八年级数学勾股定理易错点与重难点复习(一)

勾股定理知识点易错点一、知识体系：二、知识点：1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。

即：a 2＋b 2=c 2（a 、b 为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。

注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。

（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。

2、勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步3、勾股定理的逆定理：（重点）如果三角形的三边长a 、b 、c 且a 2＋b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”（2）a 2＋b 2=c 2它只是一种表现形式，不能因为a 2＋b 2≠c 2就说这个三角形不是直角三角形。

如a=5，b=3,c=4. a 2＋b 2≠c 2但此三角形是直角三角形。

a 为斜边。

利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。

勾股数：满足a 2＋b 2=c 2的3个正整数，且满足a 2＋b 2=c 2。

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么?222a b c +=。

强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就为直角三角形。

3、3、定理的证明方法勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 易错点1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。

人教版八年级下册勾股定理全章米，此刻要在河畔建一自来水厂，向A、 B 两镇供水，类题总结铺设水管的花费为每千米 3 万，请你在河流CD上选择水厂的地点M，使铺设水管的花费最节俭，并求出种类一：等面积法求高 B总花费是多少？【例题】如图，△ ABC 中，∠ACB=90 0 ，AC=7 ， BC=24 ， CD⊥ AB 于 D。

C A（ 1）求 AB 的长；C DL （ 2）求 CD 的长。

A D B种类二：面积问题【例题】以下左图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边和长为7cm,2则正方形A， B， C， D 的面积之和为 ___________cm 。

CDBA7cm【练习 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，（1）求图中格点四边形 ABCD的面积和周长。

（2）求∠ ADC的度数。

【练习 1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短行程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家 . 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？小河【练习 2】如图，四边形ABCD是正方形，A 北A D 牧童东AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，暗影 EB 小屋部分的面积是 ______.B C【练习 3】如图字母B所代表的正方形的面25积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194B169种类四：判断三角形的形状种类三：距离最短问题【例题】假如ABC的三边分别为 a、b、 c，且满【例题】如图， A、 B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。

别到河的距离为AC=10千米， BD=30 千米，且 CD=30千2 2种类六：结构应用勾股定理【练习 1】已知△ABC的三边分别为m－n ,2mn,2 2m+n (m,n 为正整数 , 且 m＞n), 判断△ ABC能否为直【例题】如图，已知：在中，，角三角形 . ，. 求： BC 的长 .【练习 2】若△ABC的三边a、b、c知足条件22 2a ＋b ＋c ＋338＝ 10a＋24b＋26c，试判断△ ABC的已知 a，b，c 为△ ABC三边，且知足【练习】四边形 ABCD 中，∠ B=90 °， AB=3 ， BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。

《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。

常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。

勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

初二年级数学上册每章节重难点及易错点整理
第一章
教学内容：勾股定理
重点：勾股定理的内容及应用，判断怎样得到直角三角形难点：勾股定理的应用，圆柱的展开，勾股定理的逆定理易错点：侧面展开图后直角三角形的理解与应用
第二章
教学内容：实数
重点：平方根，立方根的概念，实数的定义，计算器的应用
难点：理解无理数是无限不循环小数，实数运算的某些技巧掌握，分母有理化
易错点：无限不循环小数是无理数，无限循环或者有限小数是有理数，理解平方根有两个
第三章
教学内容：图形的平移与旋转
重点：平移的特征，简单的平移作图，旋转特征的了解
难点：旋转作图，图案的设计
易错点：简单的平移作图与旋转作图
第四章
教学内容：平行四边形性质的探索
重点：特殊平行四边形的性质多边形内角和的推导
难点：特殊平行四边形的性质与判断，多边形外角和的推导过程
易错点：平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定
第五章
教学内容：位置的确定
重点：平面直角坐标系的理论，坐标的变化
难点：物体位置变化的确定，坐标变化后物体的变化
易错点：平面直角坐标系中坐标的表示，坐标变化的情况第六章
教学内容：一次函数
重点：一次函数的【解析】式及其图像，一次函数的感念及其性质，待定系数法
难点：变量与函数对应关系的了理解，一次函数图像的应用。

易错点：一次函数的表达式及其用待定系数法确定一次函数的表达式
第七章
教学内容：二元一次方程组
重点：用代入法和加减消元法解二元一次方程组
难点：二元一次方程组的应用题，二元一次方程组及一次函数
易错点：二元一次方程组的解法及其应用题。

学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S aS c ====【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】323333=4c a a c S a==△2323=4h a S a=△ 5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c =13∶5∶12 B ．a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b +c )(b -c ) D ．a :b :c =8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）图1-1A ．CD ,EF ,GHB .AB ,EF ,GHC .AB ,CD ,GH D .AB ,CD ,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1+S 2值为图1-2【答案】（1）D ;（2）B ；（3）68.【解析】解：（1）A ：22213512=+，所以A 正确； B ：a 2-b 2=c 2，即a 2 = b 2+c 2，所以B 正确；C：a2=(b+c)(b-c)，即b2 =a2+c2，所以C正确；D：82+162≠172，故D错误.（2）由图可知：AB2=8；CD2=20；EF2=5；GH2=13；∴AB2 +EF2 =GH2故答案为B；（3）如图1-3所示.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=∠CAD=45°，图1-3因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，即S1=36；如图1-4，图1-4由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，所以AE=CF=EF，因为正方形边长为12，所以AC2，所以EF2,即S2=32，故S1+S2=68.5【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A (8，0)、C （0,1）、D 为OA 的中点，P 是BC 边上一点. 若△POD 为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1【答案】(3,1)、 (2－3,1)、(2+3,1)；【解析】解：因为D 是OA 的中点，A (8，0)，所以OD =4，①当OD 为底时，P 在线段OD 的垂直平分线上，即P 点横坐标为2， 即P 点坐标为（2,1）；②当OD 为腰时，分别以O 、D 为圆心，以OD 的长为半径画弧，与线段BC 的交点即为P ，如图2-2所示.图2-2∵OP 1=2，OC =1，在Rt △COP 1中，由勾股定理得：CP 13，即P 13,1)； 过D 作DH ⊥BC 与H ， ∵DP 2=OD =2，在Rt △DHP 2中，由勾股定理得：HP 13，即P 2(23,1)； 同理，得P 33【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 、EFGH 、MNKT 的面积分别为a 、b 、c . 若a +b +c =15，则b=图2-3【答案】5.【解析】解：设八个直角三角形的面积为S ， a =4S +b ，c =b －4S ， ∵a +b +c =15， ∴4S +b +b + b －4S =15， 解得：b =5.（3）如图2-4所示，在矩形ABCD 的对称轴l 上找一点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个；图2-4【答案】5.【解析】解：因为P 在ABCD 的对称轴上，所以PB =PC ，即△PBC 为等腰三角形（l 与BC 交点除外） 当AB 为底时，P 是AB 的垂直平分线与l 的交点，有一个；当AB 为腰时，分别以A 、B 为圆心以AB 的长为半径画弧，与直线l 的交点有4个，均符合要求 综上，符合条件的P 点有5个. 如下图2-5所示.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8图2-5题3. （1）尺规作图：如图1，请在x 轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A （4，2），点B 在x 轴上，若∠OAB =90°，试求点B 的坐标；（3）如图3，已知点A （4，2），点P 在x 轴上，若△OAP 为等腰三角形，试求点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图3-4所示，图3-4找到点A (4,2)，连接OA ，由勾股定理得：OA =25以O 为圆心，以OA 的长为半径画弧，交于x 正半轴于点M ，即为所求. （2）如图3-5所示，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9图3-5过A 点作AC ⊥x 轴于C ，设B 点坐标为（m ，0） 则OC =4，CA =2，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AO 2+AB 2=OB 2, 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2 =20,在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AC 2+CB 2=AB 2，即4+（m -4）2=AB 2 ∴20+4+（m -4）2=m 2解得：m =5，即B 点坐标为（5,0）；（3）①以O 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 1，P 2，如图3-6所示，图3-6由（1）知，P 1（25，0），P 2（－25，0）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 3，如图3-7所示，图3-7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10由对称性可得：P 3（8,0）；③当OA 为底时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4，过A 作AH ⊥x 轴于H ，如图3-8所示，图3-8设P 4坐标为（m ，0），则AP 4=OP 4=m ，HP 4=4－m ，AH =2， 在Rt △AHP 4中，由勾股定理得： m 2=(4－m )2+22，解得：m =52，即P 4（52，0）. 综上所述，△OAP 为等腰三角形时，P 点坐标为（25，0），（－25，0），（8,0），（52，0）. 题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A ,B 两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF 表示楼体, AB =150m , CD =10m , ∠A =30°, ∠B =45°(A ,C ,D ,B 四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m 计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【答案】见解析.【解析】解：(1)设楼高为x m , 则CF =DE =x ,【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11∵∠A =30°,∠B =45°,∠ACF =∠BDE =90°,∴AF =2CF =2x ,在Rt △ACF 中,根据勾股定理得AC =3x , ∵∠BDE =90°,∠B =45°,∴BD =x ,∴3x +x =150－10,解得x =703－70(m ),即楼高为703－70(m ).(2)x =703－70≈70(1.73－1)=70×0.73=51.1(m )<3×20(m )，∴我支持小华的观点,这楼不到20层.题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m ，在入口的一侧安装了停止杆CD ，其中AE 为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA 为0.7m ．在此状态下，若一辆货车高3m ，宽2.5m ，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）图5-1【答案】见解析.【解析】解：在线段AB 之间找一点F ，使BF=2.5 m ，过点F 作GF ⊥AB 交CD 于点G ，如图5-2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12图5-2∵AB=3.2 m ，CA=0.7 m ，BF=2.5 m ，∴CF=AB －BF+CA=1.4 m ，∵∠ECA=60°，∴GF= CA=≈2.38m ，∵2.38<3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．题6. 如图6-1所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC 中，试求出AB 边上的高．【答案】见解析.【解析】解：（1）（5,1）、（1,5）、（7，7）；（2）求得△ABC 的面积为：9－1.5－2－1.5=4，由勾股定理得，线段AB 10，所以AB 45510=.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

勾股（逆）定理应用中的易错点勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．一、忽视应用的前提例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．错解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．正解由三角形的三边关系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c为质数，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．错解∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．正解∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽视直角所对的边是斜边例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．错解∵△ABC为直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，而并不一定是我们所习惯的c为斜边．三、忽视隐含情形例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，错解第三边长为：分析同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．正解(1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：∴第三边的长为5或．友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．四、忽视分类讨论例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．错解如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.正解如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．五、忽视区别应用勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．错解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.六．忽视定理实质例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )(A)∠A为直角(B)∠C为直角(C)∠B为直角(D)不是直角三角形错解选B．分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一等式进行判断．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故选A．例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )(A)1.2.3 (B)32，42，52(C)，，(D)，，错解选B．分析对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．正解因为，故选C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．七、忽视最大边所对的角是直角例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？所以这个三角形不是直角三角形．分析以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．根据勾股定理逆定理可知由a，b，c为边组成的三角形为直角三角形．例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．错解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90°．∴△ABC是直角三角形．友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．。

八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点+易错题精选1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理 易错题精选一．选择题1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．5，8，13D ．12，13，142．用四个边长均为a 、b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）A ．c 2=a 2+b 2B ．c 2=a 2+2ab+b 2C ．c 2=a 2﹣2ab+b 2D ．c 2=（a+b ）2．3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A．360 B．400 C．440 D．4844．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．65．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）A． B．C． D．37．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：158．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（）A．0块 B．1块 C．2块 D．3块10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A 和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定二．填空题11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积= cm2．18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为米（精确到0.1m）．19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里．20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．二．解答题21．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案一．选择题1．【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．2．【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2=ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2=a2+b2．故选：A．3．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．故选：C．4．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．故选：C．5．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．6．【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：根据勾股定理可知：AB==，AC==，BC==，则△ABC是等腰三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，即BD=CD=BC=，AD===，即点A到BC的距离为．故选：C．7．【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2=a2则b2=a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．8．【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2=132+472=2378，∵492=2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．9．【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m．宽小于或等于2.5m的有：①②③．故选：B．10．【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．【解答】解：设AE=xkm，则BE=（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=BE2+BC2，故242+x2=（40﹣x）2+162，解得：x=16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．二．填空题11．【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．【解答】解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；故答案为：10或2．12．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为：10．13．【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1．故答案为： +1．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．16．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为：9017．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形，分别求出△ABD和△CBD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结BD，在△ABD中，∵∠A=90°，BC=3cm，DC=4cm，∴BD==5（cm），S△BCD=BC•DC=×3×4=6（cm2），在△ABD中，∵AD=13cm，AB=12cm，BD=5cm∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD=AB•BD=×12×5=30（cm2），∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36（cm2）．故答案为：36．18．【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，在Rt△ABC中，BC=≈192.2米，故答案为：192.219．【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，再根据勾股定理，即可求得海岛B与灯塔C之间的距离．【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，所以△ABC是直角三角形，∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，∴AC=60海里，∴BC==30（海里）故答案为：3020．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2三．解答题（共6小题）21．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．22．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，∴AC=5，又∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．23．【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）AB==5，BC==，AC==，△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，故答案为：5；；；；（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1=5．24．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．25．【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．26．【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB===12（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程==20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（cm/s）．。