第七讲组合综合问题本讲概述在前六讲我们对组合数学中的不少专题进行了研究，本讲不再进行具体某个专题的学习，而是通过一些综合性的问题的探讨来寻找组合数学“解题的感觉”.本讲的题目与前面相比，综合性更强，难度在二试与冬令营之间，可能需要综合应用前面所学的多种组合知识乃至其它学科的知识来解决.事实上，组合与几何学、数论相联系形成的组合几何、组合数论问题往往难度较大，又能同时考察多个学科，是命题人青睐的对象，而在组合问题的探索过程中，特别是组合极值问题中，常常用到代数知识特别是数列与不等式知识.教师备注：本讲主要研究两大方面问题：（1）组合与其它学科相结合（2）组合极值及其构造、论证；部分题目来自冬令营或相当冬令营难度的比赛，教师可自行选择适当问题讲述例题精讲【例1】设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
【解析】将E中的点染成红、蓝二色，即证明必存在一个直角三角形，它们的顶点同色。
在三边上取三等分点P，Q，R，如图01—05。
易知RQ⊥BC，QP⊥AC，PR⊥AB。
这三点必至少有两点同色。
不妨设R，Q为红色。
（1）如果BC边上除Q点外还有红色的点X，则Rt△RQX三个顶点同为红色。
（2）如果BC边上除Q外不存在红色点，则B点是蓝色的。
如果AB上除B外还有蓝色点Y，作YM⊥BC，M为垂足，显然M不同于Q。
所以Rt△YBM三个顶点均为蓝色；如果AB上除B点外均为红色。
作QZ⊥AB，Z为垂足，则Rt△RQZ的三个顶点均为红色。
证毕。
【例2】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，且同一城市两队之间不比赛.比赛进行若干天后统计，发现除A市甲队之外，其它各队已赛过场次互不相同.试问A市乙队已赛过多少场？.【解析】依比赛规则，每队至多赛30场，所以除A市甲队之外，其它各队已赛过场次依次为0,1,2,,29,30考场赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队；接下来依次配对（29,1），（28,2），…，（14,16）.只有15没有配对，这就是乙队. 于是乙队赛过15场.【例3】 20支足球队参加比赛，每两队至多赛一场.为了使任何三队中都有两队赛过，球赛组委会安排了m场比赛，试求m最小值.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版2【解析】 设A 队赛过k 场，是所有队中赛过场次最少的.与A 队赛过的k 个队，各至少赛过k 场，没有与A 赛过的19-k 个队中的任何两队B,C 必赛过（否则就出现A,B,C 三队两两未赛过，矛盾！）.于是比赛场数()22191(1)990902k m k k C k -≥++=-+≥, 于是至少要赛90场.下面给出一种比赛方案，使得恰赛90场：把20支队分成两组，每组10个队，同组两两都赛，不同组不比赛，共安排2102C 场比赛. 显然这个方案合要求.注 本题为组合中最难的安排赛程表题型，也可以把它看成一个图论问题.比赛方案是受到论证过程的结果启发构造出来的.【例4】 设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C ，求Q C 的最大值.【解析】 Q C 的最大值为knC . 因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ nC C ≤. 下面我们指出，对集合2{2, 2,, 2}n P =，相应的Q C 等于knC ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k r r r A =， 12{2,2,,2}k s s s B =，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M+++=+++=（设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯 一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.注 本题为2009江苏赛区复赛题. 这是一道典型的组合极值问题，难度并不太大. 这种问题一般分为两部分：构造与论证，分别考察不同的数学能力，因此是近年来的命题热点.【例5】 (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的 最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.【解析】 (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<， 故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使min 4n ≤． ……………… 6分高一·联赛班·寒假第7讲·教师版3若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠.由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ， 则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod 9)， 3312x x + ≡∕4(mod9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod9). … ⑦ …………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．注 本题为2005年江苏预赛16题. 这类与数论相联系的极值问题往往兼具组合构造与数论证明两大特点 但鉴于本题组合味道并不太浓，建议选讲.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版4【例6】 假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。
结构要求：1．结构完整； 2．层次清楚； 3．内容要关联紧密一、总分总式结构总分总、总分、分总遭遇挫折，笑对痛苦（四川一考生）人之一世，殊为不易。
在看似平坦的人生旅途中充满了种种荆棘，往往使人痛不欲生。
痛苦之于人，犹狂风之于陋屋，巨浪之于孤舟，水舌之于心脏。
百世沧桑，不知有多少心胸狭隘之人因受挫折放大痛苦而一蹶不振；人世千年，更不知有多少意志薄弱之人因受挫折放大痛苦而意志消沉；万古旷世，又不知有多少内心懦弱的人因受挫折放大痛苦而葬身于万劫不复的深渊……面对挫折，我们不应放大痛苦，而应直面人生，缩小痛苦，直至成功的一天。
“老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。
”初唐四杰之一的王勃，可谓“时运不济，命途多舛”，然而直面挫折，他却能达人知命，笑看人生。
试想，如果没有王勃开朗阔达的胸襟，哪能有他吟放出“海内存知己，天涯若比邻”的千古绝唱？“安能摧眉折腰事权贵，使我不得开心颜”的浪漫诗仙李白，在遭遇仕途不顺的挫折后，他沉寂了吗？消沉了吗？没有。
“长安市上酒家眠”，笑对痛苦，面对挫折他拂袖而去，遍访名山，终于成就了他千古飘逸的浪漫情怀！由此看来，面对挫折，我们不应过分地沉迷于痛苦失意的阴影中不能自拔；面对挫折，我们不应整日浸泡在悲伤痛苦的泥沼中越陷越深；面对挫折，我们不应长期颓废不振而迷失方向。
遭遇挫折，缩小痛苦，才是明智的选择。
相反，若一味沉迷于挫折的痛苦中，结果将不堪设想。
前事不忘，后事之师。
古人已为我们做出太多的榜样也留下了太多的遗恨。
在竞争日益加剧的社会里，挫折无处不在。
若因一时受挫而放大痛苦，将会终身遗憾。
遭遇挫折，就当它是一阵清风，让它从你耳边轻轻吹过；遭遇挫折，就当它为一阵微不足道的小浪，不要让它在你心中激起惊涛骇浪；遭遇挫折，就当痛 苦是你眼中的一颗尘粒，眨一眨眼，流一滴泪，就足以将它淹没。
遭遇挫折，不应放大痛苦。
擦一擦额上的汗，拭一拭眼中欲滴的泪，继续前进吧！相信总有一天你会看见蓝蓝的天，白白的云，青青的草，还有你嘴角边甜甜的笑……二、横列式结构（“糖葫芦式”结构）引论本论分论点（一）提出分论点摆事实讲道理分论点（二）提出分论点摆事实讲道理分论点（三）提出分论点摆事实讲道理……结论选择诚信（河南考生）人生，漫漫长路远，纷繁诱惑多。
高考专业精品文档————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《送东阳马生序》《三峡》中考详解课程目标：1．把握文章中的思路2．注意三峡的景物描写。
3．把握作者的感情4．了解中考考点。
背景介绍在我国古代文学史上，宋濂与刘基、高启并列为明初诗文三大家。
明初明惠帝的忠臣，学者方孝孺，少时即师从宋濂。
宋濂（1310—1381）字景濂，号潜溪，别号玄真子、玄真道士、玄真遁叟。
汉族，浦江（今浙江义乌）人，元末明初文学家，曾被明太祖朱元璋誉为“开国文臣之首”，学者称太史公。
宋濂与高启、刘基并称为“明初诗文三大家”。
洪武四年因献诗“自古戒禽荒”一语激怒朱元璋致祸。
他家境贫寒，但自幼好学，曾受业于元末古文大家吴莱、柳贯、黄溍等。
他一生刻苦学习，“自少至老，未尝一日去书卷，于学无所不通”。
元朝末年，元顺帝曾召他为翰林院编修，他以奉养父母为由，辞不应召，修道著书。
至正二十年（1360），与刘基、章溢、叶琛同受朱元璋礼聘，尊为“五经”师。
和刘基、高启为明初诗文三大家。
洪武初主修《元史》，官至学士承旨知制诰。
后因牵涉胡惟庸案，谪茂州，中途病死。
《送东阳马生序》节选自《宋学士文集》（《四部从刊》本）.明洪武十一年（1378），宋濂告老还乡的第二年，应诏从家乡浦江（浙江省浦江县）到应天（今江苏南京）去朝见朱元璋时，正在太学读书的同乡晚辈马君则前来拜访，宋濂写了这篇序，介绍自己的学习经历和学习态度，勉励他人勤奋学习，成为德才兼备的人。
本课只节选了序文的前半部分。
在这部分中，作者并没有因为自己的地位和长者身份，就板起面孔说教，而是现身说法，叙述自己少年时代求学的艰难和勤奋学习的经历，晓之以理，动之以情，作者对马君则的殷切期望，寓于其中。
经过千辛万苦的努力，终于有所成就。
余幼时即嗜（shì）学。
家贫，无从致书以观，每假借于藏书之家，手自笔录，计日以还。
阅读理解之文言文阅读中考热点常见文言实词、虚词的用法；一词多义；古今异义；词类活用；理解、翻译重难点语句；文章整体感感知、理解、分析、欣赏；联系实际谈体会知中考中出现的课内文言文：《陈涉世家》；《送东阳马生序》；《爱莲说》；《记承天寺夜游》；《曹刿论战》；《桃花源记》；《愚公移山》；《生于忧患，死于安乐》；《三峡》；《唐雎不辱使命》课内文言文考查的主要题型：解释词语含义（词语解释、一字多义、古今异义、通假字）翻译语句用原文内容回答问题文章内容的理解与分析文章的背景知识结合文章内容谈心得体会文言文的考查特点“不丢人题型”做题原则：忠于课文内注解认真复习上课笔记（文章背景知识、文章内容的理解与把握、重点句、重点词、重点字）做题根本：翻译文言文翻译的技巧：留。
专有名词，如国号、年号、人名、物名、地名、官职、器具等可照录不译；补。
翻译文言文时应补出省略成分；删。
删去不译的词，主要是发语词、补足音节的词；调。
调整句子的语序，如谓语前置、定语后置、宾语前置、介词结构后置等；选。
对于一词多义的情况，选择恰当的词义翻译。
译。
译出关键字词，如通假字、活用的字；固定格式的固定译法。
文言文翻译的口诀：古文翻译，自有顺序，首览全篇，掌握大意；先明主题，搜集信息，由段到句，从句到词，全都理解，连贯一起，对待难句，则需心细，12照顾前文，联系后句，仔细斟酌，揣摩语气，力求做到，合情合理，词句之间，联系紧密。
若有省略，补出本意，加上括号，表示增益。
人名地名，不必翻译，人身称谓，依照贯例，“吾”“余”为我，“尔”“汝”为你。
省略倒装，都有规律。
实词虚词，随文释义，敏化语感，因句而异。
译完之后，还须仔细，逐句对照，体会语气，句子流畅，再行搁笔。
文言文的阅读方法课内文言文：多读、多背、多练课外文言文：读之前需要明白的问题——与课内文言文关系有些省市除却课内文言文还会对课外文言文进行考查，甚至直接考查课外文言文，这在考试之前就要求考生心中明晰课内文言文与课外文言文的关系。
