随机过程-C4马尔可夫链复习过程

马尔科夫链_马尔可夫过程一、引言1、马尔科夫链的数学背景马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。

该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。

马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。

这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。

如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则PX_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n = PX_{n+1}=x|X_n. 这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

2、马尔科夫链的典型应用①马尔科夫链在股指期货投资中的应用马尔科夫链转移矩阵的有效状态以近时点动量策略原时点反转策略为主,有效抓住了上涨和下跌的中期和初期.从而准确的抓住了日内股指波动. ②马尔科夫链在天气预报中的应用通过对马尔科夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程方程的探讨,,结合天气情况不确定等诸多特点,构想了天气情况预报的马尔科夫链预测模型,给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法,根据此算法可以预报短期天气情况,同时扩展到对未来天气情况趋势的预测。

③马尔科夫链在环境预测中的应用鉴于目前环境质量预测在理论方法和实践上的缺乏，把马尔科夫链引入环境质量的预测中，将各种污染物的浓度变化过程视作马尔科夫过程，通过预测各种污染物的污染负荷系数来推知其浓度值/④马尔科夫链在桥梁状态预测中的研究与应用马尔科夫链以矩阵的形式来表达桥梁状况,通过求解状态转移矩阵,进一步预测桥梁未来数年内的基本状况。

综合考虑了桥梁检修的影响,给出了桥梁检修后不同状态的状态转移矩阵,为进一步引入实际数据做了充分的准备。

3、相关文献《程序设计实践》作者 Brian W.Kernighan程序设计实践并不是只是写代码。

1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。

称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。

参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。

若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。

随机过程的马尔可夫链与转移矩阵马尔可夫链与转移矩阵是随机过程中重要的概念，它们能够描述系统在不同状态之间转移的概率。

本文将详细介绍马尔可夫链的概念和性质，并解释转移矩阵的作用和计算方法。

一、马尔可夫链的概念马尔可夫链是指一个具有马尔可夫性质的随机过程。

马尔可夫性质是指一个系统在给定当前状态下的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。

例如，假设有一个赌徒每天可以处于三种状态之一：赢钱、亏钱或者保持不变。

如果该赌徒在第n天状态改变的概率只与第n-1天的状态有关，而与之前的状态无关，那么该赌徒的行为就可以用马尔可夫链来描述。

二、转移概率与转移矩阵在马尔可夫链中，转移概率是指系统从一个状态转移到另一个状态的概率。

转移概率可以用一个矩阵表示，这个矩阵称为转移矩阵。

转移矩阵的行和列分别对应系统的状态，矩阵中的元素表示系统从某个状态转移到另一个状态的概率。

每行的元素之和应等于1，表示在某个状态下，系统一定要转移至另一个状态。

三、转移矩阵的计算计算转移矩阵需要获取系统在不同状态之间的转移概率。

通常通过观察大量的历史数据或者统计样本数据来估计这些概率。

例如，假设有一个天气马尔可夫链，状态可以是晴天、多云或者雨天。

通过对过去一年的天气数据进行分析，可以计算出系统在不同天气状态之间转移的概率。

根据这些计算结果，可以构建出转移矩阵。

例如：晴天多云雨天晴天 0.7 0.2 0.1多云 0.4 0.3 0.3雨天 0.2 0.4 0.4四、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有一些特殊的性质，这些性质在实际应用中具有重要意义。

1. 长期稳定性：马尔可夫链经过足够长的时间后，系统的状态分布会趋于一个稳定状态。

2. 遍历性：从任意一个状态出发，最终都能够到达其他所有状态。

3. 不可约性：系统的状态空间中的所有状态都可以互相转换。

4. 周期性：系统中的某些状态可能会进入一个周期循环，无法转移到其他状态。

通过研究马尔可夫链的性质，可以更好地理解系统的演化规律，并且对系统进行预测和控制。

马尔可夫链和马尔可夫过程
马尔可夫链和马尔可夫过程是概率论中的两个重要概念。

马尔可夫链是一个离散随机过程，其状态之间的转移概率只与前一状态有关，而与过去的状态无关。

马尔可夫过程是一个连续时间的随机过程，其状态之间的转移概率也只与前一状态有关，而与过去的状态无关。

在实际应用中，马尔可夫链和马尔可夫过程被广泛用于建模和预测各种现象，如金融市场变化、气象预测、生态系统演化等。

其中，马尔可夫链还常用于解决机器学习中的一些问题，如概率图模型、隐马尔可夫模型等。

马尔可夫链和马尔可夫过程在数学理论和实际应用中都具有广
泛的研究价值。

但同时也需要注意，在使用中需要严格考虑模型的假设和限制，并进行合理的模型选择和参数估计，以获得更准确和可靠的模拟和预测结果。

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第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。

概率论中的马尔可夫过程与随机游走马尔可夫过程（Markov process）和随机游走（random walk）是概率论中重要的概念与方法，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍马尔可夫过程和随机游走的基本概念、特点以及在实际问题中的应用。

一、马尔可夫过程马尔可夫过程是指具有“无后效性”（即过去的状态对未来的发展没有直接影响）的随机过程。

它是以俄国数学家马尔可夫命名的，主要用于描述系统的演化。

1.1 基本概念在马尔可夫过程中，最基本的元素是状态和状态转移概率。

一个马尔可夫过程是由一系列离散状态组成的，例如{s1, s2, s3, ...}。

任意时刻，系统只处于其中的某个状态之一。

马尔可夫过程的演化具有“马尔可夫性”，即未来状态的转移只依赖于当前状态，与过去的状态无关。

这种性质由转移概率所决定。

设Pij表示在时刻t系统由状态Si转移到状态Sj的概率，则对于任意的i、j和k（i、j、k ∈状态集合），满足以下条件：P(Sk|Si, Sj, ..., Sk-1) = P(Sk|Sk-1) = Pij其中P(Sk|Sj, ..., Sk-1)表示给定Sj, ..., Sk-1的条件下Sk出现的概率。

1.2 马尔可夫链马尔可夫链是一类特殊的马尔可夫过程，它具有离散时间和离散状态的特点。

马尔可夫链的状态空间可以是有限的，也可以是可数无穷的。

对于一个马尔可夫链来说，其状态转移概率可以用状态转移矩阵来表示。

设P为状态转移矩阵，Pij表示在一步时间内系统由状态Si转移到状态Sj的概率，则P = (Pij)。

1.3 马尔可夫过程的应用马尔可夫过程在许多领域中有重要的应用。

其中，最典型的是马尔可夫链在统计学中的应用。

马尔可夫链模型可以用来描述、分析一些复杂系统的性质，例如人口模型、金融市场模型等。

此外，马尔可夫链还广泛应用于自然语言处理、机器学习和图像处理等领域。

通过对于系统的建模和分析，可以得到关于状态转移、概率分布等重要的信息。