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依托向量的数量积性质巧解初等代数问题1. 引言1.1 介绍依托向量的数量积性质向量的数量积是向量运算中的一种重要形式，它不仅在几何学和物理学中有着广泛的应用，同时也能够巧解各类初等代数问题。
在代数中，向量的数量积具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更加简便地解决复杂的问题。
通过利用向量的数量积性质，我们可以将问题转化成向量之间简单的乘法运算，从而更快地找到问题的解答。
这种方法既简单又直观，适用范围广泛。
向量的数量积性质包括向量的数量积定义、数量积的运算法则、数量积的几何意义等方面。
这些性质为我们解决初等代数问题提供了有力支持，使得我们能够更加高效地解决各种数学难题。
熟练掌握向量的数量积性质是非常重要的，可以为我们在学习和工作中带来很大的便利。
在接下来的内容中，我们将详细介绍向量的数量积性质及其在初等代数问题中的应用，希望能够为大家提供帮助和启发。
1.2 初等代数问题背景初等代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数与已知数之间的关系，通过代数运算来解决问题。
在初等代数中，常常会涉及到方程组、几何问题和概率问题等各类数学题目。
这些问题有时候会比较复杂，需要我们通过一些巧妙的方法来解决。
在学习初等代数时，我们经常会遇到一些需要利用向量的数量积性质来解答的问题。
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它能够描述向量之间的夹角和方向关系。
而利用数量积性质解初等代数问题的方法，正是通过对向量的数量积进行运算，来简化问题求解过程。
通过有效地利用向量的数量积性质，我们可以更快速地解决初等代数中的各类问题，如方程组、几何问题和概率问题等。
这种方法不仅能够提高问题解决的效率，还能够培养我们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
对于学习初等代数的同学来说，掌握依托向量的数量积性质来解决问题将会是一个很好的技巧。
2. 正文2.1 向量的数量积定义及性质向量的数量积，也称为点乘或内积，是向量代数中一种重要的运算。
对于两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
利用向量巧解中学数学题摘 要： 向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题. .关键字： 向量；向量法应用；数学题；解题方法向量；向量法应用；数学题；解题方法向量；向量法应用；数学题；解题方法Abstract : This paper looks back some basic properties of vector at first,and then summarizing and inducing vector’vector’s s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), problems), and and illustrating illustrating them them with examples,it examples,it will will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.Keywords : Vector : Vector；；Vector’Vector’s s application application；；Mathematical problem problem ；；Soluting method目 录1.1.前前 言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。
黄冈中学高考数学典型例题详解运用向量法解题每临大事, 必有静气; 静则神明, 疑难冰释;踊跃准备, 坦率面对; 最正确发挥, 舍我其谁?平面向量是新教材改革增添的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考察力度，本节内容主假如帮助考生运用向量法来剖析，解决一些有关问题 .●难点磁场(★★★★★ )三角形ABC 中， A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求： (1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的均分线 AD 的长；(3)cosABC 的值 .●事例研究［例 1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证： C1C⊥BD.(2)当CD的值为多少时，能使 A1C⊥平面CC1C1BD？请给出证明 .命题企图：此题主要考察考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对峙体几何图形的解读能力 .知识依靠：解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解剖析：此题难点是考生理不清题目中的线面地点关系和数目关系的相互转变，再就是要清楚已知条件中供给的角与向量夹角的差别与联系 .技巧与方法：利用 a⊥b a·b=0 来证明两直线垂直，只需证明两直线对应的向量的数目积为零即可 .(1)证明：设CD =a, CB =b,CC1 =c,依题意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中两两所成夹角为θ，于是 BD CD DB =a－b， CC1 BD =c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使 A1C⊥平面 C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由 CA1 C1D (CA AA1 ) (CD CC1 )=(a+b+c) · (a － c)=|a|2+a · b－ b · c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当 |a|=|c|时， A1C⊥BD，∴CD =1 时， A1C⊥平面 C1BD.CC1［例 2］如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1，底面△ ABC 中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点 .(1)求BN的长；(2)求 cos<BA1,CB1 >的值；(3)求证： A1B⊥C1M.命题企图：此题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 .属★★★★级题目 .知识依靠：解答此题的闪光点是成立恰当的空间直角坐标系O－ xyz,从而找到点的坐标和求出向量的坐标 .错解剖析：此题的难点是建系后，考生不可以正确找到点的坐标 .技巧与方法：能够先找究竟面坐标面xOy 内的 A、B、C 点坐标，而后利用向量的模及方素来找出其余的点的坐标 .(1)解：如图，以 C 为原点成立空间直角坐标系 O－xyz.依题意得： B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN |= (1 0)2(0 1)2(1 0)2 3 .(2)解：依题意得： A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1= (1, 1,2), CB1=(0，1，2)BA1 CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3| BA1|= (10) 2(01)2(20) 26| CB1|(00) 2(10) 2( 20)25cos BA ,CB BA1CB1330 .11| BC1 | |CB1 | 6 510(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M( 12,12,2 )11( 1,1,2)C1M (,,0), A1B22∴ A1B C1M ( 1)111( 2) 0 0, A1B C1M,22∴A1B⊥C1M.●神机妙算1.解决对于向量问题时，一要擅长运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各样运算，加深对向量的本质的认识 .二是向量的坐标运算表现了数与形相互转变和亲密联合的思想 .2.向量的数目积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中 .常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 .3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思虑：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量能否已知？若未知，能否可用已知条件转变成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不可以直接用已知条件转变成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转变的向量有何关系？(4)如何对已经表示出来的所需向量进行运算，才能获得需要的结论？●剿灭难点训练一、选择题1.(★★★★) 设A、B、C、D 四点坐标挨次是 (－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形 ABCD 为()A. 正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2. (★★★★ ) 已知△ ABC 中，AB =a，AC =b，a·b<0，S△ABC=154,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是 ()A.30°B.－150°C.150°D.30°或 150°二、填空题3. (★★★★★ ) 将二次函数y=x2的图象按向量 a 平移后获得的图象与一次函数y=2x－5 的图象只有一个公共点 (3，1)，则向量 a=_________.4.(★★★★ )等腰△ ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB，它们所在的平面成60 °角，若 AB=16 cm,AC=17 cm, 则CD=_________.三、解答题5.(★★★★★ )如图，在△A BC 中，设AB =a，AC =b，AP =c, AD =λa,(0<λ<1), AE =μb(0<μ<1),试用向量a，b 表示 c.6.(★★★★ )正三棱柱 ABC—A1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为2 a.(1)成立适合的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 .7.(★★★★★ )已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点 P 使MP MN , PM PN ,NM NP成公差小于零的等差数列 .(1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)若点 P 坐标为 (x0,y0),Q 为PM与PN的夹角，求 tanθ.8.(★★★★★ )已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 .(1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面；(2)用向量法证明： BD∥平面 EFGH ；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有OM1(OA OB OC OD).4参照答案难点磁场解：(1)点M的坐标为x = 1 10; y M729 ,M (0,9)M|AM |(50) 2(19 )2221 .22(2)|AB|(51) 2(17) 210,| AC |(5 1)2(1 2)25D 点分BC的比为 2.∴x D = 1 2 1 1 , y D72211123123|AD|(51)2( 1 11)214 2.333(3)∠ABC 是BA与BC的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－ 5）.BA BC62(8) (5)522629 cos ABC628) 222( 5)210 29145|BA ||BC |(剿灭难点训练一、 1.分析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴ AB = DC ，∴ AB ∥ DC ，又线段AB 与线段 DC 无公共点，∴AB∥DC 且|AB|=|DC|，∴ABCD 是平行四边形，又| AB |= 5，AC=(5， 3），| AC |= 34，∴| AB |≠| AC }, ∴ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD 也不是矩形，应选 D.答案： D2.分析：∵151·3· 5sinα得 sinα=1,422则α=30°或α=150°.又∵ a·b＜0,∴α=150°.答案： C二、 3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP与BE共线，∴BP =m BE =m( AE － AB )=m(μb－a),∴AP = AB + BP =a+m(μb－a)=(1－m)a+m μb①又 CP 与 CD 共线，∴ CP =n CD =n( AD －AC )=n(λa－b),∴AP = AC + CP =b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b②由①②，得 (1－ m） a+μmb=λna+(1－n)b.∵a 与 b 不共线，∴1m a 即 n m 1 0m 1 n n m 1③解方程组③得： m=1,n1 代入①式11得 c=(1－m)a+m μb= 1［λ(1－μ)a+μ(11－λ)b ］.6.解： (1)以点 A 为坐标原点 O ，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA 1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB 1A 1 垂直的直线为Ox 轴，成立空间直角坐标系 .由已知，得 A(0，0，0），B(0，a,0）,A (0,0,2 a),C (－ 222 a).13a, a,1(2)取 A B1 的中点 M ，于是有M(0，1a, 2a ），连 AM ，MC ，有MC=(－3a,0,0）,1 1且 AB =(因此 AC 1与 AM 所成的角，即AC 1 与侧面ABB 1A 1 所成的角为 30°.7.解：(1)设 P(x,y ）,由 M(－1，0），N(1，0）得， PM =－ MP =(－1－x,－y ）,PNNP=(1－x,－ y), MN =－NM =(2,0),∴MP·MN =2(1+x),PM · PN =x2+y2－1, NM NP=2(1 － x). 于是，MP MN ,PM PN , NM NP 是公差小于零的等差数列，等价于x 2y211[ 2(1x) 2(1 x)]x 2y 32即2(1x)2(1x)0x因此，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆 .(2)点 P 的坐标为 (x0,y0)PM PN x02y02 1 2,| PM | | PN | (1 x )2y02(1 x0 ) 2y02 ( 4 2x0 )( 4 2x0 ) 2 4 x02PM PN1cos2|PM | PN4x00 x03,11,0, cos23sin 1 cos2112, tan sin 3 x02| y0 |4x0cos8.证明： (1）连接 BG，则EG EB BG EB 1 (BC BD) EB BF EH EF EH2由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面， (此中12BD = EH）(2）因为1111EH AH AEAD AB( AD AB)BD .2222因此 EH∥BD，又 EH面 EFGH，BD 面 EFGH因此 BD∥平面 EFGH.(3）连 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG由 (2）知EH1 BD ，同理FG1BD ，因此22EH FG ，EH FG,因此EG、FH交于一点M 且被 M 均分，因此1(OE OG )111111OM OE OG2[(OA OB )][ (OC OD )]222222 1(OA OB OC OD ).4.。
高考数学如何利用向量解决平面几何题目在高考数学中，平面几何题目是一类重要且需要灵活运用数学知识的题型。
在解决这类问题时，向量是一种非常有用的工具。
通过运用向量的性质和运算，我们可以简化计算，提高解题效率。
本文将探讨如何利用向量解决高考数学中的平面几何题目。
一、向量的基本概念和性质在进一步探讨如何利用向量解决平面几何题之前，我们需要对向量的基本概念和性质有所了解。
向量可以用来表示大小和方向都有意义的物理量。
常用的表示向量的方法是使用箭头或者使用字母加上上方的箭头符号，如a→。
向量的几何意义是有起点和终点的有向线段，起点和终点分别称为向量的始点和终点。
两个向量相等，意味着它们有相同的大小和方向。
两个向量的和是将它们的起点放在一起，然后将它们的终点连成一条线段。
向量的运算有加法、减法和数量乘法。
向量加法满足交换律和结合律。
向量减法可以通过加上负向量来实现。
数量乘法是将向量的大小与标量相乘，同时改变向量的方向。
二、向量解决平面几何题目的应用1. 向量的共线性在平面几何问题中，有时需要判断三个点是否共线。
可以使用向量来解决这个问题。
考虑三个点A、B、C，如果向量AB和向量BC平行或者反向，则可以判断这三个点共线。
2. 向量表示线段通过向量的性质，我们可以使用向量表示线段。
考虑线段AB，可以用向量→AB来表示。
线段的长度可以通过求向量的模来计算。
3. 向量的垂直性在平面几何问题中，有时需要判断两条直线的垂直性。
可以使用向量的内积来判断。
如果两条向量的内积等于0，则可以判断这两条直线垂直。
4. 向量的平行性判断两条直线的平行性也可以使用向量。
如果两条直线的方向向量平行或者反向，则可以判断这两条直线平行。
5. 向量的投影在解决平面几何问题中，有时需要求一个向量在另一个向量上的投影。
可以通过计算这两个向量的内积，再除以投影向量的模得到。
6. 向量运算简化计算通过利用向量的运算规则，有时可以简化计算过程。
特别是在证明平行四边形性质或计算面积时，向量运算可以大大简化计算过程。
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。
高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。
故选B。
2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。
又由sinx+siny=1，所以XXX。
将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。
10向量与向量方法（一）1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC 中，有命题①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ΔABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 ( )A ．① ②B ．① ④C ．② ③D ．② ③ ④2．已知O 为坐标原点，OM ＝(－1，1)，NM ＝(－5，－5)，集合A ＝{OR ||RN|＝2}，OP 、OQ ∈A ，(, 0)MP MQ R λλλ=∈≠，则MP ·MQ ＝_________________.3．已知向量a ＝－e 1+3e 2+2e 3，b ＝4e 1－6e 2+2e 3，c ＝－3e 1+12e 2+11e 3，问a 能否表示成a ＝λ1b +λ2c 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．4．已知a ，b 是两非零向量，若a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a ，b 的夹角．5．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3. 求|3a +b |的值.引申 已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝r ，11||a b λμ+=R ，试求22||a b λμ+的值.6．设A 、B 、C 、D 是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(A x ，A y )，B(B x ，B y )， C(C x ，C y )，D(D x ，D y )，且它们中任意三点不共线．试证明：四边形ABCD 为正方形的充要条件为 (B x －A x ，B y －A y )＝(C x －D x ，C y －D y )， 且(B x －A x )(C x －B x )+(B y －A y )(C y －B y )＝0.7．如图，设四边形P 1P 2P 3P 4是圆O 的内接正方形，P 是圆O 上的任意点. 求证：22221234||||||||PP PP PP PP +++为定值.OPP 1P 4P 38．如图，设P1，P2，P3，…，P n，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：22212nPP PP PP+++为定值.9．空间有十个点A1，A2，…，A10，试求一个点P，使2221210PA PA PA+++为最小.10．如图，空间四边形ABCD中，点E分AB及点F分DC所成的比均为λ，则111EF AD BCλλλ=+++.11．一个物体受到同一个平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为东偏北30°；|F3|＝6N，方向为西偏北60°，求合力所作的功.12．设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且AM CNAC CE=＝λ，若B、M、N共线，求λ的值.HGFEDCBAF·BCDENMyxO13．如图，在ΔOAB 中，OC OA =14，OD OB =12，AD 与BC 交于M 点，设OA a =， OB b =. (1)用a ，b 表示OM ；(2)已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE pOA =，OF qOB =，求证：p q+=13177.14． （2002年高考试题）已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P 使MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·PN 成公差小于零的等差数列．(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 的坐标是(x 0，y 0)，θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ．（二）1．已知,a b R +∈，,m n R ∈，222222m n a m b n >+，令2M m n 2=+，N a b =+.则MD ABC EFOM与N 的大小关系是 ( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．M 、N 间的大小关系不能确定(2000年河北省高中数学竞赛试题) 2．实数, , x x x 123满足x x x ++=12311123，及x x x ++=22212311323，则x 3的最小值是______________________. （1993年上海市高三数学竞赛试题）3．（证明恒等式）（1）已知2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++，且x 、y 、z 、a 、b 、c 为非零实数，求证：x y za b c==.4．（求值）（1）已知22(1)(1)3(21)x y xy ++=-，试求1()y x y-的值。
