第三章流体的运动
3-5水的粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知在截面S 1处的压强为110Pa ，流速为0.2m/s ，在截面S 2处的压强为5Pa ，求S 2处的流速（内摩擦不计）。 解：根据液体的连续性方程，在水平管中适合的方程：
=+
21121ρυP 2
2221ρυ+P
代入数据得：
2
2323100.12152.0100.121110υ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+
得)/(5.02s m =υ 答：S 2处的流速为0.5m/s 。
3-6水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为最细处的3倍，若出口处的流速为2m/s ，问最细处的压强为多少？若在此最细处开个小孔，水会不会流出来？
解：将水视为理想液体，并作稳定流动。设管的最细处的压强为P 1，流速为v 1，高度为h 1，截面积为S 1；而上述各物理量在出口处分别用P 2、v 2、h 2和S 2表示。对最细处和出口处应用柏努利方程得：
=++
121121gh P ρρυ22
2221gh P ρρυ++
由于在水平管中，h 1=h 2
=+
21121ρυP 22221ρυ+P
从题知：S 2=3S 1
根据液体的连续性方程： S 1υ1 = S 2υ2 ∴212112213/3/υυυ===S S S S V
又
ΘPa P P 50210013.1⨯== ∴
222
201)3(2121υρρυ-+
=P P
=2
204ρυ-P
=2
35210410013.1⨯⨯-⨯
Pa 510085.0⨯=
显然最细处的压强为Pa 5
10085.0⨯小于大气压，若在此最细处开个小孔,水不会流出来。 3-7在水管的某一点，水的流速为2 cm/s ，其压强高出大气压104 Pa,沿水管到另一点高度比第一点降低了1m ，如果在第2点处水管的横截面积是第一点处的二分之一，试求第二点处的压强高出大气压强多少？
解：已知：
s m s cm /102/22
1-⨯==υ, a p p p 40110+=, m h 11=, 2/1/12=s s , 02=h ,
x p p +=02
水可看作不可压缩的流体，根据连续性方程有：2211v s v s =，故2
1
12s v s v ==21v 又根据伯努利方程可得：
22212112
1
21v p gh v p ρρρ+=++
故有：2101214
042
12110v x p gh v p ⋅++=+++ρρρ
12
142310gh v x ρρ+-=
110101)102(10123
1032234⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-=-
=2×104 pa
3-8一直立圆柱形容器，高0.2m ，直径0.2m ，顶部开启，底部有一面积为10-4m 2的小孔，水以每秒1.4×10-4m 3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。
解：如图，设某一时刻容器中水平距底面为h,此时，如图作一流线经过1，2两点。由柏努利方程得：
2
2
2221112
121v gh P v gh P ρρρρ++=+
+由连续性原理得：Q v S v S ==2211 因1，2点与大气相通，故021P P P == 又由题知，21S S >>，求2v 时可认为01≈v ， 代入柏努利方程易得：gh v 22≈
当从上注水时，当Q gh S v S ==2222时，水面稳定，不
升不降。此时：)(1.0)10(8.92)104.1(22
42
42
220m gS Q h =⨯⨯⨯==-- 停止注水后，水面开始下降，设下降速度为1v ，故：
gh S S v S S dt dh v 21
2212
1==-
=
dt S S gh dh
122=-，两边积分得：⎰⎰=-
t
h dt S S gh dh
01200
2 t S S
g h 1
2022=，)(2.118.91
.0210
4/1.014.324/242022
021
1s g h S d g h S S t =⨯⨯===-π 答：（略）。
3-10用皮托管插入流水中测水流速度，设管中的水柱高度分别为3510m -⨯和2
5.410m -⨯，求水流速度。 解：由皮托管原理
2
12
v g h ρρ=∆ 2229.8 4.9100.98(/)v g h m s -=∆=⨯⨯⨯=
3-11一条半径为3mm 的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2mm ，血流平均速度为50cm/s ，试求：
（1） 未变窄处的血流平均速度； （2） 会不会发生湍流；
（3） 狭窄处的血流动压强。
解：(1)设血液在未变窄处和狭窄段的横截面积和流速分别为S 1、υ1和S 2、υ2。根据连续性方程：
S 1υ1=S 2υ2
222121υπυπr r =
代入数据
5.0)102()103(2
3123--⨯=⨯πυπ 求得)/(22.01s m =υ
(2)将33/1005.1m kg ⨯=ρ，
S Pa ⋅⨯=-310.30η，s m /5.0=υ，m r 2102-⨯=代入公式Re vr
ρη
=
得： 33
3
1.05100.5210Re 35010003.010
vr ρη---⨯⨯⨯⨯===<⨯ 所以不会发生湍流。
(3)柏努利方程
=++
121121gh P ρρυ22
2221gh P ρρυ++
狭窄处的血流动压为：
232211
1.05100.5131()22
v Pa ρ=⨯⨯⨯= 答：(1)未变窄处的血流平均速度为0.22m/s(2)不会发生湍流;(3)狭窄处的血流动压强为131Pa. 3-12 20℃的水在半径为1×10-2m 的水平圆管内流动，如果在管轴的流速为0.1m.s -1，则由于粘
滞性，水沿管子流动10m 后，压强降落了多少？
解：由泊肃叶定理知，流体在水平圆管中流动时，流速随半径的变化关系为：
)(4222r R L
P R v -=η∆
在管轴处，r=0，L
P R v η44∆=轴
)(40)
101(1.010100.1442
234
a P R L v P =⨯⨯⨯⨯⨯==
--η轴∆
