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高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占有重要的地位，它是数学中一种常见的关系式。
在高三数学学习过程中，我们需要掌握并灵活运用各种不等式知识点，以提升解题能力。
本文将对高三不等式相关知识进行归纳总结，帮助大家系统地掌握不等式的内容。
一、基本不等式基本不等式是不等式的基础，它通过对大小关系的描述，为其他类型不等式的证明提供了依据。
常见的基本不等式有以下几种：1. 正数不等式：若a>0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab<0。
2. 负数不等式：若a<0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab>0。
3. 平方不等式：若a>b≥0，则a的平方大于b的平方，即a²>b²。
4. 平均不等式：若a1，a2，...，an为正数，则它们的算术平均大于等于它们的几何平均，即(a1+a2+...+an)/n≥(a1*a2*...*an)^(1/n)。
二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为常数。
我们可以通过移项和分析a的正负来求解不等式。
1. 求解步骤：a) 对不等式进行变形，将不等式变为ax>c的形式，其中c为常数。
b) 根据a的正负确定不等式的方向，若a>0，则不等式为单调递增，解集为x>c/a；若a<0，则不等式为单调递减，解集为x<c/a。
2. 注意事项：a) 在乘以或除以负数的过程中，需注意不等式方向的变化。
b) 当a为0时，不等式变为bx>c，若b>0，则不等式为恒成立；若b<0，则不等式无解。
三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为常数。
我们可以通过求解二次方程和分析a的正负来求解不等式。
高三基本不等式知识点不等式是数学领域中重要的概念之一，它们在求解实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。
高三是学习不等式的重要阶段，基本不等式是其中的基石。
本文旨在介绍高三基本不等式的知识点，帮助同学们更好地理解和运用这一概念。
一、基本不等式的定义基本不等式是不等式理论的基础，它为不等式的推导和运用奠定了基础。
在高三阶段，我们主要学习的基本不等式包括以下几个：1. 乘法不等式：对于实数a和b，当a大于0时，有a \cdot b > b；当a小于0时，有a \cdot b < b。
这个不等式指明了正数与负数的相对大小关系。
2. 加法不等式：对于实数a、b、c，如果a > b，则a + c > b + c。
这个不等式说明了不等式方程可以通过同加、同减等方式来对不等式进行处理。
3. 平方不等式：对于实数a，如果a > 0，则有a^2 > 0。
这个不等式告诉我们，正数的平方也是正数。
4. 倒数不等式：对于正实数a和b，如果a < b，则\frac{1}{a} > \frac{1}{b}。
这个不等式是有关倒数的大小比较。
二、基本不等式的运用基本不等式不仅仅是理论概念，还可以应用于解决实际问题和证明数学定理。
下面是一些常见的基本不等式的运用：1. 利用乘法不等式，可以推导出分式不等式的性质。
例如，在求解不等式\frac{1}{x+2} > \frac{2}{3}时，可以通过乘法不等式将其转化为x+2 < \frac{3}{2}的形式。
2. 平方不等式在求解二次函数不等式时起着重要的作用。
例如，当求解不等式x^2 - 4x > 0时，可以将其转化为(x - 2)(x + 2) > 0的形式，进而得到x > 2或x < -2的解集。
3. 不等式的证明中，基本不等式常常用于构造等式。
通过适当的变形和推导，可以将不等式转化为等式，从而得到证明过程。
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
高三文科不等式知识点高三阶段是学生备战高考的重要时期，而在文科领域的数学部分，不等式是一个重要而又常考的知识点。
掌握好不等式的基本概念和解题方法，对于学生来说，是非常关键的。
本文将带领读者深入了解高三文科不等式知识点。
一、基本概念不等式是数学中表示大小关系的一种符号。
在高三文科中，我们常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
我们可以通过比较两个数的大小关系，用这些符号来表达出来。
二、一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的升级版，也是最常见的一种不等式类型。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意到不等号的方向。
举个例子：解不等式2x-3<5。
首先，我们将式子化简得到2x<8。
接下来，我们将不等号的两边同时除以2，得到x<4。
三、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的升级版。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要借助平方根等知识。
举个例子：解不等式x²-5x>6。
首先，我们将式子移项得到x²-5x-6>0。
然后，我们对此不等式进行因式分解，得到(x-6)(x+1)>0。
接下来，我们要确定方程的解集。
根据乘积大于零的性质，解集为x<-1或x>6。
四、绝对值不等式绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，解绝对值不等式的方法与一般的不等式有所不同。
在解绝对值不等式时，我们需要拆分为原问题的两个不等式，然后分别解决。
举个例子：解不等式|3x-4|≥7。
首先，我们将这个不等式拆分为两个不等式：3x-4≥7或3x-4≤-7。
然后，我们对这两个不等式分别进行解答，得到x≥11/3或x≤-1/3。
五、二元一次不等式二元一次不等式是涉及到两个变量的一次方程的不等式形式。
在解二元一次不等式时，我们需要通过图像法或代数法来确定解集。
举个例子：解不等式y<x+2，y<2x+3。
高考文科不等式知识点高考是每个学生都需要面对的重要考试，而作为文科生来说，数学是其中一个必考科目。
在数学中，不等式是一个关键的知识点，而且在高考中也占据了相当大的比重。
本文将与大家分享一些高考文科中常见的不等式知识点，帮助大家更好地应对数学考试。
一. 基本不等式基本不等式是学习不等式的基础，理解了基本不等式才能更好地应用到其他相关知识点中。
基本不等式有两个核心概念：大小关系和符号规律。
1. 大小关系：在不等式中，对于两个不等式，若其中一个式子的每一项都小于另一个式子，那么可以断定这个式子的大小关系。
例如，若a>b，x<y，则可以确定ax<by。
2. 符号规律：不等式中的符号规律是一个重要的概念，在解不等式的过程中需要特别注意。
例如，若a>b，x<y，则可以确定a-x>b-y。
二. 基本不等式的运算法则在解不等式的过程中，运算法则是不可忽视的。
这些法则是基于数学运算的性质来得出的，但在使用中需要注意它们的适用范围。
1. 加减法原则：在不等式中，若两个不等式都同加（减）一个数，则这两个不等式的大小关系不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
2. 乘法原则：在不等式中，若一个不等式两边同乘（除）一个正数，则不等号不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号反向。
例如，若a>b，则2a>2b，当c>0时，ca>cb；当c<0时，ca<cb。
三. 不等式的解集解不等式是高考中常见的题型，对于解不等式有以下几个常见的解集形式：1. 区间表示法：在不等式的解集中，如果使用区间表示法，可以清晰地展示解集的范围。
例如，对于不等式1<x<4，可以使用区间表示为(1,4)。
2. 简化形式：有时候，解集可以通过简化不等式的形式得出。
例如，对于不等式x+3≤7，可以得出解集为x≤4。
四. 基本不等式的应用1. 一元一次不等式：在高考中，一元一次不等式是非常常见的题型。
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。
在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。
下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。
一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。
基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。
二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。
对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。
对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。
在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。
四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。
对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。
五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。
对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。
六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。
在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。
七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。
对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。
在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。
第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
高三不等式必背知识点总结高中数学学科中，不等式是一个重要的内容，也是学习中的重点和难点之一。
在高三阶段，不等式的掌握和运用变得更加关键，它是解析几何、数列等各种数学内容的基础。
下面将对高三不等式的必背知识点进行总结与归纳。
一、基本的不等式关系在不等式学科中，最基础、最重要的关系就是大小关系。
通常使用的符号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
大于号和小于号用于表示严格的大小关系，大于等于号和小于等于号则包含了等于的情况。
二、绝对值不等式绝对值不等式是高三阶段需要掌握的一个重要知识点。
对于任意的实数a，绝对值不等式可以分为三种情况：1. 当a > 0时，|x| > a的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)；2. 当a = 0时，|x| > a的解集为全体实数集R；3. 当a < 0时，|x| > a的解集为空集。
绝对值不等式的求解需要根据以上三种情况进行分类讨论。
三、一元一次不等式一元一次不等式是最基础的一类不等式之一，在高三阶段需要非常熟练地掌握。
一元一次不等式的求解大致可以分为以下几个步骤：1. 将不等式两边的式子整理为一个多项式，注意保持不等式的方向不变；2. 描述不等式的解集，可以通过解析法或图像法等方式确定解集的范围。
四、二次不等式二次不等式在高三学习中也是一个重点，它的解集常常与多项式的图像、方程的根等有关。
1. 解二次不等式需要先将二次不等式整理为标准形式，即要使得二次项系数大于0。
2. 利用二次不等式的图像特点，以及平方的非负性质，确定解集的范围。
五、分式不等式分式不等式是高三学习中较为复杂的一类不等式，求解分式不等式的一般步骤如下：1. 找到分式不等式的定义域，即分母不能为0的条件；2. 利用分式的性质化简不等式，使其变为分子和分母均不为0的形式；3. 对分子和分母分别进行讨论，找出使得不等式成立的范围。
六、不等式的基本性质在高三学习中，还需要深入了解不等式的一些基本性质，这些性质在解决不等式问题时起到了重要的指导作用。
基本不等式【考纲要求】1.2a b+≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】【考点梳理】考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.2．基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥a b =时取等号“=”）. 要点诠释：222a b ab +≥和2a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。
（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b+≥2()2a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .扩充不等式绝对值不等式柯西不等式易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b=时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
要点三、几个常见的不等式 1）()R b a ab b a ∈≥+,222，当且仅当a=b 时取“=”号。
2）()+∈≥+R b a ab ba ,2，当且仅当a=b 时取“=”号。
3）()02>⋅≥+b a ab b a ；特别地：()021>≥+a aa ；4）ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈ 5）()()+∈≥⎪⎭⎫⎝⎛++R b a b a b a ,411； 6）()+∈≥++R c b a abc c b a ,,3333；7）()+∈≥++R c b a abcc b a ,,33要点四、绝对值不等式的性质 1.||||||||||a b a b a b -≤±≤+；2.||||||a b a c c b -≤-+-； 要点五、柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式：设,是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤⋅，当且仅当是零向量或存在实数k ，使k =时，等号成立。
（2）代数形式：①若a 、b 、c 、d 都是实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当ac=bd 时，等号成立； ②若a 、b 、c 、dac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立；③若a 、b 、c 、d||ac bd ≥+，当且仅当ac=bd 时，等号成立；要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式：设R y y x x ∈2121,,,，则22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若321321,,,,,b b b a a a 都是实数，则2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当)3,2,1(,0==i b i 或存在实数k ，使得)3,2,1(==i kb a i i 时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若,,,,,,,,,,321321n n b b b b a a a a 都是实数，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ，当且仅当),,2,1(,0n i b i ==或存在实数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立。
【典型例题】2a b+求最值问题 【高清课堂：基本不等式394847 基础练习二】例1．设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【解析】221111()()11()()()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab++=-+++--=-+++-≥当且仅当1()()1a ab a a b ab ab ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩即a b ==时取等号.【答案】D 举一反三：【变式1】已知0x y >>, 且3xy =，求222x y x y+--的最小值及相应的,x y 值.【解析】∵0x y >>, ∴0x y ->, 又3xy =,∴2222()224()4x y x y xy x y x y x y x y +--+-==-+≥=---当且仅当034x y xy x y x y ⎧⎪>>⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩即31x y =⎧⎨=⎩时取等号∴ 当3,1x y ==时，222x y x y+--取最小值4.【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.（1）1(0)1y x x x =+≥+； (2)xx y 522+=，(0)x > ；(3) 2(52)y x x =-，5(0)2x <<(4) 121-+=x x y ，1()2x > ；(5)21002x x y -=，(010)x <<【解析】（1）∵0x ≥ ，∴11x +≥，∴111111y x x =++-≥=+ 当且仅当111x x +=+，即0x =时取等号 ∴0x =时，min 1y = (2) ∵0x >，∴22555322222y x x x x x =+=++≥=当且仅当x x 2522=即345=x 时，3min 10023=y . (3) ∵502x <<，∴520x -> ∴3231145252110250(52)4(52)(52)()44342727x x x y x x x x x +-+-=-=⨯--≤=⋅=当且仅当452x x =-即65=x 时，27250max =y . (4) ∵21>x ，∴210x -> ∴121-+=x x y 21]12112112[21+-+-+-=x x x221121121)12(233=+-⋅--≥x x x 当且仅当 12112-=-x x 即1x =时，min 2y =.(5) ∵010x <<，∴21000x ->∴222100100y x x ==≤+-=当且仅当22100x x =-即25=x 时，max 100y = 【变式3】已知0,0,x y >>且191x y+=，求x y +的最小值. 【解析】方法一：0,0,x y >>且191x y+=∴199()()10102316y x x y x y x y x y+=++=++≥+⨯= （当且仅当9y x x y=即4,12x y ==时等号成立）. ∴+x y 的最小值是16. 方法二：由191x y +=，得9=-y x y ， ∵0,0>>x y ，∴9>y∴991(9)101016999y x y y y y y y y +=+=++=-++≥=--- 当且仅当99,9y y -=-即12y =时取等号，此时 4.x = ∴+x y 的最小值是16. 方法三：由191x y+=得9+=y x xy ，∴(1)(9)9--=x y∴10(1)(9)1010616.+=+-+-≥+=+=x y x y当且仅当19419112x y x y x y -=-⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩即时取等号， ∴+x y 的最小值是16.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知01a <<，01b <<，01c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个小于等于14. 证明：假设 ()()()1111,1,1444a b b c c a ->->-> 则有32> 〔＊〕11132222a b b c c a -+-+-+≤++=与〔＊〕矛盾 举一反三：【变式1】已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当ab =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c=时，取等号） 0c a +≥> （当且仅当c a=时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【变式2】已知x 、y 都是正数，求证：2y xx y+≥。
【解析】∵x 、y 都是正数 ，∴0xy>，0y x >，∴2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立）故2y xx y+≥. 类型三：基本不等式在实际问题中的应用【例4】(2015春 贵阳校级期末)某单位建造一间靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm ，房屋的总造价为y 元. (1)求y 用x 表示的函数关系式.(2)怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 【解析】(1)如图所示，设底面的长为xm,宽为ym ，则12y m x= 设房屋总造价为()f x 由题意可得：()()123120038002580016360058000f x x xx x x =⋅+⨯⨯⨯+⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)()163600580028800580034600f x x x ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当x =4时取等号.答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元.举一反三：【变式】(2015 南昌其中)新建一个娱乐场的费用时50万元，每年的固定费用(水、电费、员工工资等)4.5万元，年维修费用第一年1万元，以后逐年递增1万元，问该娱乐场使用多少年时，它的平均费用最少？【解析】设使用x 年时，平均费用最少，平均费用为y 万元，所以总维修费用为()12x x +万元，则：()150 4.550255152x x x x y x x +++==++≥=当且仅当502xx =时，即x =10时等号成立.所以娱乐场使用10年时，它的平均费用最少.类型四：利用绝对值不等式求最值例5. 不等式|4||2|x x a --+≥对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ； 【解析】设|4||2|t x x =-++，则t a ≥对x R ∈恒成立min t a ⇔≥， ∵ |4||2||(4)(2)|6x x x x --+≤--+=， ∴|1||2|x x --+的最小值为6-， ∴实数a 的取值范围是6a ≤-. 举一反三：【变式1】求|4||2|x x --+的最值【解析】由||||||a b a b -≤±得：|4||2||(4)(2)|6x x x x --+≤--+=， ∴6|1||2|6x x -≤--+≤∴|1||2|x x --+的最小值为6-，最大值为6.【变式2】不等式|12||21|x x a -++<对x R ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 ； 【解析】设()|12||21|f x x x =-++，则()f x a <对x R ∈恒成立max ()f x a ⇔<， ∵ |12||21||(12)(21)|2x x x x -++≤-++=， ∴|12||21|x x -++的最大值为2， ∴实数a 的取值范围是2a >. 类型五：利用柯西不等式求最值 例6. 设23529x y z ++=，求函数654312+++++=z y x y 的最大值．【解析】∵(21)(34)(56)291140x y z +++++=+= ∴根据柯西不等式340(111)[(21)(34)(56)]x y z ⨯=++⋅+++++2(111≥，故302654312≤+++++z y x . 当且仅当213456x y z +=+=+，即1522,928,637===z y x 时等号成立， 此时，302max =y 举一反三：【变式1】求函数x x y 21015-+-=的最大值． 【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0，36512552152222=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=）（）（）（x x xx y 当且仅当x x 21015-=-时，等号成立， 即2735=x 时函数取最大值，最大值为36.。
