惯性矩、静矩,形心坐标公式

力学计算中截面参数计算，关键点地描述原先对于惯性矩、静矩、极惯性矩、抵抗矩地概念及计算方法总是模糊不清，这次认真地整理了下，估计大家对这些基本概念认知也比较凌乱，在此斗胆与大家分享下，其中地不足之处希望大家谅解，也恳请大家批评指正.计算平面地惯性矩方法：在中将平面图画好——生成面域——工具（查询——面域质量特性）——得到质心和惯性矩（此惯性矩地计算轴为坐标原点处、轴）——将坐标轴原点移动刚算出地质心坐标上——工具（查询——面域质量特性）得此平面图地惯性矩和面积：静矩：平面图形地面积与其形心到某一坐标轴地距离地乘积称为平面图形对该轴地静矩.一般用来表示.＝* 其中＝∑*∑：惯性矩：轴惯性矩反映截面抗弯特性地一个量，简称惯性矩.截面对某个轴地轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴地距离地平方在整个截面上地积分.公式如：＝∫*：极惯性矩：极惯性矩是平面图形对坐标轴原点（即点）地矩，计算公式为：（各惯性矩之和）：抵抗矩：截面抵抗矩（）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离地比值.公式为：面积矩：面积矩是一个概念，凡是与面积有关地都称为面积矩，如静矩，抵抗矩等都为面积矩.质心：为质量集中在此点地假想点；重心：为重力作用点（与组成该物体地物质有关）；（如没有引力，则就没有重心一说了）形心：物体地几何中心只与物体地几何形状和尺寸有关，与组成该物体地物质无关).三者地关系：：一般情况下重心和形心是不重合地，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合.：质心就是物体质量集中地假想点(对于规则形状物体就是它地几何中心),重心就是重力地作用点,通常情况下,由于普通物体地体积比之于地球十分微小,所以物体所处地重力场可看作是均匀地,此时质心与重心重合;如果该物体地体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为地球体),则该球体所处地重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力地作用点靠下,也就是重心低于质心.如果物体所处地位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在.。

§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。

静矩可用来确定截面得形心位置。

由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。

即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。

将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。

解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。

因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。

现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。

由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。

另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。

推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

（2） 静矩有的单位为m 3。

（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

（4） 若已知图形的形心坐标。

则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。

组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。

（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12三角形：b*h^3/36圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D§16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。

静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。

定义式：，(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。

则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。

设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。

【解】由对称性，，。

现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。

【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。

【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2mm，mm矩形Ⅱ：mm2mm，mm整个图形形心的坐标为§16-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。

，(Ⅰ-5)量纲为长度的四次方，恒为正。

相应定义，(Ⅰ-6)为图形对轴和对轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为，(Ⅰ-7)若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩（Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

惯性矩、静矩,形心坐标公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1§I?1 截面的静矩和形心位置如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I ?1）分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。

由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC A Cd d利用公式（I ?1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z A C d d （I ?2）或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I ?3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y yCz C （I ?4）图I ?1如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。

即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I ?5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。

将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I ?6）例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。

因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m例题I ?1图m323.008.0072.02.008.046.0072.0III II II I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I ?2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I ?2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。

史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。

1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。

截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。

静力矩可以是正的，也可以是负的。

它的维数是长度的三次方。

静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。

2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。

如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。

形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。

截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。

下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。

构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。

一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。

例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。

截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。

下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。

构件的抗扭能力与惯性矩成正比。

圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。

面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。

截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。

6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。

截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。