七年级春季提高班第6讲 三角形的三边关系与内角和

三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。

表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b 给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。

④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。

1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。

3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。

初中数学知识归纳三角形的三边关系与角平分线初中数学知识归纳：三角形的三边关系与角平分线三角形是初中数学中的重要概念之一，而了解三角形的几何特性对于解决与之相关的问题至关重要。

本文将对三角形的三边关系以及角平分线的性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。

一、三角形的三边关系在任意一个三角形ABC中，三条边分别为a, b和c，三个内角分别为A, B和C。

根据三边关系的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 三角形两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，c + a > b。

这一结论可以通过数学推导进行证明，也可以从几何直观上理解。

当任意两条边之和小于或等于第三条边时，无法构成一个封闭的三角形，因此两边之和必须大于第三边。

2. 三角形两角之和小于180度：A + B < 180度，B + C < 180度，C + A < 180度。

同样地，这个结论可以通过几何推理或者解三角形的内角和定理进行证明。

由于一个完整的平面角为360度，这意味着三角形的内角和必然小于180度。

3. 三角形两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|c - a| < b。

这个结论可以通过几何推理和绝对值的性质进行证明。

当两条边之差大于或等于第三条边时，无法形成一个封闭的三角形，因此两边之差必须小于第三边。

二、三角形的角平分线在三角形ABC中，角的平分线是指从角的顶点出发，将角分为两个相等的角的线段。

根据角平分线的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 角平分线将对边分成相等的线段。

当一条角的平分线将一个三角形的内角分为两个相等的角时，它同时也将对边分为两个相等的线段。

这是因为角平分线将角分成两个相等的部分，从而将对边也分成相等的部分。

2. 三角形的三个角的平分线交于一点。

对于一个三角形ABC来说，三个角的平分线AA'、BB'和CC'交于一点O，称为三角形的内心。

第6讲 三角形知识点1三角形初步1.三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.2.三角形的各组成部分：（1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC 或△BAC或△CCBA.（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.3、其他概念与定理三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.4、三角形分类：(1)按角分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形⎧⎪⎨⎪⎩（2按边分：三角形普通三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎨⎪⎩5、三角形的特性：稳定性【典例】例1（2020秋•涪城区校级期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（）A．16B．17C．18D．19例2（2020秋•齐河县期末）如图，共有个三角形．例3（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【随堂练习】1．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．2．（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．3．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．（1）求∠CAF的度数；（2）求∠AFC的度数．4．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E．（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．知识点2等腰三角形等腰三角形的概念与性质1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.2、等腰三角形的性质①等腰三角形的腰相等②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“【典例】例1（2020秋•乐亭县期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm例2 （2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°例3 （2020秋•南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB 上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．2．（2020秋•丛台区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．知识点3等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.等边三角形的性质：①三边相等②三个内角相等，都是60°③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.【典例】例1（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°例2（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（）A．90°B．70°C．45°D．30°例3（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC2．（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2√3B．6+4√3C．8+4√3D．6+2√33．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（）A．120°﹣αB．180°﹣2αC．2α﹣90°D．α﹣60°知识点4直角三角形直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.1、直角三角形的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【典例】例1（2020秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例2（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．169例3（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC=12AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【随堂练习】1．（2020秋•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝2√2，AB＝2√7，BC＝10，CD ＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．2．（2019秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．知识点5全等三角形1、全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B 和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.2、全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.3、一般三角形全等的判定方法①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）4、直角三角形全等的判定方法①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.②斜边、直角边定理（HL）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【典例】例1 （2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°例2（2020秋•梁子湖区期中）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DF A的度数．例3（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．例4 （2020秋•铁西区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2√2，点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1．（1）如图，当点D在线段AB上时，①求∠CAE的度数；②求CD的长；（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．【随堂练习】1．（2020秋•乐亭县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．47°B．57°C．60°D．73°2．（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．3．（2020秋•崆峒区期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AC，AB上的点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图①，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，如图②，若点A，P，M三点共线，求证：AP＝2PM．知识点6相似三角形1、相似三角形的概念与性质：相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.2、相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4、黄金分割一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图）， 如果AC BC AB AC=，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比0.618AC AB =≈.【典例】例1 （2021•长宁区一模）如图，己知在△ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，联结AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果△ABE ∽△CBA ，那么下列等式错误的是（ ）A ．AB 2＝BE •BCB ．CD •AB ＝AD •AC C ．AE 2＝CD •BED ．AB •AC ＝BE •CD例2 （2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，如果△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：4，BC ＝8cm ，那么△ADE 的周长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．12cm例3（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，相似比为AD ：AC ＝2：3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ，求AG 与GF 的比．例4（2020秋•双流区校级月考）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm 每秒的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒，△PBQ 与△ABC 相似？（AB ＝6cm ，BC ＝8cm ）【随堂练习】1．（2020秋•二道区期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1122．（2020秋•市中区期中）已知△ABC 的三边长分别为6，8，10，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边长30，求△A ′B ′C ′的另两条边的长、周长及最大角的大小．3．（2020秋•荥阳市期中）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？综合运用1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．5B．4C．3D．22．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．43．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC 为直角三角形，并求出其面积．4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长．。

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图 ，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形的内角和知识点总结一、三角形内角和定理。

1. 内容。

- 三角形的内角和等于180°。

2. 证明方法。

- 剪拼法。

- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角正好组成一个平角，从而直观地得出三角形内角和为180°。

例如，对于一个锐角三角形，可以分别沿着三角形的三条边剪下三个角，然后将角A、角B、角C的顶点重合拼在一起，就会看到它们拼成了一个180°的角。

- 推理证明法（以平行线的性质为基础）- 已知△ABC，过点A作直线EF∥BC。

- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C=∠EAC。

- 又因为∠FAB+∠BAC +∠EAC = 180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，从而证明了三角形内角和为180°。

二、三角形内角和定理的应用。

1. 求三角形中未知角的度数。

- 在一个三角形中，如果已知其中两个角的度数，就可以根据三角形内角和为180°求出第三个角的度数。

例如，在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，那么∠C=180° - ∠A - ∠B = 180°-50° - 60° = 70°。

2. 判断三角形的类型（按角分类）- 锐角三角形。

- 三个角都是锐角（即每个角都小于90°）的三角形。

如果一个三角形的最大角小于90°，根据三角形内角和为180°，可知另外两个角也必然是锐角，这个三角形就是锐角三角形。

例如，在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 70°，∠C = 50°，因为最大角∠B = 70°<90°，所以△ABC是锐角三角形。

- 直角三角形。

- 有一个角是直角（等于90°）的三角形。

初一几何图形内角和知识点几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间和形状。

初中阶段，我们开始学习一些基本的几何图形和它们的特性。

其中一个重要的概念是内角。

本文将介绍初一几何图形内角的概念和相关知识点。

一、什么是内角？内角是指一个几何图形内部的两条线之间的角度。

在初中阶段，我们通常学习的几何图形有三角形、四边形和多边形。

对于三角形来说，它的内角有三个；对于四边形来说，它的内角有四个；对于多边形来说，它的内角数量与边数有关。

二、三角形的内角和三角形是初中阶段最基本的几何图形之一。

一个三角形有三个内角，我们可以通过两条边之间的夹角来计算内角和。

对于任意一个三角形，它的内角和一直都是180度。

三、四边形的内角和四边形是由四条线段组成的几何图形。

它有四个内角，我们可以通过计算这四个内角的和来了解它的特性。

对于矩形来说，它的内角和是360度；对于平行四边形来说，它的内角和也是360度；而对于一般的四边形来说，它的内角和是小于360度的。

四、多边形的内角和对于具有n条边的多边形来说，它的内角和可以通过公式(n-2) × 180度来计算。

例如，一个五边形的内角和就是(5-2) × 180度，即540度。

通过这个公式，我们可以快速计算出不同多边形的内角和。

五、内角和的应用内角和的概念在几何学中是非常重要的，它可以帮助我们解决一些与几何图形相关的问题。

例如，当我们知道一个三角形的两个内角，我们可以通过内角和的性质来计算第三个内角；当我们知道一个多边形的内角和时，我们可以根据内角和的公式来计算出它的边数。

结论初一几何图形内角和是我们学习几何学的基础知识点之一。

它帮助我们理解不同几何图形的特性，并且可以应用于解决与几何图形相关的问题。

通过学习内角和的概念和计算方法，我们可以更好地掌握几何学的知识，为以后学习更复杂的几何学概念打下坚实的基础。

三角形一．由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有3个角、3条边、3个顶点。

三角形具有我稳定性。

二．三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之和小于第三边。

1.已知三条线段的比是:①1，3，4;②1，2，3;③1，4，3;④3，3，6;⑤6，6，10;⑥3，4，5.其中可构成三角形的有( ) .2. 长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。

3.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( )4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B.2，2，4 C.3，4，5 D.3，4，85.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。

6.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？三．三角形分类锐角三角形 3个锐角1．三角形按角分类：直角三角形 1个直角 2个锐角钝角三角形 1个钝角 2个锐角不等边三角形普通等腰三角形：两腰长相等，两底角相等2.三角形按边分类：等腰三角形特殊的等腰三角形——等边三角形：三条边都相等，三个角都是60度。

注意：1.一个三角形最多有一个钝角，最多有一个直角，至少有两个锐角。

钝角三角形两个锐角之和小于90度，直角三角形两个锐角之和等于90度，锐角三角形两个锐角之和大于90度。

2.等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；等边三角形也是轴对称图形，有3条对称轴。

四．三角形的三个内角等于180度。

1.已知∠1和∠2是直角三角形中的两个锐角，已知其中一个角的度数，求另一个角的度数。

（1）∠1=15°，∠2=( )。

（2）∠1=38°，∠2=( )。

（3）∠1=56°，∠2=( )。

（4）∠1=45°，∠2=( )。

2.一块等腰三角形广告牌，一个底角是40°，它的顶角是多少度？3.一条等腰三角形的围巾，顶角是110度，求底角是多少度？4.一个直角三角形的一个锐角是30度，求另一个锐角是多少度？。