实数培优讲义

内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．【巩固】设a 是整数，则使48a 为最小正整数的a 的值是________．【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1）2x ； （2）2x -； （3）2x -+；例题精讲（4）； （5）； （6；对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【例6】 已知2b =，求11a b+的平方根．【巩固】已知x ，y ，z 满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．综合应用【例10】 2(27)b +的立方根．【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ）【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______．【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______．实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【例20】 实数2.6的大小关系是 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-，对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++综合应用【例23】 写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C ．366=±D ．若22a b =，则22a b =【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）课堂检测是无理数输出y是有理数取算术平方根输入xA ．6B ．6C ．3D ．32【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【练习5】计算：（1）7361925⨯925116-+ （2）33127640.2164-⋅+【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy+3的值．1.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课后作业总结复习2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A′的坐标为 ．4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 5.计算:（1 （2）2(2)-6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．8.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．10.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．。

第1讲：实数（一）一、建构新知1.一般地,如果2x a=,那么________ 叫a的平方根．2.如果3x a=,那么________叫a的立方根．3.正数的_____平方根和_____的平方根，统称算术平方根．4.求一个数的__________的运算叫开平方,开平方与___________互为逆运算．5.求一个数的__________的运算叫开立方；开立方与___________互为逆运算．6．一个有正、负两个平方根,它们互为相反数；的平方根是零; 没有平方根．7.一个正数有个的立方根；一个负数有个的立方根；零立方根是．8．(1)使用计算器计算，把下面两个有理数写成小数的形式：39,511-，你有什么发现？我们发现上面有理数都可以写成___________小数或____________小数的形式．(2) 叫做无理数.9.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．10.立方根等于它本身的数有：．平方根等于它本身的数有：．二、经典例题例1．本章内容中有一个重要结论：“实数和数轴上的点一一对应”．阅读教材中的本节内容后填空：如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个无理数：、．上面的操作说明：数可以用数轴上的点表示出来．也就是说数轴上的点有的表示、有的表示．例2．利用如图所示44⨯方格，你能画哪些边长为无理数的正方形？要求所画正方形的顶点在格点上．例3．(1)计算下面两组数① 6400,64,0.64.② 33364000,64,0.064(2)仔细观察计算结果及被开方数之间的关系，你发现了什么?例4.任何实数a ,可用[]a 表示不超过a 的最大整数,如[][]13,44==,现对72进行如下操作：[][][]122887272321=→=→=→次第次第次第,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 .例5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S =1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S =2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S =22014﹣1 即S =22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．三、基础演练 1.判断题（1）－4是16的平方根 （ ） （2）平方为4的数是2 （ ） （3）4的平方根是±2 （ ） （4）9的算术平方根是3（ ） 2.当x 时，2+x 有意义． 3.计算：22)2()3(---= ．4.（1）如果某正数的平方根是4-和1+a ，那么=a ．（2）如果2-a 和－3是某正数的平方根，则=a ，这个正数是 ． 5.若a 是有理数，则2232,,1,1b a a a a ++-中一定有平方根的数有（ ） A . 1 个 B . 2个 C . 3 个 D . 4个 6．若2-x 与3+y 互为相反数，求x y 的算术平方根．7.11的整数部分是 ，小数部分是 ．8.请写出两个正无理数，使得他们的和为有理数 ．9.下列各组式子：①－3与3--；②（－3）2与－32；③－3与 －23；④－3与2)3(-，互为相反数的个数是（ ）A. 1 个B. 2个C. 3 个D. 4个 10．给出下列命题：①若y x >，则y x >；②带根号的数是无理数；③数轴上的点都可以表示成有理数；④两个无理数的积为无理数；⑤a a =2；其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2 个 D. 3个 11．把下列各数填在相应的括号里：2020020002.0,25.2),3(,2,2,14.3,722,101.0%,200,22-----∙∙π无理数{ …} 有理数{ …}负数{ …} 分数{ …}12.立方根等于本身的数是 ；平方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 ；相反数等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 ． 13.若643=a ，则a = ． 14.若313=-x ，则x = ． 15.=-+---33233)53()52()52( ． 16.一个正方体A 的体积是棱长为4cm 的正方体B 的体积的81，则正方体A 的棱长为多少？四、直击中考1. （2013山东）估计61+的值在（ ）A ．2到3之间B ． 3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间2. （2013浙江）实数π，15，0，－l 中，无理数是（ ） A ．π B ．15C ．0D ．－l3. （2013内蒙古）大于2且小于5的整数是 .4. （2013湖北）实数a ，b 在数轴上的位置如图7所示，以下说法正确的是（ ）A ．a ＋b ＝0B ．b ＜aC ．ab ＞0D ．｜b ｜＜｜a ｜ 5. （2013四川）2的相反数是（ ） A ．2 B ．22 C ．2- D ．22- 6. （2013贵州）下列各数中，3.14159，－38，0.131131113······， －π，25，17-，无理数的个数有：（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.（2013广东）四个数－1，0，12，2中为无理数的是( ) A ．－1B ．0C ．12D ．28. （2013沈阳）如果m =7－1，那么m 的取值范围是( )A ．0<m <1B ．1<m <2C ．2<m <3D ．3<m <4 9.（2013江苏）若式子12x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x >1B ．x <1C ．x ≥1D ．x ≤110.（2013台湾）k 、m 、n 为三整数，若135 =k 15 ，450 =15m ，180 =6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，正确的是（ ）A.k <m =nB. m =n <kC.m <n <k D).m <k <n 11.（2013四川）0.49的算术平方根的相反数是 （ ）A.0.7B. －0.7C.7.0±D. 012.（2013广东）若实数a 、b 满足04|2|=-++b a ，试求ba 2的值．13.（2012广东）若x ，y 为实数，且满足x 3+y 3=0--，试求2012x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值．14.（2012四川）实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，试化简|n ﹣m |．15.（2013沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132,42+52+202=212……请你观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 ．五、挑战竞赛1.已知实数a 满足a a a =-+-20052004，那么22004-a 的值为( )A.2003B.2004C.2005D.20062.已知m ,n 互为相反数，a ,b 互为倒数，x 的绝对值是3，则x 3－(1+m +n －ab )x 2+(m +n )2009+(－ab )2010的值等于___________.3.设x =121-,a 是x 的小数部分，b 是－x 的小数部分，试求a 3+b 3+3ab 的值.六、每周一题1.已知a ,b ,c 是非零实数，M =|abc |abc|bc |bc |ac |ac |ab |ab |c |c |b |b |a |a ++++++，求M 的值。

《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。

简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。

有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。

实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。

也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

二、有理数有理数是实数的重要组成部分。

整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。

分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。

有理数具有一些很重要的性质。

比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。

而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。

我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。

比如购物时的价格、物品的数量等等。

三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。

像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。

圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。

无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。

虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。

四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。

加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。

乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。

除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。

乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。

在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

实数培优材料(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除七年级数学培优讲义（2）一、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。

如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0⇔式子有意义； ②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0；③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）；④计算中的性质2：⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则）⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =33（3）实数的分类：（二分法）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负无理数零正有理数有理数实数 （三分法）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 （二）【典例分析】1、利用概念解题：例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。

练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ，，求x y +的算术平方根与立方根。

2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。

例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2=-x （2）251513=+）（x 2、利用性质解题：例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ；②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。

武汉龙文教育七年级数学教学讲义授课对象 邓欣婷 授课教师 廖生学授课时间 2014.3、22授课题目实数复习与培优教学目标能熟练进行实数的相关运算，在扎实掌握基础知识的前提下，能解答一些关于实数的较难问题教学重点和难点 题型的分析及处理方法。

例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。

例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。

正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例4、、已知实数a 满足219992000,1999a a a a -+-=-=则 。

例5 （1） 已知22(4)20,()y x y x y z xz -++++-=求的平方根。

（2）设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。

（3）若,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-=+-+---适合于关系式试求的算术平方根。

（4）设a 、b 是两个不相等的有理数，试判断实数33a b ++是有理数还是无理数，并说明理由。

例6 （1）已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。

（2）已知m ，n 是有理数，且(52)(325)70m n ++-+=，求m ，n 的值。

（3）△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。

（4）已知1993332()43a aax aa-+--=-+-，求x 的个位数字。

例7、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是 。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。

比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。

而无理数，则是那些无限不循环小数。

比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。

二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。

对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。

2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。

这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。

3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。

也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。

而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。

结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。

分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。

三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。

例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。

四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。

（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。

（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。

数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。

（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。

第1讲 实数例 1在,722,7,,9,60cos ,)2(220----π 1010010001.0（每两个1之间依次增加一个0）这些数 中，无理数的个数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2 已知a ，b 是不为O 的实数，且,||a a -=|,|||,||b a b b >=那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( )．例3 计算： .23)32(|2|)1)(1(02018----+-.)13(45cos 2|3|)2(0--+-o+---++-02)52()21()12(2)3(.)121(1--例4 已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足,0)1332(5322=-+++-b a b a 则此等腰三角形的周长为__________.例5 【恩施州】我国古代《易经》-书中计载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个.例6甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15h，乙需要10h，丙需要8h.(1)如果甲、乙、丙三人同时阅卷，那么需要多少时间完成？(2)如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷th，那么需要多少时间完成？(3)能否把(2)中所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）例一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除，例如：判断383357能不能被13整除．这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383 - 357—26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．(1)判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．(2)若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除；②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．1．在3.0,41,5,2,0--中，负数有( )．1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个2．若m 是n 的算术平方根，则n 的平方根是( )．m A . m B ±. m c ±. m D .3．【北京】实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图，则正确的结论是( )．4||.>a A 0.>-b c B 0.>ac C 0.>+C a D4．若,0)2(|3|2=++-n m 则2019)2(n m +的值为( )． 1.-A 1.B 0.C 2019.D5．给出下列说法：6-①是36的平方根；16②的平方根是4；-=-⋅-3327;22④③是无理数；⑤一个无理 数不是正数就是负数，其中，正确的说法有( )．①③⑤.A ②④.B ①③.C ①.D6．【重庆】估计61)24302(⨯-的值应在( )． A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间7．如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且.1===PR NP MN 数a 对应 的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若,3||||=+b a 则原点是( )．A ．M 或RB ．N 或PC ．M 或ND ．P 或R8．写出一个比-1大的负有理数是比-1大的负无理数是9．已知：⋅=-+--+-=--5112341234;311212222222 计算：=-+-+--+-+-222222123456123456__________猜想：=-+-+++-+-+-+++-+2222221234)12()22(1234)12()22( n n n n ____________10.已知P n m ,,都是整数，且,1||||=-+-m P n m 则=-+-+-2)(3||||P n n m m P ___________.11．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“”÷⨯-+,,,中的3种符号 将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．12．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=.||||b a b a -++(1)计算2⊙(-4)的值．(2)若a ，b 在数轴上的位置如图，化简a⊙b.13．同学们，我们曾经研究过n×n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为 +++222321.2n +当n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我 们已经知道：++⨯+⨯+⨯ 322110),1)(1(31)1(-+=⨯-n n n n n 然后我们可以这样做： (1)观察并猜想：++⨯+=⨯++⨯+=+21012)11(1)01(2122);2110()21(21⨯+⨯++=⨯⨯++⨯++⨯+=++)21(2)11(1)01(321222+++=⨯++⨯++⨯+=)321(3232121013);322110(⨯+⨯+⨯+<+⨯++⨯+=+++12)11(1)01(43212222+⨯3)2________=3212101+⨯++⨯+=+⨯+32_________ ++++=)4321((_______________________);...(2)归纳结论：+⨯++⨯+=++++2)11(1)01(3212222n n n ⨯-+++⨯+)]1(1[3)21(-+++⨯++⨯++⨯+=n n (323212101 n ⨯)1=______________+______________________ =______________+______________________⨯=61____________________.(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是___________个．1．【株洲】据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，用科学记数法表示地球海洋面积约为( ) 平方千米．71036.⨯A 8106.3.⨯B 91036.0.⨯C 9106.3.⨯D2．【宜昌】计算=⨯-+5)2(42( )16.-A 16.B 20.C 24.D3．【福建】已知,34+=m 则以下对m 的估算正确的是( )．32.<<m A 43.<<m B 54.<<m C 65.<<m D4．【常建】已知实数b a ,在数轴上的位置如图，下列结论中正确的是( )．b a A >. ||||.b a B < 0.>ab C b a D >-.5．【河北】如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的聊天对话，根据对话内容，下列选项中错误的是( )． 6444.=-+A 6444.00=++B 6444.3=++C 6444.1=+÷-D6．【乐山】如图，在数轴上，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为4，C 是点B 关于点A 的对称点，则点C 表示的数为____．7．【天水】定义一种新的运算：,2*x y x y x +=如：=1*3,353123=⨯+则=2*)3*2(_________. 8．【牡丹江】请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数-2，4，-6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是________（只写一种）．9．【广西】观察下列等式：432103,273,93,33,13====,,2433,81 ==s 根据其中规律可得 +++210333 20183+的结果的个位数字是___________.10.【北京】某公园划船项目收费标准如下：某班18位同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为____元．11.【杭州】计算),3121(6+-÷方方同学的计算过程如下：原式.61812316)21(6=+-=÷+-÷=请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．12．【河北】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：).15(999)1(-⨯⋅⨯--⨯+⨯5318999)51(99954118999)2( 13.【张家界】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为,12-=i 这个数i 叫做虚数单位，把形如b a bi a ,(+为实数）的数叫做复数，其中a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：i i i i 27)31()52()35()2(+=+-++=++- i i i i i i )21(2221)2()1(2+-+=-⨯+-⨯=-⨯+.31i +=+根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：=3i ____________=4,i _____________ (2)计算：).43()1(i i -⨯+(3)计算：.201732ii i i ++++ 14.【黔西南州】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数的最大公约数的一种方法——更相减损术，术日：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之，”意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数，例如：求91与56的最大公约数，解：,355691=-,213556=-,142135=-,71421=-.7714=-91∴与56的最大公约数是7．请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数．(2)求三个数143,104,78的最大公约数．1．【全国初中数学联合竞赛】今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( )．A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组2．【全国初中数学联合竞赛】已知,23,12-=-=b a ,26-=c 那么c b a ,,的大小关系是( )． c b a A <<. b c a B <<. c a b c <<. a c b D <<.3．【全国初中数学联合竞赛】由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足b c a =+ .d +这样的四位数共有( )．A ．36个B ．40个C ．44个D ．48个4．【天津】如图是一个树状图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和 一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是________.5．我们知道，任意一个大于1的正整数n 都可以进行这样的分解：q P q P n ,(+=是正整数，且 q P ≤)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两数的乘积最大，我们就称p 十q 是n 的最佳分解，并规定在最佳分解时：)(n F ⋅=Pq 例如6可以分解成,42,51++或,33+因为1,33425⨯<⨯<⨯所以3+3是6的最佳分解，所以F.933)6(=⨯=(1)求)11(F 的值．(2)-个正整数，由N 个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1，前三位数被3 除余2，前四位数被4除余3……一直到前N 位数被N 除余（N-l ），我们称这样的数为“多余数”，如：236的第一位数2能被1整除，前两位数23被2除余1，236被3除余2，则236是一个“多余数”．若一个小于200的三位“多余数”记为t ，它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数，请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.。