第二章 结晶学基础1
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《结晶学基础》课件
3
技术原理
XRD技术主要基于晶体对X射线的衍射现象来进行分析，从而确定晶体的结构信 息。
应用与发展
1 材料科学
晶体学是材料科学的基础学科。
2 天文学
利用天文晶体衍射技术，可以研究星际尘埃 中的矿物结构。
3 电子学
半导体晶体的探索、发现和制造促进了电子 学的发展。
4 生物学
晶体生艳技术被广泛应用于了解蛋白质分子 结构及其功能。
课程总结
知识要点
• 晶体分类 • 空间群 • 晶体对称性 • 晶体生长 • X射线衍射分析 • 应用与发展
掌握技能
• 理解晶体的概念以及基础理论 • 可进行基础的X射线衍射分析 • 掌握晶体的各项性质以及应用
矿物晶体
是由一些元素与非金属离子所 组成的矿物质。
空间群
定义
空间群是指将七个晶胞参数 考虑在内的晶体无限延伸时 形成的一些重复性规律。
分类
晶体不同的对称性及其简单 复合关系，可以将其分为32 个空间群。
应用
空间群是结晶学中最基本而 又最重要的概念，主要应用 于晶体学、凝聚态物理学及 材料科学等领域。
天然晶体是从大自然中原始的地 质过程中形成的结晶体，可以从 矿物中培育出来。
蛋白质晶体
蛋白质晶体是指在生物领域中用 来研究蛋白质结构与功能的一种 用于解析蛋白质结构的晶体。技术
X射线衍射（XRD）是一种常见的表征固体材料结构的技术。
2
用途
可用于粉末衍射的材料表征，也可以用于晶体的结构物理研究和X射线成像等领 域。
晶体对称性
1
轴对称性
寻找物体上的轴，这条轴固定，整个物
面对称性
2
体称绕着这个轴具有对称性。
通过物体内的平面将物体分成两份，每
结晶化学基础一
b.立方最紧密堆积的空隙
每个立方面心单位晶胞内共有四个等径球体 （图 7-5 ），球体所占据最紧密堆积中空间 亦为74．05％；空隙率亦为25．95％。
立方体心不是最紧密堆积，称为“密堆积”， 空间 利用率为68.02%，配位数为8，为A2型(a-Fe)。 4.多层堆积 当为4层重复时，可以表示为…ABAC ABAC…..; ５层重复时，….ABCAB ABCAB….. 另一种方法原则： １）若上下层一样,中间层用h表示 ２）若上下层不同，中间层用c表示
§2-6结晶化学定律和鲍林规则
一、 结晶化学定律
结晶化学定律：晶体的构造是由构造单元的 数量、大小及极化作用等性质决定的。 构造单元是指组成晶体的原子、离子、络离 子或分子。
二、鲍林规则
结晶化学的五条鲍林规则 (适合于离子晶体 )： a、负离子多面体（半径比）规则 在离子晶体的构造中，每个正离子均被负离 子包围而形成多面体，称为负离子多面体， 其每个顶角均被一个负离子占据. 相邻正负离子中心间距离就是这两个离 子的半径和；正离子配位数是由正负离子半 径之比决定的，与离子的电价无关。通常有 几种正离子就有几种负离子多面体.
1619年，开普勒：固体是由 “ 球”堆积起来的，这个球就是分子或原子。
在晶体结构中，质点之间趋向于尽可能的相互 靠近以占有最小空间；使彼此间的作用力达到 平衡状态，以达到内能最小，使晶体处于最稳 定状态。由于在离子晶格中和金属晶格中其化 学键－离子键、金属键的无方向性和饱和性， 且内部质点－原子或离子可视为具一定体积的 球体；因此，从几何学的角度来看：金属原子 或离子之间的相互结合，可视为球体的紧密 堆积，从而可用球体的紧密堆积原理对其进 行分析。
不同配位数时， 正负离子半 径比的极限 值可用简单 的几何关系 求出，如图 7-8。
2.1结晶学基础知识
结点：质点的中心位置称为晶格的结点。结 点仅有几何意义，并不真正代表任何质点。
结构基元：晶体中的质点如原子或原子集团。 晶体结构：结构基元+空间点阵即构成晶体
结构。
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晶体中质点排列具有周期性和对称性 整个晶体可看作由结点沿三个不同的方向按一定
间距重复出现形成的，结点间的距离称为该方向上晶体 的周期。同一晶体不同方向的周期不一定相同。可以从 晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特征。取出的最 小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构中取出来的反 映晶体周期性和对称性的重复单元。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数 3.晶向与晶面的关系
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1.晶面、晶向及其表征ห้องสมุดไป่ตู้
晶面：晶体点阵在任何方向上可分解为相互平行的结点平面，这样 的结点平面称为晶面。 晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵。 同一取向上的晶面，不仅相互平行、间距相等，而且结点的分 布也相同。不同取向的结点平面其特征各异。 任何一个取向的一系列平行晶面，都可以包含晶体中所有的质 点。
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一、晶体结构的定性描述
1. 晶体及其特征 2. 晶体结构与空间点阵 3. 晶胞与晶胞参数 4. 晶系与点阵类型
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1. 晶体及其特征
晶体：晶体是内部质点在三维空间成 周期性重复排列的固体，即晶体是具有格 子构造的固体。
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晶体的特征
自范性：晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面 体外形能力的性质，又称为自限性。
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3.晶胞与晶胞参数
晶胞—晶胞是从晶体结构中取出来的反映晶体 周期性和对称性的最小重复单元。
不同晶胞的差别：不同晶体的晶胞，其形状、 大小可能不同；围绕每个结点的原子种类、 数量、分布可能不同。
结构基元：晶体中的质点如原子或原子集团。 晶体结构：结构基元+空间点阵即构成晶体
结构。
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晶体中质点排列具有周期性和对称性 整个晶体可看作由结点沿三个不同的方向按一定
间距重复出现形成的，结点间的距离称为该方向上晶体 的周期。同一晶体不同方向的周期不一定相同。可以从 晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特征。取出的最 小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构中取出来的反 映晶体周期性和对称性的重复单元。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数 3.晶向与晶面的关系
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1.晶面、晶向及其表征ห้องสมุดไป่ตู้
晶面：晶体点阵在任何方向上可分解为相互平行的结点平面，这样 的结点平面称为晶面。 晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵。 同一取向上的晶面，不仅相互平行、间距相等，而且结点的分 布也相同。不同取向的结点平面其特征各异。 任何一个取向的一系列平行晶面，都可以包含晶体中所有的质 点。
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一、晶体结构的定性描述
1. 晶体及其特征 2. 晶体结构与空间点阵 3. 晶胞与晶胞参数 4. 晶系与点阵类型
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1. 晶体及其特征
晶体：晶体是内部质点在三维空间成 周期性重复排列的固体，即晶体是具有格 子构造的固体。
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晶体的特征
自范性：晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面 体外形能力的性质，又称为自限性。
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3.晶胞与晶胞参数
晶胞—晶胞是从晶体结构中取出来的反映晶体 周期性和对称性的最小重复单元。
不同晶胞的差别：不同晶体的晶胞，其形状、 大小可能不同；围绕每个结点的原子种类、 数量、分布可能不同。
晶体学基础(第二章)
2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪： 双圈反射测角仪：晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时，我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角)， 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角)， ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度，是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度，是该晶面的球面坐标。
使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。 使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪， 单圈反射测角仪，精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时， 带上的面角时，必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据，通过投影， 的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数，确定晶面符号(见第四章) 同时， 常数，确定晶面符号(见第四章)，同时，还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算， 为了便于投影和运算，一 般所测的角度不是晶面的 夹角， 夹角，而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角)，称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。
晶体学基础(第二章)
晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。
的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。
晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。
物质的相应晶面间夹角不变。
2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。
2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。
种面网构成晶体外形上的同种晶面。
晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。
第二章 晶体结构
晶胞
• 有实在的具体质点所 组成
平行六面体
• 由不具有任何物理、化学 特性的几何点构成。
是指能够充分反映整个晶体结构特征的最小结构单位， 其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致，并可用 晶胞参数来表征，其数值等同于对应的单位平行六面体 参数。
晶胞棱边长度a、b、c，其单位为nm ,棱间夹角α、β、 γ。这六个参数叫做点阵常数或晶格常数。
面网密度：面网上单位面积内结点的数目； 面网间距：任意两个相邻面网的垂直距离。
相互平行的面网的面网密度
和面网间距相等； 面网密度大的面网其面网间 距越大。
空间格子―――连接分布在三维空间的结点构成空 间格子。由三个不共面的行列就决定一个空间格子。
空间格子由一系列 平行叠放的平行六 面体构成
2-1 结晶学基础
一、空间点阵
1.晶体的基本概念 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的 固体称为晶体。 1912年劳厄（德国的物理学家）第一次成功 获得晶体对X射线的衍射线的图案，才使研究 深入到晶体的内部结构，才从本质上认识了 晶体，证实了晶体内部质点空间是按一定方 式有规律地周期性排列的。
第二章 晶体结构
第二章 晶体结构
1
结晶学基础 晶体化学基本原理 非金属单质晶体结构
2
3 4 5
无机化合物晶体结构
硅酸盐晶体结构
重点：重点为结晶学指数，晶体中质点的堆 积，氯化钠型结构，闪锌矿型结构，萤石型 （反萤石型）结构，钙钛矿型结构，鲍林规 则，硅酸盐晶体结构分类方法。 难点：晶体中质点的堆积，典型的晶体结构 分析。
• 结点分布在平行六面
体的顶角； •平行六面体的三组棱长 就是相应三组行列的结 点间距。
晶体学复习
晶体学复习1 结晶学基础1.1概述1.2 第一章：晶体和非晶质体1.2.1 概念（格子、举例）晶体：具有格子构造的固体非晶质体：不具有格子构造的物质晶体的现代定义是：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体；或者说，晶体是具有格子构造的固体。
相应地，内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体，便称为结晶质晶体的分布极为广泛，不只局限于矿物的范畴。
本质：在一切晶体中，组成它们的质点（原子、离子、离子团、分子等）在空间都是按格子构造的规律来分布的。
例如，石墨、石英、玻璃。
结论：一定化学成分的矿物，大部分都具有由原子规则排列的内部结构。
1.2.2 基本性质（6个）①最小内能：②稳定性：③对称性：④异向性：⑤均一性：⑥自限性：1.2.3 晶体的对称要素组合及规律(9个要素)对称指：物体相同部分的有规律重复.晶体的对称性也是相对的，而不对称则是绝对的。
晶体宏观对称要素：①对称中心（C）:假想的一个点，相应的操作是对于这个点的反伸。
其作用相当于一个照相机.结论：晶体如具有对称中心，晶体上的所有晶面，必定全都成对地呈反向平行的关系。
其对称中心必定位于几何中心。
符号为“C”标志：晶体上的所有晶面都两两平行，同形等大，方向相反。
②对称面：为一假想的面，对称操作为对此平面的反映。
方法：P 2P 3P…… 9PP与面、棱有着的关系：（1）对称面垂直并平分晶体上的晶面晶棱；（2）垂直晶面并平分它的两个晶棱的夹角；（3）包含晶棱③对称轴（L n）：为一假想的直线。
对称操作为绕此直线的旋转，可使晶体上的相同部分重复出现。
使相同部分重复出现的最小旋转角，称为基转角（α），旋转一周中，相同部分重复出现的次数，称为轴次（ n ）。
α、 n 之间的关系为：n = 360o/ α对称定律：晶体外形上可能出现的对称轴的轴次，不是任意的，只能是1 2 3 4 6 。
高次对称轴：轴次高于2的对称轴称（3、4、6）对称轴在晶体中可能出露的位置是：（1）两个相对晶面的连线；（2）两个相对晶棱中点的连线；（3）相对的两个角顶的连线（4）一个角顶与之相对的晶面之间的连线④旋转反身轴（L i n）旋转反伸轴是一假想直线和其上一点所构成的一种复合对称要素。
第二章-结晶学基础1上课讲义
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
9
晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也 随之确定，方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成 晶格。
布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数之间关系的 不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的 只在晶胞的顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的 面心或晶胞的体心等位置，7个晶系共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
16
▪ §2.2 晶体化学基本原理
▪ 一、基本概念
▪ 离子半径：离子（原子）看成对称球体（前提
）
从球体中心到其作用力所涉及范围的
距离 有效半径：正负离子接触（相切），从
切点到离子（原子）中心的距离称为离
子（原子）有效半径
共价晶体：两个相邻键合的中心距，即是两个 原子的共价半径之和
5
▪ 4.倒转轴（Lin） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和此直线的一
个定点的对称变换，倒反+旋转 ▪ 5. 映转轴（Lsn） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和垂直此直线
的一个平面的对称变换，反映+旋转 ▪ 三、对称要素的组合及对称型
6
7
§2.1.3 晶胞与晶胞参数 选取结晶学晶胞的原则：
对称变换（对称操作）：相同部分做有规律重复
的变换或操作。
二、晶体的对称要素 对称要素：点、线、面
1. 对称中心（C）center
一个假想的几何点，相应的对称变换为此点的倒 反（反演）。
4
▪ 2. 对称面（P）plane
▪ 假想的平面，相应的对称变换为此平面的反映。
▪ 3. 对称轴（Ln）
▪ 假想的直线，相应的对称变换为绕此直线的旋转。 ▪ 基转角（α）：物体复原所需要的最小旋转角。 ▪ 轴次（n）：相同部分旋转一周可以重复的次数。 ▪ n=360/α,n=1，2，3，4，6 ▪ n＞2的轴称为高次轴
9
晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也 随之确定，方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成 晶格。
布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数之间关系的 不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的 只在晶胞的顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的 面心或晶胞的体心等位置，7个晶系共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
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▪ §2.2 晶体化学基本原理
▪ 一、基本概念
▪ 离子半径：离子（原子）看成对称球体（前提
）
从球体中心到其作用力所涉及范围的
距离 有效半径：正负离子接触（相切），从
切点到离子（原子）中心的距离称为离
子（原子）有效半径
共价晶体：两个相邻键合的中心距，即是两个 原子的共价半径之和
5
▪ 4.倒转轴（Lin） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和此直线的一
个定点的对称变换，倒反+旋转 ▪ 5. 映转轴（Lsn） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和垂直此直线
的一个平面的对称变换，反映+旋转 ▪ 三、对称要素的组合及对称型
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§2.1.3 晶胞与晶胞参数 选取结晶学晶胞的原则：
对称变换（对称操作）：相同部分做有规律重复
的变换或操作。
二、晶体的对称要素 对称要素：点、线、面
1. 对称中心（C）center
一个假想的几何点，相应的对称变换为此点的倒 反（反演）。
4
▪ 2. 对称面（P）plane
▪ 假想的平面，相应的对称变换为此平面的反映。
▪ 3. 对称轴（Ln）
▪ 假想的直线，相应的对称变换为绕此直线的旋转。 ▪ 基转角（α）：物体复原所需要的最小旋转角。 ▪ 轴次（n）：相同部分旋转一周可以重复的次数。 ▪ n=360/α,n=1，2，3，4，6 ▪ n＞2的轴称为高次轴
1.晶体学基础
原子可在 顶角、线 、面、内 部。
晶胞参数：
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本 身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数）
依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为7个晶系：
晶 系 立方晶系 四方晶系 a=b=c a=b≠c 格子常数特点 α=β=γ=90° α=β=γ=90°
晶面族指数：用晶面族中 某个最简便的晶面指数填 在大括号{ }内作为该晶面
族的指数。
晶面间距
一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大
a
b
(100)
(110) (210) (4-10) (130)
晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：
（2）晶胞
ClNa+
空间格子+基元
●晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的 空间格子中的平行六面体一致。 ●晶胞：是描述晶体结构的基本组成单位。 ●晶胞：能够反映整个晶体结构特征的最小结构单元。
周期性、对称 性
晶胞的选取不是唯一的！
晶胞的选取原则： 1）充分表示出晶体的对称性 2）三条棱边尽量相等 3）夹角尽量为直角 4）单元体积尽可能小
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
等同点： 各阵点的周围 环境完全相同， 周围阵点排布 及取向完全相 同。 A位臵
B位臵
空间格子有下列几种要素存在：
面网
平行六面体
晶面：可将晶体点阵在任意方向上分解 为相互平行的节点平面。 晶面族：对称性高的晶体中，不平行的 两组以上的晶面，它们的原子排列状况 是相同的，这些晶面构成一个晶面族。 晶向：也可将晶体点阵在任意方向上分 解为相互平行的节点直线组，质点等距 离的分布在直线上。 晶向族：晶体中原子排列周期相同的所 有晶向为一个晶向族。
结晶学基础
图2－9所示为成分均为SiO2的石英晶体和非晶态石英玻璃的 内部构造，从中不难看出：结晶质的石英内部质点作格子状 规则排列，具有空间格子,而非晶质石英玻璃内部质点的分 布则是没有规律性的，是不成格子构造的。
图2－9 石英晶体（a）和石英玻璃（b）的内部构造
由此可知，晶体不仅在外部可以自发地形成规则的多面体形 状，不同方向上亦必具有不同的物理性质。因为晶体内部质点 的排列具有严格的方向性。而非晶体由于内部质点分布没有方 向性，亦无规律可寻，所以非晶体不仅无法自然地生成规则的 外形，各项性质亦没有方向性，在所有方向上测得的性质都是 相同的，只具有统计性意义，因此，非晶体又被称为无定形体。 由于非晶体没有规则的内部构造，在加热过程中将逐步软化而 变成可流动的流体，没有固定熔点，也没有固定的凝固点(即结 晶温度)，所以，有人又称非晶体为呈凝固状态的过冷液体。
例如石墨，在平行{0001}方向易裂成解理，这是由于石 墨具有层状结构，层内原子间距(c-c)为1.42A，层间距离为 3.40A；层内为共价键以及π键，层间为分子键。所以层与层 间连接力较弱，解理就沿层的方向{0001}产生。
根据晶体在外力的作用下裂成光滑的解理面的难易程度，可以 把解理分成下列五级：
又如在冶金工业和无机材料工业等部门一般均是将各种矿物原料和助熔剂等结晶物体混合在一起在高温条件下加热并升温到一定温度这时通过外界热能的作用晶体的格子构造才能被破坏而变成高温的熔体从中分离出需要的金属或者急速冷却成玻璃状的矿渣及非晶态的玻璃材料等亦是晶体非晶化实例
第二章 晶体的基本概念
z 第一节 晶体的定义 z 第二节 晶体的基本性质 z 第三节 空间点阵 z 第四节 空间点阵的几何元素表示法（点、
•稳定性
在热力学条件相同的情况下，与化学成分相同而呈现不同 状态的物体相比，晶体是最稳定的，这一特征称为晶体的稳 定性。
晶体学基础
0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。
无机材料科学基础 第2章 结晶学基础
晶体固有的性质对材料的性质具有重 要的决定作用。
Construction Materials
结晶学基础
Construction Materials
晶体的基本概念
§2.1晶体的 基本概念与性质
晶体的基本性质
Construction Materials
2.1.1
晶体的概念：
晶体是内部质点在三 维空间按周期性重排 列的固体。 Or：晶体是具有格子 构造的固体。
Construction Materials
举 例
有一单斜晶系晶 体的晶面ABC在X、Y、 Z轴上的截距分别为3a、 2b、6c（如图1-15）。 其晶面指数求解过 程 为： X、Y、Z三晶轴的单位 分别为a、b、c，因此 其截距系数分别为3、 2、6，其倒数比为：2 ︰3︰1 ， 因 此 其 晶 面 指数为（231）。
Construction Materials
7
映转轴（符号Lns）：
一根假想的直线和垂直在此直线的一个平面，相 应的对称操作是绕此直线旋转一定角度以及对此平面 的反映。
在晶体的宏观对称中不存在独立的映转轴。 映转轴可以由其它对称要素等效，他们之间的等 效关系为：
L s L P Li
1 1
Construction Materials
晶面平行于某一坐标轴时米氏指数为0。 凡晶面与某一坐标轴的负端相交时，应在相应 米氏指数上方加一负号“-”。 晶面族：在对称性高的晶体中，不平行的 两组以上的晶面，它们的原子排列状况是相同 的，这些晶面构成一个晶面族。 晶面族指数：用晶面族中某个最简便的晶面 指数填在大括号{ }内作为该晶面族的指数。
1 对称要素的组合
Construction Materials
结晶学第一二章
面心正交F
体心正交I
31
（4）单斜晶系，点阵常数：a≠b≠c, α=γ=90°≠β
简单单斜P
底心单斜C
c b
a
单斜：B=P, F=I=A=C
c b
a
32
（4）单斜晶系，点阵常数：a≠b≠c, α=γ=90°≠β
无 底心单斜B（=简单单斜P）
33
（4）单斜晶系，点阵常数：a≠b≠c, α=γ=90°≠1
3. 晶体结构可以有无限多种
简单三方R 无 体心三方=简三方 无 面心三方=简三方
无 底心三方 因为它破坏了三 方晶系的特征对 称元素——3次 轴的对称性。
37
（7）六方晶系，点阵常数：a=b≠c, α=β=90°, γ =120 °
简单六方P
无 体心六方，面心六方，底心六方 因为加心后破坏6重对称性。
38
第一节 晶体点阵理论 1.3点阵和晶体结构的关系
27
（1）立方晶系，点阵常数：a=b=c, α=β=γ=90°
无 底心立方A（或B，或C）
因为它不存在立方晶系的特征对称元素——4个3次轴。 或说，因为在一个面上有心，必然破坏4个3次轴的对称性。
28
（2）四方晶系，点阵常数：a=b≠c, α=β=γ=90°
简单四方P
体心四方I
无 底心四方C（=简四方P）
直的2重对称轴
a≠b≠c α=β=γ=90°
单斜晶系 2重对称轴或对称面
a≠b≠c α=γ=90°≠β
三斜晶系
无
a≠b≠c a≠b≠c≠90°
空间点阵型式 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 简单单斜 C心单斜
简单单斜
26
（1）立方晶系，点阵常数：a=b=c, α=β=γ=90°
晶体学基础第二章-课件1
sin α cosα
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0
0 1⎟⎠
倒转轴变 ⎜⎛ − cosα − sinα 0 ⎟⎞
换矩阵： ⎜ sinα − cosα 0 ⎟
⎜⎝ 0
0 −1⎟⎠
映转轴(Lsn) 及其操作
L1s = L2i = P
L4s =L4i
L2s = L1i = C
L3s = L6i = L3 + P L6s = L3i = L3 + C
3次、4次和6次旋转反演轴
3
4
6
Li3 = L3 +C
Li4
Li6 = L3 +P
L2i = P
3次旋转反演轴
3
L3i = L3 + C
3次旋转反演轴
4次旋转反演轴
4
L4i
6次旋转反演轴
6
L6i = L3 + P
旋转反演轴变换矩阵
旋转轴为Z轴时，
旋转轴变 换矩阵：
⎜⎛ cosα ⎜ − sinα
• 组成地球生命体的几乎都是左旋 氨基酸，而没有右旋氨基酸。 • 右旋分子是人体生命的克星!
Outline
1．晶体的宏观对称元素与对称操作 2．对称要素的组合 3．晶体的32种点群及其符号 4．晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵 5．晶体的微观对称元素与对称操作 6．准晶
2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作
L(60o )
四次反倒转 轴
4
旋转反演 L(90o )I
等同元素或组合成分 1 2
3+i = 3 3+m= 6
4. 晶体宏观对称性分析实例 例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）
48个对称操作：
结晶学基础晶体结构与晶体中的缺陷
第二章晶体结构与晶体中的缺陷1、证明等径圆球面心立方最密堆积的空隙率为25.9%。
解：设球半径为a,则球的体积为4/3 n3a求的z=4,则球的总体积(晶胞)4X 4/3 n, 立方体晶胞体积：(2.2a)‘=16・2『，空间利用率=球所占体积/空间体积=74.1%, 空隙率=1-74.1%=25.9%。
2、金属镁原子作六方密堆积，测得它的密度为1.74克/厘米3,求它的晶胞体积。
解：p =m/V=1.74g/cm3, V=1.37X10-22。
3、根据半径比关系，说明下列离子与02-配位时的配位数各是多少？解：Si4+ 4; K+ 12; Al 3+ 6; Mg2+ 6。
4、一个面心立方紧密堆积的金属晶体，其原子量为M，密度是8.94g/cm3。
试计算其晶格常数和原子间距。
解：根据密度定义，晶格常数a0=34M/(6.023 10238.94 =0.906 10 *M 1/3(cm) =0.0906M 1/3(nm)原子间距=2r=2 (、2a/4) =0.0906M1/3/. 2 =0.0641M 1/3(nm)5、试根据原子半径R计算面心立方晶胞、六方晶胞、体心立方晶胞的体积。
解：面心立方晶胞：V =a03 =(2 ..2R)3 =16. 2R3六方晶胞(1/3)：V 二a02c — 3/2 = (2R)2•(、8/3 ・2R) • .3/2 =8、2R3体心立方晶胞：V 二a。
3 = (4R/、3)3 =64/3、3R3& MgO具有NaCI结构。
根据O2-半径为0.140nm和Mg2+半径为0.072nm,计算球状离子所占据的体积分数和计算MgO的密度。
并说明为什么其体积分数小于74.05%?解：在MgO晶体中，正负离子直接相邻，a0=2(r++r-)=0.424(nm)体积分数=4X (4 n /3) X (0+040723)/0.4243=68.52%密度=4X(24.3+16)/[6.023 1衣3«0.424 X)-7)3]=3.5112(g/cm3)MgO 体积分数小于74.05%,原因在于r+/r-=0.072/0.14=0.4235>0.414,正负离子紧密接触，而负离子之间不直接接触，即正离子将负离子形成的八面体空隙撑开了，负离子不再是紧密堆积，所以其体积分数小于等径球体紧密堆积的体积分数74.05%。
02 第二章 宝玉石的矿物岩石学基础
a.接触双晶 接触双晶 b.聚片双晶 聚片双晶 c.穿插双晶（贯穿双晶） 穿插双晶（ 穿插双晶 贯穿双晶） d.轮式双晶 轮式双晶
轮式双晶（金绿宝石） 轮式双晶（金绿宝石）
接触双晶（石英） 接触双晶（石英）
第二节、 第二节、矿物学基础
矿物的概念 矿物的光学特征 矿物的力学性质
一、矿物的概念
磁铁矿聚形晶
（二）晶体的生长习性
在相同条件下生长的同种晶粒， 在相同条件下生长的同种晶粒，总是趋向于形 成某种特定的晶形和形态特征， 成某种特定的晶形和形态特征，这就是矿物晶体的 结晶习性。分为三类： 结晶习性。分为三类： 一向延伸：柱状、针状、纤维状等，如石膏、 一向延伸：柱状、针状、纤维状等，如石膏、角闪 石； 二向延展：片状、板状， 如石墨、云母； 二向延展：片状、板状， 如石墨、云母； 三向等长： 等轴状 粒状(立方体 八面体)， 等轴状)， 立方体、 三向等长：(等轴状 ，粒状 立方体、八面体 ，如 石榴石、黄铁矿、磁铁矿。 石榴石、黄铁矿、磁铁矿。
锆石的亚金刚光泽
4、矿物的透明度 、
指宝石材料透过可见光光的程度。 指宝石材料透过可见光光的程度。 矿物 的透明与不透明不是绝对的， 的透明与不透明不是绝对的，例如自然金是 不透明矿物，但金箔亦能透过一部分光。 不透明矿物，但金箔亦能透过一部分光。因 此，在研究矿物透明度时应以同一的厚度为 准。
隐晶质的岫玉
隐晶质的玛瑙
二、晶体的分类
根据晶体对称性的特点， 根据晶体对称性的特点， 可以把晶体划分成七大晶系。 可以把晶体划分成七大晶系。 等轴晶系 四方晶系 六方晶系 三方晶系 斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
1．等轴晶系 （α=β=γ=90°；a=b=c） ．
主要有钻石、萤石、石榴石、尖晶石， 主要有钻石、萤石、石榴石、尖晶石，他们晶 形的共同特点是三个轴等长，多呈八面体形、 形的共同特点是三个轴等长，多呈八面体形、立方 体形和由许多小面组成近圆的球型。 体形和由许多小面组成近圆的球型。
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晶胞特点：组成各种晶体结构的最小体积单位， 能够反映真实晶体内部质点排列的周期性与对称 性。
11
二、晶体的基本性质 1)液态与固态相互转变时，具有固定的熔点和凝固
点。 2)晶体内部的原子或分子规则的周期性排布. 3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质. 4)最小内能和最大稳定性
12
§2.1.2 晶体的宏观对称性
▪ 3. 对称轴（Ln）
▪ 假想的直线，相应的对称变换为绕此直线的旋转。 ▪ 基转角（α）：物体复原所需要的最小旋转角。 ▪ 轴次（n）：相同部分旋转一周可以重复的次数。 ▪ n=360/α,n=1，2，3，4，6 ▪ n＞2的轴称为高次轴
14
▪ 4.倒转轴（Lin） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和此直线的一
个定点的对称变换，倒反+旋转 ▪ 5. 映转轴（Lsn） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和垂直此直线
的一个平面的对称变换，反映+旋转 ▪ 三、对称要素的组合及对称型
15
16
§2.1.3 晶胞与晶胞参数 选取结晶学晶胞的原则：
1. 单元应能充分表示出晶体的对称性； 2. 单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目尽可能地
➢ 晶体取向的解析描述：晶面和晶面指数；
➢ 晶体中原子堆垛的几何学，堆垛次序，四 面体和八面体空隙；
➢无机化合物晶体结构、硅酸盐晶体结构
2
§2.1 晶体的基本概念与性质
▪ 固态物质（从微结构的角度）： 晶体 非晶体
3
锗酸铋晶体
4
硅单晶棒
5
石英晶体 6
单晶、多晶、非晶态 7
一、晶体的概念
晶体：晶体是内部质点在三维空间周期性重复排列
a=bc ===90o
简单四方 体心四方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2]
a=b=c ===90o
简单立方 体心立方 面心立方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2]
a=b=c ==90o
27
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶向及晶面
➢ 晶面：在晶格中，位于任一平面内的所有结点 构成晶体中的一个晶面。
➢ 晶向：在晶格中，穿过两个以上结点的任一直 线都代表晶体中原子在空间的一种排列位向， 称为晶向。
lattice ）
晶 胞 参 数 关 点阵名称
阵点坐标
系
abc 90o
简单三斜
[0,0,0]
abc ==90o
简单单斜 底心单斜
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0]
ab心斜方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2]
布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数之间关系的 不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的 只在晶胞的顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的 面心或晶胞的体心等位置，7个晶系共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
19
表1-1 布拉菲点阵的结构特征
（table1-1 the structural feature of Bravais
晶系
三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic)
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic)
三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
简单三方
[0,0,0]
a=b=dc
简单六方
[0,0,0]
(a=bc) ==90o =120o
[1/2,0,1/2] [1/2,0,1/2]
20
a0=b0=c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=90° γ=120°
a0=b0=c0, α=β=γ≠90°
一、对称的概念
对称性：是指物体中相同的部分做有规律的重复
的性质称为对称性。
对称变换（对称操作）：相同部分做有规律重复
的变换或操作。
二、晶体的对称要素 对称要素：点、线、面
1. 对称中心（C）center
一个假想的几何点，相应的对称变换为此点的倒 反（反演）。
13
▪ 2. 对称面（P）plane
▪ 假想的平面，相应的对称变换为此平面的反映。
的固体（晶体具有规则的外形）。
空间点阵（晶格）：为便于分析研究晶体中原子或
分子的排列情况，将原子或分子抽象成规则排列的 几何点。
结点：空间的点阵，又称等同点。
结点间距：行列上相邻两个结点间的距离。 晶胞：从晶体结构中取出来的以反映晶体周期和对 称性的最小重复单元。（通常取一个平行六面体）
8
9
10
a0≠b0≠c0, α=β= γ= 90°
a0≠b0≠c0, a0≠b0≠c0, α=γ= 90° α ≠ β≠ γ ≠
7个晶系 β≠ 90° 90°
21
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26
▪ 晶体结构与空间点阵的区别：
空间点阵是晶体质点排列的几何学抽 象，描述周期性和对称性，由于各阵点的 周围环境相同，它只可能有14中类型；晶 体结构是指晶体中原子（包括同类的或异 类的）或分子的具体排列情况，他们能组 成各种类型的排列，因此可能存在的晶体 结构是无限的。
第二章 晶体结构
本章提要
不同的晶体，其质点间结合力的本质 不同，质点在三维空间的排列方式不同， 使得晶体的微观结构各异，反映在宏观性 质上，不同晶体具有截然不同的性质。本 章主要从微观层次出发，介绍结晶学的基 本知识，奠定描述晶体中质点空间排列的 科学基础。
1
本章主要内容
➢ 空间点阵及其描述，晶系和点阵类型；
多； 3. 单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角； 4. 单元的体积应尽可能地小。
17
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表 示，此即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3 条棱边的长度a、b、c和3条棱边的夹角、、， 如图1-2所示。
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
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晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也 随之确定，方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成 晶格。