湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学理

2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）设复数z1，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z，则（）1 521=1+i z1z2=A．2B．﹣ 2 C．1+i D．1﹣i2（．5分）设全集 U=R，函数（fx）=lg（| x+1| ﹣1）的定义域为 A，集合 B={ x| sin π x=0} ，则（ ?U A）∩ B 的子集个数为（）A．7B．3C．8D．93．（5 分）函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2D．4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n 分别是（）A．m=38， n=12 B．m=26，n=12 C． m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5 分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2 表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5 分）若函数 f（ x）=的图象如图所示，则m 的范围为（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣ 1， 2）C．（ 0， 2） D．（ 1， 2）7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5 分）设等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且满足 S2014＞0，S2015＜ 0，对任意正整数 n，都有 | a n | ≥| a k| ，则 k 的值为（）A．1006B．1007C．1008D．10099．（5 分）已知非零向量，，满足|﹣| =| | =4，（﹣）?（﹣）=0，若对每一个确定的，| | 的最大值和最小值分别为m，n，则 m﹣ n 的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是 2 D．是 410．（ 5 分）已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC和△ DBC所在平面相互垂直， AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（）A．4π B．12πC．16πD．36π11．（ 5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点P，Q，若∠ PAQ=60°，且，则双曲线 C 的离心率为（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的x∈ [ 0，1] ，总存在唯一的y ∈ [ ﹣ 1， 1] ，使得 x+y2e y﹣ a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ 1，e] B．C．（1，e]D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 ．（ 5分）已知 a ＞ 0 ，展开式的常数项为15 ，则=．14．（5 分）设 a，b∈R，关于 x，y 的不等式 | x|+| y| ＜1 和 ax+4by≥ 8 无公共解，则 ab 的取值范围是．15．（5分）正项数列 { a n}的前n项和为S n，且（ n∈ N* ），设，则数列 { c n} 的前 2016 项的和为．16．（ 5 分）已知 F 是椭圆 C：+=1 的右焦点， P 是 C 上一点， A（﹣ 2，1），当△ APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．（ 12 分）△ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且，AB=3．（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求 cosC．18．（ 12 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 ABCD为矩形，△ ADE，△ BCF 均为等边三角形， EF∥AB，EF=AD= AB．（1）过 BD 作截面与线段 FC交于点 N，使得 AF∥平面 BDN，试确定点 N 的位置，并予以证明；（2）在（ 1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF所成角的正弦值．19．（12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元．距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[ 0，2000] ，（2000，4000] ，（ 4000， 6000] ，（6000， 8000] ，（8000，10000] 五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过8000 元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50 户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过经济损失超过合计4000 元4000 元捐款超过a=30b500 元捐款不超c d=6过500 元合计P（ K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．20．（12 分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线 l：x ﹣ y﹣ 2=0 的距离为，设P为直线l上的点，过点P 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中 A， B 为切点．（1）求抛物线 C 的方程；（2）当点 P（ x0，y0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求 | AF| ?| BF| 的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f（x）=+be﹣x，点 M （0，1）在曲线 y=f（x）上，且曲线在点 M 处的切线与直线2x﹣ y=0 垂直．（ 1）求 a，b 的值；（ 2）如果当 x≠ 0 时，都有 f （x）＞﹣ x+ke ，求 k 的取值范围．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（ 10 分）选修 4﹣ 4；坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是（φ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在 C2上，且 A， B， C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（ 2，）．（1）求点 A， B， C， D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求 | PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2的取值范围．[ 选修4-5：不等式选讲 ]23．设 f（x）=| x| ﹣| 2x﹣1| ，记 f（x）＞﹣ 1 的解集为 M ．（1）求集合 M ；（2）已知 a∈M ，比较 a2﹣a+1 与的大小．2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）设复数z1，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z，则（）1 521=1+i z1z2=A．2B．﹣ 2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数 z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以 z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i） =2．故选： A．2．（5 分）设全集 U=R，函数（fx）=lg（| x+1| ﹣1）的定义域为 A，集合 B={ x| sin π x=0} ，则（ ?U A）∩ B 的子集个数为（）A．7B．3C．8D．9【解答】解：由 | x+1| ﹣1＞0，得 | x+1| ＞ 1，即 x＜﹣ 2 或 x＞0．∴A={ x| x＜﹣ 2 或 x＞ 0} ，则 ?U A={ x| ﹣2≤x≤0} ；由 sin πx=0，得：πx=kπ， k∈Z，∴ x=k，k∈ Z．则 B={ x| sin πx=0} ={ x| x=k， k∈ Z} ，则（ ?U A）∩ B={ x| ﹣2≤x≤0} ∩ { x| x=k， k∈Z} ={ ﹣2，﹣ 1， 0} ．∴（ ?U A）∩ B 的元素个数为 3．∴（ ?U A）∩ B 的子集个数为： 23=8．故选： C．3．（5 分）函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tan φ=，∴φ=故得 f （x） =sin（2x+ ）则=sin（+）=cos=．故选： A．4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n 分别是（）A．m=38， n=12 B．m=26，n=12 C． m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50 名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80 的人数，和成绩小于80 且大于等于 60 的人数，由茎叶图得，在50 名学生的成绩中，成绩大于等于80 的人数有 80，80，81，84，84， 85，86，89， 90，91，96，98，共 12 人，故 n=12，由茎叶图得，在50 名学生的成绩中，成绩小于60 的人数有 43， 46，47，48，50，51， 52，53，53，56，58， 59，共 12 人，则在 50 名学生的成绩中，成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50﹣12﹣ 12=26，故m=26故选： B．5．（5 分）设不等式组1，不等式（x+2）2+（y﹣2）表示的平面区域为Ω2≤2 表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2 表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点 M 和Ω2中的任意一点 N，| MN| 的最小值就是可行域内的点 O 与圆的圆心连线减去半径，所以， | MN| 的最小值为：=．故选： C．6．（5 分）若函数 f（ x）=的图象如图所示，则m 的范围为（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣ 1， 2）C．（ 0， 2） D．（ 1， 2）【解答】解：∵当 x＞0 时， f（x）＞ 0，∴ 2﹣ m＞0，故 m＜2．f （′x）=．∵f（x）有两个绝对值大于 1 的极值点，∴ m﹣x2=0 有两个绝对值大于 1 的解，∴ m＞1．故选： D．7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ ABCD，其中底面 ABCD是边长为 1 的正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点P 到平面 ABCD的距离为 1，∴ AB⊥平面 PAD，∴ AB⊥PA，∴ PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选： C．．（5分）设等差数列n}的前n项和为S n ，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意8{ a正整数 n，都有 | a n | ≥| a k| ，则 k 的值为（）A．1006 B．1007C．1008D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞ 0，∴a1007+a1008＞0同理由 S2015＜0 可得 2015a1008＜ 0，可得 a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且 | a1007| ＞| a1008|∵对任意正整数n，都有 | a n| ≥| a k| ，∴k 的值为 1008故选： C．9．（5 分）已知非零向量，，满足|﹣| =| | =4，（﹣）?（﹣）=0，若对每一个确定的，| | 的最大值和最小值分别为m，n，则 m﹣ n 的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是 2 D．是 4【解答】解：假设=（ 4， 0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）?（﹣）=0，∴（ 4﹣x，﹣ y）?（2﹣x，2 ﹣y）=x2+y2﹣6x﹣ 2 y+8=0，即（ x﹣ 3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（ 3，）为圆心、半径等于 2 的圆上，∴ | | 的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴ m﹣n=4，故选： D．10．（ 5 分）已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ABC和△ DBC所在平面相互垂直， AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（）A．4π B．12πC．16πD．36π【解答】解：∵ AB=3， AC=，BC=2，222∴ AB +AC =BC，∴ AC⊥AB，∴△ ABC的外接圆的半径为，∵△ ABC和△ DBC所在平面相互垂直，∴球心在 BC边的高上，设球心到平面 ABC的距离为 h，则 h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，2∴球 O 的表面积为 4πR=16π．故选： C．11．（ 5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点P，Q，若∠ PAQ=60°，且，则双曲线 C 的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y= x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为 r=| PQ| ==2m? ，PQ的中点为 H（2m，），由 AH⊥PQ，可得=﹣，解得 m=，r=．A 到渐近线的距离为 d== ，则 | PQ| =2=r，即为 d=r ，即有=? ．可得 =，e= ===．故选： C．12．（ 5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的x∈ [ 0，1] ，总存在唯一的 y ∈ [ ﹣ 1， 1] ，使得 x+y2e y﹣ a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ 1，e] B．C．（1，e] D．【解答】解：由 x+y2y﹣a=0 成立，解得 y2 y﹣，e e =a x∴对任意的 x∈[ 0， 1] ，总存在唯一的 y∈[ ﹣1，1] ，使得 x+y2e y﹣ a=0 成立，∴ a﹣ 1≥（﹣ 1）2e﹣1，且 a﹣0≤12× e1，解得≤ a≤ e，其中 a=1+ 时， y 存在两个不同的实数，因此舍去， a 的取值范围是．故选： B．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．（5 分）已知 a＞ 0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1=（﹣）r6﹣ r?，?1?a令=0，求得 r=2，故常数项为?a4，可得，=15a=1因此原式为则=x2dx+xdx+dx=2x2dx+2 dx=2? +2（+ ? ?22）=，故答案为：．14．（5 分）设 a，b∈R，关于 x，y 的不等式 | x|+| y| ＜1 和 ax+4by≥ 8 无公共解，则 ab 的取值范围是[ ﹣ 16，16] ．【解答】解：关于 x，y 的不等式 | x|+| y| ＜1 表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（ 1，0），（0，1），（ 0，﹣ 1），（﹣ 1，0），关于 x，y 的不等式 | x|+| y| ＜1 和 ax+4by≥8 无公共解，则 ax+4by≥8 表示的范围在可行域外侧，当 a＞0，b＞0 时满足题意，可得≥ 1，≥1，可得 0＜ab≤ 16，当 a＞0，b＜0 时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣ 2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣ 16≤ab＜ 0，当 a＜0，b＞0 时满足题意，可得，，可得： 0＜ b≤ 2，﹣ 8≤a＜ 0可得﹣ 16≤ab＜ 0，当 a＜0，b＜0 时满足题意，可得，，可得：﹣ 2≤ b＜ 0，﹣ 8≤a ＜0，∴ 0＜ab≤ 16，当 ab=0 时，不等式 | x|+| y| ＜1 和 ax+4by≥8 无公共解；故ab 的取值范围是：[ ﹣16，16] ；故答案为： [ ﹣16，16] ．15．（ 5 分）正项数列 { a n} 的前n 项和为S n，且（n∈ N*），设，则数列 { c n} 的前 2016 项的和为．【解答】解：正项数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且（n∈ N*）①，则：②，②﹣①得：+a n+1﹣a n，整理得： a n+1﹣ a n=1，当 n=1 时，，解得： a1=1，所以：数列 { a n} 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列 { c n} 的前 2016 项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（ 5 分）已知 F 是椭圆 C：+=1 的右焦点， P 是 C 上一点， A（﹣ 2，1），当△ APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆 C：+ =1 的 a=2，b=2，c=4，设左焦点为 F'（﹣ 4， 0），右焦点为 F（ 4， 0）．△APF周长为 | AF|+| AP|+| PF| =| AF|+| AP|+ （2a﹣ | PF'| ）=| AF|+| AP| ﹣| PF'|+ 2a≥| AF| ﹣| AF'|+ 2a，当且仅当 A，P，F'三点共线，即 P 位于 x 轴上方时，三角形周长最小．此时直线 AF'的方程为 y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F= ×2×8﹣×1×8=4．故答案为： 4．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．（ 12 分）△ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且，AB=3．（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求 cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥ AC，所以，所以．（2 分）在△ ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（ 4分）解之得 AD=5或 AD=3，由于 AB＞AD，所以 AD=3．（6 分）（Ⅱ）在△ ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8 分）所以（10 分）因为，即（12 分）18．（ 12 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 ABCD为矩形，△ ADE，△ BCF 均为等边三角形， EF∥AB，EF=AD= AB．（1）过 BD 作截面与线段 FC交于点 N，使得 AF∥平面 BDN，试确定点 N 的位置，并予以证明；（2）在（ 1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当 N 为 CF的中点时， AF∥平面 BDN．证明：连结 AC交 BD于 M，连结 MN．∵四边形 ABCD是矩形，∴ M 是 AC的中点，∵ N 是 CF的中点，∴MN∥AF，又 AF?平面 BDN，MN? 平面 BDN，∴AF∥平面 BDN．（ 2）过 F 作 FO⊥平面 ABCD，垂足为 O，过 O 作 x 轴⊥ AB，作 y 轴⊥ BC于 P，则 P 为 BC的中点．以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD=1，则 BF=1， FP=，∵ EF==1，∴ OP= （AB﹣EF）=，∴ OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面 ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令 z=得=（2，0，），∴=﹣ 1， | | =，|| =．∴ cos＜，＞==﹣．∴直线 BN 与平面 ABF所成角的正弦值为 | cos＜，＞| =．19．（12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元．距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[ 0，2000] ，（2000，4000] ，（ 4000， 6000] ，（6000， 8000] ，（8000，10000] 五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用区的中点作代表）；（Ⅱ）小明向班同学出倡，小区居民捐款．从失超4000 元的居民中随机抽出 2 行捐款援助，抽出失超8000 元的居民ξ ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台后区委会号召小区居民台重灾区捐款，小明的50 居民捐款情况如表，根据表格中所数据，分求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的，并明是否有 95%以上的把握捐款数多于或少于500 元和自身失是否到 4000 元有关？失不超失超合4000 元4000 元捐款超a=30b500 元捐款不超c d=6500 元合P（ K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：界表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）每居民的平均失元，：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000× 0.00003）× 2000=3360⋯（ 2 分）（Ⅱ）由率分布直方，得：失超 4000 元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15 ，∴ξ的可能取 0， 1， 2，P（ξ =0）==，P（ξ =1）==，P（ξ =2）==，∴ξ的分布列：ξ012PEξ =0× +1× +2× = ．（Ⅲ）如：失不超失超合4000 元4000 元捐款超30939500 元捐款不超5611500 元合351550K2=≈4.046＞3.841，所以有 95%以上的把握捐款数是否多于或少于500 元和自身失是否 4000 元有关．⋯（12 分）20．（12 分）已知抛物 C 的点原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直 l：xy 2=0 的距离， P 直 l 上的点，点 P 作抛物 C 的两条切PA，PB，其中 A， B 切点．（1）求抛物线 C 的方程；（2）当点 P（ x0，y0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求 | AF| ?| BF| 的最小值．【解答】解：（ 1 ）焦点F（ 0 ， c ）（ c＞ 0 ）到直线l： x ﹣ y﹣ 2=0 的距离，解得 c=1，所以抛物线 C 的方程为 x2=4y．（ 2）设，，由（ 1）得抛物线 C 的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以 PA：①PB：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线 PA的斜率为，整理得，直线 AB 的斜率，所以直线 AB 的方程为，整理得，即，因为点 P（x0，y0）为直线 l：x﹣ y﹣2=0 上的点，所以 x0﹣y0﹣2=0，即 y0=x0﹣2，所以直线 AB 的方程为 x0x﹣2y﹣ 2y0=0．（ 3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（ 2）得 x1+x2=2x0，x1x2=4y0， x0=y0+2，所以=．所以当时， | AF| ?| BF| 的最小值为．21．（ 12 分）已知函数 f（x）=﹣x，点 M （0，1）在曲线 y=f（x）上，+be且曲线在点 M 处的切线与直线2x﹣ y=0 垂直．（ 1）求 a，b 的值；（ 2）如果当 x≠ 0 时，都有 f （x）＞﹣ x+ke ，求 k 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f （′x）=，由切线与直线 2x﹣y=0 垂直，可得f（0）=1， f ′（ 0） =﹣，即有 b=1， a﹣ b=﹣，解得 a=b=1；（ 2）当 x≠0 时，都有 f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（ 1﹣k）e﹣x＞，即 1﹣k＞，可令 g（x）=， g（﹣ x）==g（ x），即有 g（x）为偶函数，只要考虑x＞0 的情况．由 g（x）﹣ 1=，x＞0 时， e x＞e﹣x，由 h（x） =2x﹣e x+e﹣x， h′（x）=2﹣（ e x+e﹣x）≤ 2﹣ 2=0，则h（x）在 x＞0 递减，即有 h（x）＜ h（0）=0，即有 g（x）＜ 1．故 1﹣k≥ 1，解得 k≤ 0．则k 的取值范围为（﹣∞， 0] ．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（ 10 分）选修 4﹣ 4；坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是（φ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在 C2上，且 A， B， C， D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（ 2，）．（1）求点 A， B， C， D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求 | PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2的取值范围．【解答】解：（ 1 ）点 A ，B，C，D的极坐标为点 A，B，C，D 的直角坐标为（ 2）设 P（x0， y0），则为参数）t=| PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈ [ 0，1]∴t∈[ 32， 52][ 选修4-5：不等式选讲 ]23．设 f（x）=| x| ﹣| 2x﹣1| ，记 f（x）＞﹣ 1 的解集为 M ．（1）求集合 M ；（2）已知 a∈M ，比较 a2﹣a+1 与的大小．第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）由 f（ x）＞﹣ 1，得或或解得 0＜x＜2，故M={ x| 0＜ x＜2} ．（ 2）由（ 1）知 0＜a＜ 2，因为，当 0＜a＜1 时，，所以；当 a=1 时，，所以；当 1＜a＜2 时，，所以．综上所述：当 0＜a＜1 时，；当 a=1 时，；当 1＜a＜2 时，．。

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b ，c ，a +b ，c +d ，a +c ，b +d ，a +b +c +d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω，如图：2对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n﹣a n，+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）（Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。

炎德英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由，得，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...A. B. C. D.【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p、q是简单，则“p∧q是真”是“¬p是假”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∪D．上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一∴复数e的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．2．（5分）已知p、q是简单，则“p∧q是真”是“¬p是假”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：的否定；复合的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：由p∧q为真，知p和q或者同时都是真，由¬p是假，知p是真．由此可知“p∧q是真”是“¬p是假”的充分不必要条件．解答：解：∵p∧q为真，∴p和q或者同时都是真，由¬p是假，知p是真．∴“p∧q是真”推出“¬p是假”，反之不能推出．则“p∧q是真”是“¬p是假”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查复合的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：A、用线面垂直的性质定理判断；B、用线面垂直的性质定理判断；C、用面面垂直的判定定理证明D、通过空间几何体模型观察．解答：解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α=m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z考点：余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．解答：解：函数=cos2x，因为y=cosx的单调减区间为：k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性，注意正确应用基本函数的单调性是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．解答：解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥，由线面垂直的判定，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形，故可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO=O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与PAD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选C点评：本题为三视图的还原问题，只要作出原几何体，理清其中的线面关系即得的答案，属于基础题．7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．10．（5分）已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），若函数y=f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪D．所以：a的取值范围为：故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，基本不等式的应用，及相关的运算问题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3=0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C被l截得弦长为2．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为普通方程，两方程联立，求得弦长|AB|的端点坐标，即得|AB|的大小．解答：解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2=4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3=0…②；由①、②解得x1=2+，x2=2﹣，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|（2+）﹣（2﹣）|=2．故答案为：2．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再来解答，是基础题．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=，再利用勾股定理，即可求出BC的长．解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD=2，AE=1，∴，∴r=，∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2=AC2，∴CB2+42=（2+CB）2，∴CB=3．故答案为：3．点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据A+B+C=π和基本不等式求出的最小值，进而可得到的最小值．解答：解：A+B+C=π，且，因此，当且仅当，即A=2（B+C）时等号成立．故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的用法，应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”．14．（4分）|x2﹣1|dx=2．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义，将原式化成（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx，再利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，进行计算即可．解答：解：原式=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）==2．故答案为：2．点评：本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用区间去绝对值符号也是注意点，属于基础题．15．（4分）已知双曲线=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为y=±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴=e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|=2|AB|，∵|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB，∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴=，即c2=a2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由=联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．16．（5分）若，z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈上的零点．考点：正弦函数的单调性；函数的零点；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=0求得sin（x﹣）=，可得x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈上的零点．解答：解：（1）函数f（x）=•=sin cos﹣=sinx﹣=sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为，k∈z．（2）由f（x）=sin（x﹣）﹣=0，求得sin（x﹣）=，∴x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，即x=2kπ+或x=2kπ+π，∴函数f（x）在x∈上的零点为和π．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得出结论．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以min=g（x0）=x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M 处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）水秀中华【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•a6﹣r•，+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab ＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab ≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）（Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M 处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D水秀中华依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．水秀中华综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B 的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．水秀中华[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B 的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）水秀中华【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2 D．是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e]B．C．（1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•a6﹣r•，+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+，=﹣．故答案为：16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为4．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos ＜，＞|=．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分） （Ⅱ）由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF |•|BF |的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]水秀中华[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【解答】解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。

湖南省长沙市2018届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁U A）∩B的子集个数为（）A．7 B．3 C．8 D．93．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D．4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=105．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（）A．随增大而增大B．随增大而减小C．2 D．410．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠P AQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e] B．C．（1，e] D．二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是．15．（5分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*），设，则数列{c n}的前2016项的和为．16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF 周长最小时，其面积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB= 3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cos C．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明（2000，调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线P A，PB，其中A，B 为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+b e﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．（1）求a，b的值；（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+k e﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（1）求集合M；（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【参考答案】一、选择题1．A【解析】复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．2．C【解析】由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴（∁U A）∩B的元素个数为3．∴（∁U A）∩B的子集个数为：23=8．故选：C．3．A【解析】由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=．故选：A4．B【解析】由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26 故选：B．5．C【解析】不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．故选：C．6．D【解析】∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．7．C【解析】由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥P A，∴P A==，∴该多面体各面的面积中最大的是△P AB的面积：S△P AB==．故选：C．8．C【解析】由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008故选：C．9．D【解析】假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），∵（﹣）•（﹣）=0，∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，故选：D．10．C【解析】∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．11．C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．12．B【解析】由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题13．【解析】由的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．[﹣16，16]【解析】关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．【解析】正项数列{a n}的前n项和为S n，且（n∈N*）①，则：②，②﹣①得：+a n+1﹣a n，整理得：a n+1﹣a n=1，当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．则a n=1+n﹣1=n，所以：．则：=，数列{c n}的前2016项的和为：，=﹣1+=﹣．故答案为：16．4【解析】椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故答案为：4．三、解答题17．解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos BAD即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知所以因为，即18．解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=得=（2，0，），∴=﹣1，||=，||=．∴cos ＜，＞==﹣．∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos ＜，＞|=．19．解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360 （Ⅱ）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ=0×+1×+2×=．（Ⅲ）如图：K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．20．解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线P A，PB的斜率分别为，，所以P A：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线P A的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．解：（1）f（x）=+b e﹣x的导数为f′（x）=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f（0）=1，f′（0）=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；（2）当x≠0时，都有f（x）＞+k e﹣x，即为+e﹣x＞+k e﹣x，即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g（x）﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h（x）=2x﹣e x+e﹣x，h′（x）=2﹣（e x+e﹣x）≤2﹣2=0，则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，即有g（x）＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．则k的取值范围为（﹣∞，0]．22．解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]23．解：（1）由f（x）＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．（2）由（1）知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。

炎德∙英才大联考 长郡中学2018届高三模拟考试（一）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}1 2.已知复数2a iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是A. 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. (),2-∞-D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3.设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =A. 5-B. 3C. 5-或3D.5或-3 4.已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π 5.设()[][]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为A. 423π+B. 32π+C. 443π+D. 34π+6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （(),,0,1a b c ∈）,已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为A. 323B. 283C. 143D.1637.在如图所示的程序框图中，若输出的值为3，则输入的x 的值为A. (]4,10B. ()2,+∞C. (]2,4D. ()4,+∞8.若n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1184，则该展开式中的常数项是 A.270- B. 270 C. 90- D.90 9.若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为 A. 2 B. 152-C. 152D.2-10.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，()()4,0,A P p ，且PA BF 等于A. 4B.92 C. 5 D.11211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.23 B. 43 C. 83D. 412.已知函数()3,0,0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈且10x ≠，存在2x R ∈唯一的且12x x ≠，使得()()12f x f x =，当()()23f a f b =成立时，实数a b +=3+ D.3+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为 . 14.设()52345012345122481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++= .15.已知平面向量,a b 的夹角为120，且1,2a b ==，若平面向量m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = .16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且()()()s in s in s in .a b A B c b C+-=-（1）求A 的大小； （2）若()2cos cos 222x x xf x =⋅+，求()f B 的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90A D B C A D C ∠=平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 棱上一点，12,1,2PA PD BC AD CD ===== （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）设PM tMC =，若二面角M BQ C --的平面角的大小为30，试确定t 的值.19.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方程.20.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为()2,12P -是1C 上一点（1）求椭圆1C 的方程；（2）设,,A B Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与1C 相交于不同于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 围成的三角形为等腰三角形.21.（本题满分12分） 已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ,且12x x <，已知0λ>，若不等式112x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

长沙市2018届高三第一次模拟试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，在复平面内的对应点关于实轴对称,所以,所以,故选B.2. 设全集，函数的定义域为，集合，则的子集个数为（）A. 7B. 3C. 8D. 9【答案】C【解析】：由|x+1|-1＞0，得|x+1|＞1，即x＜-2或x＞0，∴A={x|x＜-2或x＞0}.则C U A={x|-2≤x≤0}；由sinπx=0，得πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z.则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，则(C U A)∩B={x|-2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={-2，-1，0}，∴(C U A)∩B中元素个数为3.故选C.3. 函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意可得函数的最小正周期为,，角的终边经过点, ,,，,.故选A.4. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：分析程序框图可知，为50名学生中成绩在的人数，为50名学生中成绩在的人数，而分析茎叶图即可知，，故选B.考点：1.统计的运用；2.程序框图．5. 设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】做出题目中所示的区域,由图可以看出的最小值为圆心到原点O的长度减去圆的半径，圆心为（-2，2），到原点的距离为，圆的半径为.所以.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 若函数的图象如图所示，则的范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由图可知，定义域为，∴，又∵时，，∴，又∵是奇函数，∴时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，综上，实数的范围是，故选D.考点：函数性质的综合运用．7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，其中底面是正方形，平面平面，故平面，∴，∴，∴，故选C.........................考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．8. 设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（）A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009【答案】C【解析】试题分析：,所以，,且数列为等差数列，所以且，所以是数列中的最小值，故选C．考点：等差数列的定义与性质．【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和问题．解题时可以用等差数列的求和公式表示成二次函数形式，由二次函数的知识求解，得到与的关系,求出数列的最小值，但运算量软大，本题的解法则是利用等差数列的性质得到与，进一步得到，，从而求出数列的最小值．9. 已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（）A. 随增大而增大B. 随增大而减小C. 是2D. 是4【答案】D【解析】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，解得，（），故，，∴，故选D.考点：平面向量数量积．10. 已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，∵，∴为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R=2，球的表面积为，故选C．11. 已知双曲线：（，）的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，取的中点，则，由勾股定理可得，所以①，在中，，所以②，①②结合，可得．故选：A．考点：双曲线的简单性质.12. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由成立,计算得出,∴对任意的,总存在唯一的,使得成立,∴,且,计算得出,其中时,y存在两个不同的实数,因此舍去,a的取值范围是.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，展开式的常数项为15，__________．【答案】【解析】试题分析：由的展开式的通项公式为，令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为考点：二项式定理；微积分基本定理14. 设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：如下图所示，不等式所表示的平面区域如下图所示，要保证不等式无公共解，只需，∴的取值范围是，故填：.考点：线性规划.15. 正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为__________．【答案】【解析】,,∴当时, ,解得.当时, ,可化为: ,,∴数列是等差数列,公差为1,首项为1.，.,则数列的前2016项的和.16. 已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为__________．【答案】4【解析】由题设可设左焦点为，则的周长为，由于（当且仅当三点共线时取等号），此时，直线方程为，代入椭圆中化简可得，解得。

长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|2A x x =≤，{}|03B x x =<<，则A B = （ ） A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|23x x <<D ．{}|23x x ≤<2.若1iz i =-+，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.若221mn>>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．ln()0m n -> D ．1m nπ->5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π6.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.126B ．3.144C ．3.213D ．3.1517.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)16π-对称B ．关于点(,0)16π对称 C ．关于直线16x π=对称D ．关于直线4x π=-对称8.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ） A ．144种B ．48种C ．36种D ．72种9.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||6AF BF +=，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A．(0,3B．(0,3C．3D．[310.已知变量x ，y 满足条件,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则目标函数z =）A ．12B ．1 CD11.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且对任意的实数x 都有'()(23)()x f x e x f x -=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,0]e -B ．2[,0)e -C ．[,0)e -D ．2(,0]e -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.61(21)(1)x x+-的展开式中的常数项是 ． 14.已知数列{}n a 的首项为3，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10091b =，则2018a 的值为 ．15.如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒，28AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为 ．16.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O ，并且1OA e = ，2OB e = ，若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成12e e λμ+，λ、R μ∈的形式，则λμ+的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2sin()cos()244f x x x x ππ=--+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值及相应的x 值． 18.如图，已知在四棱锥P ABCD -中，O 为AB 中点，平面POC ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，2PA PB BC AB ====，3AD =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）求二面角O PD C --的余弦值．19.1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20,30)，[30,40)，…，[80,90)，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于60本的人数；（2）一只阅读量在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20,40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X 表示所选学生阅读量在[20,30)内的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，与y 轴正半轴交于点B ，若12BF F ∆为等腰直角三角形，且直线1BF 被圆222x y b +=所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于点A 、C ，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC ∆的重心，探求PAC ∆的面积S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S 的取值范围．21.设函数()ln(f x x x =-．（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有3()f x ax ≤，试求a 的取值范围；（3）令62111()ln ()922n n n a ⎡=++⎢⎣（*n N ∈），试证明：1213n a a a +++<…．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x =C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θβ=（其中5012πβ<≤）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求||||OP OM 的取值范围．23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．炎德∙英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科）答案一、选择题1-5:BDADD 6-10:BBCBC 11、12：AA 二、填空题13.11- 14.315.24-16.1⎡-⎣三、解答题17.解：（1）()sin(2)2cos 222sin(2)26f x x x x x x ππ=-=+=+，所以()f x 的最小正周期是π． （2）因为02x π≤≤，所以02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，当6x π=时，max ()2f x =；当2x π=时，min ()1f x =-．18.（1）证明：∵//AD BC ，AB BC ⊥，2BC AB ==，3AD =，∴OC，OD =CD ，222OD OC DC =+， ∴OC CD ⊥，∴CD ⊥平面POC ， ∴CD PO ⊥，∵PA PB AB ==，O 为AB 中点， ∴PO AB ⊥，∴PO ⊥底面ABCD ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）如图建立空间直角坐标系O xyz -，则P ，(1,3,0)D -，(1,2,0)C ，∴OP = ，(1,3,0)OD =-，(1,CP =-- ，(2,1,0)CD =-，设平面OPD 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，平面PCD 的法向量为222(,,)n x y z =，则由0,0,OP m OD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1110,30,x y =-+=⎪⎩取11y =，得13x =，10z =，即(3,1,0)m = ，由0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222220,20,x y x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，得2y =，25z =，即n =，∴cos ,4||||m n m n m n ⋅<>===⋅． 故二面角O PD C --19.解：（1）10010010(0.040.022)20-⨯⨯+⨯=（人）． （2）由已知条件可知：[20,50)内的人数为：10010010(0.040.020.020.01)10-⨯+++=，[20,30)内的人数为2人，[30,40)内的人数为3人，[40,50)内的人数为5人． X 的所有可能取值为0，1,2，3032351(0)10C C P X C ===，2132353(1)5C C P X C ===，1232353(2)10C C P X C ===， 所以X 的分布列为1()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1BF ：y x b =+被圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2a =，b c ==22142x y +=． （2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，即221,42,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩则122412km x x k +=-+,21222(2)12m x x k -=+,121222()212m y y k x x m k +=++=+, 由题意点O 为PAC ∆重心，设00(,)P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=，所以01224()12km x x x k =-+=+，01222()12m y y y k =-+=-+，代入椭圆22142x y +=，得 2222222421(12)(12)k m m k k +=++，整理得22122k m +=， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积121213||3|||||22S AC d x x x x m =⋅=-⋅=-⋅||m =3||2m ===综上可得PAC ∆的面积S为定值2． 21.解：（1）函数()f x 的定义域为R ．由'()10f x =-≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令33()()ln(g x f x ax x x ax =-=-+-，则'()g x =，令2()3)1h x ax =--，则23(16)9'()x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，'()0h x ≤，从而()h x 是[0,)+∞上的减函数， 注意到(0)0h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以'()0g x ≤，进而()g x 是[0,)+∞上的减函数， 注意到(0)0g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即3()f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在上，总有'()0h x >，从而知，当x ∈时，3()f x ax >；（iii ）当0a ≤时，'()0h x >，同理可知3()f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1[,)6+∞．（3）在（2）中，取19a =，则[0,3x ∈时，31ln(9x x x -+>，即31ln(9x x x +<，取21()2n x =，621111()ln ()()9224n n nn a ⎡=+<⎢⎣，则1211(1())1441314n n a a a -+++<<-…． 22.解：（1）∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴直线l的极坐标方程是cos ρθ=由2cos ,22sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩消参数得22(2)4x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．（2）将θβ=分别代入4sin ρθ=，cos ρθ=||4sin OP β=，||OM =∴||2||2OP OM β=，∵5012πβ<≤，∴5026πβ<≤，∴0222β<≤，∴||||OP OM 的取值范围是(0,2．23.解：（1）()(1)5f x f x ++<，即|21||21|5x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，解得：5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，解得：1524x <<．综上可知，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥a c b +≥，a b c +≥，则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=， 即1118a b c a b c---⋅⋅≥．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=e a a e e m 解得112-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。