投篮问题的数学建模精编WORD版

投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普与，篮球比赛中紧X、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。

根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。

本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最优出手角度和最优出手速度，得出一个既能使投篮时不过多消耗体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识与运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进展了深入分析。

其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件X围，得出模型的结果。

在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算与分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转与球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力与出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的X围内。

出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度〔罚球线〕位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。

摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。

把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。

综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。

在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。

入射角度一般需要大于33.1。

分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。

我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。

对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。

摘 要本文针对投篮问题进行研究，根据物理运动学原理分析投篮方式的关键因素及特点，建立层次模型对增加观赏度和个人表现力进行分析。

问题一要求分析罚球、两分球及三分球投篮方式的特点及各自提高命中率的关键因素，并为投篮训练和竞赛策略提供建议。

在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析三种投篮方式。

投射罚球和两分球时距离较近，则忽略空气阻力的影响，得到运动轨迹方程如下：222tan 2cos gy x x v αα=⋅- 对于关键因素和特点可用篮球飞行过程中的运行区域的面积表示命中率，在选手最小速度运球的情况下对几个变量求偏导数，根据系数大小找出前两个关键因素，其中对于三分球采用入射角度限制的方法进行分析，得出以下结论：二分球的特点是定点投篮，关键因素有出手高度、出手速度、出手角度度；罚球的特点是投射距离固定，关键因素有出手速度和出手角度；三分球的特点是选择跳投的方式，关键因素有出手速度、出手角度和投篮距离。

综合对三种投篮方式的分析，建议队员投射前应适当的调整投射距离的位置和出手角度这主要跟平时的训练有关，在训练时尽可能的控制手腕力量，加强对力量控制方面的练习。

问题二要求分析新规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。

分析规则修改前后的数据找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善，得知助攻、失误和个人能力是决定增加观赏度和提高个人表现力的关键因素。

关键词 命中率 控制变量 运动学 AHP -模糊综合评价模型一、问题背景与重述1.1问题背景投篮是在比赛中，队员运用各种专门、合理的动作将球投进对方球篮的方法。

投篮是篮球运动中一项关键性技术，是唯一的得分手段。

进攻队运用各种技术、战术的目的，都是为了创造更多更好的投篮机会并力求投中得分；防守队积极防御都是为了阻挠对方投篮得分。

随着篮球运动的发展，运动员身高、身体素质及技术水平的提高，促使投篮技术不断发展：出手部位由低到高，出手速度由慢到快，投篮方式越来越多，命中率不断提高。

摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点,排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。

把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v,加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。

综合求解出其运动轨迹，利用导数意义,求出所需高度,速度等变量的最值,得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小,但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。

在出手高度为1.8～2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。

入射角度一般需要大于33.1。

分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小,而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格；出手速度一定时,出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度,出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中,提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式-—罚球.我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小,把它们的中心看成质点,只是简单的讨论球心命中框心的条件.对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差,和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下,讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板;③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24。

数学建模投篮命中率的数学模型Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。

根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。

本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。

其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。

在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。

出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

关于积分的数学模型实例用现代数学方法研究体育运动是20世纪70年代开始的，1973年，美国的应用数学家凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。

几乎同时，美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术，从而提出自己的理论，据此改正投掷技术的训练措施，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。

这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入，借助的科学工具也越来越先进。

我们选择一个较简单的例子来作说明。

篮球运动员在中距离投篮训练时被告知：为提高投篮命中率，应以450投射角投球。

请从数学理论的方法阐述其原因。

其中典型数据：投篮距离6米，篮圈半径0.2米，篮圈高度3.05米，篮球出手高度2.9米。

模型假设：（1） 忽略空气阻力；（2） 只考虑不接触篮板投篮的情况； （3） 防守队员的防守不影响投篮命中率；（4） 运动员投球的水平距离s<10（米） h（5） 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。

如图，设P 1P 2为篮圈横截面，篮圈高为H 0，半径为R ，H 0=3.05（米），R=0.2（米）投篮出手点到篮圈中心水平距离为s 0，出手高度为h 0，s 0=6（米） h 0=2.9（米）投篮出手角度为θ，速度为v ，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(θ)建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s 0、出手角度θ、出手速度v 、篮圈高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。

于是，该问题转化为求一个角度θ0(h 0, s 0)，能使运行区域面积A(θ)最大，即000(,)()max ()h s A A θθθ= 第一步：由运动学知弧1OP 、2OP的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为： 222tan 2cos g y x x v θθ=- 由于1OP 过点1000(,)P s R H h --，则有： 0002220tan ()()2cos ()s R H h g v s R θθ---=- 则1OP 的方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ---=-- 同理，2OP 得方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ+--=-+ 另外，直线P 1P 2的方程为00y H h =-第二步，求运动区域面积A(θ)运用定积分求面积，得022********000tan ()()tan ()()(){[tan ][tan ]}()()s Rs R H h s R H h A x x x x dx s R s R θθθθθ-+-----=---+-⎰ 0020000020tan ()()[tan ()]()s Rs R s R H h x x H h dx s R θθ+-+--=---+⎰ 00024tan ()33s R R H h θ=-- 第三步，求A(θ)得极值点：由A(θ)的表达式可以看出，当tan θ越大（即θ越大，θ<900），A(θ)越大。

数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。

本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。

我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。

首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。

在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s, 这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz 之间。

并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。

其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。

我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。

因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。

接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。

最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。

最后，运用我们所建立的模型分析得出2012 年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差．问题的重述1.图2.篮球场地示意图规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图二．问题分析1) 在研究罚篮时， 由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决 定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需， 分别给 定一个出手速度 v 和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和 速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。