD 为高的三角形有______个.2．如图2，在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是高，DE 是△ABD 的高，则与∠B 互余的角有_____ __；与∠C 相等的角有_____ _____.3. 如图3，AB=7，AC=5，AD 是中线，那么△ABD 和△ADC 的周长差是_______；4．如图，在锐角三角线ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P ，若，则的度数是多少？5.中，，AD 和AE 分别是的角平分线和高，求的度数．ABC ADE S S ∆∆=41︒=∠50A BPC ∠ABC ∆︒=∠︒=∠32,68C B ABC ∆DAE∠A图2图1图3AC13尖子训练营七年级数学。
(完整版)七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形的全部内容。
（完整版）七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版)七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力.本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为〈（完整版）七年级数学下册新版北师大精品导学案三角形〉这篇文档的全部内容。
第四章三角形第一节认识三角形（1）【学习目标】1。
认识三角形的定义及相关概念和表示方法2.理解并能运用三角形的内角和定理。
3.掌握三角形的分类。
4。
掌握直角三角形的表示方法及内角的性质.【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1.观察下面的屋顶框架(1）你能从图中找出四个不同的三角形吗？(2）这些三角形有什么共同的特点?解：(1）能（2)都有条边, 内角，个顶点。
2。
多边形的概念：由若干条不在上的线段相连组成的封闭平面图形。
3.（1）什么叫做三角形？解：由不在同一直线上的线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。
佳绩教育个性化教案学科组长签字：三角形及其性质【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类1.按角分类：2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 1.要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点六、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
第8讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，则：a+b﹣c=（a+b）-c＞0，a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0，a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即a﹣b+2c>0），∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=a+b﹣c-[-（a﹣b﹣c）]+（a﹣b+2c）=3a﹣b故答案为：3a﹣b【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。
a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。
【随堂练习】1．（2018春•郓城县期末）若三角形三条边长分别是1，a，5（其中a为整数），则a的取值为_____．【解答】解：∵三角形的两边长分别为1和5，∴第三边长x的取值范围是：5﹣1＜a＜5+1，即：4＜a＜6，∴a的值为5，故答案为：5．2．（2018春•洛宁县期末）三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于30，求三边的长．【解答】解：依题意设三角形的三边长为x﹣2，x，x+2，∴，即2＜x＜10，∴x为最大取9，最小取3的奇数，当x=9时，三边长为7，9，11，当x=7时，三边长为5，7，9，当x=5时，三边长为3，5，7，当x=3时，三边长为1，3，5．知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
第8讲 规律探究⎧⎨⎩数字类规律探究图形类知识点1：规律探究之数字变化数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O 为起点结六条线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF 后，再从线OA 上某点开始按逆时针方向依次在OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OA ，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第2016个结点在（ ）A. 线OA 上B. 线OB 上C. 线OC 上D. 线OF 上【方法总结】遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2.一组数23，45，67，89…按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____【方法总结】等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______【方法总结】等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是______【方法总结】平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。
解决这种问题首先将序数平方；其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____【方法总结】规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
北师版七年级下册数学三角形的初步认识辅导讲义1、知识框架1.三角形的概念和三角形中的主要线段：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高。
2.三角形的三边关系和三角关系以及三角形外角和内角的关系。
3.三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4.全等图形及全等三角形的概念。
5.全等三角形的性质和条件。
①SSS ， ②SAS ，③ASA ， ④AAS6.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知角，按给定条件作三角形。
2、对应考点训练考点一：三角形的有关线段例题：如图,ABC 中, ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线相交于点D(1) 若60,40ABC ACB ∠=∠=, 求A ∠和D ∠度数.(2) 由第(1)小题的计算, 发现A ∠和D ∠有什么关系?它们是不是一定有这种关系?请作出说明.针对性练习：DEC BA1. 如图, 在ABC 中, 它的三个内角分别是_________________, 三条边分别是________________________.2. 如图所示图形中, 共有_________个三角形, 其中以B 为顶点的三角形有_______个, 以 AB 为边的三角形有__________个.3. 已知三角形的两边长分别是5cm, 3cm , 第三边的长是偶数, 则第三边的长为________.4. 若三角形的三个内角度数之比为 1:4:4, 则三角形的最小内角的度数是_______.5. 三角形的三个内角中, 最多有______个钝角, ________个直角, __________个锐角.6. 如图,ABC 中, AD 是BC 边上的中线, BE 是ABC 的一条角平分线, 则有:_________=__________=12ABC ∠, _________=__________=12BC .7.在ABC 中, =___________, 它是____________三角形.(填钝角, 直角或锐角)8.如图所示,ABC 一条外角平分线与BC 的延长线交于点D, 已知,CB ACBAEDCBA60,30,A B C ∠=∠=∠则30,100B ACB ∠=∠=则D ∠=__________.9. 如图所示, AD 是ABC 中BC 边上的中线, 已知ABC 的面积为12, 则ACD 的面积等于___________.10. 如图,ABC 中, 80,A ∠= BP 平分ABC ∠, CP 平分ACB ∠, 则BPC ∠=________.11. 以下列长度为边的三条线段能组成三角形的组数是( ) ①1, 2, 3 ; ②2, 3, 4 ; ③3, 3, 3 ; ④2, 2, 5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图所示, ABC 中AD ⊥BC, AE 是ABD 的角平分线, 则下列线段中最短的是( )A. ABB. AEC. ADD. AC第12,13,14题图13. 在上题条件下中, 若已知50,60B C ∠=∠=, 则EAC ∠的度数为( )DC B AD CB APD CBACD E B AA.60 B. C.40 D.30 14. 由12, 13题的条件可知图中锐角三角形的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 15. 下列说法中正确的是( )A. 三角形的角平分线和中线都是线段B. 三角形的角平分线和中线都是射线C. 三角形的角平分线是射线, 而中线是线段D. 三角形的角平分线是线段, 而中线是射线 16. 有两条边相等的三角形中, 其中两边的长为3cm 和6cm, 则这个三角形的周长可能是( ).A. 6cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm 或15cm 17. 如图所示, 若有,BAD CAD BCE ACE ∠=∠∠=∠, 则下列结论中错误的是( )A. AD 是ABC 的角平分线B. CE 是ACD 的平分线 C. 12BCE ACB ∠=∠ D. CE 是ABC 的平分线18. 如图,ABC 的三个内角大小分别为x, x, 3x, 则x 的值为( )A. 24B. 30C. 36D. 4019. 一个三角形的外角共有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个20. 我们知道三角形的内角和为180, 而四边形可以分成两个三角形, 故它的内角和为50AECD B A CBx3xx2180360⨯=, 五边形则可以分成3个三角形,它的内角和为3180540⨯=(如图),依次类推, 则八边形的内角和为( )1个三角形 2个三角形 3个三角形A. 900B.1080 C.1260 D.144021.已知三角形的一个外角等于60, 且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中, 其中一个比另一个大10, 则这个三角形的三个内角分别是多少?22.如图所示, AD 是ABC 中BC 边上的中线, AB=6cm, AC=5cm, 求ABD 和ADC 的周长的差.23.如图, 在直角ABC 中, 90ACB ∠=, CD 是AB 边上的高, CE 是ABC 的角平分线.已D CB A知110CEB ∠=, 求,ECB ECD ∠∠的度数.24. 如图,ABC 中, BM,BN 三等分ABC ∠, CM,CN 三等分ACB ∠,且54A ∠=, 求BNM ∠度数.考点二：三角形全等的条件E D BA CNMCBA典型例题：例题：如图△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .求证：①AE =CD ； ②若AC =12 cm ，求BD 的长.针对性练习：1.如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上，若△ADE ≌△BDE ≌△BDC ，则∠A 的度数为（ ）A.15°B.20°C.25°D.30°2.△ABC 中，∠B=∠C ，若与ABC 全等的三角形中有一个角是92°,则这个角在△ABC 中的对应角是( )A.∠AB.∠A 或∠BC.∠CD.∠B 或∠C3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是( )A.带1去B.带2去C.带3去D.三块都带去4.下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是( ) A.两边一角对应相等 B.三边对应相等C.两角一边对应相等D.两边和它们的夹角对应相等5.如图，直线表示三条公路，现要建成一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()第5题第3题第1题ca b321CDEBAA.一处B.两处C.三处D.四处6.如右图，△ABC 中，∠C=90°,AC=BC ，AD 平分∠CAB 交于BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB=10cm ，则△BED 的周长为( )A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm7.面积相等的两个三角形 ( )A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对8.如图，将两根钢条AC 、BD 的中点O 连在一起，使AC 、BD 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个 测量工件，则DC 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△ODC 的理由是( ) A.边角边 B.角边角C.边边边 D.9.如图，工人师傅在砌门时，常用木条EF 固定门框ABCD 使其不变形，这种做法的根据是（ ）A.两点之间线段最短 B.矩形的对 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 10.如图,P 为正方形ABCD 内一点,将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合,若PB=3,则PP ′等于( )A. B.6C.3D.11. 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′,若AB=A ′B ′,∠B=50°,∠C=70°,则∠A ′= 。
第8讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，则：a+b﹣c=（a+b）-c＞0，a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0，a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即a﹣b+2c>0），∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=a+b﹣c-[-（a﹣b﹣c）]+（a﹣b+2c）=3a﹣b故答案为：3a﹣b【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。
a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。
【随堂练习】1．（2018•杭州二模）四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）A．组成的三角形中周长最小为9B．组成的三角形中周长最小为10C．组成的三角形中周长最大为19D．组成的三角形中周长最大为16【解答】解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x 共四种情况，由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7①若三边为3、4、6时，其周长为3+4+6=13；②若三边为3、4、x时，4﹣3＜x＜4+3，即3＜x＜7由于x为正整数，当x为4或5或6，其周长最小为4+3+4=11，周长最大为3+4+6=13；③若三边为3、6、x时，6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜7，由于x为正整数，则x为4或5或6，其周长最小为3+6+4=13，周长最大为3+6+6=15；④若三边为4、6、x时，6﹣4＜x＜6+4，即3＜x＜7由于x为正整数，则x为4或5或6，其周长最小为4+6+4=14，周长最大为4+6+6=16；综上所述，三角形周长最小为11，最大为16，故选：D．2．（2018•芦淞区一模）已知关于x的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【解答】解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．知识点2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
【典例】1.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若111A B C 的面积是14，求△ABC 的面积？【解析】解：如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴111A AB ABB S S =△△，1ABB ABC S S =△△∴111A AB ABB ABC S S S ==△△△，∴111112A BB A AB ABB ABC S S S S =+=△△△△，同理：111122B CC ABC A AC ABC S S S S ==△△△△，，∴111111111714A B C A BB B CC A AC ABC ABC S S S S S S =+++==△△△△△△∴2ABC S △，【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到111A B C 与△ABC 面积的关系。
【随堂练习】1．（2017秋•路南区期末）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（ ）A ．DE 是△ABC 的中线B ．BD 是△ABC 的中线C ．AD=DC ，BE=ECD ．DE 是△BCD 的中线【解答】解：∵D 、E 分别是△ABC 的边AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，不是中线；BD 是△ABC 的中线；AD=DC ，BE=EC ；DE 是△BCD 的中线；故选：A ．2．（2017秋•阳泉期末）如图，BD 是△ABC 的中线，AB=8，BC=6，△ABD 和△BCD 的周长的差是_____．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，=AB﹣BC，∵AB=8，BC=6，∴△ABD和△BCD的周长差=8﹣6=2．答：△ABD和△BCD的周长差为2．故答案为：2知识点3三角形的高线1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，△ABC中，AB=AC，CG⊥AB于G，P为线段BC上的一动点，PK⊥AB于K，PM ⊥AC于M，探究线段PK、PM与CG之间的数量关系．【解析】解：连接AP，∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，∴S△ABC=12AB•CG，S△ABP=12AB•PK，S△ACP=12AC•PM，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴12AB•CG=12AB•PK+12AC•PM，即AB•CG=AB•PK+AC•PM，∵AB=AC，∴CG=PK+PM．【方法总结】本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系．【随堂练习】1．（2018•石景山区二模）如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A．AF B．BH C．CD D．EC【解答】解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．故选：A．6．（2017秋•北流市期中）若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是________．【解答】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形．故答案为：直角三角形．知识点4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。
3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。
【典例】1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为_______【答案】1902D A ∠=︒+∠【解析】解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°－12（∠ABC+∠ACB）∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BDC =180°﹣12（180°﹣∠A）=90°+12∠A，即1902D A ∠=︒+∠．【方法总结】角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。
此题可记住结论：当BD、CD是三角形ABC的角平分线时，1902D A ∠=︒+∠【随堂练习】1．（2017春•辉县市期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∴∠AED=85°，∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=70°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．2．（2016秋•宁海县期中）如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC 边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=×40°=20°，∵∠B=30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．知识点5 三角形的内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°【典例】1.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∠DAE=13∠BAC，求∠BAC的度数.【解析】解：∵∠DAE=13∠BAC，∴设∠DAE=x，则∠BAE+∠CAD=2x．∵∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∴∠BDA=∠BAD=∠DAE+∠BAE=x+∠BAE，∠CEA=∠CAE=∠DAE+∠CAD=x+∠CAD，在△ADE中，∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∴x+（x+∠CAD）+（x+∠BAE）=180°，即5x=180°，解得x=36°，∴∠BAC=3x=108°．故答案为：108°．【方法总结】题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示三角形中的角，利用三角形内角和为180°建立等量关系，求得未知数和所要求的角。
【随堂练习】1．（2018•河北二模）如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C=90°，∠A=35°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=55°，由折叠可得，∠A=∠ABD=35°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=55°﹣35°=20°．故选：C．2．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．3．（2018春•洛江区期末）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，∴正确的有①②④，共三个，故选：B．4．（2018春•太子河区期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°【解答】解：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=100°，∴2∠DAO+2∠FBO=100°，∴∠DAO+∠FBO=50°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣140°=40°，故选：A．5．（2018春•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34°B．40°C．42°D．46°【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，解得：①+②：3x+3y=138°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，故选：C．知识点6 三角形的外角性质1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．2、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3、燕尾形结论：4123∠=∠+∠+∠【典例】1.已知△ABC ，若D 点是△ABC 外一点，位置如图所示．BD 、CD 分别为∠ABC 、∠ECA 的角平分线，则∠D 、∠A 的关系为________【答案】12D A ∠=∠ 【解析】解：∵BD 、CD 分别为∠ABC 、∠ECA 的角平分线，∴∠DBC=12∠ABC ，∠DCE=12∠ECA ∵∠ACE 是△ABC 的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC ，∵∠DCE 是△BCD 的外角，4321AB CD∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=12∠ACE﹣12∠ABC∵∠ACE=∠A+∠ABC∴∠D =12（∠A+∠ABC）－12∠ABC=12∠A．∴12D A∠=∠，故选：C【方法总结】本题要求∠D与∠A的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：∠ACE=∠A+∠ABC①，∠DCE=∠D+∠DBE②，由①-2×②，可得12D A ∠=∠2.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．【解析】解：如图所示，∵∠A+∠B=∠1，∠C+∠D=∠2，∠E+∠2=∠3，∠F+∠G=∠4，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠2=∠1+∠2+∠3+∠4，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠3+∠4∵∠1+∠3+∠4=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．【方法总结】本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于180°求解【随堂练习】1．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°【解答】解：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选：C．2．（2017秋•白银期末）如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A=25°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE=（）A．103°B．104°C．105°D．106°【解答】解：∵∠FEB是△AEC的一个外角，∴∠FEB=∠A+∠C=61°，∵∠DFE是△BFE的一个外角，∴∠DFE=∠B+∠FEB=106°，故选：D．3．（2018春•阆中市期末）如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，G是DF上一点，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，判断∠C与∠4的大小关系，并说明理由．【解答】解：相等．理由：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠EGD=180°，∴∠EGD=∠1，∴EG∥BD，∴∠3=∠ADE，∵∠3=∠B，∴∠ADE=∠B∴DE∥BC，∴∠4=∠C．4．（2018春•唐河县期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．证法1：∵∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3═180°∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=_________．∵______________，∴_______________________．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【解答】解：证法1补充如下：540°﹣（∠1+∠2+∠3）∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°；证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=∠2+∠3+∠1+∠3+∠1+∠2，即∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°，或证法2：过点A作射线AP∥BD，∵AP∥BD，∴∠CBF=∠BAP，∠ACD=∠EAP，∵∠BAE+∠BAP+∠EAP=360°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．故答案为：540°﹣（∠1+∠2+∠3）；∠1+∠2+∠3=180°；∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°；综合运用1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案．【答案】略【解析】解：如图所示：（答案不唯一）．2.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长度.【答案】略【解析】解：S△ABC=12AB•CE=12BC•AD，∵AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，∴12×4×6=12×8×AD，解得AD=3cm．3.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，求△CEF的面积．【答案】略【解析】解：如图，∵E为AD的中点，∴S△ABD=2S△BDE，S△ADC=2S△DCE ∴S△ABC=2S△BCE∵F是BE中点∴S△BCE=2S△EFC∴S△ABC=2S△BCE=4S△EFC∵S△ABC=8cm2，∴S△EFC=14S△ABC=14×8=2（cm2）．故答案为：2cm2．4.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°【答案】略【解析】证明：如图，过点A作MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°．5. 如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.【答案】略【解析】解：连接BC．∵∠BDC=140°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠GBC+∠GCB=180°﹣110°=70°，∴∠GBD+∠GCD=30°∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠A=180°﹣100°=80°．6. 如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC,求∠4的度数．【答案】略【解析】解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，∴∠3=20°，∵∠2=12∠3，∴∠2=10°，∴在△ADB中，∠ABD=180°﹣100°﹣10°=70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=35°，∵∠4=∠2+∠ABE，∴∠4=45°．7. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A=76°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．【答案】略【解析】解：（1）∵∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣76°=104°，又∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）=52°，则∠BOC=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣52°=128°；（2）β=90+12α，理由如下：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC、∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴β=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣12α）=90°+12α．。
