天津市南开中学高二数学必修5导学案：数列的通项公式

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式[目标] 1.知道数列的定义，理解数列的顺序性；2.知道数列的几种分类；3.知道数列是特殊的函数，体会数列的项与序号间的关系，并能根据数列的前几项写出数列的通项公式．[重点] 数列的定义，根据数列的前几项写出数列的通项公式．[难点] 数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项．知识点一数列的定义以及有关概念[填一填]1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列．2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．3．数列的一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中a n是数列的第n项．[答一答]1．1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列吗？提示：不是．两个数列相同，每一项都必须相同，而且数列具有顺序性．2．怎样表示一个数列的某一项？数列中的项与它的项数有何区别？提示：数列的项通常用字母a加右下标表示，其中右下标表示项的位置序号．例如，a 5代表数列的第5项，a n 代表数列的第n 项．数列中的项与项数不是同一概念，项是指该数列中某一确定的数，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号． 3．判断下列各组元素能否构成数列，并说明理由．(1)a ，－3，－1,1，b,5,7,9,11；(2)非负整数．提示：(1)当a ，b 都代表数时能构成数列；当a ，b 中有一个不代表数时，不能构成数列．因为数列是按一定的顺序排列的一列数．(2)能构成数列，可以按顺序排列为0,1,2,3,4,5,6，….知识点二 数列的分类[填一填]1．根据数列项数分类．可分为有穷数列和无穷数列2．根据数列中项的变化趋势分类[答一答]4．数列1，12，122，123，…，12n －1与数列1，12，122，123，…，12n －1，…是同一数列吗？提示：不是同一数列，前者是有穷数列，共有n 项，后者是一个无穷数列．5．同一个数在数列中可以重复出现吗？提示：可以；如常数列2,2,2,2,2，….知识点三 数列与函数的关系及数列的通项公式[填一填]1.，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝ f (x )，如果f (i )＝a i (i ＝1,2,3,4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，…，f (n )，….2．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[答一答]6．对于任意数列，我们是否都可以求出其通项公式呢？数列的通项公式是否唯一确定呢？提示：与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有数列都有通项公式．有些数列的通项公式可以用不同形式表示．例如，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝2k －1(n ∈N *)，1， n ＝2k (n ∈N *).类型一 数列的概念及分类[例1] 已知下列说法：(1)数列1,2,3,4,5，…是无穷递增数列；(2)数列1,1,2,2,3,3共3项；(3)数列－1,0,3,4,7,9的第2项是0；(4)2018年从1月份到12月份全国每月新生婴儿数可组成数列；(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，4，－13，3，－12，2，－1，1是有穷摆动数列． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[分析] 利用数列概念表示，分类进行判断．[解析] (2)中数列共有6项，故(2)错误；(5)数列不能用集合表示，故(5)错误．(1)(3)(4)正确．[答案] C判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列.[变式训练1] (1)下列说法正确的是( A )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1kB ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }(n ∈N *)C ．数列的项数都是无限的D ．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是相同数列(2)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( C )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n类型二 数列的通项公式命题视角1：根据数字特征写数列的通项公式[例2] 写出下列数列的一个通项公式：(1)12，2，92，8，252，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)9,99,999,9 999，…；(4)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(5)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…. [分析] 经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律．[解] (1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n －1；考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1.(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n －1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n ＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n ，综合得原数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1＝n 2＋n ＋12n －1. (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n·1n (n ＋1).此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同.对于分式，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系.[变式训练2] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)1，12，3，14，…；(4)4,0,4,0,4,0，….解：(1)a n ＝n 2n 2＋1(n ∈N *)； (2)a n ＝19(10n －1)(n ∈N *)；(3)a n ＝⎩⎨⎧ n ，n 为奇数，1n ，n 为偶数；(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n 为奇数，0，n 为偶数或a n ＝2＋2×(－1)n ＋1. 命题视角2：根据图表特征写数列的通项公式[例3] 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将小石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应的小石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．[分析] 通过题中给出的图形计数，探索项与项数n 的关系，猜想通项公式求解，或者根据图形变化规律，将小石子的个数逐个写出，直到第10个．[解析] 方法一(计数探规律)：三角形数依次为：1,3,6,10,15，…；从第2项起，规律为：3＝1＋2(第2个)；6＝1＋2＋3(第3个)；10＝1＋2＋3＋4(第4个)；…；第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.方法二(图形找规律)：如图，矩形框内的图形是比前一个图形多出的图形，这样逐次写出三角形数为：1,3,6,10,15,15＋6,15＋6＋7,15＋6＋7＋8,15＋6＋7＋8＋9,15＋6＋7＋8＋9＋10＝55.[答案] 55图形、数表等形式的信息条件，隐含着各种数的排列规律，要处理好这些问题，关键在于读懂图形或数表中数与数之间的关系，从中找出规律.[变式训练3] 黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖4n ＋2块．解析：第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块，第3个图案中有白色地面砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n 个图案中有4n ＋2块白色地面砖．类型三 数列通项公式的应用[例4] 已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [分析] 将n 代入或列方程求解；对于(3)，将通项化简，根据n ≥1求出项的取值范围．[解] 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. (1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1， ∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．1.数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项.,2.判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解.若方程的解为正整数，则该数值是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项.[变式训练4] (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？若是，是第几项？(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos n π2.求证：a m ＋4＝a m .解：(1)令n 2n 2＋1＝0.7，则3n 2＝7，即n 2＝73， 此时n 无整数解，故0.7不是这个数列中的项．(2)证明：因为a m ＋4＝3－2cos (m ＋4)π2＝3－2cos m π2，又a m ＝3－2cos m π2.所以a m ＋4＝a m .1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有( D )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④ 解析：数列是按“一定顺序”排列着的一列数．因此选D.注意此题易错选B.2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( C )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项 解析：∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝3－4n ，a 2a 3＝15. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.4．若数列{a n }的通项满足a n n ＝n －2，那么15是这个数列的第5项．解析：由a n n ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5.5．已知：a n ＝2n 3n ＋2，(1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n . 解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n 3n ＋2，得a 3＝2×33×3＋2＝611.(2)将a n ＝813代入a n ＝2n 3n ＋2， 得813＝2n 3n ＋2，解得n ＝8.——本课须掌握的两大问题1．数列的概念(1){a n }与a n 是不同的概念．{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，而a n 仅表示数列{a n }的第n 项．(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(3)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列通项公式(1)一些数列的通项公式可以有不同的形式．这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一个数列．(2)数列的通项公式可以用一个分段函数表示．(3)要由数列的项写出数列的一个通项公式，需观察、分析数列中的项的构成规律(即寻找项与项数的函数关系)，将项表达为项数的函数关系式．(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-L].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n Λ经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n nn n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

一、相关复习复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？ 复习2：数列如何分类？通项公式法：试试:上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关 1. 系的一个通项公式是 . 图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间 关系的一个递推公式是 .4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？ 反思：所有数列都能有四种表示方法吗？ ◆ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）. A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .例3.在数列｛a n ｝中，a 1=2，a 1+n =nn 1+ a n ,求通项a n小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.例4、已知数列{}n a 的前ｎ项的和n S =3n 2＋n ，求此数列的通项公式n a变式：已知数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2＋n ＋1，求此数列的通项公式a n◆ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且 111120n n n n n n a a a a a a -+-++-= （2n ≥），求34,a a .练2.已知数列{}n a 满足10a =,1n a +=（*n N ∈），则20a =（ ） . A ．0 B.练3、在数列{}n a 中，1a a =，以后各项由递推公式121nn na a a +=+给出，写出这个数列的前4项，并由此写出一个通项公式n a ．三、学习小结 1. 数列的表示方法； 2. 数列的递推公式.2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.3. A. 3 B. 13 C. 1318D. 12 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1）， 则该数列的通项n a =（ ）. A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=- （n ≥2），则5a = . 5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n na a +=-（n ≥2）， 则6a = .。

2019-2020学年高二数学《数列通项公式》教学设计一、内容与解析(一）内容：数列通项公式（二）解析：本节课要学的内容数列的通项公式，指的是由给出数列的前几项或者递推公式或者前n 项的和求其通项公式.学生已经学习了等差、等比数列,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它在本章中属于综合性比较强的知识，能够体现学生的观察、归纳等能力,所以在本学科有重要的地位,是本学科的重要内容.教学的重点是掌握特定类型数列的通项公式的求法,解决重点的关键是归纳出每种特定类型数列的特点。

二、教学目标及解析(一)教学目标:掌握特定类型数列的通项公式的求法。

(二)解析:就是掌握用归纳法、累加法、应用公式法、待定系数法求数列的通项公式。

三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是什么时候用什么方法。

产生这一问题的原因是对已知条件分析不清.要解决这一问题,就是要带领学生进行归纳。

.四、教学过程(一) 观察法：给出一个数量的前几项，通过观察，写出数列的通项公式。

例1 已知数列{}n a 的前5项分别为1,4,9,25,36….(二) 累加法（也叫逐差求和法）：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。