人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法(教师版)

当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。

使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。

例1、求证：5273<+证：分析法： 综合表述： ∵052,073>>+ ∵21 < 25只需证明：22)52()73(<+ ∴521<展开得： 2021210<+ ∴10212<即： 10212< ∴2021210<+∴ 521< ∴22)52()73(<+即： 21 < 25（显然成立） ∴5273<+ ∴5273<+例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+2333366)(2y x y x y x +=++>∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a 2 b 2 ab = 0]43)2[(22≤++-bb a例4、已知0,1a b ab >>=，求证：22a b a b +≥-，并求等号成立的条件。

证明不等式的基本方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教课要点： 掌握比较法、综合法和剖析法、反证法和放缩法的方法；教课难点： 理解放缩法的解题及应用。

1、比较法：所谓比较法，就是经过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确立 a 与 b 大小关系的方法，即经过“a b 0 ， a b 0 ， a b 0 ；或a1， a 1， a1 ”来确立 a ， b 大小关bb b系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

2、剖析法：从求证的不等式出发，剖析这个不等式建立的充足条件，把证明这个不等式的问题转变为证明这些条件能否具备的问题，假如能够一定这些条件都已具备，那么就能够判断所证的不等式建立，这类方法叫做剖析法。

3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，依据不等式的性质及公义推导出欲证的不等式，这类证明方法叫做综合法。

4、反证法：从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原结论是正确的，这类证明方法叫做反正法 .用反证法证明不等式时，一定将命题结论的反面的各样情况一一导出矛盾这里作一简单介绍。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假设命题的结论不建立；2） 进行推理，在推理中出现以下状况之一：与已知条件矛盾；与公义或定理矛盾；3） 因为上述矛盾的出现，能够断言，本来的假设“结论不建立”是错误的；4） 一定本来命题的结论是正确的。

5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传达性，作适合的放大或减小，证明比原不等式更好的不等式来取代原不等式的证明.放缩法的目的性强，一定恰到利处， 同时在放缩时一定时刻注意放缩的跨度，放不可以过头，缩不可以不及 .不然不可以达到目的。

第二讲证明不等式的基本方法本讲综述数学是一门思维的科学，思维能力的培养是学科能力培养的核心.高中数学中，推理与证明贯穿于每一个章节，每一个知识点，推理与证明的学习，有利于培养我们的逻辑思维能力，形成和发展理性思维.本章重点要掌握的证明方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.难点是证明不等式过程中的代数恒等变换技巧的运用.推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.本章将介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种证明方法——直接证明和间接证明.不等式的证明是数学证明的一个重要部分，也是学习不等式的一块主要内容.通过本章的学习，大家努力体会推理证明在生活中的应用，能够锻炼思维与表达能力，以及理论联系实际的意识，同时对其他学科的学习也有非常大的作用.例如在物理、化学、生物等学科中经常出现的有关不等式的定理、公式、定律结论等的证明，也必须应用不等式的证明方法. 证明不等式往往要涉及到多方面的知识和思想方法，具有较强的技巧性，没有固定的程序可循，证法要因题而异，灵活多变.其最基本的方法就是应用不等式的意义及其基本性质和几何背景，并通过代数变换予以论证.在很多情况下证明不等式需要一些技巧，但是，对大多数学习不等式的人来说，只要求理解这些不等式的数学思想和背景.所以我们不要求做很多技巧性很强的不等式证明题目，不希望同学们陷在过于形式化和复杂的恒等变换的技巧之中，我们只需感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.学习本章应回顾并掌握已学的不等式的有关概念，不等式的性质，常用的基本不等式，绝对值不等式的有关结论，还有就是一些函数、几何、数列等其他学科的知识，如函数的单调性、值域等.这就要求同学们要有比较扎实、比较全面的数学基础.通过生活事例和常见数学问题的训练来体会推理证明的思想与方法.只要平时多做练习，通过模仿、探究各种不等式的证明思路，同学之间交流讨论，仔细体会归纳各种证题方法，就能解决一般的不等式证明题，达到提高我们的逻辑思维能力的目的.。

第2讲 不等式的证明[最新考纲]了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．知 识 梳 理1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N*)为实数，则(∑i ＝1na 2i )(∑i ＝1nb 2i )≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n (当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．诊 断 自 测1．已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，M ＝ab ，N ＝a ＋m b ＋m ，则M 、N 的大小关系是________．解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )＜0，即M ＜N .答案 M ＜N2．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6， ∴a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c3．若0＜a ＜b ＜1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的一个是________． 解析 ∵a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab . 又(a 2＋b 2)－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)， ∵0＜a ＜1,0＜b ＜1. ∴a (a －1)＋b (b －1)＜0. ∴a 2＋b 2＜a ＋b . 答案 a ＋b4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4. 答案 45．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 答案3考点一 分析法证明不等式【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3，由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc .由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥ a ＋b ＋c . 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2. ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝b ＝c ＝33时等号成立.∴原不等式成立．规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 【训练1】 已知a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c )． 证明 ∵a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ]≥ 8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )．①∵(c ＋a )＋(a ＋b )≥2 (c ＋a )(a ＋b )＞0， (a ＋b )＋(b ＋c )≥2 (a ＋b )(b ＋c )＞0. (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 规律方法 利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式．【训练2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .证明 法一 ∵a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 法二 ∵1a ＋1b ≥21ab ＝2c ；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ； 1c ＋1a≥21ac＝2b . ∴以上三式相加，得 1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c . 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c .法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 考点三 利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2013·湖北卷)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.(2)已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则：1x ＋4y ＋9z 的最小值为________． 解析 (1)由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤14，则x ＋2y ＋3z ≤14， 又x ＋2y ＋3z ＝14， ∴x ＝y 2＝z 3，因此x ＝1414， y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147. (2)法一 利用柯西不等式． 由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36.所以1x ＋4y ＋9z ≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．法二 1x ＋4y ＋9z ＝1x (x ＋y ＋z )＋4y (x ＋y ＋z )＋9z (x ＋y ＋z )＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36. 当且仅当y ＝2x ，z ＝3x ，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立． 答案 (1)3147 (2)36规律方法 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．【训练3】 (2013·湖南卷)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析 法一 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12. ∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.法二 由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36， 故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案 12利用算术—几何平均不等式求最值【典例】 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．[审题视点] (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c 分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．[反思感悟] (1)利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错． 【自主体验】设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23， 当且仅当a ＝b ＝c 且abc ＝3时，取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.一、填空题1．(2013·江苏卷改编)已知a ≥b ＞0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M 、N 的大小关系为________．解析 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 答案 M ≥N2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是________． 解析 由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1，∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．答案 653．若直线3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________，最小值点为________． 解析 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 当且仅当x 3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.答案 425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫625，8254．若a ，b 均为正实数，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b ＞2a ，ba＋a ＞2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ＞2a ＋2b ， ∴a b ＋ba＞a ＋b .即M ＞N . 答案 M ＞N5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为________． 解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2.答案 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 解析 3a ＋2b ＋c ＝ 3 a ＋2b ＋133c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13(a ＋2b ＋3c )＝39，故最大值为39. 答案39 7．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.答案 28．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为________．解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 132 ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3.答案 －2 39．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为________．解析 法一 利用基本不等式 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)] ＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.法二 利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]．又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2. 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立．∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.答案 3 2二、解答题10．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 法一 ∵a ，b ，c 均为正数，∴1＝a ＋b ＋c ≥ 33abc .又1a ＋1b ＋1c ≥331abc ＝33abc ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·1≥313abc·33abc ＝9. 即1a ＋1b ＋1c ≥9.法二 构造两组数：a ， b ， c ；1a ，1b ，1c . 因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×1a ＋b ×1b ＋c ×1c 2. 即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32＝9. (当且仅当a 1a ＝b 1b ＝c 1c，即a ＝b ＝c 时取等号)又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ≥9.11．设不等式|2x －1|＜1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解 (1)由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .12．(2012·福建卷)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解 ∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c≥3＋22ab 2ab ＋23c a ·a 3c ＋23c2b ·2b3c ＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.。