2020高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式分层演练文

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a <b <0，∴a 2>ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析 由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立， 若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0， 综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一 不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析 法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示， 当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二 一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析 因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析 取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析 原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析 由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A.log 2a >0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b<1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋ba >2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解 因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

2021高考数学一轮复习第7章不等式章末总结分层演练文202109101106一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修5 P 100练习T 3改编)用长为a (a >0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为( )A ．a 22B.a 24 C ．a 28D.a 216解析：选D.设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.因为x ＋y ≥2xy ，因此xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216.当且仅当x ＝y ＝a 4时，S max ＝a 216.故选D.2．(必修5P 91练习T 1改编)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a （a <1），y ≥x ，x ＋y ≤2，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211 B.14 C ．12D.34解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 通过可行域中的点B (1，1)时有最大值3；当目标函数z ＝2x ＋y 通过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.3．(必修5 P 93B 组T 1改编)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ≤6，x －6y ≤－6，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则3a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线2x －3y ＝6与直线x －6y ＝－6的交点(6，2)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值8，即6a ＋2b ＝8，因此3a ＋b ＝4，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥16.因此3a ＋1b≥4.当且仅当a ＝b ＝1时，取等号．故选C.4．(必修5 P 85例4改编)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要要紧原料磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要要紧原料磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料获利润1万元，生产1车皮乙种肥料获利润0.5万元，则该化肥厂的最大利润为( )A ．2万元B ．2.5万元C ．3万元D ．3.5万元解析：选C.设生产甲、乙两种肥料各x 车皮与y 车皮，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，表示的区域如图中阴影部分．目标函数为z ＝x ＋0.5y .由图可知，当直线x ＋0.5y ＝z 通过点M 时，z取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y＝1018x ＋15y ＝66，解得x ＝2，y ＝2，即M (2，2)．现在z max ＝2＋0.5×2＝3，故选C.二、填空题5．(必修5 P 91练习T 1(1)改编)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y的最大值为3，则实数m 等于________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中的△ABO 及其内部．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1.化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A 时，直线在y轴上的截距最小，现在z有最大值，且z max＝42m－1－2m2m－1＝4－2m2m－1＝3，解得m＝78.答案：786．(必修5 P93A组T4改编)某家电生产企业依照市场调查分析，决定调整产品生产方案，预备每周(按40个工时运算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时121314产值/千元43 2则每周的最高产值是________千元．解析：设每周生产空调器x台、彩电y台，则生产冰箱120－x－y台，产值为z.目标函数为z＝4x＋3y＋2(120－x－y)＝2x＋y＋240，因此，题目中包含的限制条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x＋13y＋14（120－x－y）≤40，120－x－y≥20，x≥0，y≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y≤120，x＋y≤100，x≥0，y≥0.可行域如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，得点M 的坐标为(10，90)，因此z max ＝2×10＋90＋240＝350.答案：350 三、解答题7．(2021·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时刻不多于600分钟，广告的总播放时刻许多于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周打算播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，因此由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 通过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．因此，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．8．如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开创为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .因此S ≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝2 500 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000， 即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，因此PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y ＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝ ⎛⎭⎪⎫y －80072＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y <4003，当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，现在x ＝2007.因此当AP 为2007米，AQ 为8007米时，用料最省．。

第七章 不 等 式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理 两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________；a ＝b ⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________.(5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒ac ______b d； (9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd(8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ab <b 2C.－ab <－a 2D.－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b，∴－1a<－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A.f (x )＞g (x )B.f (x )≥g (x )C.f (x )＝g (x )D.f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a的大小关系为( )A.a a b b ≥a b b aB.a a b b ＜a b b aC.a a b b ≤a b b aD.与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0，故a a b ba b ba小关系是点燃导火线后要在燃放前转移到已知导火线的燃烧速度为4m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，得每次钉N*)，已知一个铁钉受击且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的③bc>ad.则可组成几个正确命题？则一定有(A.ac＞bdC.ad＞bc的取值范围是解：由 α－β的取值范围是解：∵－＜β＜π＞0)的大小解法一：a ＋m b ＋m若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞b c 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mc c§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 .若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c＞0 (a ＞0)的解① ② R 集ax 2＋bx ＋c＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x＜x 2}∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03.(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x30的解集为)x＋b－解：由(解：(1)①当m＝－②当m＝(2)当m(1)x2－(3)x2－解：(1).而y＝－x＋1，x－1，x1)≤1的解集是A.{x|－1≤解集是{x|－5≤解：∵不等式≤1}，∴x1＝－＜x＜3}解：∵不等式，∴a＜0，且根，由根与系数的关系得.解：(1)＞0，不等式的解集为(2)当a∈R).解：不等式整理为当a＝0当a≠0解：x －2x x ＋2x ＋1≥0|x －2x ≤0A.{x |－1≤C.{x |0≤解：易知⎦⎥⎤0，12成立，则A.0 B.图1 图2 图3综上 ①②③，≥－52.故选(2)已知对于任意的a ∈[－11]，函数f (x )＋(a －4)x ＋2a 的值总大于，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或 3C.1＜x ＜2D.x ＜1或 2解：记g (a )x －2)a ＋x 2－＋4，a ∈[－1，依题意，只须（1）＞0，（－1）＞0⇒－3x ＋2＞0，－5x ＋6＞0＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a (x ))型恒成立问题，再利用＞f (x )max (a ＜∈[－2，解法一：当－a2＜－且仅有一解，则A.a <－C.－1<解法一：，即－1×(2点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.－2<m< 2B.－2<m<0C.－2<m<1D.0<m<1解：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＜0，f（1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－m＜0，m2＋m－2＜0，解之，得实数m的取值范围是0＜m＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x－162＋6112.故x＝6时，y max＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，化简得x2－65x＋900≤0，解之得20≤x≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x－2x＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x－2x＋1≤0⇔()x＋1()x－2≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D.2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m＜x＜2，则m的取值范围是单位：m)的取值范围是B.[12，25]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m，依题意得§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.≥0，＋3y ≥4，＋y ≤4与D 有公共点，则x ＋1)恒过定点C (－BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线D 有公共点，则12＋y －2≥0，＋2y －4≤0，＋3y －2≥0________.|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，和n ，则＝－2x ＋z 经过点B 时，z 1)，则n ＝z min ＝2×(－1)故选C.)A.有最小值B.有最小值C.有最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A (2，0)时，z 取得最小值为z min ＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y ＝－x ＋z 向右上方移动时，z ＝x ＋y 也趋于无穷大，所以z ＝x ＋y 无最大值，故选B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入可得k ＝73.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A.－5B.1C.2D.3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D.点拨：此类问题综合性较强，注意到y ＝kx ＋43，ax －y ＋1＝0都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化.(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－4，2)C.(－4，0]D.(－2，4)解法一：z ＝ax ＋2y 的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，故选B.(2)(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.当x ，y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的△ABC (包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得顶点A (2，3)，同理可得B (0，2)，C (1，0)，因为x 2＋y 2是可行域内一点P (x ，y )到原点的距离的平方，所以，当P (x ，y )和A (2，3)重合时，(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，显然，原点到直线BC ：2x ＋y －2＝0的距离d 最小，这里d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝25，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝45， 此时点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝45，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 综上可知，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值，最大值是13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，最小值是45.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a 2＋b 2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f (x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b －2a －1的值域； (2)(a －1)2＋(b －2)2的值域.解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0).如图所示.(1)设b －2a －1＝k ⇒b ＝k (a －1)＋2，则k 表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)连线的斜率，因为A (－3，1)，C (－1，0)，则k AQ ＝14，k CQ ＝1，k AQ ＜k ＜k CQ ，14＜k ＜1.∴b －2a －1的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)(a －1)2＋(b －2)2表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)的距离的平方，显然，当动点P (a ，b )和点C (－1，0)重合时距离最小，最小值为22，而P (a ，b )和点A (－3，1)重合时距离最大，最大值为17，所以(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17).所表示的平面区域为和纵坐标均为整数的点的通项公式为＋2y －5＞＋y －7＞≥0，y ≥0小值为( z ，y ＝－34x ＋z4，过x ，(3，0)，(4，0)，(5＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(2，4)，(4，1)逐个试验积不超过50植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量黄瓜≤50，.9y ≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图所示.两类产品，甲种设备每天能生产类产品10件，类产品20设备乙每天的租赁费为类产品300y 对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值.1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －y ≥0所表示的平面区域是( )解：画出直线x ＝2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)；再画出直线x －y ＝0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10]C.[2，9]D.[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C.4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43 B.0＜a ≤1C.1≤a ≤43D.0＜a ≤1或a ≥43解：如图，由条件可知，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝43右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a ≥43时，可行域可以组成一个△OAB ；当0＜a ≤1，可以组成一个三角形，所以0＜a ≤1或a ≥43，故选D.解：作出可行域如图阴影部分所示，－ax得y＝ax＋z.当AB重合时，z取最大值直线y＝ax＋z与直线，此时a＝－1.故选D.z＝x＋y，则y＝－知可行域只可能是△ABC，且x＋y的最大值只在点x－y－3＝0，－my＝－1解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得，1)，C(5，2).－3y⇔y＝43x－z13，易知平移如图，作出可行域，作直线l ：6x 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域且与原点距离最大，此时z ＝解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200得M (20，C 三点的坐标分别为0).，则直线b ＝2a －取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值，即，又A ，B ，C 三点不在可行域内，1)的光线经x 轴反射后的光线所，－1)，由图可知，区域3，1)，所以所求直线＋2y －4≤0，§7.4 基本不等式及其应用1.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号).4.基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7.拓展：若a＞0，b＞0时，21a＋1b≤≤a＋b2≤，当且仅当a＝b时等号成立.自查自纠：1.a＋b22.ab3.2ab4.a＋b2≥ab5.最小值2ab2ab6.ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22ab≤14(a＋b)2ab≤a2＋b227.aba2＋b22设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.2 2D.2 6解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.12B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故4t＋1t的最小值为解：∵t，解集是M，则对任意实常数A.2∈MC.2∈M解法一：求出不等式的解集：k然对数的底数(0，＋∞)上恒成立，求实数解：由条件知∞)上恒成立要求矩形场地的一面利用旧墙其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为维修费用为用的旧墙的长度为x 的函数； 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.如图，设矩形的另一边长为180(x －2)＋180·2，得a ＝360x，3602－360(x ≥2)要制造一个底宽孔流入，经沉淀后从 m ，高度为分数与a ，b ，b 各为多少为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab，其中k 最小，只需ab 最大＋2ab ＋2a ≤60(a ab (a ＞0，b ＞0)ab ，ab ≤30，得0＜时取“＝”号，＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.4.求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )A.ab ＜1＜a 2＋b 22B.ab ＜1≤a 2＋b 22C.1＜ab ＜a 2＋b 22D.ab ≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x≥22x·2－x＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 3 解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15. 8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有36 m长网的材料，宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋设每间虎笼长为x m，宽为36，即2x＋3y＝设每间虎笼的面积为S，则S＝( 21解：问题转化为求△ABC中∠BCAAB的延长线于点米，看A，B的视角最大，＝α，∠ACD＝β一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( ) A.{x |0≤x ＜3} B.{x |0≤x ≤3} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔(x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}.故选A.2.不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：令a ＝2，b ＝－3，则“a >b ”推不出“a 2>b 2”；反之，令a ＝－1，b ＝0，则“a 2>b 2”推不出“a >b ”.综上知，故选D.4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A.a 2B.12a 2C.aD.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形.故选B.5.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4解：函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号.故选C.6.(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S 的最大值为2.故选C.7.(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.故选D.8.(2014·湖南模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A.(3，4)B.(－2，－1)∪(3，4)C.(3，4]D.[－2，－1)∪(3，4]解：由题意得，原不等式为(x －1)(x －a )＜0.当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4].故选D.9.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A.2B.3C.4D.5。