幂函数及函数与方程05

幂、指、对函数及方程方法指导：一、幂函数1. 幂函数的定义函数(k y x k =为常数，)k ∈Q 称为幂函数，其中x 是自变量，前面的系数为1．2. 幂函数的图像 研究pq y x =的图像特点，其中p q是既约分数（最简分数）．3. 幂函数的性质（1） 对于一切幂函数，当0x >时，总有0y >，所以幂函数在第一象限均有图像，且幂函数图像不可能出现在第四象限．（2） 幂函数一定过点(1,1)．（3） 当0k >时，k y x =在(0,)+∞上递增，图像过点(0,0),(1,1)；① 当01k <<时，k y x =向x 轴正方向递增；② 当1k >时，k y x =向y 轴正方向递增．当0k =时，k y x =是一条不过点(0,1)的直线；当0k <时，k y x =在(0,)+∞上递减，图像过点(1,1)，图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．（4） 在1x =的右侧由上至下k 递减．二、指数函数1. 指数运算法则（1） (0,)x y x y a a a a x y +⋅=>∈R 、 （2） ()(0,)x y xy a a a x y =>∈R 、（3） ()(0,0,)x x x a b a b a b x ⋅=⋅>>∈R2. 指数函数的定义函数(0,1,)x y a a a x =>≠∈R 称为指数函数．3. 指数函数的图像4. 指数函数的性质（1） 函数图像在x 轴上方，函数值恒大于零，故函数图像不可能在三、四象限．（2） 指数函数的图像经过点(0,1)，01a =．（3） 函数定义域为R ，值域为(0,)+∞．（4） 非奇非偶函数（5） 无零点（6） 函数(1)x y a a =>在(,)-∞+∞内是增函数；函数(01)x y a a =<<在(,)-∞+∞内是减函数．（7） 在1a >时，第一象限内1y >，增长速度十分惊人；第二象限内01y <<，增长缓慢；在01a <<时，第一象限内01y <<；第二象限内1y >．（8） 无最值（9） 函数图像与x 轴无限接近，x 轴叫做函数的渐近线．（10） x y a =的图像与1()x y a=的图像关于y 轴对称． 三、指数方程（1） 同底型：()()()()(0,1)f x g x a a f x g x a a =⇔=>≠．（2） 基本型：① ()()log (0,1,0)f x a a b f x b a a b =⇔=>≠>；② ()()()lg ()lg (0,1,0,1)f x g x a b f x a g x b a a b b =⇔=>≠>≠．（3） 代换型：① 20x x Aa Ba C ++=，令x t a =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解； ② 2220()()0x x x x x x a a Aa Ba b Cb A B C b b ++=⇒++=，令()x a t b= （注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图象法求近似值．四、对数1. 对数的定义若(0,1)b a N a a =>≠，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．注意底数的范围是(0,1)(1,)+∞；真数的取值范围是(0,)+∞．2. 对数的性质若0,1,0,0,0,0,1a a M N n b b >≠>>>>≠，那么（1） 零和负数没有对数（2） log 1a a =，log 10a =，log a N a N =（3） log ()log log a a a MN M N =+，log ()log log a a a M M N N =- （4） log log n a a M n M =，log log m n a a n b b m =（5） log log log a b a N N b =（换底公式），特别地1log log a b b a=【拓展公式】 3. 常用的对数 以10为底的对数叫做常用对数，通常写做lg N ；以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，通常写做ln x ．五、对数函数1. 对数函数的定义函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>称为对数函数．2. 对数函数的图像3. 对数函数的性质（1） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都在y 轴右侧．（2） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图像都经过点(1,0)．（3） 函数定义域(0,)+∞，值域R ．（4） 非奇非偶函数．（5） 对数函数log (1)a y x a =>在(0,)+∞上是增函数，函数值开始增长较快，到了某一值后增长速度变慢；对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞上是减函数，函数值开始减小较快，到了某一值后减小速度变慢．（6） 对数函数log (1)a y x a =>，当1x >时，0y >；当01x <<时，0y <； 对数函数log (01)a y x a =<<，当1x >时，0y <；当01x <<时，0y >．（7） y 轴是对数函数的渐近线．（8） 当1a >时，底数越大，图像越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图像越靠近x 轴．（9） 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数．六、对数方程（1） 同底型：()0log ()log ()(0,1)()0()()0()()a a f x f x g x a a g x f x g x f x g x >⎧⎪=>≠⇔>⇔=>⎨⎪=⎩．（2） 基本型：log ()(0,1)()b a f x b a a f x a =>≠⇔=．（3） 代换型：2log ()log ()0a a A f x B f x C ++=，令log ()a t f x =（注意t 的范围），转化为20At Bt C ++=求解．（4） 图解型：一般不可直接求解的可利用图像法求近似值．典型题解：幂、指、对函数的图像及性质特殊方程1.比较下列各题中两个值的大小（1）323()4和233()4 （2）0.63()4-和0.64()3-（3）0.62()5-和1 （4）12π和1()2π 2．若4333423494434334log log log log (log log )()log log x ⋅=+-+，则x =（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．813．如图，幂函数223()Z m m y xm --=∈的图像关于y 轴对称，且与x 轴y 轴均无交点，求此函数解析式．4. 关于x 的方程lg 3x x +=，103xx +=的根分别为,αβ．则αβ+=__________．5． 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是______.6.方程2log (4)3x x +=实数解的个数是（ ）A 0B 1C 2D 37．已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根是2，求a 的值和方程的其余的根．8． 已知1(1)()22,x x f x --+=-则1(2)f -=_________.9.若关于x 的方程2(3)24log log x x a +-=的根在区间（3,4）内，则a 的取值范围为______. 10.设集合1{420,},x x A a x R +=-+=∈若A 为单元素集，求实数a 的取值范围.。

幂函数和指数函数的方程和不等式幂函数和指数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在解方程和不等式问题中有着重要的应用。

本文将介绍幂函数和指数函数的基本性质，并探讨如何解幂函数和指数函数的方程和不等式。

一、幂函数的方程和不等式解法1. 幂函数的定义和性质幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。

幂函数的定义域是所有正实数和0。

当b为正数时，幂函数是递增函数；当b为负数时，幂函数是递减函数；当b=0时，幂函数为常数函数。

2. 解幂函数的方程对于幂函数的方程f(x) = ax^b = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将幂函数的表达式转化为指数形式：ax^b = c ==> x^b = c/a；b) 对等式两边取底数为x的对数，得到b*logx = log(c/a)；c) 解出x的值：x = (c/a)^(1/b)。

3. 解幂函数的不等式对于幂函数的不等式f(x) = ax^b ≤ c或ax^b ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到ax^b = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据幂函数的性质，确定不等式的符号：当b为正数时，≤变为≥，≥变为≤；当b为负数时，≤变为≤，≥变为≥。

二、指数函数的方程和不等式解法1. 指数函数的定义和性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的定义域是所有实数。

2. 解指数函数的方程对于指数函数的方程f(x) = a^x = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将指数函数的表达式转化为对数形式：a^x = c ==> x = loga(c)。

3. 解指数函数的不等式对于指数函数的不等式f(x) = a^x ≤ c或a^x ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到a^x = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据指数函数的性质，确定不等式的符号：当a大于1时，≤变为≥，≥变为≤；当0<a<1时，≤变为≤，≥变为≥。

幂函数与指数方程的解法幂函数和指数方程是数学中常见的两类问题，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍幂函数和指数方程的基本概念，并探讨它们的解法。

一、幂函数的定义与解法幂函数是指函数的自变量以某个固定的数为底数，指数是自变量的函数。

幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数。

为了求解幂函数，我们可以采用以下步骤：1. 如果幂函数给定了特定的数值求解，我们可以直接将数值代入函数中计算得到结果。

2. 如果幂函数的幂指数是一个分式，我们可以将其化简为整数指数，利用指数运算的性质进行计算。

3. 若幂指数为负数，我们可以将幂函数的表达式倒置后，求解其正指数情况，并取倒数得到结果。

4. 对于幂函数之间的等式关系，我们可以通过将它们的底数和指数分别相等，进而求解出未知数。

二、指数方程的定义与解法指数方程是指方程中含有未知数的指数，我们需要求解出使方程成立的未知数的值。

我们可以采用以下方法来求解指数方程：1. 利用对数的性质将指数方程转化为对数方程，然后通过解对数方程求解出未知数。

2. 利用指数的性质将指数方程中的底数统一为同一个数，然后通过等式关系求解。

3. 对于指数方程中的分式指数，我们可以通过化简为整数指数的形式，再进行计算。

三、幂函数和指数方程的应用举例下面通过两个具体的例子来说明幂函数和指数方程的应用。

例子1：解决幂函数问题考虑幂函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，在 x = 2 处求解函数的值。

将 x = 2 代入幂函数中，得到 f(2) = 2 * 2^3 - 3 * 2^2 + 2 * 2 - 1 = 2 * 8 - 3 * 4 + 4 - 1 = 16 - 12 + 4 - 1 = 7。

因此，当 x = 2 时，幂函数的值为 7。

例子2：解决指数方程问题考虑指数方程 2^x = 16，我们需要找到使方程成立的未知数 x。

根据指数的性质，我们可以将方程改写为 2^x = 2^4。

芯衣州星海市涌泉学校高一数学幂函数；函数与方程【本讲教育信息】一.教学内容：幂函数；函数与方程二.本周教学目的1.理解幂函数的概念，会画出幂函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象，能根据上述幂函数的图象，理解幂函数的变化情况和性质。

2.理解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数一样的指数式值的大小。

3.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解函数的零点与方程根的联络。

4.可以借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的本质。

〔一〕幂函数观察下面两组函数两组函数的自变量各在什么位置？1.幂函数的定义一般的，我们把形如a y x =的函数称为幂函数〔powerfunction 〕，其中x 是自变量，a 是常数。

2.幂函数a y x =的性质画出以下两组幂函数的图象观察图象，你能找出这几个函数有什么一一共同特征吗？幂函数a y x =〔a>0〕的性质〔1〕函数的图象都过〔0，0〕，〔1，1〕；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而上升，函数在区间[)0,+∞上是单调增函数。

画以下幂函数的图象观察它们的一一共同特征： 幂函数a y x =〔a<0〕的性质〔1〕图象过〔1，1〕点；〔2〕在第一象限内，函数的图象随x 的增大而下降，函数在区间(0,)+∞上是单调减函数。

〔二〕函数与方程画出函数223y x x =--的图象，观察图象，指出x 取哪些值时，y ＝0。

1.方程的根与函数的零点对于函数y ＝f 〔x 〕，把使f 〔x 〕＝0的实数x ，叫做函数y ＝f 〔x 〕的零点.函数的零点就是方程f 〔x 〕＝0的实数根，也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标。

2.关系图方程f 〔x 〕＝0有实数根函数y ＝f 〔x 〕的图象与x 轴有交点函数y ＝f 〔x 〕有零点考虑：如何对函数在某区间是否有零点作出判断呢？3.定理：假设函数y ＝f 〔x 〕在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f 〔a 〕f 〔b 〕<0，那么，函数y ＝f 〔x 〕的图象在区间〔a ，b 〕内必然至少穿越x 轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c ∈〔a ，b 〕，使得f 〔c 〕＝0。