数学反证法浙教版八年级下.pdf

《反证法》教学设计【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第4章第6课。

【素养指向】“逻辑推理”之“逆向思维的培养”。

【教学目标】1.了解反证法的含义,了解反证法的基本步骤.2.会利用反证法证明简单命题．3.了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【时间预设】课内1课时加课前5分钟。

【教学过程】一、先行学习阅读教材中《路边苦李》的故事，试着表述王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?二、交互学习段落一理解表征〖师生共学〗在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.〖检测评价〗独立完成下面题目，然后在小组内交流，进行互动评析。

说出下列结论的反面。

1.a⊥b2. d是正数3. a≥04. a∥b段落二实践应用〖小组合学〗小组内同学交流讨论，试用反证法证明:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与补充。

得到结论：已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证: l3与l2相交.证明: 假设____________,即_________.∵_________（已知）,∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,这与“_______________________ _____________”矛盾.∴假设不成立,即求证的命题正确.∴l3与l2相交.〖检测评价〗独立完成下面题目，然后在小组内交流，进行互动评析。

用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°2．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．三、后续学习甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？【教学反思】。

4．6反证法1．用反证法证明“a<b”时，第一步应假设(C)A．a>b B．a≤bC．a≥b D．a≠b2．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一步应假设(D) A．两条直线相交B．两条直线不垂直C．在同一平面内，两条直线不同时垂直于同一条直线D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相交3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(D)A. 有一个锐角小于45°B. 每一个锐角都小于45°C. 有一个锐角大于45°D. 每一个锐角都大于45°4．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设(C) A．a，b中至多有一个是0B．a，b中至少有两个是0C．a，b中没有一个是0D．a，b都等于0(第5题)5．如图，直线AB，CD相交．求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD交于两点O与O′，那么过O，O′两点就有__两__条直线．这与“两点确定一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．6．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应先假设a＝b．7．完成下面的证明，用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”．已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.求证：直线a不平行于直线b.证明：假设a∥b，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，这与已知的∠1≠∠2矛盾，∴假设a∥b不成立，∴直线a与直线b不平行．(第7题) (第8题)8．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补(填空)．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：假设∠1＋∠2__≠__180°.∵l1∥l2(已知)，∴∠1__＝__∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＋∠2__≠__180°，∴∠3＋∠2≠180°，这和平角的定义矛盾，∴假设∠1＋∠2__≠__180°不成立，∴∠1＋∠2＝180°.9．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．【解】已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.(第9题解)求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.(第10题)10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H.求证：AD 与BE不能被点H互相平分．【解】假设AD，BE被点H互相平分，连结DE，则四边形ABDE是平行四边形．∴AE∥BD，即AC∥BC.这与“AC，BC相交于点C”矛盾，∴假设AD，BE被点H互相平分不成立．∴AD与BE不能被点H互相平分．11．已知a，b，c，d四个数满足a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：这四个数中至少有一个是负数．【解】假设这四个数都大于零或等于零．∵a＋b＝1，c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc＝1.∵a，b，c，d都大于零或等于零，∴ad＋bc≥0，∴ac＋bd≤1，这与“ac＋bd＞1”矛盾，∴假设不成立．∴a，b，c，d这四个数中至少有一个是负数．12．求证：形如4x＋3的整数k(x为整数)不能化为两个整数的平方和．【解】假设k＝a2＋b2.当a，b都是偶数时，即a＝2m，b＝2n，m，n为整数时，可得k＝a2＋b2＝4m2＋4n2＝4(m2＋n2)＝4p(其中p为整数)；当a，b都是奇数时，即a＝2m＋1，b＝2n＋1，m，n为整数时，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2＋n)＋2＝4p＋2(其中p为整数)；当a与b为一奇一偶时，不妨设a＝2m＋1，b＝2n，m，n为整数，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2)＋1＝4p＋1(其中p为整数)．∴k被4除的余数是0，1或2，这与“k＝4x＋3(x为整数)”矛盾，所以假设不成立，即形如4x ＋3的整数k(x为整数)不能化为两个整数的平方和．13．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．【解】 假设x ≤0，y ≤0，z ≤0，则x ＋y ＋z ≤0.∵x ＋y ＋z ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc＝12[]（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2， 又∵a ，b ，c 是不全相等的任意整数，∴x ＋y ＋z ＝12[]（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2＞0， 这与“x ＋y ＋z ≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x ，y ，z 中至少有一个大于零．14．用反证法证明：若整数系数方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)存在有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．【解】 假设a ，b ，c 都为奇数.∵方程存在有理数根， ∴－b ±b 2－4ac 2a为有理数， ∴b 2－4ac 为有理数．∵a ，b ，c 均为整数，∴b 2－4ac 必为整数，且是完全平方数，∴可设b 2－4ac ＝d 2，d 为整数，则(b ＋d )(b －d )＝4ac .∵b 为奇数， (b ＋d )与(b －d )的奇偶性相同，且4ac 为偶数，∴d 只能是奇数，故可设b ＝2p ＋1，d ＝2q ＋1，p ，q 为整数，则b 2－d 2＝(b ＋d )(b －d )＝(2p ＋2q ＋2)(2p －2q )＝4ac ，(p ＋q ＋1)(p －q )＝(p ＋q ＋1)(p ＋q －2q )＝ac ①.若p ＋q 为奇数，则p ＋q ＋1为偶数，①式左边为偶数；若p ＋q 为偶数，则p ＋q －2q 为偶数，①式左边为偶数；而①式右边ac 为奇数，显然等式不成立.∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个数是偶数．初中数学试卷灿若寒星制作。

4.6 反证法-浙教版八年级数学下册教案一、教学目标1.了解反证法的基本思想和用法。

2.能够灵活运用反证法解决一些数学问题。

3.培养学生逻辑思维能力和证明能力。

二、教学重点了解反证法的基本思想和用法。

三、教学难点如何灵活运用反证法解决一些数学问题。

四、教学过程1.引入•向学生介绍反证法的基本思想和用法。

•通过几个简单的例子引导学生感受反证法的强大和优越性。

2.知识点讲解•反证法是证明方法之一，它的核心思想是采取对立假设。

•对立假设：若要证明命题P成立，就假设其不成立，即假设非P成立，然后推出一个矛盾的结论，由此证明P必然成立。

•反证法的优越性：有时有些命题如果去直接证明会比较困难或无从下手，采用反证法可以将其转化为一个矛盾证明，从而简化证明流程。

3.例题讲解与解答•例题一：已知a、b、c是三个正整数，如果a和b互质，c为它们的公倍数，那么c/a和c/b必定有一个是偶数。

•解答：采用反证法。

假设c/a和c/b都是奇数，则表示c可以被a和b同时整除，由于a和b互质，而c是它们的公倍数，因此c必有一个偶因数，与假设相矛盾，故得证。

4.课堂练习•练习一：如果k是一个奇整数，那么k²+3k一定是偶数。

•练习二：已知a、b、c是三个正整数，且满足a²+b²=c²，证明abc必定为偶数。

5.课堂小结•回顾了课堂上讲解的反证法的基本思想和用法。

•引导学生思考如何将反证法运用到实际数学问题中。

五、课后作业•完成课堂练习题，并思考新的数学问题是否可以采用反证法进行证明。

•阅读教材相关章节，进一步了解反证法的运用场景和方法。

六、教学反思本节课的教学设计主要是以例题讲解和课堂练习为主，旨在让学生感受到反证法的优越性和实际应用价值。

在练习中，有些学生可能会抱怨反证法运用起来比直接证明更麻烦，甚至有些难理解。

因此在上课中，应该多向学生举例说明，注重练习，帮助学生更好地理解和掌握反证法的基本思想和运用方法。

马鸣风萧萧
马鸣风萧萧4.6反证法
一、选择题
1. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
2. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°
3. 用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB∥EF D．假定AB不平行于
EF
二、填空题
1.用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 .
2. 用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是 .
三、解答题
1. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
答案
一、1.A 2.C3.B
二、1.在一个三角形中，有两个内角为钝角
2.假设垂直于同一条直线的两条直线不平行
三、1. 证明：用反证法．
假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°．
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°．
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．
所以等腰三角形的底角是锐角．
初中数学试卷
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浙教版数学八年级下册《4.6 反证法》教学设计一. 教材分析《4.6 反证法》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。

反证法是数学证明的一种方法，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。

这一节内容主要包括反证法的概念、基本步骤和应用。

学生在学习这一节内容时，需要理解反证法的本质，掌握反证法的基本步骤，并能够运用反证法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了数学证明的基本方法和逻辑推理的能力。

但是，对于反证法这一概念，学生可能比较陌生，难以理解其本质和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解反证法的概念和基本步骤，并通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解反证法的概念和基本步骤。

2.能够运用反证法解决实际问题。

3.提高逻辑推理的能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.反证法的概念和基本步骤。

2.运用反证法解决实际问题。

五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，引导学生理解反证法的概念和基本步骤。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索反证法的应用。

3.练习法：通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和问题，用于引导学生思考和探索。

2.准备PPT，用于展示反证法的概念和基本步骤。

3.准备练习题，用于巩固学生对反证法的理解和应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个具体的问题，引导学生思考和探索反证法的概念和应用。

例如：假设有一座桥，桥的两侧各有一个人，他们同时开始走，多久能够相遇？2.呈现（10分钟）通过PPT展示反证法的概念和基本步骤，让学生理解反证法的本质。

反证法的概念：假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。

反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立；（2）根据假设，推理出矛盾；（3）由于矛盾的存在，说明假设不成立，从而结论成立。