09级高数AII期末考试题2010年7月_有答案)
- 格式：doc
- 大小：362.50 KB
- 文档页数：6
高等数学ＡII 期末考试题 2010年7月一、选择题（每小题３分，共１２分）1.00lim (,)x x y y f x y →→存在是(,)f x y 在00(,)x y 连续的（ ）（Ａ）必要条件 （Ｂ）充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件2.设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处具有二阶偏导数且在该点处有0,0x y f f ''==与()20,0xxyy xy xx f f f f ''''''''⋅-><，则在该点函数(,)f x y （ ） （Ａ）可能取得极值 （Ｂ）无极值 （Ｃ）取得极小值 （Ｄ）取得极大值 3.1()DI x y d σ=+⎰⎰，22()DI x y d σ=+⎰⎰，33()DI x y d σ=+⎰⎰，Ｄ由0,0,1x y x y ==+=围成，则（ ）（Ａ）123I I I << （Ｂ）213I I I >> （Ｃ）123I I I >> （Ｄ）123I I I ==4.向量场(,,)(,,)(,,)A P x y z i Q x y z j R x y z k =++，P Q R x y z∂∂∂++∂∂∂称为A 在(,,)x y z 处的（ ）（Ａ）旋度 （Ｂ）散度 （Ｃ）流量 （Ｄ）梯度 二、填空题（每小题３分，共１２分）1.设二元函数2xy z e xy =+，则dz = 。
2.已知光滑曲线:(),L y g x a x b =≤≤，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰化为定积分的表达式为 。
3.级数21nn x n∞=∑的收敛域为 。
4.(1,2,0),(2,1,1)AB AC ==，则两向量间的夹角为 ，三角形ABC 的面积为 。
三、解下列各题（每小题７分，共４２分）1.求2222001cos()lim x y x y x y →→-++ 2.已知点(1,0,1)A ，平面:21x y z π++=，直线12:213x y z l --==，①求过点Ａ且与平面π平行的平面方程；②求过点Ａ且与平面π平行且与直线l 相交的直线方程。
3.计算二重积分22()x y Ded σ-+⎰⎰，22:1D x y +≤。
4.判断级数216n n n ∞=∑的敛散性。
5.求以2,1y x x ==所围成的区域Ｄ为底，2(,)f x y xy =为顶的曲顶柱体的体积。
6.将2()x f x e =展成x 的幂级数，并指出其收敛区间。
四、计算下列各题1.求椭圆面222231x y z ++=上平行于平面1x y z ++=的切平面方程。
（７分）2.函数()f x 的周期为2π，在一个周期内的表达式为0()00x x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，写出它的傅里叶级数的和函数的表达式并画出和函数的图形。
（７分）3.计算222sin()2x dydz xz dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为z =在0,1z z ==之间的下侧。
（７分）4.求曲线积分2(cos )(sin )2Lx x xy dx y dy --+⎰，其中L 是曲线sin 2y x π=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
（７分）5.在上半平面内(,)f x y 具有连续的偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=，证明：在Ｄ内任意分段光滑的闭曲线都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ 。
五、附加题：简逑最小二乘法的原理和用途。
（３分，可记入总分） 答案：一、选择题（每小题３分，共１２分）1.00lim (,)x x y y f x y →→存在是(,)f x y 在00(,)x y 连续的（ Ａ ）（Ａ）必要条件 （Ｂ）充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件2.设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处具有二阶偏导数且在该点处有0,0x y f f ''==与()20,0xxyy xy xx f f f f ''''''''⋅-><，则在该点函数(,)f x y （ Ｄ ） （Ａ）可能取得极值 （Ｂ）无极值 （Ｃ）取得极小值 （Ｄ）取得极大值 3.1()DI x y d σ=+⎰⎰，22()DI x y d σ=+⎰⎰，33()DI x y d σ=+⎰⎰，Ｄ由0,0,1x y x y ==+=围成，则（ Ｃ ）（Ａ）123I I I << （Ｂ）213I I I >> （Ｃ）123I I I >> （Ｄ）123I I I ==4.向量场(,,)(,,)(,,)A P x y z i Q x y z j R x y z k =++，P Q R x y z∂∂∂++∂∂∂称为A 在(,,)x y z 处的（ Ｂ ）（Ａ）旋度 （Ｂ）散度 （Ｃ）流量 （Ｄ）梯度 二、填空题（每小题３分，共１２分）1.设二元函数2xy z e xy =+，则dz =2()(2)xy xy ye y dx xe xy dy +++。
2.已知光滑曲线:(),L y g x a x b =≤≤，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰化为定积分的表达式为(,(baf xg x ⎰。
3.级数21nn x n∞=∑的收敛域为[1,1]-。
4.(1,2,0),(2,1,1)AB AC ==，则两向量间的夹角为，三角形ABC的面积为三、解下列各题（每小题７分，共４２分）1.求2222001cos()lim x y x y x y →→-++2201cos lim r r r →-=222()r x y =+＝202sin lim 2r r r r →＝０ 2.已知点(1,0,1)A ，平面:21x y z π++=，直线12:213x y z l --==，①求过点Ａ且与平面π平行的平面方程；②求过点Ａ且与平面π平行且与直线l 相交的直线方程。
解 ①已知所求平面的法向量为(2,1,1)n =，过点(1,0,1)A ，所以平面方程为1:2(1)(0)(1)0x y z π-+-+-= ②令12213x y z t --===，得2,1,23x t y t z t ==+=+，代入1π中解出0t =，交点(0,1,2)，所求的直线方程为11111x y z --==-。
3.计算二重积分22()xy Ded σ-+⎰⎰，22:1D x y +≤。
解 22()xy Ded σ-+⎰⎰2r De rdrd θ-=⎰⎰＝22100r d e rdr πθ-⎰⎰1(1)e π-=-4.判断级数216n n n ∞=∑的敛散性。
解 2112(1)61lim lim 166n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⋅=<，级数收敛。
5.求以2,1y x x ==所围成的区域Ｄ为底，2(,)f x y xy =为顶的曲顶柱体的体积。
解 211221y DV xy dxdy dy xy dx -==⎰⎰⎰⎰261142221y y dy -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰。
6.将2()x f x e =展成x 的幂级数，并指出其收敛区间。
解 已知21()2!!nxx x e x x n =+++++-∞<<∞ 所以24221()2!!nx x x e x x n =+++++-∞<<∞ 四、计算下列各题1.求椭圆面222231x y z ++=上平行于平面1x y z ++=的切平面方程。
（７分） 解 令222(,,)2310F x y z x y z =++-=，2,4,6x y z F x F y F z ===，又令246x y z t ===解得,,246t t tx y z ===，代入椭球面方程中 222231246t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，t =求得切点，⎛ ⎝切平面方程为0x y z =和0x y z 。
2.函数()f x 的周期为2π，在一个周期内的表达式为0()00x x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，写出它的傅里叶级数的和函数的表达式并画出和函数的图形。
（７分）解 函数满足收敛定理的条件，它在点()21,0,1,2,x k k π=+=±± 处不连续，收敛于()()0222f f ππππ-+-++==，所以()()01()21(cos sin )2212n n n f x x k a a nx b nx x k πππ∞=≠+⎧⎪++=⎨=+⎪⎩∑0,1,2,k =±± 。
（图略）3.计算222sin()2x dydz xz dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为z =在0,1z z ==之间的下侧。
（７分）解 补平面()221:1,1z x y ∑=+≤取上侧，Ω由∑∑１和所围成，取外侧。
由高斯公式得1211(2)222rx z dv zdv zrdrd dz d rdr zdz πθθ∑+∑ΩΩΩ=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120112(1)2()242r r dr πππ=-=-=⎰。
又1222sin()2Dx dydz xz dzdx z dxdy dxdy π∑++==⎰⎰⎰⎰，原积分＝22πππ-=-。
4.求曲线积分2(cos )(sin )2Lx x xy dx y dy --+⎰，其中L 是曲线sin 2y x π=上由点(0,0)O 到点(1,1)B 的一段弧。
（７分）解 因为2(sin )(cos )2x y y xy x y x∂--∂-=-=∂∂，曲线积分与路径无关，取点(1,0)A2(cos )(sin )2L x x xy dx y dy --+⎰＝2(cos )(sin )2x x xy dx y dy +--+⎰ ＝110013cos sin sin1cos122xdx y dy ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰。
5.在上半平面内(,)f x y 具有连续的偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=，证明：在Ｄ内任意分段光滑的闭曲线都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ 。
（６分） 证明 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-，(,)(,)x Q f x y x f x y x ∂'=--∂，(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂， 已知2(,)(,)f tx ty tf x y -=，两边对t 求导，312(,)(,)2(,)xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-令1t =，则有(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-，所以P Qy x∂∂=∂∂，曲线积分与路径无关，故(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ 。
![2009~2010学年度第一学期期末考试高一数学(必修2)试卷[含答案]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/493fb380bdeb19e8b8f67c1cfad6195f312be8a1.webp)
