初一等差数列

一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 初一等差数列题目及答案的值为（）A ．B ．1C ．D ．﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（）A ．以7为首项，公差为2的等差数列B ．以7为首项，公差为5的等差数列C ．以5为首项，公差为2的等差数列D ．不是等差数列3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．264．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=6，a 4=8，则公差d=（）A ．一1B ．2C ．3D ．一25．两个数1与5的等差中项是（）A ．1B ．3C ．2D ．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（A ．0B ．8C ．3D ．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A ．25B ．24C ．20D ．1910．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若满足a n =a n ﹣1+2（n ≥2），且S 3=9，则a 1=（）A ．5B ．3C ．﹣1D ．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（）A ．a 1+a 8＞a 4+a 5B ．a 1+a 8=a 4+a 5C ．a 1+a 8＜a 4+a 5D ．a 1a 8=a 4a 512．（2004•福建）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．13．（2009•安徽）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，则a 20等于（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．7）14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30B．35C．36D．24）17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（A．5B．6C．5或6D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5B．5或6C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12B．10C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230B．140C．115D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25C．50D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组D．﹣1，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{an}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{an}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为an=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a 1=13，a 3=12，利用等差数列的通项公式求得d 的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n 的方程，求出方程的解即可得到n 的值．解答：解：由题意得a 3=a 1+2d=12，把a 1=13代入求得d=﹣，则a n =13﹣（n ﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=6，a 4=8，则公差d=（）A ．一1B ．2C ．3D ．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=6，∴a 2=2∵a 4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C ．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A ．1B ．3C ．2D ．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a ，b 的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：故选B ．=3，点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a ，b 的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公n差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a}的公差为d，n所以a=23+5d，a7=23+6d，6又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．n解答：解：设数列{a}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，n故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．）8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8n∵∴b=a8﹣a18∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a﹣3，8∴a=11．8故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A ．25B ．24C ．20D ．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }，则a 1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n }的公差d=3×4=12，∴a n =11+12（n ﹣1）=12n ﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n =12n ﹣1≤302，即n ≤25.5．又∵n ∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n }与{b n }，则a n =3n+2，b n =4n ﹣1．设{a n }中的第n 项与{b n }中的第m 项相同，即3n+2=4m ﹣1，∴n=m ﹣1．又m 、n ∈N*，可设m=3r （r ∈N*），得n=4r ﹣1．根据题意得1≤3r ≤100 1≤4r ﹣1≤100解得≤r ≤∵r ∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若满足a n =a n ﹣1+2（n ≥2），且S 3=9，则a 1=（）A ．5B ．3C ．﹣1D ．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S 3=9以及前n 项和公式求出a 1的值．解答：解：∵a n =a n ﹣1+2（n ≥2），∴a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），∴等差数列{a n }的公差是2，由S 3=3a 1+=9解得，a 1=1．故选D ．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（）A ．a 1+a 8＞a 4+a 5B ．C ．a 1+a 8＜a 4+a 5a 1+a 8=a 4+a 5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a 1+a 8与a 4+a 5的关系．解答：解：∵a 1+a 8﹣（a 4+a 5）=2a 1+7d ﹣（2a 1+7d ）=0D ．a 1a 8=a 4a 5∴a 1+a 8=a 4+a 5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若A．1B．﹣1C．2=（）D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{an}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{ A．B．}的前n项和等于（）C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{an}中，a2=4，a6=12；∴公差d=∴an=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{an}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30B．35C．36D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（A．5B．6C．5或6D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．）再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式an=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：an==∵n=1时适合an=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜ak＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5B．5或6C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和Sn 看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到Sn取得最小值时n的值．解答：解：因为Sn=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，Sn取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12B．10C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{an}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{an}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230B．140C．115D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25C．50考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：D．100根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10=果．解答：解：等差数列{an}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10=故选B．=25，运算求得结点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则A．1B．2考点：等差数列的前n项和．等于（）D．4C．3专题：计算题．分析：由S 1，S 2，S 4成等比数列，根据等比数列的性质得到S 22=S 1S 4，然后利用等差数列的前n 项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d ，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d 的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S 1，S 2，S 4成等比数列，∴（2a 1+d ）2=a 1（4a 1+6d ）．∵d ≠0，∴d=2a 1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n =﹣2n+21，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项考点：等差数列的前n 项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n ，令n=1求出数列的首项，利用a n ﹣a n ﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n 项和的公式，得到前n 项的和与n 成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n 项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n 大于等于0，列出关于n 的不等式，求出不等式的解集即可得到n 的范围，在n 的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n =﹣2n+21，得到首项a 1=﹣2+21=19，a n ﹣1=﹣2（n ﹣1）+21=﹣2n+23，则a n ﹣a n ﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n ＞1，n ∈N +），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n =19n+当n=﹣•（﹣2）=﹣n 2+20n ，为开口向下的抛物线，=10时，S n 最大．所以数列{a n }从首项到第10项和最大．方法二：令a n =﹣2n+21≥0，解得n ≤，因为n 取正整数，所以n 的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n }从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n 项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令a n ≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n }满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a=3，1∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=n2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{a}的前n项的和，故a=s=5，n11∴a=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．2当n≤3时，|a|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．n故前10项之和为a+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，1故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n==（n 为正整数），求数列{b n }的前n 项和S n ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a 3a 6=55，a 2+a 7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n }的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n }的通项，利用等比数列的前n 项和公式求出数列{b n }的前n 项和S n ．解答：解（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设d ＞0由a2+a7=16．得2a 1+7d=16①由a 3•a 6=55，得（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①得2a 1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d ）（16+3d ）=220．即256﹣9d 2=220∴d 2=4，又d ＞0，∴d=2，代入①得a 1=1∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1所以a n =2n ﹣1（2）令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n ，a n+1=c 1+c 2+…+c n ﹣1两式相减得a n+1﹣a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1﹣a n =2∴c n+1=2，c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n+1又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =＜BR ＞于是S n =b 1+b 2+b 3…+b n =2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n =2n+2﹣6点评：求一个数列的前n 项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。

初中数学教案：解决等差数列问题的技巧与方法一、等差数列的基本概念与性质在初中数学中，解决等差数列问题是非常常见的。

首先，让我们来了解一下等差数列的基本概念与性质。

1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数字与它前面一个数字之间都有相同的差值。

这个公共的差值称为公差。

用文字表示就是：对于一个等差数列an，如果满足a(n+1)-an=d（d为公差），那么该数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式对于一个等差数列an，我们可以通过找出其中任意两个相邻项之间的关系来推导出它们之间的通项公式。

设首项为a1，公差为d，则通项公式为：an=a1+(n-1)d。

3. 等差数列前n项和公式当我们需要求等差数列前n项和时，可以利用前n项和公式进行计算。

设首项为a1，末项为an，则前n项和Sn=n(a1+an)/2。

二、解决等差数列问题的技巧与方法1. 根据已知条件确定未知量在解决等差数列问题时，根据题目给出的已知条件，我们需要确定所要求解的未知量。

通常情况下，我们会用a1表示首项，d表示公差，并设定给出的未知数为an或Sn。

2. 利用等差数列性质建立方程在具体计算中，可以利用等差数列的性质建立方程来解决问题。

根据题目要求和已知条件进行变量的定义，以及利用等差数列的特点建立方程。

例如，在题目要求找到第n项时，我们可以利用通项公式an=a1+(n-1)d建立方程并解得未知量。

3. 运用前后项关系解决问题有时候，题目可能给出前几项与后几项之间的关系，这也是解决等差数列问题的一种常见方法。

通过观察前后项之间的关系，并运用通项公式来计算未知量。

4. 求取等差数列前n项和当题目要求计算等差数列前n项和时，我们可以利用前n项和公式Sn=n(a1+an)/2来进行计算。

需要注意的是，在应用该公式时，我们必须明确首、末两项或能够通过其他方式得到临界值。

5. 灵活应用手段解决问题在实际解题过程中，可能会遇到一些特殊情况，此时需要灵活应用各种解题思路与方法。

初一数学数列题型归纳总结在初一数学学习中，数列是一个重要的内容，也是许多学生认为较为困难的部分。

为了帮助同学们更好地理解数列，并且能够应对各种数列题型的考察，下面我将对初一数学中常见的数列题型进行归纳总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

在初一数学中，等差数列的考察主要涉及到求第n项、前n项和通项公式等内容。

1. 求第n项当已知等差数列的首项a1和公差d时，可以通过公式an = a1 + (n - 1)d来求解第n项。

其中，n为项数，an为第n项。

示例题：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第8项的值。

解析：根据公式an = a1 + (n - 1)d，代入已知条件，得到a8 = 3 + (8 - 1) × 5 = 3 + 7 × 5 = 3 + 35 = 38。

因此，第8项的值为38。

2. 求前n项和当已知等差数列的首项a1、公差d和项数n时，可以通过公式Sn = n/2 × (a1 + an)来求解前n项和。

其中，Sn为前n项和。

示例题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。

10/2 × (2 + an)。

需要先求得第10项an，使用求第n项的公式an = a1 + (n - 1)d：a10 = 2 + (10 - 1) × 3 = 2 + 9 × 3 = 2 + 27 = 29。

代入公式得到S10 = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155。

因此，该数列的前10项和为155。

3. 通项公式当已知等差数列的首项a1和公差d时，可以通过观察得出等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

示例题：找出等差数列1，5，9，13，...的通项公式。

解析：观察可以发现，该等差数列的首项a1为1，公差d为4。

将这些信息代入通项公式，得到an = 1 + (n - 1) × 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3。

初一数列知识点归纳总结数列在数学中是一种有规律的数的排列形式，它在初一数学中占据着重要的位置。

在初一阶段，我们需要掌握数列的定义、常见类型、性质和求和公式等知识点。

本文将对初一数列知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握数列的相关概念和方法。

一、数列的定义数列是按照一定的规律依次排列的数，可以表示为 a₁，a₂，a₃，...，aₙ，其中 a₁，a₂，a₃等称为数列的项。

数列可以有无穷多项，也可以有有限项。

数列的项数可以用 n 表示。

二、数列的常见类型1. 等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都是相等的。

设等差数列的首项为 a₁，公差为 d，则数列的通项公式为 aₙ = a₁ + (n-1)d，其中 n 表示项数。

例如，1，3，5，7，9，...就是一个公差为 2 的等差数列。

2. 等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项之比都是相等的。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则数列的通项公式为aₙ = a₁* q^(n-1)，其中 n 表示项数。

例如，2，4，8，16，32，...就是一个公比为 2 的等比数列。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。

首两项通常为1，1 或 0，1。

例如，1，1，2，3，5，8，13，...就是一个斐波那契数列。

三、数列的性质1. 有界性数列可能是有界的，即存在一个上界和下界。

如果数列的项逐渐趋于一个固定的数或无穷大，我们可以说该数列是趋于有限值或趋于无穷大的。

2. 递增性或递减性数列的项可以按照一定规律递增或递减。

如果数列中的项随着 n 的增大而增大，则称该数列是递增的；如果数列中的项随着 n 的增大而减小，则称该数列是递减的。

3. 数列的奇偶性数列的项可以是奇数或偶数。

如果数列中的项都是奇数，我们称之为奇数列；如果数列中的项都是偶数，我们称之为偶数列。

四、数列的求和公式1. 等差数列求和公式等差数列的前 n 项和可以用下式表示：Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2，其中Sn 表示前 n 项的和，a₁表示首项，aₙ 表示第 n 项，n 表示项数。

初一到初三数学公式归纳初一到初三数学学习是数学知识的基础阶段，其中包含了许多重要的数学公式。

本文将对初一到初三数学公式进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握和运用数学知识。

一、初一数学公式归纳1. 等差数列求和公式：等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

2. 平方差公式：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2，其中a和b为任意实数。

3. 平方根性质：若a^2 = b，则a = ±√b。

4. 一次方程求解公式：对于一次方程ax + b = 0，解为x = -b / a。

5. 同底数幂运算：a^m * a^n = a^(m+n)，其中a为底数，m和n为指数。

二、初二数学公式归纳1. 二次方程求解公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2. 二次根式性质：若√a * √b = √(ab)，其中a和b为非负实数。

3. 平行线性质：平行线上的对应角相等，即对应角定理。

4. 相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

5. 三角函数基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = 1 / tanθ。

三、初三数学公式归纳1. 三角恒等式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ。

2. 三角函数和差化积公式：sinαsinβ = (1/2)[cos(α-β) - cos(α+β)]，cosαcosβ = (1/2)[cos(α-β) + cos(α+β)]。

3. 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和，即a^2 + b^2 = c^2。

4. 平方和因式分解公式：a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)。

初一数列知识点归纳总结数列是数学中的重要概念，也是初中数学学习的基础内容。

在初一阶段，我们主要学习了等差数列和等比数列的相关知识。

本文将对初一数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握数列的概念和性质。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差恒定的数列。

例如：1，3，5，7，9，...1. 公式：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an代表第n项，a1代表首项，d代表公差。

2. 性质：a) 公差：等差数列中相邻两项之间的差称为公差，用d表示。

b) 首项：等差数列中的第一项称为首项，用a1表示。

c) 通项公式：根据等差数列的性质，可以得出通项公式，用于求解数列中任意一项的值。

d) 前n项和公式：Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]Sn表示等差数列的前n项和。

3. 常见问题：a) 求解数列中的某一项：根据公式an = a1 + (n-1)d，代入对应的值计算即可。

b) 求解数列的前n项和：根据前n项和公式Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]，代入对应的值计算即可。

c) 求解公差：公差d等于数列中任意两项的差值，可以通过观察数列的规律或者利用已知的项数进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比恒定的数列。

例如：1，2，4，8，16，...1. 公式：通项公式：an = a1 × r^(n-1)其中，an代表第n项，a1代表首项，r代表公比。

2. 性质：a) 公比：等比数列中相邻两项之间的比称为公比，用r表示。

b) 首项：等比数列中的第一项称为首项，用a1表示。

c) 通项公式：根据等比数列的性质，可以得出通项公式，用于求解数列中任意一项的值。

d) 前n项和公式：Sn = a1 × (1-r^n) / (1-r)Sn表示等比数列的前n项和。

3. 常见问题：a) 求解数列中的某一项：根据公式an = a1 × r^(n-1)，代入对应的值计算即可。

初中数学知识归纳等差数列的性质与应用等差数列是初中数学中常见的数列形式之一，它拥有一系列独特的性质和应用。

本文将对等差数列的性质和应用进行归纳，帮助读者深入理解和应用这一数学概念。

1. 等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

常用的表示方式是：an= a1+ (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

等差数列的性质有：1.1 公差与项数的关系：由等差数列的定义可知，公差d等于任意两项之差。

公差与项数n的关系为d = (an - a1) / (n-1)。

1.2 通项公式：通过观察等差数列可以发现，第n项等于首项a1加上公差与项数差的乘积。

因此，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

1.3 首项与末项的关系：根据等差数列的定义可知，首项与项数之间的关系为a1 = an - (n-1)d。

2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式是在数列中求和时使用的重要公式。

根据等差数列的性质和数学推导可得：2.1 首项与末项求和：等差数列的首项与末项的和等于所有项的和。

求和公式为S = (n/2)(a1 + an)，其中S表示和, n表示项数。

2.2 公式推导：为了证明等差数列首项与末项的和等于所有项的和，我们可以通过分组的方式进行推导。

将数列按对称性进行分组，将首项与末项相加，次首项与末一次的相加，以此类推。

可以发现，每一组的和均等于首项与末项之和。

而共有n/2个这样的对称组。

因此，得出等差数列的求和公式。

3. 等差数列的应用等差数列的性质和应用广泛存在于数学和实际生活中。

下面是一些常见的等差数列应用案例：3.1 时段距离计算：在物理学中，等差数列可用于计算速度恒定的运动在不同时间段的总距离。

通过将等差数列的通项公式与求和公式应用于时间与距离，可以精确计算出总距离。

3.2 平均数计算：等差数列中的任意三项都能够构成一个等差数列，其中中间项为这三项的平均数。

等差数列知识点归纳总结初中在初中数学的学习中，等差数列是一个常见的概念。

了解和掌握等差数列的相关知识点，对于学生发展数学思维、提高解题能力和应对各类数学考试都具有极大的帮助。

本文将对初中等差数列的知识点进行归纳总结，以便同学们更好地应对相关学习和考试。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。

其一般形式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

初中阶段，我们需要了解等差数列的以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差。

公差常用字母d表示。

2. 通项公式：对于等差数列，我们可以通过首项和公差来表示第n 项。

通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。

3. 前n项和公式：等差数列的前n项和可以通过首项、末项和项数来表示。

前n项和公式可以表示为Sn=n/2(a1+an)。

二、等差数列的常见问题在等差数列的学习中，我们会遇到一些常见的问题，以下是其中的几个：1. 如何求等差数列的第n项？对于已知等差数列的首项和公差，我们可以通过通项公式求解某一项的值。

将首项和公差代入通项公式，即可求得第n项的值。

2. 如何求等差数列的项数？对于已知等差数列的首项、末项和公差，我们可以通过已知的数值求解项数。

将已知的首项、末项和公差代入通项公式，可以得到一个关于项数的方程，解这个方程即可求得项数。

3. 如何求等差数列的前n项和？对于已知等差数列的首项、末项和项数，我们可以通过前n项和公式求解前n项和的值。

将已知的首项、末项和项数代入前n项和公式，即可得到前n项和的值。

三、等差数列解题技巧在解决等差数列的问题时，我们可以运用以下几个解题技巧：1. 利用已知条件构造等差数列的方程。

在解决实际问题时，可以将已知条件抽象成等差数列的性质，从而构造出方程，进而求解未知数。

2. 利用前一项和后一项之差来确定公差。

有时候，我们可以通过已知的两项之差来确定等差数列的公差，从而简化问题的求解过程。

初中数学知识归纳等差数列的性质与计算等差数列是初中数学中的基本概念之一，本文将对等差数列的性质与计算进行归纳总结。

1. 等差数列的定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为an=a+(n-1)d。

2. 等差数列的性质2.1 公差公差是等差数列中相邻两项之间的差值。

对于等差数列an=a+(n-1)d，d即为公差。

公差可以为正、负、零，正表示数列递增，负表示数列递减，零表示数列的所有项相等。

2.2 通项公式等差数列的通项公式是指可以通过首项和公差计算出数列的任意一项的公式。

设首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an=a+(n-1)d。

2.3 前n项和公式等差数列的前n项和公式指的是可以通过首项、公差和项数计算出数列前n项和的公式。

设首项为a，公差为d，项数为n，前n项和为Sn，则前n项和公式为Sn=(2a+(n-1)d)n/2。

2.4 数列长度等差数列的长度指的是数列中的项数。

设首项为a，公差为d，项数为n，则数列的长度即为n。

3. 等差数列的计算3.1 求任意一项已知等差数列的首项a和公差d，要求第n项an，可以使用通项公式an=a+(n-1)d进行计算。

3.2 求前n项和已知等差数列的首项a、公差d和项数n，要求前n项和Sn，可以使用前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2进行计算。

3.3 求项数已知等差数列的首项a、公差d和前n项和Sn，要求项数n，可以通过前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2求解方程，解得项数n。

4. 等差数列的应用4.1 连续整数连续整数是一种特殊的等差数列，其中的公差为1。

例如，1，2，3，4，5就是一个连续整数的等差数列。

4.2 等差中项等差中项是指等差数列中位于首项和末项之间的数。

设首项为a，末项为l，中项为m，则m=(a+l)/2。

4.3 等差数列的性质应用等差数列的性质可以应用于解决一些实际问题，例如物理、经济等领域的变化规律。