八年级数学上册第7章平行线的证明知识分类强化作业课件新版北师大版

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知识点3 三角形内角和定理推论2
7. 如图，点 D 为△ ABC 的边 BC 延长线上一点，关于∠ B 与
∠ ACD 的大小关系，下列选项正确的是(
A. ∠ B ＞∠ ACD
B. ∠ B ＝∠ ACD
C. ∠ B ＜∠ ACD
D. 无法确定
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内角和与内外角的关系得出结论.如图①，想要找到∠
BDC 与∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 之间的关系，通过连接 AD
并延长到点 E ，得到△ ABD 和△ ADC ，进而得出∠
BDC ＝∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 的结论.
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请你应用上述材料中的方法，探究图②中∠ A ＋∠ B ＋
∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数.
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解：连接 AF 并延长至点 M .
因为∠ BAC ＝∠ BAM ＋∠ CAM ，∠BFM ＝∠B ＋∠BAM ，
∠ CFM ＝∠ C ＋∠ CAM ，
所以∠ BFC ＝∠ BFM ＋∠ CFM ＝∠ B ＋∠ BAM ＋∠CAM
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【例题】∠AOB是直角,∠BOC是一任意 角,OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,则 ∠DOE的度数是一个常数,这个结论正确吗? 为什么? A
E O D 设∠BOC=α,证明∠DOE的大小与α无关即可. C B
【练习】
1 1 2 a1 1 2 3 2 3 1 1 3 a2 2 3 4 3 8 1 1 4 a3 3 4 5 4 15 依上述规律，a99 ? an呢？你能验证你的结论吗？
① ② 三角形一个外角等于不相邻两内角的和。 三角形一个外角大于任何一个不相邻的内角。
【例2】△ABC中，∠ABC的平分线与 △ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D， 且∠D=30°，求∠A的度数。
A D
B

每个定理的文字、符号、图形语言。 用来证明两直线平行。 补充：两直线都和第三条直线平行，这 两条直线平行。 定理1、2的证明。
【例题】
【练习1】
【练习2】
第四单元：平行线的性质
平行线的性质
性质与判定的区别—— 性质
公理：两直线平行，同位角相等。 定理1：两直线平行，内错角相等。 定理2：两直线平行，同旁内角互补。
第二单元：定义与命题
一．定义与命题
1. 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义。叫做 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。 命题的条件和结论：一般地，每个命题都由 条件和结论两部分组成。条件是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项。 命题可以写成“如果---那么---”的形式，其 中如果引出的部分是条件，那么引出的部分 是结论。 命题有正确的也有错误的。命题改写要熟练。
【练习】△ABC中，∠A=50°，高BE和CF 所在的直线相交于O点，求∠BOC的度数。

如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
哦……那可 怎么办
这些方法
往往并不 可靠.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
哪已经知道的
真命题又是如 何证实的?.
古希腊数学家欧几学名词称为原名. 公理:公认的真命题称为公理. 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法
么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那 么”引出的部分是结论. 5、命题的分类:真命题和假命题(举反例判断假命题).
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？ 1、猫有四只脚； 2、画一条曲线； 3、三角形两边之和大于第三边； 4、四边形都是正方形； 5、潮湿的空气； 6、对顶角相等； 7、全等三角形的对应边成相等； 8、过点P做线段MN的垂线。
证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理.
有关概念、公理 条件1
定理1
有关概念、公理
条件2
定理2 ……
定理3
……
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直 线平行; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及夹角对应相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 8.三边对应相等的两个三角形全等.
原名、公理、证明、定 理的定义及它们的关系
一些条件
+
原名、公理
推理的过程 叫证明
经过证明的真命题 叫定理
推理
证实其它命 题的正确性

北师大版数学八年级上册
第七章 平行线的证明
1.为什么要证明
眼见未必为实！
a b
线段a与线段b哪个 比较长？
a bc
谁与线段d在 一条直线上？
d
a
a bc
b
线段a与线段b哪个 比较长？
d
谁与线段d在 一条直线上？
a
b
a=b
a bc d
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间
例等方法.
能不能根据 已经知道的 真命题证实
呢?
那已经知 道的真命 题又是如
何证实
这些方
法往往
并不可 靠.
哦……那 可怎么办
• 如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似 的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的 数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得
(公元前300前后)编写一本书，书 名叫《原本》，为了说明每一个 结论的正确性，他在编写这本书 时进行了大胆创造：挑选了一部 分数学名词和一部分公认的真命 题作为证实其他命题的起始依据，
命题一般都写成“如果……,那么……”的形式,你能把 上面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗? 反之,如果一个句子没有对某一事情作出任何判断, 那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: (1)你喜欢数学吗? (2)作线段AB=CD.
随堂练习P1☞92 判断就是命题
你能举出一些命题吗?
举出一些不是命题的语句.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
议一议
小明用下面的方法作出了平行线，你认为 他的作法对吗？为什么？
证明：两条直线被第三条直线所截，如 果内错角相等，那么这两条直线平行．

A.三个都正确 B.只有一个正确
C.三个都不正确 D.只有一个不正确
分析：这是一个文字证明题，需要先把 命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c
截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b．
a
证明：∵∠1=∠2（已知）,
b
∴∠1=∠3（对顶角相等）,
c 3 1
2
∴∠3=∠2（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
定理 两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行．
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)同旁内角互补，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两
条直线相互平行.
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线平行.
(1)根据题意画出图形(若已给出图形， 则可省略)；
(2)根据题设和结论，结合图形，写出 已知和求证；
c
∵∠1=∠2， ∴a∥b。
a
1
b
2.上节课我们学到了要证明一个命题是真
命题，除公理、定义外，其他真命题都需 要通过推理的方法证实。下面我们就用 “同位角相等，两直线平行”这个基本事 实，来证明两直线平行的两个判定定理.
学习新知
定理 两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行． 简述为：内错角相等，两直线平行.
a
1
2 b
3
∵∠3+∠2=180°（平角定代换）,
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
知识拓展
应用该定理判定两直线平行时；其关键是辨 认哪两个角是同旁内角，因此一定要抓住同 旁内角“在两条直线的内部且在截线的同 旁”的特点.

知识点 两条直线平行的判定定理一
如果两个内错角不相等,那么两条直线就不平行.
知识点 两条直线平行的判定定理二
如图所示的是工人师傅在工程施工中常用的一种“U”形管道,当
∠ABC+∠BCD=180°时,即可判定AB∥CD,其理由就是同旁内角互补,两
直线平行.
第7章 平行线的证明
4 平行线的性质
知识点 平行线的性质定理一
第7章 平行线的证明
3 平行线的判定
知识点 两条直线平行的基本事实
漂亮的黄斑鱼的简笔画可以看成是一个由4条线段构成的图形.
如果∠1=∠2，那么OA与BC平行.
知识点 两条直线平行的基本事实
如果两个同位角不相等,那么两条直线不平行.
知识点 两条直线平行的判定定理一
潜望镜中的两个镜子是互相平行的,其原理就是内错角相等,两直 线平行.
知识点 公理、定理、证明
建筑工人在砌墙时,经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照 线,使砌的每一层砖在一条直线上,这样做是以公理“两点确定一 条直线”为依据的.
知识点 公理、定理、证明
证明的依据不止有8条基本事实,数与式的运算律和运算法则、 等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的 依据.
知识点 平行线的性质定理二
内错角相等的前提是两条直线平行,如果两条直线不平行,那 么内错角不相等.
知识点 平行线的性质定理三
如图所示,修高速公路需要开凿山洞,为节省时间,要在山两面A,B同 时开工,在A处测得洞的走向是北偏东76°,那么在B处应按北偏西104° 方向开凿,就能使山洞准确接通.其原理就是两直线平行,同旁内角互补.
第7章 平行线的证明
2 定义与命题
知识点 定义

例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD，
AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
A
D
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D.
理由：∵AB∥CD （已知 ）
B
C
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
C
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
平行线的判定与性质
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是
什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
线的关系
判定
角的关系
平行线的判定 两直线平行
平行线的性质
所以∠BDF=∠EDF.
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
线a，b被直线c截出的同旁内角. a
求证： ∠1+∠2=180°.
b
证明：∵a∥b (已知)
c
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2
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180°(平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 °(等量代换) .
定理：如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
两直线平行,同旁内角互补.
a
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b

二、新课讲解
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数 量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能 肯定你的结论对所有△ABC都成立吗？与同伴进行 交流.
二、新课讲解
实验、观察、归纳得到的结论可能正确， 也可能不正确.因此，要判断一个数学结论 是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是 不够的，必须进行有根有据的证明.
二、新课讲解
两直线平行，同位角相等
如果两直线平行，那么同位角相等
条件
结论
命题可看做由条件和结论两部分组成.条件 是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
三、归纳小结
这节课你学到了哪些知识？ 1、定义、命题的概念; 2、如何判断是否是真命题.
四、强化训练
1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平
行”的条件是
（6）作线段AB=CD.
二、新课讲解
判断一件事情的句子叫做命题.如果一 个句子没有对某件事情作出任何判断，那 么它就不是命题.
二、新课讲解
下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）对顶角相等；是 （2）画一个角等于已知角；不是 （3）两直线平行，同位角相等；是 （4）a、b两条直线平行吗？不是 （5）玫瑰花是动物.是 （6）若a2＝4，求a的值.不是 （7）若a2＝ b2，则a＝b. 是
二、新课讲解
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命 题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流. （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c; （3）全等三角形的面积相等； （4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会 结冰.
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明 一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命 题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.

北师版
第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
两直线平行，同位角相等
1．(3分)(桂林中考)如图，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( B ) A.40° B．50° C．60° D．70°
2．(3分)如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝ 55°时，∠2的度数为(B )
A.25° B．35° C．45° D．55°
∠2＝∠ECD.∴∠AEC＝∠1＋∠2＝∠EAB＋∠ECD
(2)如图甲，当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB＋∠END＋∠MEN＝360°， 理由如下：过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠BME＋∠MEF＝ ∠DNE＋∠NEF＝180°.∴∠EMB＋∠END＋∠MEN＝360°；如图乙， 当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB＋∠END＝∠MEN，理由如下：过点E作 EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠BME＝∠FEM，∠DNE＝ ∠FEN.∴∠EMB＋∠END＝∠MEF＋∠NEF＝∠MEN
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．(4分)如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝__1_1_0_°_.
平行于同一条直线的两条直线平行 10．(7分)如图，已知∠B＝∠C，∠1＝∠D，求证：OM∥AB.
证明：∵∠B＝∠C，∴AB∥CD.又∵∠1＝∠D， ∴OM∥CD.∴OM∥AB
是( )
D
A．32° B．28° C．26° D．23°
二、填空题(每小题6分，共12分) 13．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的 位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于____．50°
Hale Waihona Puke 14．(教材P177习题7.5T1变式)从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的 反光罩反射后沿CO方向平行射出，如入射光线OA的反射光线为AB， ∠OAB＝75°.在如图所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE 方向射出，且∠ODE＝22°，则∠AOD的度数是_5_3_°__或__9_7_°_．