(人教A版)高考数学复习：8.6《双曲线》ppt课件

A.1
√
B.17
C.1或17
D.8

解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,

所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程



| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),

若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),

将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),


得 - =1,①


2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

= - ,
+ = ,
则
解得

+ = ,
= ,

故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.

考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线

1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中
垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜
ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2
的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N
第1课时 双曲线的定义、方程与性质
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
PART
1
目录
高中总复习·数学（提升版）
双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x
2＋ y 2＝1上任意一点，点 F
合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关
于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，
列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；
1
1 2
｜2 ｜2 ＋｜2 ｜2 ＝
1
（ ）2 ＋（
2
21
2
5） ＝
.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线问题
【例2】
2
（1）设 F 1， F 2是双曲线 C ： 2

左支，
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2

所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：


= 2，

又൞ ＝ 2，

解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离

(2) 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在 惟一的有序实数对( x, y), 使 p=xa+yb. 推论: 空间一点 P 位于平面 AB C 内的充要条件是存在有序实数对(x, y), 使������������=x������������+y������������; 或对空间任意一点 O , 有������������= ������������+x������������+y������������. (3) 空间向量基本定理 如果三个向量 a , b, c不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组 (x, y, z), 使得 p=xa+yb+zc, 我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底 , a, b, c都叫做基向 量.
������ 1������1 + ������ 2������2 + ������ 3������3
2 2 ������ 2 1+������ 2+ ������ 3· 2 2 ������2 1 +������2 +������3
.
若 A(a1 , b1 , c1 ), B (a2 , b2 , c2 ), 则 d AB =| ������������| = (������ 2 -������1) 2 + ( ������2-������1) 2 + ( ������2 -������1 )2.
考纲解读
高考中以选择题、填空题为主 , 重在考查空间两点间距离公式的 应用, 向量的概念、数量积及其运 算性质 ,运用空间向量的线性运 算及数量积考查点共线、 点共面、 线共面问题.

答案
解析 设动圆的半径为 r，由题意可得 MC1＝r＋ 2，MC2＝r－ 2，所 以 MC1－MC2＝2 2＝2a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(－4,0)，C2(4,0) 为焦点，实轴长为 2a＝2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4⇒b2＝16－2 ＝14，故其标准方程为x22－1y42 ＝1(x≥ 2)．
解析
题型 三 双曲线的几何性质
角度 1 与双曲线有关的范围问题
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22－y2＝1 上的一点，F1，
→→ F2 是 C 的两个焦点．若MF1·MF2<0，则 y0 的取值范围是( )

A.－
33，
3
3


B.－
63，
解析
2．已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±12x，则该双曲线的标 准方程为________．
答案 x42－y2＝1
答案
解析 因为此双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，即x2±y＝0，所以可设此双 曲线方程为x42－y2＝λ(λ≠0)．
又因为此双曲线过点(4， 3)，所以442－( 3)2＝λ，λ＝1，所以此双曲线 的标准方程为x42－y2＝1.
3
6

C.－2
3
2，2
3
2

D.－2
3
3，2
3
3

答案 A
答案
解析 不妨令 F1 为双曲线的左焦点，则 F2 为右焦点，由题意可知 a2＝2，
b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－
3，0)，F2(
→→ 3，0)，则MF1·MF2＝(－
3－x0)·( 3－

第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
22
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为

故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2

1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC

o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解

[母题变式]
若本例(1)变为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线过点(
2，
2)，则离心率为________． 解析：设xa22－by22＝1的一条渐近线为y＝bax，
∴2＝ba 2.
∴ba＝ 2，
∴e＝ 1＋ba22＝ 3.
答案： 3
1．求双曲线离心率或其范围的常用方法 (1)求a及b或c的值，由e＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去 b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
3．已知双曲线
x2 9
－
y2 16
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________． 解析：由题意知a＝3，b＝4，c＝5，所以||PF1|－|PF2||＝6.
不妨设点P在双曲线右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6.
又PF1⊥PF2. 所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝100. 又(|PF1|－|PF2|)2＝36.
_|_y_|≥__a_，__x_∈__R_
焦点
F1(－_c_，__0_)_，__F_2_(_c_，0)
F1(0_，__－__c_)，__F__2_(0_，c)
几 顶点
何 对称性
性
A1(－__a_，__0_)_，__A_2_(_a，0) A1(0，__－___a_)，__A__2(_0_，a) 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
＝
4 3
，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线
的方程为x92－1y62 ＝1.

焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3
的离心率为 。 5 3
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角 为 。 600
例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ； 9 16
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y 2项的分母的开方 x 渐近线方程： y 2 x 项的分母的开方
双曲线在第一象限内部 分的方程为 2 2 x y （1） 双曲线 b 2 a 2 2 b 2 1(a 0, b 0) y x a ( x 0) a b 的渐近线为y x a b 它与y x的位置关系 : 2 2 a 等轴双曲线 x y m （2） A1 b 在y x的下方 (m 0)的渐近线为 a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
2
课堂新授
类比椭圆的几何性质，应研究双曲线那些性质？
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 性质
y
(x,y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性

A.3
B.2
C. 3
D. 2
解析:由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2, 而椭圆与双曲线有相同的焦点.
������
故离心率之比为
������2 ������
������1
=
������������12=2.
第八章
8.6 双曲线
-21-
1234
2.(2013 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C:������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为
-17-
(2)设 P 为直线 y=3������������x 与双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左
焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=
32 4
.
解析:因为 F1 为左焦点,PF1 垂直于 x 轴,
所以 P 点坐标为
点的轨迹叫做 双曲线 .这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间 的距离叫做双曲线的 焦距 .
想一想双曲线定义中,为什么要规定||PF1|-|PF2||<|F1F2|?
答案:(1)在双曲线的定义中,除了满足||PF1|-|PF2||=定值,还要满 足||PF1|-|PF2||<|F1F2|且不等于零这一条件,动点 P 的轨迹才是双曲 线;若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,则动点 P 的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条 射线(包括端点);若||PF1|-|PF2||=0,则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 的垂 直平分线;若||PF1|-|PF2||>|F1F2|,则动点 P 的轨迹不存在.(2)若定义 中的“绝对值”去掉后,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支.若 |PF1|-|PF2|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F2 的一支;若 |PF2|-|PF1|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F1 的一支.